资源简介

整式——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·广州）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·深圳）下列运算正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2023·广州）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021·深圳）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2019·天水）已知 ，则代数式 的值是（　　）
A．2 B．-2 C．-4 D．
6．（2025·广东） 计算 的结果是　 　.
7．（2024·广州） 若，则　 　．
8．（2020·连云港）按照如图所示的计算程序，若 ，则输出的结果是　 　.
9．（2026七上·福田期末）先化简，再求值其中
10．（2025七上·惠来月考）先化简，再求值：，其中a，b满足．
二、能力题
11．（2025九上·大埔期末）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（　　）
A． B． C．9 D．1
12．（2024·广东）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．（2022·广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（　　）
A．252 B．253 C．336 D．337
14．（2021·内江）如图，在边长为 的等边 中，分别取 三边的中点 ， ， ，得△ ；再分别取△ 三边的中点 ， ， ，得△ ；这样依次下去 ，经过第2021次操作后得△ ，则△ 的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．（2025九上·大埔期末）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为　 　（用含n的代数式表示）．
16．（2021·福建）已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于　 　.
17．（2021·怀化）观察等式： ， ， ，……，已知按一定规律排列的一组数： ， ， ，……， ，若 ，用含 的代数式表示这组数的和是　 　.
18．（2026七上·深圳月考）先化简再求值： 其中
19．（2026七上·龙华期末）某文创店将一款定制徽章按成本价提高25%后标价，并在元旦期间推出“学生凭学生证享受七折优惠”的活动，结果每枚徽章亏损6元．根据以上信息绘制流程图：
（1）设每枚徽章成本价为 x 元，则流程图中的标价和售价分别为　 　元和　 　元；(用含x的代数式表示)
（2）每枚定制徽章的成本是多少元
20．（2025七上·清远月考）【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是_______ ；（填“图1”或“图2”）
（2）已知图1中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积；
（3）已知图1，图2中裁去的小正方形边长分别为和，设m为图1裁得的纸盒底面周长，n为图2方式裁得的纸盒底面周长，请求出m、n的值．
三、拓展题
21．（2019·张家界）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为 ，排在第二位的数称为第二项，记为 ，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为 ．所以，数列的一般形式可以写成： ， ， ，…， ．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中 ， ，公差为 ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为　 　，第5项是　 　．
（2）如果一个数列 ， ， ，…， …，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到： ， ， ，…， ，…．
所以 ，
，
，
……，
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： (　 　)d．
（3） 是不是等差数列 ， ， …的项？如果是，是第几项？
22．（2024七上·湛江期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．
例如：方程和为“和谐方程”．
（1）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；
（2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值；
（3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，不能合并，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，故A错误；而B正确；
C.左边不是同类项，无法合并，C错误；
D.完全平方式有三项，故D错误；
故选：B.
【分析】根据幂的乘方运算、单项式乘单项式、合并同类项、完全平方公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2=a8-2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3×a5=a3+5=a8，故此选项计算正确，符合题意；
D、（2a）-1=，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算可判断A选项；由同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算可判断B选项；由同底数幂相乘，底数不变，指数相减，进行计算可判断C选项；根据一个不为零的数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数进行计算可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2a2·a=2a3，故A正确；
B、（a2）3=a6，故B错误；
C、a2和a3不是同类项，不能合并，故C错误；
D、a6÷a2=a4，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则，逐项进行判断，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴将 代入得： 。
故答案为：B。
【分析】利用整体代入法就可算出代数式的值。
6．【答案】0
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
7．【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
8．【答案】-26
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；代数式求值
【解析】【解答】解：当x=2时， ，
故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时， ，
执行“是”，输出结果：-26.
故答案为：-26.
【分析】首先把x=2代入 计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止.
9．【答案】解：原式
当
原式
=1
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，核心是整式的去括号和合并同类项。先根据去括号法则去掉式子中的括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号；括号前是系数时，需将系数乘到括号内每一项），再找出同类项，按照合并同类项的法则将同类项合并化简，最后将、的具体数值代入化简后的式子，计算出最终结果。
10．【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的加减法可得，再结合求解即可.
11．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】一对相反数的和为0，一对倒数的积为1．
12．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一判断选项即可，即由同底数幂乘除法判断A，B，结合合并同类项代数式加法运算判断C，幂的乘方运算判断D.
13．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，
故答案为：B．
【分析】先求出第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2，再求出n的值即可。
14．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点 ， 分别为 ， 的中点，
，
点 ， 分别为 ， 的中点，
，
，
，
△ 的面积 ，
故答案为：D.
【分析】利用三角形的中位线定理可证得AB=2A1B1=a，A1B1=2A2B2=a，可推出A2B2=a，然后利用三角形的面积公式可得到△A2021B2021C2021的面积.
15．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第1个图案用了个“”，
第2个图案用了个“”，
第3个图案用了个“”，
第4个图案用了个“”，
……，
∴第n个图案中“”的个数为，
故答案为：．
【分析】先依次找出前四个图案中“”的个数，则可得到“”个数的规律，即可写出第n个图案中“”的个数为．
16．【答案】4
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】由 得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【分析】由 可得x-y=xy，然后代入求值即可.
17．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】由题意规律可得： .
∵
∴ ，
∵ ，
∴ .
.
.
……
∴ .
故 .
令
②-①，得
∴ =
故答案为： .
【分析】利用已知等式可得到数字的变化规律，再根据，由此可求出这组数据的和.
18．【答案】解：原式
当 时，
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先利用乘法对加法的分配律去括号，再合并同类项将原式化简得：原式将已知多项式 带入化简后的式子即可求出其值.
19．【答案】（1）1.25x；0.875x
（2）解：由题意得
解得x=48．
答：每枚定制徽章的成本是 48元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）设每枚徽章成本价为x元，则流程图中的标价为（1＋25%）x＝1.25x元，
售价为70%×（1＋25%）x＝0.875x元．
故答案为：1.25x，0.875x.
【分析】（1）利用“标价=成本价×（1+提价率）”和“售价=标价×折扣率”求解即可；
（2）利用“利润=售价-成本”列出方程求解即可.
20．【答案】（1）图2
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积：；
（3）解：，
【知识点】整式的加减运算；几何体的展开图；长方体纸盒的制作
【解析】【分析】本题考查立体图形的展开与折叠，长方体的体积及长方形的周长计算公式，列代数式，整式的加减运算，理解题意是解题关键．
（1） 因为有盖纸盒需要一个底面和一个盖子，裁剪时需要同时得到底面和盖面的形状，观察图形可知：图1裁剪后只能得到无盖的五个面(底面+四个侧面)图2裁剪后可以得到底面、侧面和盖面，因此做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2，由此可得出答案；
（2）根据题意先确定做成的纸盒的长、宽、高：由原纸板长12cm，宽10cm，裁去边长为3cm的小正方形可得：纸盒的长为：12 2×3=6cm；纸盒的宽为：10 2×3=4 cm；纸盒的高为：3cm；再根据长方体体积的计算公式：，代入数据可得：，由此可得出答案；
（3）根据题意：图1(无盖纸盒)底面周长m，裁去的小正方形边长为acm，底面长为：12 2a，底面宽为：10 2a，所以根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，代入数据可得：m=2×[(12 2a)+(10 2a)]=2×(22 4a)=44-8a；图2(有盖纸盒)底面周长n，裁去的小正方形边长为2acm，所以底面长为：，底面宽：10 2×2a =5 2a，所以根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，代入数据可得：n=2×[(6 2a)+(10 4a)]=2×(16 6a)=32 12a，由此可得出答案.
（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积；
（3）解：，
．
21．【答案】（1）5；25
（2）
（3）解：根据题意得，
等差数列 ， ， …的项的通项公式为： ，
则 ，
解之得： ，
是等差数列 ， ， …的项，它是此数列的第2019项
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：(1)根据题意得， ；
，
，
，
故答案为：5；25．(2)
，
，
……
，
故答案为： ；
【分析】（1）根据题目中的规定的含义，求出公差以及第五项即可。
（2）根据式子的观察可知，n比d的系数小1，即可得到答案。
（3）根据例子计算得到通项公式，将数字代入式子中即可求出等差数列的某一项，求不出即可推断答案错误。
22．【答案】（1）解：∵，解得：，
∵，
∴，
∵与方程是“和谐方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，∴另一个方程的解为：，
∴或，
解得：或，
∴的值为或．
（3）解：∵，∴，
∴方程的解为：，
∴，
∴，
∴，
∵取任何有理数上式都成立，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得和的解，结合方程与方程是“和谐方程”，得到方程，求得m的值，即可得到答案；
（2）根据“和谐方程”的定义，得到一个方程的解为；另一个方程的解为，得到或，求得n的值，即可得到答案；
（3）先解出的解，根据“和谐方程”的定义，可得，结合取任何有理数上式都成立，列出方程组，求得和的值，将其代入计算，即可求解．
（1）解：∵，
解得：，
∵，
∴，
∵与方程是“和谐方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，
∴另一个方程的解为：，
∴或，
解得：或，
∴的值为或．
（3）解：∵，
∴，
∴方程的解为：，
∴，
∴，
∴，
∵取任何有理数上式都成立，
∴，
解得：，
∴．
1 / 1整式——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·广州）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，不能合并，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024·深圳）下列运算正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，故A错误；而B正确；
C.左边不是同类项，无法合并，C错误；
D.完全平方式有三项，故D错误；
故选：B.
【分析】根据幂的乘方运算、单项式乘单项式、合并同类项、完全平方公式求解即可.
3．（2023·广州）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2=a8-2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3×a5=a3+5=a8，故此选项计算正确，符合题意；
D、（2a）-1=，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算可判断A选项；由同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算可判断B选项；由同底数幂相乘，底数不变，指数相减，进行计算可判断C选项；根据一个不为零的数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数进行计算可判断D选项.
4．（2021·深圳）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2a2·a=2a3，故A正确；
B、（a2）3=a6，故B错误；
C、a2和a3不是同类项，不能合并，故C错误；
D、a6÷a2=a4，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则，逐项进行判断，即可得出答案.
5．（2019·天水）已知 ，则代数式 的值是（　　）
A．2 B．-2 C．-4 D．
【答案】B
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴将 代入得： 。
故答案为：B。
【分析】利用整体代入法就可算出代数式的值。
6．（2025·广东） 计算 的结果是　 　.
【答案】0
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
7．（2024·广州） 若，则　 　．
【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
8．（2020·连云港）按照如图所示的计算程序，若 ，则输出的结果是　 　.
【答案】-26
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；代数式求值
【解析】【解答】解：当x=2时， ，
故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时， ，
执行“是”，输出结果：-26.
故答案为：-26.
【分析】首先把x=2代入 计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止.
9．（2026七上·福田期末）先化简，再求值其中
【答案】解：原式
当
原式
=1
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，核心是整式的去括号和合并同类项。先根据去括号法则去掉式子中的括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号；括号前是系数时，需将系数乘到括号内每一项），再找出同类项，按照合并同类项的法则将同类项合并化简，最后将、的具体数值代入化简后的式子，计算出最终结果。
10．（2025七上·惠来月考）先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的加减法可得，再结合求解即可.
二、能力题
11．（2025九上·大埔期末）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（　　）
A． B． C．9 D．1
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】一对相反数的和为0，一对倒数的积为1．
12．（2024·广东）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一判断选项即可，即由同底数幂乘除法判断A，B，结合合并同类项代数式加法运算判断C，幂的乘方运算判断D.
13．（2022·广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（　　）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，
故答案为：B．
【分析】先求出第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2，再求出n的值即可。
14．（2021·内江）如图，在边长为 的等边 中，分别取 三边的中点 ， ， ，得△ ；再分别取△ 三边的中点 ， ， ，得△ ；这样依次下去 ，经过第2021次操作后得△ ，则△ 的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点 ， 分别为 ， 的中点，
，
点 ， 分别为 ， 的中点，
，
，
，
△ 的面积 ，
故答案为：D.
【分析】利用三角形的中位线定理可证得AB=2A1B1=a，A1B1=2A2B2=a，可推出A2B2=a，然后利用三角形的面积公式可得到△A2021B2021C2021的面积.
15．（2025九上·大埔期末）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为　 　（用含n的代数式表示）．
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第1个图案用了个“”，
第2个图案用了个“”，
第3个图案用了个“”，
第4个图案用了个“”，
……，
∴第n个图案中“”的个数为，
故答案为：．
【分析】先依次找出前四个图案中“”的个数，则可得到“”个数的规律，即可写出第n个图案中“”的个数为．
16．（2021·福建）已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于　 　.
【答案】4
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】由 得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【分析】由 可得x-y=xy，然后代入求值即可.
17．（2021·怀化）观察等式： ， ， ，……，已知按一定规律排列的一组数： ， ， ，……， ，若 ，用含 的代数式表示这组数的和是　 　.
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】由题意规律可得： .
∵
∴ ，
∵ ，
∴ .
.
.
……
∴ .
故 .
令
②-①，得
∴ =
故答案为： .
【分析】利用已知等式可得到数字的变化规律，再根据，由此可求出这组数据的和.
18．（2026七上·深圳月考）先化简再求值： 其中
【答案】解：原式
当 时，
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先利用乘法对加法的分配律去括号，再合并同类项将原式化简得：原式将已知多项式 带入化简后的式子即可求出其值.
19．（2026七上·龙华期末）某文创店将一款定制徽章按成本价提高25%后标价，并在元旦期间推出“学生凭学生证享受七折优惠”的活动，结果每枚徽章亏损6元．根据以上信息绘制流程图：
（1）设每枚徽章成本价为 x 元，则流程图中的标价和售价分别为　 　元和　 　元；(用含x的代数式表示)
（2）每枚定制徽章的成本是多少元
【答案】（1）1.25x；0.875x
（2）解：由题意得
解得x=48．
答：每枚定制徽章的成本是 48元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）设每枚徽章成本价为x元，则流程图中的标价为（1＋25%）x＝1.25x元，
售价为70%×（1＋25%）x＝0.875x元．
故答案为：1.25x，0.875x.
【分析】（1）利用“标价=成本价×（1+提价率）”和“售价=标价×折扣率”求解即可；
（2）利用“利润=售价-成本”列出方程求解即可.
20．（2025七上·清远月考）【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是_______ ；（填“图1”或“图2”）
（2）已知图1中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积；
（3）已知图1，图2中裁去的小正方形边长分别为和，设m为图1裁得的纸盒底面周长，n为图2方式裁得的纸盒底面周长，请求出m、n的值．
【答案】（1）图2
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积：；
（3）解：，
【知识点】整式的加减运算；几何体的展开图；长方体纸盒的制作
【解析】【分析】本题考查立体图形的展开与折叠，长方体的体积及长方形的周长计算公式，列代数式，整式的加减运算，理解题意是解题关键．
（1） 因为有盖纸盒需要一个底面和一个盖子，裁剪时需要同时得到底面和盖面的形状，观察图形可知：图1裁剪后只能得到无盖的五个面(底面+四个侧面)图2裁剪后可以得到底面、侧面和盖面，因此做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2，由此可得出答案；
（2）根据题意先确定做成的纸盒的长、宽、高：由原纸板长12cm，宽10cm，裁去边长为3cm的小正方形可得：纸盒的长为：12 2×3=6cm；纸盒的宽为：10 2×3=4 cm；纸盒的高为：3cm；再根据长方体体积的计算公式：，代入数据可得：，由此可得出答案；
（3）根据题意：图1(无盖纸盒)底面周长m，裁去的小正方形边长为acm，底面长为：12 2a，底面宽为：10 2a，所以根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，代入数据可得：m=2×[(12 2a)+(10 2a)]=2×(22 4a)=44-8a；图2(有盖纸盒)底面周长n，裁去的小正方形边长为2acm，所以底面长为：，底面宽：10 2×2a =5 2a，所以根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，代入数据可得：n=2×[(6 2a)+(10 4a)]=2×(16 6a)=32 12a，由此可得出答案.
（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积；
（3）解：，
．
三、拓展题
21．（2019·张家界）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为 ，排在第二位的数称为第二项，记为 ，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为 ．所以，数列的一般形式可以写成： ， ， ，…， ．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中 ， ，公差为 ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为　 　，第5项是　 　．
（2）如果一个数列 ， ， ，…， …，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到： ， ， ，…， ，…．
所以 ，
，
，
……，
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： (　 　)d．
（3） 是不是等差数列 ， ， …的项？如果是，是第几项？
【答案】（1）5；25
（2）
（3）解：根据题意得，
等差数列 ， ， …的项的通项公式为： ，
则 ，
解之得： ，
是等差数列 ， ， …的项，它是此数列的第2019项
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：(1)根据题意得， ；
，
，
，
故答案为：5；25．(2)
，
，
……
，
故答案为： ；
【分析】（1）根据题目中的规定的含义，求出公差以及第五项即可。
（2）根据式子的观察可知，n比d的系数小1，即可得到答案。
（3）根据例子计算得到通项公式，将数字代入式子中即可求出等差数列的某一项，求不出即可推断答案错误。
22．（2024七上·湛江期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．
例如：方程和为“和谐方程”．
（1）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；
（2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值；
（3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值．
【答案】（1）解：∵，解得：，
∵，
∴，
∵与方程是“和谐方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，∴另一个方程的解为：，
∴或，
解得：或，
∴的值为或．
（3）解：∵，∴，
∴方程的解为：，
∴，
∴，
∴，
∵取任何有理数上式都成立，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得和的解，结合方程与方程是“和谐方程”，得到方程，求得m的值，即可得到答案；
（2）根据“和谐方程”的定义，得到一个方程的解为；另一个方程的解为，得到或，求得n的值，即可得到答案；
（3）先解出的解，根据“和谐方程”的定义，可得，结合取任何有理数上式都成立，列出方程组，求得和的值，将其代入计算，即可求解．
（1）解：∵，
解得：，
∵，
∴，
∵与方程是“和谐方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，
∴另一个方程的解为：，
∴或，
解得：或，
∴的值为或．
（3）解：∵，
∴，
∴方程的解为：，
∴，
∴，
∴，
∵取任何有理数上式都成立，
∴，
解得：，
∴．
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