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分式——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2024·广州） 若，则下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·广东）计算的结果为 （　　）
A． B． C． D．
3．（2021·宁波）要使分式 有意义，x的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
4．（2017·广州）下列运算正确的是（　　）
A． = B．2× =
C． =a D．|a|=a（a≥0）
5．（2025八下·禅城期中）代数式，，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025九上·宝安期中）若则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·江城期末）计算时，应先通分，则通分的最简公分母为　 　．
8．（2024八上·蓬江期末）若分式的值为零，则的值为　 　．
9．（2025八上·韶关期末）化简：．
10．（2025八下·深圳期末）下面是小化简分式的过程：
解：原式=.第一步 =第二步 =.第三步
（1）小华的化简过程从第　 　步开始山现错误；
（2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值.
二、能力题
11．（2018·葫芦岛）若分式 的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
12．（2019·白银）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　）.
A．① B．② C．③ D．④
13．（2025八下·榕城月考）若、的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
15．（2024八下·罗湖期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
16．（2024九上·南山开学考）如果，那么的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
17．（2025·澄海模拟）已知，则的值是　 　．
18．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，则　 　
19．（2024七上·广州竞赛）若，则　 　．
20．（2024·深圳） 先化简， 再代入求值： ， 其中 .
21．（2023·深圳）先化简，再求值：，其中．
22．（2022·深圳）先化简，再求值：其中
23．（2020八下·邵阳期中）先化简，再求值： ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
三、拓展题
24．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；分式的乘法
【解析】【解答】解：A、∵，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3×a2=a3+2=a5，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、a3÷a2=a3-2=a，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据分式的乘法法则“（b、d都不等于0）”可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，即可求出结果.
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 分式 有意义，
故答案为：B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据题意列式求x的范围即可.
4．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式的约分；分式的乘除法；二次根式的性质与化简；等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 无法化简，故此选项错误；
B、2× = ，故此选项错误；
C、 =|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
5．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：代数式，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
【分析】本题主要是对分式定义的考查， 若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，其中，分母中不含字母，，符合分式的定义，完成求解，
6．【答案】A
【知识点】分式的约分；比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：∵
∴设m=3k，n=7k
∴
故答案为：A
【分析】根据比例的性质，设m=3k，n=7k，再代入代数式中，约分化简，解答即可.
7．【答案】
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：通分时，最简公分母为；
故答案为．
【分析】本题考查分式通分中最简公分母的确定方法，最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的乘积。对于分母8a2b2和12ab3c，系数8和12的最小公倍数为24；字母a的最高次幂是a2，字母b的最高次幂是b3，字母c的最高次幂是c，将这些部分相乘，得到最简公分母为24a2b3c。
8．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
9．【答案】解：
．
【知识点】分式的约分；分式的混合运算；分式的乘法
【解析】【分析】根据分式四则混合运算法则，先计算乘法，最后计算加法，求解即可.
10．【答案】（1）二
（2）解：
=x+2，
当x=5时，原式＝7.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的减法即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将x值代入即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，∴ ，解得x=1．
故答案为：B
【分析】分式的值为0，的条件：分母≠0且分子=0，建立方程和不等式，求解即可。
12．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故从第②步开始出现错误。
故答案为：B。
【分析】利用异分母分式的加减法法则，先通分化为同分母分式，然后根据同分母分式的加法法则，分母不变分子相减，要注意的是分子相减的时候是整体相减。
13．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵、的值均扩大为原来的3倍，
∴将分式中的、分别换为、，
，故A不符合；
，故B符合；
，故C不符合；
，故D不符合，
故答案为 ：B．
【分析】根据分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
14．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
15．【答案】B
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设A地到B地路程为“1”，
∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，
∴平均速度为：.
故答案为：B.
【分析】
由于这个人自A地到B地再返回A地路程时不改变的，因此可以设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度=总路程除以总时间，进行列式化简即可解答.
16．【答案】D
【知识点】分式的值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴
故答案为：D.
【分析】将已知式子适当变形，再将待求式子变形后整体代入求值.
17．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由已知的等式可得，然后整体代入所求代数式计算即可求解．
18．【答案】10
【知识点】探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴1+1+...+1=10
故答案为：10
【分析】根据分数的加法化简各式，总结规律即可求出答案.
19．【答案】4
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，即y-x=5xy，
∴x-y=-5xy，
∴原式
=4
故答案为：4.
【分析】先根据题中给出条件可写出x-y=-5xy，然后把x-y=-5xy代入原分式即可得出结果.
20．【答案】解：原式
将 代入得： 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号内通分，同时后式分子进行因式分解，再约分化简并代入值即可求解.
21．【答案】解：
，
当x=3时，原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将第二个分式的分子分母分别分解因式，然后将除法转变为乘法，约分即可化简，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
22．【答案】解：原式
=
将代入得原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
23．【答案】解：原式=（
=
=2(x+4)
当x=1时，原式=10.
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
24．【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【知识点】倒数法解分式方程；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
1 / 1分式——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2024·广州） 若，则下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；分式的乘法
【解析】【解答】解：A、∵，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3×a2=a3+2=a5，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、a3÷a2=a3-2=a，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据分式的乘法法则“（b、d都不等于0）”可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
2．（2023·广东）计算的结果为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，即可求出结果.
3．（2021·宁波）要使分式 有意义，x的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 分式 有意义，
故答案为：B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据题意列式求x的范围即可.
4．（2017·广州）下列运算正确的是（　　）
A． = B．2× =
C． =a D．|a|=a（a≥0）
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式的约分；分式的乘除法；二次根式的性质与化简；等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 无法化简，故此选项错误；
B、2× = ，故此选项错误；
C、 =|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
5．（2025八下·禅城期中）代数式，，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：代数式，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
【分析】本题主要是对分式定义的考查， 若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，其中，分母中不含字母，，符合分式的定义，完成求解，
6．（2025九上·宝安期中）若则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的约分；比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：∵
∴设m=3k，n=7k
∴
故答案为：A
【分析】根据比例的性质，设m=3k，n=7k，再代入代数式中，约分化简，解答即可.
7．（2025八上·江城期末）计算时，应先通分，则通分的最简公分母为　 　．
【答案】
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：通分时，最简公分母为；
故答案为．
【分析】本题考查分式通分中最简公分母的确定方法，最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的乘积。对于分母8a2b2和12ab3c，系数8和12的最小公倍数为24；字母a的最高次幂是a2，字母b的最高次幂是b3，字母c的最高次幂是c，将这些部分相乘，得到最简公分母为24a2b3c。
8．（2024八上·蓬江期末）若分式的值为零，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
9．（2025八上·韶关期末）化简：．
【答案】解：
．
【知识点】分式的约分；分式的混合运算；分式的乘法
【解析】【分析】根据分式四则混合运算法则，先计算乘法，最后计算加法，求解即可.
10．（2025八下·深圳期末）下面是小化简分式的过程：
解：原式=.第一步 =第二步 =.第三步
（1）小华的化简过程从第　 　步开始山现错误；
（2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值.
【答案】（1）二
（2）解：
=x+2，
当x=5时，原式＝7.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的减法即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将x值代入即可求出答案.
二、能力题
11．（2018·葫芦岛）若分式 的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，∴ ，解得x=1．
故答案为：B
【分析】分式的值为0，的条件：分母≠0且分子=0，建立方程和不等式，求解即可。
12．（2019·白银）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　）.
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故从第②步开始出现错误。
故答案为：B。
【分析】利用异分母分式的加减法法则，先通分化为同分母分式，然后根据同分母分式的加法法则，分母不变分子相减，要注意的是分子相减的时候是整体相减。
13．（2025八下·榕城月考）若、的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵、的值均扩大为原来的3倍，
∴将分式中的、分别换为、，
，故A不符合；
，故B符合；
，故C不符合；
，故D不符合，
故答案为 ：B．
【分析】根据分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
14．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
15．（2024八下·罗湖期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设A地到B地路程为“1”，
∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，
∴平均速度为：.
故答案为：B.
【分析】
由于这个人自A地到B地再返回A地路程时不改变的，因此可以设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度=总路程除以总时间，进行列式化简即可解答.
16．（2024九上·南山开学考）如果，那么的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】分式的值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴
故答案为：D.
【分析】将已知式子适当变形，再将待求式子变形后整体代入求值.
17．（2025·澄海模拟）已知，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由已知的等式可得，然后整体代入所求代数式计算即可求解．
18．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，则　 　
【答案】10
【知识点】探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴1+1+...+1=10
故答案为：10
【分析】根据分数的加法化简各式，总结规律即可求出答案.
19．（2024七上·广州竞赛）若，则　 　．
【答案】4
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，即y-x=5xy，
∴x-y=-5xy，
∴原式
=4
故答案为：4.
【分析】先根据题中给出条件可写出x-y=-5xy，然后把x-y=-5xy代入原分式即可得出结果.
20．（2024·深圳） 先化简， 再代入求值： ， 其中 .
【答案】解：原式
将 代入得： 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号内通分，同时后式分子进行因式分解，再约分化简并代入值即可求解.
21．（2023·深圳）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当x=3时，原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将第二个分式的分子分母分别分解因式，然后将除法转变为乘法，约分即可化简，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
22．（2022·深圳）先化简，再求值：其中
【答案】解：原式
=
将代入得原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
23．（2020八下·邵阳期中）先化简，再求值： ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【答案】解：原式=（
=
=2(x+4)
当x=1时，原式=10.
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
三、拓展题
24．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【知识点】倒数法解分式方程；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
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