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一元一次方程——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2026七上·南沙期末）已知x=2是关于x的方程3x+2a=14的解，则a的值是（　　）
A．4 B．-10 C．10 D．-4
【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
3×2+2a=14，解得：a=4
故答案为：A
【分析】将x=2代入方程可得关于a的一次方程，再解方程即可求出答案.
2．（2024·广州） 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.
故答案为：A.
【分析】根据“ 今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆 ”列出方程即可.
3．（2017·广州）下列运算正确的是（　　）
A． = B．2× =
C． =a D．|a|=a（a≥0）
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式的约分；分式的乘除法；二次根式的性质与化简；等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 无法化简，故此选项错误；
B、2× = ，故此选项错误；
C、 =|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
4．（2017·深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出 双，列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：依题可得：x（1+10%）=330.故答案为D.
【分析】根据题意即可列出方程.
5．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（　　）元．
A．140 B．120 C．160 D．100
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8×200元，由题意，得
0.8×200=x+40，
解得：x=120．
故选：B．
【分析】设商品进价为每件x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可．
6．（2021·广元）解方程： .
【答案】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项并合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
故答案为： .
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】方程两边同乘最小公倍数去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得结果.
7．（2018·攀枝花）解方程： =1．
【答案】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，移项得：﹣x=17，系数化为1得：x=﹣17．
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】方程两边都乘以6约去分母，再去括号，移项，合并同类项系数化为1，得出方程的解。
8．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【答案】解：设学生人数为x人，由题意得：
，
解得： ，
∴该书的单价为 （元），
答：学生人数为7人，该书的单价为53元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】设学生人数为x人，根据题意列出方程，求出x的值即可。
二、能力题
9．（2026七上·深圳期末）2025年12月份月历表如图，任意框出表中竖列上三个相邻的数，则这三个数的和可能是(　　)
A．28 B．54 C．65 D．75
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设竖列上中间的数为x，其它的两个数为x 7，x＋7，
∴三个数之和为x＋x 7＋x＋7＝3x，
A、当3x＝28时，解得x＝，
∵x为整数，
∴x＝不合题意，
∴这三个数的和不可能是28；
B、当3x＝65时，解得x＝，
∵x为整数，
∴x＝不合题意，
∴这三个数的和不可能是65；
C、当3x＝54时，解得x＝18，
则x 7＝18 7＝11，x＋7＝18＋7＝25，符合月历表中数的特点，
∴这三个数的和可能是54；
D、当3x＝75时，解得x＝25，
则x 7＝25 7＝18，x＋7＝25＋7＝32＞31，不符合月历表中数的特点，
∴这三个数的和不可能是75．
故答案为：B.
【分析】设竖列上中间的数为x，其它的两个数为x 7，x＋7，求出这三个数之和为3x，再结合各项的数据直接列出方程求出x的值并判断即可.
10．（2026七上·深圳期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿少二竿.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿.”若设竹竿有x竿，根据题意，可列方程为(　　)
A． B． C．6x+14=8x+2 D．6x-14=8x+2
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．
由题意可得：．
故答案为：A．
【分析】 设竹竿有x竿， 利用“人数的数量不变”列出方程即可.
11．（2019七上·静宁期末）某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人(　　)
A．赚16元 B．赔16元 C．不赚不赔 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设赚了25%的衣服是x元，则（1+25%）x=120，
解得x=96元，
则实际赚了24元；
设赔了25%的衣服是y元，
则（1-25%）y=120，
解得y=160元，
则赔了160-120=40元；
∵40＞24；
∴赔大于赚，在这次交易中，该商人赔了40-24=16元．
故选B．
12．（2025七上·麻章月考）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2030根小木棒，则的值为（　　）
A．252 B．254 C．336 D．337
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察发现规律：第一个图形需要小木棒：，
第二个图形需要小木棒：；
第三个图形需要小木棒：，
…，
∴第n个图形需要小木棒：．
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据前几幅图中小木棒的数量与序号的关系可得规律第n个图形需要小木棒：，再列出方程求解即可.
13．（2025七上·越秀期末）下列运算错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、根据等式的基本性质1，将两边同时加，得，
∴A正确，不符合题意；
B、由，得，
∴，
∴B正确，不符合题意；
C、当时，根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得，
当时，不定成立，
∴C错误，符合题意；
D、根据等式的基本性质2，将的两边同时乘-1，得，
根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得，
根据等式的基本性质1，将的两边同时除以3，得，
∴D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用等式的性质（ 等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立 ）逐项分析判断即可.
14．（2026七上·福田期末）杨老师带着若干名同学去深圳湾进行拍摄，如图6，A，B，C依次是一段笔直道路上的三个拍摄点，每个拍摄点分别安排2，1，k（k>0）人。杨老师要在AC这段道路上选一个合影点使得所有同学到合影点的距离之和最小，若满足条件的合影点在BC上的任意一处都符合（包括点B，点C），则k的值为　 　。
【答案】3
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：假设合影点在处，此时所有同学到点的距离之和为：（点的1人距离为0）；
假设合影点在处，此时所有同学到点的距离之和为：（点的人距离为0）；
∵上任意一处均符合条件，
∴点和点的距离之和相等，即，
两边同时减去，可得，
又∵，两边同时除以，解得。
故答案为：3
【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是理解“上任意一处均为距离之和最小的合影点”这一条件，意味着端点和处的距离之和相等，据此分别列出点和点处的距离之和代数式，根据相等关系列出方程，进而求解的值。
15．（2024八上·廉江期末）如图，，，，如果点P在线段上以/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是　 　．
【答案】1或
【知识点】三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意知，，，
，
①当时，
∴，
，
；
②当时，
∴，
，
，
综上，当的值是1或时，能够使与全等，
故答案为：1或．
【分析】首先根据题意可得出，，然后根据与全等， 可分成两种情况：①当时，，可得出，解得；②当时，，可得出，解得，综上即可得出当的值是1或时，能够使与全等。
16．（2026七上·广州期末）解方程：
（1）7x-2（1-x）=6+5x；
（2）
【答案】（1）解：去括号，得：7x-2+2x= 6+5x ，
移项，得：7x+2x-5x= 6+2 ，
合并同类项，得：4x=8
系数化为1，得：
（2）解：去分母。得：2（5x+1）-（2x-1）=6
去括号，得：10x+2-2x+1=6
移项，得：10x-2x=6-2-1
合并同类项，得：8x=3
系数化为1，得：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）解含括号的一元一次方程；
（2）解含有分数系数的一元一次方程。
17．（2025七上·茂名期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，
（1）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，化x的系数为1，即可求解；
（2）根据含分式的一元一次方程的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解.
（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
18．（2026七上·潮安期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下：
甲商店：跳绳和足球都按九折出售．
乙商店：买两个足球送一根跳绳
学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买
（1）若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？
（2）当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？
（3）根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案
【答案】（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】(1) 根据乙店 “买 2 个足球送 1 根跳绳” 的规则，先算出需付费的跳绳数量，再结合足球和跳绳的单价计算总费用。
(2) 设跳绳数量为x，分别列出甲店（全部九折）和乙店的费用代数式，令两者相等列方程求解，得到费用相同时的x值。
(3) 通过比较两店费用的代数式，列不等式求解不同x范围下更省钱的购买方案。
（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
19．（2026七上·罗湖月考）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的.其自来水收费的价目表如下：(注：水费按每户家庭每月份结算)；
类 别 每月用水量 单 价
第一阶梯 0~20立方米(包括20立方米) 2.50元/立方米
第二阶梯 20~30立方米(包括30立方米) 4.00元/立方米
第三阶梯 30立方米以上 6.00元/立方米
（1）小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费　 　元；
（2）小明家12月份用水25立方米，请帮小明计算他家应缴水费多少元？
（3）小颖家12月份缴水费138元，请问小颖家用了多少水？
【答案】（1）25
（2）解：2.5×20+(25-20) ×4
=50+20
=70
答：小明家应缴水费70元．
（3）解： 2.5×20+4×(30-20)=90(元)
∵138>90
∴小颖家12月份用水量超过30立方米
设小颖家12月份用水量x立方米，依题意得，
2.5×20+4×(30-20)+6(x-30)=138
解得：x=38
答：小颖家12月份用水量38立方米.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
10×2.5=25元
故答案为：25
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法即可求出答案.
（2）根据题意，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（3）求出30立方米所用费用，比较大小可得小颖家12月份用水量超过30立方米，设小颖家12月份用水量x立方米，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
三、拓展题
20．（2026七上·南沙期末）如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是a，b，c，且b+c=0，（a+10）2+|c-6|=0.
（1）填空：AB=　 　，BC=　 　；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动.设点A运动的时间为t秒，试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由；
（3）现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动.设点P移动的时间为m秒，当P，Q两点间的距离是2时，求m的值.
【答案】（1）4；12
（2）解：BC-AB为定值，理由如下：
设运动时间为t，则点A表示的数为-t-10，点B表示的数为2t-6，点C表示的数为5t+6，
∴BC=5t+6-（2t-6）=3t+12，AB=2t-6-（-t-10）=3t+4，
∴BC-AB=3t+12-（3t+4）=8
（3）解：经过m秒后，P、Q两点所对应的数分别是-10+m，-10+3(m-4)
由-10+3(m-4)-(-10+m)=0
解得：m=6；
①当0∴-10+m-(-10)=2
解得：m=2
②当4∴（-10+m)-[-10+3(m-4)]=2
解得：m=5
③当6∴[-10+3(m-4)]-(-10+m)=2
解得：m=7
综上，当P，Q两点间的距离是2时，m=2或m=5或m=7
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵（a+10）2+|c-6|=0
∴a+10=0，c-6=0
解得：a=-10，c=6
∵b+c=0
∴b=-c=-6
∴AB=-6-(-10)=4，BC=6-(-6)=12
故答案为：4；12
【分析】（1）根据偶次方，绝对值的非负性可得a，c值，再求出b值，再根据数轴上两点间距离即可求出答案.
（2）设运动时间为t，则点A表示的数为-t-10，点B表示的数为2t-6，点C表示的数为5t+6，根据两点间距离可得BC，AB，再作差，合并同类项化简即可求出答案.
（3）经过m秒后，P、Q两点所对应的数分别是-10+m，-10+3(m-4)，根据题意建立方程，解方程可得m=6，分情况讨论：①当021．（2026七上·福田期末）【定义】
点M，N，P在同一直线上，当点P满足PM=2PN或PN=2PM时，则称点P是点M，N的“倍点”。
（1）【理解】
若点A，B，P在数轴上表示的数分别为-1，1，3，则点P是否为点A，B的“倍点” 　 　（填“是”或“否”）
（2）如图1，点C，D在数轴上对应的数分别为-4，5，点P是数轴上的一个动点，从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动。设运动时间为t秒；
①点P对应的数为 ▲ ；PC= ▲ （请用含t的代数式表示）；
②当运动时间t为何值时，点P恰好是点C，D的“倍点”？请求出符合条件的t值。
（3）【拓展】
小明和小颖同时从公园入口F出发，沿笔直道路骑行至指定点G（如图10-2），骑行速度开始均为5m/s，F，G间距离为900m。当骑行至道路上的自助售货机E处时，小明停下来买矿泉水，停留20s后，以6m/s的速度继续骑行，最终两人同时到达G点。请求出EF的长度，同时判断自助售货机E处是否为点F，G的“倍点”，并说明理由。
【答案】（1）是
（2）①t；t+4
②因为点P从原点出发向右匀速运动
所以PD=2PC 的情况不成立，则PC=2PD，
即t+4=2|t-5|，
解得t=2或t=14
（3）设小明买完水后继续骑行的时间为x秒，由题得
6x=5（x+20）
解得x=100
∴EG=6x=6×100=600
EF=FG-EG=900-600=300
∴EG=2EF
∴自助售货机E处是点F，G的“倍点”。
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，，
∴，，
∴，
∴是点的“倍点”，
故答案为：是；
（）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒，
∴点对应的数为；
∵点在数轴上对应的数为，
∴，
故答案为：；；
【分析】本题考查新定义“倍点”的理解与应用，涉及数轴上两点间距离公式、动点问题、一元一次方程的应用。
(1)根据数轴上两点间距离公式（两点距离=右边数-左边数）计算和的长度，再根据“倍点”定义判断是否满足或；
(2)①根据动点速度和时间表示点对应的数，再用距离公式表示；
②结合动点运动方向，分析“倍点”条件只能是，根据距离公式列出含绝对值的方程，求解得到的值；
(3)设小明停留后骑行的时间为未知数，根据两人到达点的时间相等列出方程，求出的长度，再用得到的长度，最后根据“倍点”定义判断是否为、的倍点。
22．（2026七上·深圳期末）（1）远光的50名学生中，参加安全知识竞赛的有27人，参加法律知识竞赛的有15人，两种竞赛都不参加的有10人，则两种竞赛都参加的有多少人 设两种竞赛都参加的有x人，稳远同学运用直观分析策略画出了分析图(如图所示)，则能体现这一分析过程的方程是(　　)
A．27+15+x-10=50 B．(27-x)+(15-x) +10=50
C．(27+x)+(15+x)-10=50 D．(27-x)+x+(15-x)+10=50
（2）数学课上，施老师提出如下问题：某店家销售一款网红春联，将这款春联的成本价提价60%后标价，又以七五折优惠卖出，结果每副春联仍获利8元，求这款春联每副的成本价．
志鹏用下面的框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程：
请你用含x的代数式补全框图中空缺的部分，① ▲ ；② ▲ ．
并利用一元一次方程的知识求这款春联每副的成本价.
【答案】（1）D
（2）解：① (1+60%)x ；
② 75%×(1+60%)x ；
由题意得： 75%×(1+60%)x-x=8，
解得： x=40，
答：这款春联每副的成本价是40元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）由分析图得，（27 x）＋x＋（15 x）＋10＝50，
故答案为：D．
【分析】（1）利用“总人数=参加安全知识竞赛的人数+两项都参加的人数+参加法律知识竞赛的人数”列出方程即可；
（2）①利用“标价=成本价×（1+提价百分比）”列出代数式即可；
②利用“售价=标价×折扣数”求出售价，再利用“利润=售价-成本”列出方程求解即可.
1 / 1一元一次方程——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2026七上·南沙期末）已知x=2是关于x的方程3x+2a=14的解，则a的值是（　　）
A．4 B．-10 C．10 D．-4
2．（2024·广州） 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2017·广州）下列运算正确的是（　　）
A． = B．2× =
C． =a D．|a|=a（a≥0）
4．（2017·深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出 双，列出方程（　　）
A． B．
C． D．
5．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（　　）元．
A．140 B．120 C．160 D．100
6．（2021·广元）解方程： .
7．（2018·攀枝花）解方程： =1．
8．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
二、能力题
9．（2026七上·深圳期末）2025年12月份月历表如图，任意框出表中竖列上三个相邻的数，则这三个数的和可能是(　　)
A．28 B．54 C．65 D．75
10．（2026七上·深圳期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿少二竿.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿.”若设竹竿有x竿，根据题意，可列方程为(　　)
A． B． C．6x+14=8x+2 D．6x-14=8x+2
11．（2019七上·静宁期末）某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人(　　)
A．赚16元 B．赔16元 C．不赚不赔 D．无法确定
12．（2025七上·麻章月考）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2030根小木棒，则的值为（　　）
A．252 B．254 C．336 D．337
13．（2025七上·越秀期末）下列运算错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．（2026七上·福田期末）杨老师带着若干名同学去深圳湾进行拍摄，如图6，A，B，C依次是一段笔直道路上的三个拍摄点，每个拍摄点分别安排2，1，k（k>0）人。杨老师要在AC这段道路上选一个合影点使得所有同学到合影点的距离之和最小，若满足条件的合影点在BC上的任意一处都符合（包括点B，点C），则k的值为　 　。
15．（2024八上·廉江期末）如图，，，，如果点P在线段上以/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是　 　．
16．（2026七上·广州期末）解方程：
（1）7x-2（1-x）=6+5x；
（2）
17．（2025七上·茂名期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2026七上·潮安期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下：
甲商店：跳绳和足球都按九折出售．
乙商店：买两个足球送一根跳绳
学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买
（1）若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？
（2）当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？
（3）根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案
19．（2026七上·罗湖月考）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的.其自来水收费的价目表如下：(注：水费按每户家庭每月份结算)；
类 别 每月用水量 单 价
第一阶梯 0~20立方米(包括20立方米) 2.50元/立方米
第二阶梯 20~30立方米(包括30立方米) 4.00元/立方米
第三阶梯 30立方米以上 6.00元/立方米
（1）小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费　 　元；
（2）小明家12月份用水25立方米，请帮小明计算他家应缴水费多少元？
（3）小颖家12月份缴水费138元，请问小颖家用了多少水？
三、拓展题
20．（2026七上·南沙期末）如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是a，b，c，且b+c=0，（a+10）2+|c-6|=0.
（1）填空：AB=　 　，BC=　 　；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动.设点A运动的时间为t秒，试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由；
（3）现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动.设点P移动的时间为m秒，当P，Q两点间的距离是2时，求m的值.
21．（2026七上·福田期末）【定义】
点M，N，P在同一直线上，当点P满足PM=2PN或PN=2PM时，则称点P是点M，N的“倍点”。
（1）【理解】
若点A，B，P在数轴上表示的数分别为-1，1，3，则点P是否为点A，B的“倍点” 　 　（填“是”或“否”）
（2）如图1，点C，D在数轴上对应的数分别为-4，5，点P是数轴上的一个动点，从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动。设运动时间为t秒；
①点P对应的数为 ▲ ；PC= ▲ （请用含t的代数式表示）；
②当运动时间t为何值时，点P恰好是点C，D的“倍点”？请求出符合条件的t值。
（3）【拓展】
小明和小颖同时从公园入口F出发，沿笔直道路骑行至指定点G（如图10-2），骑行速度开始均为5m/s，F，G间距离为900m。当骑行至道路上的自助售货机E处时，小明停下来买矿泉水，停留20s后，以6m/s的速度继续骑行，最终两人同时到达G点。请求出EF的长度，同时判断自助售货机E处是否为点F，G的“倍点”，并说明理由。
22．（2026七上·深圳期末）（1）远光的50名学生中，参加安全知识竞赛的有27人，参加法律知识竞赛的有15人，两种竞赛都不参加的有10人，则两种竞赛都参加的有多少人 设两种竞赛都参加的有x人，稳远同学运用直观分析策略画出了分析图(如图所示)，则能体现这一分析过程的方程是(　　)
A．27+15+x-10=50 B．(27-x)+(15-x) +10=50
C．(27+x)+(15+x)-10=50 D．(27-x)+x+(15-x)+10=50
（2）数学课上，施老师提出如下问题：某店家销售一款网红春联，将这款春联的成本价提价60%后标价，又以七五折优惠卖出，结果每副春联仍获利8元，求这款春联每副的成本价．
志鹏用下面的框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程：
请你用含x的代数式补全框图中空缺的部分，① ▲ ；② ▲ ．
并利用一元一次方程的知识求这款春联每副的成本价.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
3×2+2a=14，解得：a=4
故答案为：A
【分析】将x=2代入方程可得关于a的一次方程，再解方程即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.
故答案为：A.
【分析】根据“ 今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆 ”列出方程即可.
3．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式的约分；分式的乘除法；二次根式的性质与化简；等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 无法化简，故此选项错误；
B、2× = ，故此选项错误；
C、 =|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
4．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：依题可得：x（1+10%）=330.故答案为D.
【分析】根据题意即可列出方程.
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8×200元，由题意，得
0.8×200=x+40，
解得：x=120．
故选：B．
【分析】设商品进价为每件x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可．
6．【答案】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项并合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
故答案为： .
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】方程两边同乘最小公倍数去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得结果.
7．【答案】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，移项得：﹣x=17，系数化为1得：x=﹣17．
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】方程两边都乘以6约去分母，再去括号，移项，合并同类项系数化为1，得出方程的解。
8．【答案】解：设学生人数为x人，由题意得：
，
解得： ，
∴该书的单价为 （元），
答：学生人数为7人，该书的单价为53元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】设学生人数为x人，根据题意列出方程，求出x的值即可。
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设竖列上中间的数为x，其它的两个数为x 7，x＋7，
∴三个数之和为x＋x 7＋x＋7＝3x，
A、当3x＝28时，解得x＝，
∵x为整数，
∴x＝不合题意，
∴这三个数的和不可能是28；
B、当3x＝65时，解得x＝，
∵x为整数，
∴x＝不合题意，
∴这三个数的和不可能是65；
C、当3x＝54时，解得x＝18，
则x 7＝18 7＝11，x＋7＝18＋7＝25，符合月历表中数的特点，
∴这三个数的和可能是54；
D、当3x＝75时，解得x＝25，
则x 7＝25 7＝18，x＋7＝25＋7＝32＞31，不符合月历表中数的特点，
∴这三个数的和不可能是75．
故答案为：B.
【分析】设竖列上中间的数为x，其它的两个数为x 7，x＋7，求出这三个数之和为3x，再结合各项的数据直接列出方程求出x的值并判断即可.
10．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．
由题意可得：．
故答案为：A．
【分析】 设竹竿有x竿， 利用“人数的数量不变”列出方程即可.
11．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设赚了25%的衣服是x元，则（1+25%）x=120，
解得x=96元，
则实际赚了24元；
设赔了25%的衣服是y元，
则（1-25%）y=120，
解得y=160元，
则赔了160-120=40元；
∵40＞24；
∴赔大于赚，在这次交易中，该商人赔了40-24=16元．
故选B．
12．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察发现规律：第一个图形需要小木棒：，
第二个图形需要小木棒：；
第三个图形需要小木棒：，
…，
∴第n个图形需要小木棒：．
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据前几幅图中小木棒的数量与序号的关系可得规律第n个图形需要小木棒：，再列出方程求解即可.
13．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、根据等式的基本性质1，将两边同时加，得，
∴A正确，不符合题意；
B、由，得，
∴，
∴B正确，不符合题意；
C、当时，根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得，
当时，不定成立，
∴C错误，符合题意；
D、根据等式的基本性质2，将的两边同时乘-1，得，
根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得，
根据等式的基本性质1，将的两边同时除以3，得，
∴D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用等式的性质（ 等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立 ）逐项分析判断即可.
14．【答案】3
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：假设合影点在处，此时所有同学到点的距离之和为：（点的1人距离为0）；
假设合影点在处，此时所有同学到点的距离之和为：（点的人距离为0）；
∵上任意一处均符合条件，
∴点和点的距离之和相等，即，
两边同时减去，可得，
又∵，两边同时除以，解得。
故答案为：3
【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是理解“上任意一处均为距离之和最小的合影点”这一条件，意味着端点和处的距离之和相等，据此分别列出点和点处的距离之和代数式，根据相等关系列出方程，进而求解的值。
15．【答案】1或
【知识点】三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意知，，，
，
①当时，
∴，
，
；
②当时，
∴，
，
，
综上，当的值是1或时，能够使与全等，
故答案为：1或．
【分析】首先根据题意可得出，，然后根据与全等， 可分成两种情况：①当时，，可得出，解得；②当时，，可得出，解得，综上即可得出当的值是1或时，能够使与全等。
16．【答案】（1）解：去括号，得：7x-2+2x= 6+5x ，
移项，得：7x+2x-5x= 6+2 ，
合并同类项，得：4x=8
系数化为1，得：
（2）解：去分母。得：2（5x+1）-（2x-1）=6
去括号，得：10x+2-2x+1=6
移项，得：10x-2x=6-2-1
合并同类项，得：8x=3
系数化为1，得：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）解含括号的一元一次方程；
（2）解含有分数系数的一元一次方程。
17．【答案】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，
（1）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，化x的系数为1，即可求解；
（2）根据含分式的一元一次方程的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解.
（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
18．【答案】（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】(1) 根据乙店 “买 2 个足球送 1 根跳绳” 的规则，先算出需付费的跳绳数量，再结合足球和跳绳的单价计算总费用。
(2) 设跳绳数量为x，分别列出甲店（全部九折）和乙店的费用代数式，令两者相等列方程求解，得到费用相同时的x值。
(3) 通过比较两店费用的代数式，列不等式求解不同x范围下更省钱的购买方案。
（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
19．【答案】（1）25
（2）解：2.5×20+(25-20) ×4
=50+20
=70
答：小明家应缴水费70元．
（3）解： 2.5×20+4×(30-20)=90(元)
∵138>90
∴小颖家12月份用水量超过30立方米
设小颖家12月份用水量x立方米，依题意得，
2.5×20+4×(30-20)+6(x-30)=138
解得：x=38
答：小颖家12月份用水量38立方米.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
10×2.5=25元
故答案为：25
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法即可求出答案.
（2）根据题意，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（3）求出30立方米所用费用，比较大小可得小颖家12月份用水量超过30立方米，设小颖家12月份用水量x立方米，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）4；12
（2）解：BC-AB为定值，理由如下：
设运动时间为t，则点A表示的数为-t-10，点B表示的数为2t-6，点C表示的数为5t+6，
∴BC=5t+6-（2t-6）=3t+12，AB=2t-6-（-t-10）=3t+4，
∴BC-AB=3t+12-（3t+4）=8
（3）解：经过m秒后，P、Q两点所对应的数分别是-10+m，-10+3(m-4)
由-10+3(m-4)-(-10+m)=0
解得：m=6；
①当0∴-10+m-(-10)=2
解得：m=2
②当4∴（-10+m)-[-10+3(m-4)]=2
解得：m=5
③当6∴[-10+3(m-4)]-(-10+m)=2
解得：m=7
综上，当P，Q两点间的距离是2时，m=2或m=5或m=7
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵（a+10）2+|c-6|=0
∴a+10=0，c-6=0
解得：a=-10，c=6
∵b+c=0
∴b=-c=-6
∴AB=-6-(-10)=4，BC=6-(-6)=12
故答案为：4；12
【分析】（1）根据偶次方，绝对值的非负性可得a，c值，再求出b值，再根据数轴上两点间距离即可求出答案.
（2）设运动时间为t，则点A表示的数为-t-10，点B表示的数为2t-6，点C表示的数为5t+6，根据两点间距离可得BC，AB，再作差，合并同类项化简即可求出答案.
（3）经过m秒后，P、Q两点所对应的数分别是-10+m，-10+3(m-4)，根据题意建立方程，解方程可得m=6，分情况讨论：①当021．【答案】（1）是
（2）①t；t+4
②因为点P从原点出发向右匀速运动
所以PD=2PC 的情况不成立，则PC=2PD，
即t+4=2|t-5|，
解得t=2或t=14
（3）设小明买完水后继续骑行的时间为x秒，由题得
6x=5（x+20）
解得x=100
∴EG=6x=6×100=600
EF=FG-EG=900-600=300
∴EG=2EF
∴自助售货机E处是点F，G的“倍点”。
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，，
∴，，
∴，
∴是点的“倍点”，
故答案为：是；
（）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒，
∴点对应的数为；
∵点在数轴上对应的数为，
∴，
故答案为：；；
【分析】本题考查新定义“倍点”的理解与应用，涉及数轴上两点间距离公式、动点问题、一元一次方程的应用。
(1)根据数轴上两点间距离公式（两点距离=右边数-左边数）计算和的长度，再根据“倍点”定义判断是否满足或；
(2)①根据动点速度和时间表示点对应的数，再用距离公式表示；
②结合动点运动方向，分析“倍点”条件只能是，根据距离公式列出含绝对值的方程，求解得到的值；
(3)设小明停留后骑行的时间为未知数，根据两人到达点的时间相等列出方程，求出的长度，再用得到的长度，最后根据“倍点”定义判断是否为、的倍点。
22．【答案】（1）D
（2）解：① (1+60%)x ；
② 75%×(1+60%)x ；
由题意得： 75%×(1+60%)x-x=8，
解得： x=40，
答：这款春联每副的成本价是40元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）由分析图得，（27 x）＋x＋（15 x）＋10＝50，
故答案为：D．
【分析】（1）利用“总人数=参加安全知识竞赛的人数+两项都参加的人数+参加法律知识竞赛的人数”列出方程即可；
（2）①利用“标价=成本价×（1+提价百分比）”列出代数式即可；
②利用“售价=标价×折扣数”求出售价，再利用“利润=售价-成本”列出方程求解即可.
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