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2026届名校联盟第一次调研
数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知全集，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数，则它部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线，过其焦点的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. ，，（ ）
A. B. C. D.
7. 等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. ，但和大小关系无法确定
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知的面积为且，，则等于（ ）
A. B. C. D.
10. 函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的周期为6
C.
D. 的图象关于直线对称
11. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ）
A. 越大，则双曲线的离心率越大
B. 过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条
C. 点到两渐近线的距离之积为定值
D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____．
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分)
15. 在中，角所对的边分别为，且,,．
（1）求；
（2）求的面积．
16. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
17. 在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 设，，为数列的前项和，令，，．
（1）若，求数列的前项和；
（2）求证：对，方程在上有且仅有一个根；
（3）求证：对，由（2）中构成的数列满足．
19. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）．
（1）若，，已知某小组混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；
（2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；
（3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：）
参考答案
单选题
1-5 ABAAB 6-8 DBB
二、多选题
9. CD 10.BC 11.ACD
三、填空题
12.164
1
解答题
15.（1）
（2）
【小问1详解】
由，
得，
因为，所以，
所以，则，
因为，所以，
由正弦定理，，因为，
则；
【小问2详解】
因为，
所以
，
则.
16. （1）；
若，则，，所以，，
故在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
因为，且，
当时，时，时，
所以，在上单调递减，在上单调递增；
当时，时，时，时，
所以，在、上分别单调递增，在上单调递减；
当时，时恒成立，故在上单调递增；
当时，时，时，时，
所以，在、上分别单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在、上分别单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在、上分别单调递增，在上单调递减．
17.【小问1详解】
在矩形中，，，为的中点，
所以，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
【小问2详解】
取的中点，的中点，连接，则，所以平面，
由题可得，所以，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
所以．设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.【小问1详解】
若，，则，
则，
，
，
；
【小问2详解】
，，
故函数在上是增函数．
由于，当时，，即．
又，
，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足．
【小问3详解】
对于任意，由中构成数列，当时，
，
．
由在上单调递增，可得，即，
故数列为减数列，即对任意的、，．
由于，，
，，
用减去并移项，利用，可得
．
综上可得，对于任意，由中构成数列满足．
19.（1）
（2）
（3）
【1】设小组中有酶的人数为X，则．
已知混合样本阳性，即，则恰有2人有酶的概率为
．
【2】
设每组检测次数，则的分布列为
1
p
期望为
则总检测次数的期望；
【3】
若分组检测，检测次数的期望为．
总成本期望，
若逐一检测，则总成本．由节省50%以上得．
代入，，，得，
整理得，因此，，故的取值范围是．

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