资源简介

二元一次方程组——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025七下·珠海期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026八上·龙岗期末）有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？如果设1只雀重x斤，1只燕重y斤，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026八上·惠来期末）古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，请问能算士，鸦树多少数.若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·惠阳月考）解方程组错误的解法是（　　）
A．先将①变形为，再代入②
B．先将②变形为，再代入①
C．将②-①，消去
D．将①②，消去
5．（2025八上·高州月考）已知方程组的解为，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·惠来期末）已知方程组的解满足x+y=6，则k的值为　 　.
7．（2025七下·珠海期中）已知方程组，则的值是　 　．
8．（2025八上·顺德期末）已知一次函数y=ax+b与y=mx+n的图像如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为　 　．
9．（2025八上·福田期末）解方程组：
（1）
（2）
10．（2024八上·福田期中）用合适的方法解二元一次方程组
（1）
（2）
二、能力题
11．（2021·广东）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．9
12．（2024·深圳）在明朝程大位 《算法统宗》中有首住店诗： 我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空. 诗的大意是： 一些客人到李三公的店中住宿， 如果每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住； 如果每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房. 设该店有客房 间， 房客 人， 则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2026八上·罗湖月考）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
14．（2025七上·深圳月考）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值为（　　）
A．9 B．1 C．8 D．-8
15．（2025七下·越秀期末） 若为方程的一组解，则点不可能在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
16．（2025七下·饶平期末） 已知关于x， y的方程组的解满足， 若k为整数， 且关于t的不等式的解集为， 则k的值为(　　)
A．1 B．-1 C．-2 D．-3
17．（2025八上·惠阳月考）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是　 　．
18．（2025八上·宝安期中）如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为　 　．
19．（2025八上·深圳期末）如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高76cm的收纳柜恰好可以收纳　 　把休闲凳。
20．（2026八上·惠来期末）解方程组：
（1）
（2）
21．（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为140元
②购买2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球和购买6个足球花费相同
（1） 上述3个条件选择两2个，请帮助小桃小李求出每个篮球、足球多少钱？
（2） 现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少？
22．（2023·深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
三、拓展题
23．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数 M 分解成 的过程，称为“合分解”.
例如：∵609=21×29，21 和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609 是“合和数”.
又如：∵234=18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234 不是“合和数”.
（1）判断168，621是否为“合和数”，并说明理由.
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B，A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M），A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）.令 当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的 M.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
B、是二元一次方程组，故符合题意；
C、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意；
D、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意；
故答案为：B
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，其定义包含三个关键条件：由两个一次方程组成、含有两个未知数、未知数的最高次数为1。解题时需对照这三个条件逐一排查选项，A选项含三个未知数，C、D选项中未知数最高次数为2，均不符合定义，只有B选项满足所有条件。
2．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意提炼两个等量关系：
等量关系一：5只雀和6只燕总重1斤，直接可得 ；
等量关系二：1只雀和1只燕互换后，两堆重量相等。互换后，雀堆有4只雀和1只燕，重量为 ；燕堆有1只雀和5只燕，重量为 ，故有 。
综上，方程组为
故答案为：A
【分析】本题考查根据实际问题抽象二元一次方程组，关键是准确提炼题目中的两个等量关系。解题时首先抓住“总重1斤”这一明显条件，直接列出 ；再分析“互换1只雀和燕后重量相等”的条件：互换后雀堆和燕堆的组成发生变化，分别表示出两堆的重量表达式，根据重量相等列出第二个方程，进而得到完整的方程组。
3．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，设乌鸦x只，树y棵，
“三个坐一棵，五个没去处”：每棵树坐3只乌鸦，y棵树可坐只，还剩5只乌鸦无树可坐，
∴ 乌鸦总数；
“五个坐一棵，闲了一棵树”：闲了1棵树，即实际使用棵树，每棵树坐5只乌鸦，
∴ 乌鸦总数。
综上，方程组为。
故答案为：C
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是从歌谣中提取两个明确的等量关系。先分析“三个坐一棵，五个没去处”：树的数量乘以每棵树的乌鸦数，再加上没去处的乌鸦数，等于乌鸦总数；再分析“五个坐一棵，闲了一棵树”：闲了1棵树意味着使用的树数比总树数少1，用使用的树数乘以每棵树的乌鸦数，等于乌鸦总数，据此列出两个方程，组成方程组。
4．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：A、由，应变形为，而不是，所以该解法错误，符合题意；
B、由，变形为，代入，是正确的代入消元法，不符合题意；
C、用，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意；
D、得，再减，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意．
故答案为：A
【分析】本题考查解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的正确运用，核心是掌握两种消元法的逻辑原理。代入消元法需将一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程；加减消元法是通过变形方程使某一未知数系数相等或互为相反数，再通过加减消去该未知数。
分析选项时，选项A将方程①变形为，违背了等式变形规则，正确变形应为，因此该解法错误；选项B将方程②变形为，代入方程①可消去y，变形正确；选项C用方程②减去方程①，能直接消去y，得到x的值，消元方式正确；选项D将方程①乘以2后减去方程②，可消去x，得到y的值，消元方式正确。
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为，
∴该解满足方程，
将，代入
得：，
化简得：，
解得：，
故选：A．
【分析】将，代入，解方程即可求出答案.
6．【答案】17
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 方程组的解满足，∴ 可将与联立，组成新方程组：
用第一个方程减去第二个方程消去y：，
即。
将代入，得，解得。
∵是原方程组的解，∴ 代入，
得。
故答案为：17
【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质，解题的关键是明确“方程组的解同时满足所有相关方程”。由于原方程组的解既满足两个方程，又满足，因此先将与联立，通过加减消元法求出x和y的值，再将x、y代入，即可计算出k的值。
7．【答案】6
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴两式相加得，，
故答案为：6．
【分析】本题考查二元一次方程组的整体求解技巧，无需单独求出和的具体值。解题时观察两个方程的结构，发现将两式相加后，左侧可整理为，右侧为，因此直接通过两式相加即可得到的值。
8．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数y=ax+b可以变形为ax-y+b=0， y=mx+n可以变形为mx-y+n=0，
图中一次函数y=ax+b与y=mx+n的交点为（-2，3），结合图象可得方程组的解是，．
故答案为：．
【分析】本题首先把两个一次函数进行变形，发现和方程组中的两个方程一致，此时可以理解为方程组的解就是这两个一次函数的交点；然后结合图形，根据方程组的解为两直线的交点坐标解答即可．
9．【答案】（1）解：
②－①，
得，，
把代入①，
得；
故原方程组的解为；

（2）解：
②，得③，
①+③，得，
，
将代入②，
得，
故原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（1）解：②－①，
得，，
把代入①，
得；
故原方程组的解为；
（2）解：②，得③，
①+③，得，
，
将代入②，
得，
故原方程组的解为．
10．【答案】（1）（1）解：
将②代入①得：
解得
将代入②可得：
原方程组的解为：；
（2）解：
得：
将代入②可得：
原方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）利用代入消元法运算即可；
（2）利用加减消元法运算即可．
（1）解：
将②代入①得：
解得
将代入②可得：
原方程组的解为：；
（2）解：
得：
将代入②可得：
原方程组的解为：．
11．【答案】B
【知识点】非负数之和为0
【解析】【解答】
解：∵
∴
∴
∴
∴ab=
故答案为：B．
【分析】考查绝对值与二次根式的非负性问题，当几个非负数相加为0时，这几个非负数只能都为0，所以令各部分等于0，计算出a与b的值即可。
12．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意， 每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住 故总人数为7x+7， 每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房 ，故总人数为9(x-1)，而人数为y.则可列方程组.
故选：A.
【分析】根据题中的等量关系，用含有x的代数式表达总人数，即可列出方程.
13．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为，
依题意得，
解得，
则小长方形的长、宽分别为，
，
故选：D．
【分析】本题考查二元一次方程组在几何图形中的应用，解题的关键是根据图形尺寸找出等量关系。设小长方形的长为 ，宽为 ，从图中可观察到两个等量关系：一是大长方形的某一边长为 14cm，对应小长方形的长加 3 个宽，即 ；二是另一边长为 6cm，对应小长方形的长减 1 个宽，即 （由 化简可得）。联立这两个方程组成方程组，解出 x 和 y 的值后，确定大长方形的长为 14cm，宽为 ，再根据长方形面积公式计算大长方形的面积。
14．【答案】B
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】根据题意得，
解得，
∴ xy =19=1，
故答案为：B.
【分析】根据“ 任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等 ”列出方程组求解x、y的值，从而计算 xy的值 .
15．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】
解： ∵为方程的一组解
∴2a-b=5
∴b=2a-5
当a＞0时，假设a=3，则b=1，此时点P坐标为（3，1）在第一象限；
假设假设a=1，则b=-3，此时点P坐标为（1，-3）在第四象限；
当a＜0时，假设a=-1，则b=-7，此时点P坐标为（-1，-7）在第三象限；
故点P不可能在第二象限；
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的解的定义：将x=a和y=b代入方程可得：2a-b=5，移项得：b=2a-5；假设a的值，代入得出b的值，再根据象限内点的坐标特征：第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、第三象限(-，-)、第四象限(+，-)，横、纵坐标的符号判断点所在象限，由此可得出答案.
16．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；不等式的性质；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】
解：
①×2得：4x+2y=-20 ③
③－②得：(4x+2y)-(x+2y)=-20-(-3k-11)
4x+2y-x-2y=-20+3k+11
3x=3k-9
x=k-3 ④
将④代入①得：2(k-3)+y=-10
2k-6+y=-10
y=-4-2k
∴该方程组的解为
∵x≤0，y＜0
∴
解得：-2＜k≤3
∵的解集为，
∴ 3k+2＜0
∴
∵-2＜k≤3
∴
∵k是整数
∴k=-1
故答案为：B .
【分析】
本题考查二元一次方程组的解法和一元一次不等式组、不等式的性质，熟知以上知识点是解题关键.
根据加减消元法解二元一次方程组，求出x与y的值，即，再根据x≤0，y＜0可得出关于k的一元一次不等式组即，解得：-2＜k≤3，再根据不等式的性质可知：3k+2＜0，从而可缩小k的取值范围，即：，最后根据k是整数，即可得出k的值，即可得出答案.
17．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知方程组 的解为，则
，；
对于方程组，
将，
代入得：，
整理得：，
由于，，，不全为零（方程组有意义），
且，
解得，，
故答案为：，．
【分析】本题考查同解方程组的性质，核心是通过变形将新方程组转化为与已知方程组结构一致的形式。解题时先对新方程组进行变形，两边同时除以4，得到。由于该方程组与已知方程组同解，因此对应未知数的表达式相等，即，，解这两个一元一次方程，即可求出x和y的值。
18．【答案】40
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形得：，
②①得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
则图中阴影部分面积为．
故答案为：．
【分析】
设小长方形的长为，宽为，观察AB边上的白色部分发现x+y=8，观察AD边上的白色部分，发现x+4y=11，解方程组求出与的值，即可求出阴影部分面积．
19．【答案】6
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，
根据题意得：，
解得：，
∴（把），
∴高76cm的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳．
故答案为：6．
【分析】设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，结合图形列出方程组，再求解即可.
20．【答案】（1）解：把①代入②，得2（3-y）-3y=1，
解得y=1，
把y=1代入①，得x=2，
所以方程组的解是
（2）原方程组整理得
③+④，得5x=20，
解得x=4，
把x=4代入①，得
所以原方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，包括代入消元法和加减消元法。
(1)方程①已用y表示出x，适合用代入消元法，将x=3-y代入方程②，得到关于y的一元一次方程，求解y后再代入方程①求x；
(2)先将方程②去分母（两边同乘12）化为整式方程，整理得，此时方程组变为，两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，将两方程相加消去y，求出x后再代入方程①求y。
21．【答案】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元
（三个方程组任选一种即可）
解得：
答：每个篮球60元，每个足球50元.
（2）解：设篮球有m个，则足球有(10-m)个
解得：
设购买的总费用是W元
随着m的减小而减小
当m最小值为4时，W最小值为540元
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球和足球的价格，由条件可列3个方程组，解其中一个方程组即可得结果；
(2)设篮球有m个，则足球有10-m个，由题意列不等式可得m的范围，求出费用与m的函数关系，可得当m=4时，费用最少.
22．【答案】（1）解：设A，B两种玩具的单价分别为x元与y元，由题意，得
，
解得，
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）解： 该商场最多可以购置a个A玩具，由题意得
50a+75×2a≤20000，
解得a≤100，
答：该商场最多购置100个A玩具．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种玩具的单价分别为x元与y元，由“ B玩具的单价比A玩具的单价贵25元 ”可列方程y-x=25，由“ 购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元 ”x+2y=200，联立两方程组成方程组，求解即可；
（2） 该商场最多可以购置a个A玩具，最多购置2a个B玩具，由单价乘以数量等于总价及购置a个A玩具的费用+购置2a个B玩具的费用不高于20000元，列出不等式，求出最大整数解即可.
23．【答案】（1）解：168不是“合和数”，理由如下：
分解为两个两位数相乘，（十位不同）、（不是两位数 ），所有两位数分解中，无十位相同且个位和为的情况，故不是“合和数”.
621是“合和数”，理由如下：
，与十位均为，个位，符合“合和数”定义，故是“合和数”.
（2）解：设A 的十位数字为m，个位数字为n(m，n为自然数，且3≤m≤9，1≤n≤9)，则A=10m+n，B=10m+10-n，∴P(M)=m+n+m+10-n=2m+10，Q(M)=|(m+n)-(m+10-n)|=|2n-10|，
当G(M)能被4 整除时，设 (k是整数).
∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14.
∵k是整数，∴m+5=8或m+5=12.
①当m+5=8时， 或 ∴M=36×34=1224或M=37×33=1221.
②当m+5=12时， 或 ∴M=76×74=5624或M=78×72=5616.
综上，所有满足条件的M 为1224，1221，5624，5616.
【知识点】代数式的实际意义；二元一次方程（组）的新定义问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）按“合和数”定义，分解数为两个两位数相乘，验证“十位相同、个位和为”条件.
（2）设、的十位为，个位为，表示出、，推导表达式；结合被整除的条件，枚举、的可能值，计算对应.
1 / 1二元一次方程组——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025七下·珠海期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
B、是二元一次方程组，故符合题意；
C、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意；
D、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意；
故答案为：B
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，其定义包含三个关键条件：由两个一次方程组成、含有两个未知数、未知数的最高次数为1。解题时需对照这三个条件逐一排查选项，A选项含三个未知数，C、D选项中未知数最高次数为2，均不符合定义，只有B选项满足所有条件。
2．（2026八上·龙岗期末）有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？如果设1只雀重x斤，1只燕重y斤，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意提炼两个等量关系：
等量关系一：5只雀和6只燕总重1斤，直接可得 ；
等量关系二：1只雀和1只燕互换后，两堆重量相等。互换后，雀堆有4只雀和1只燕，重量为 ；燕堆有1只雀和5只燕，重量为 ，故有 。
综上，方程组为
故答案为：A
【分析】本题考查根据实际问题抽象二元一次方程组，关键是准确提炼题目中的两个等量关系。解题时首先抓住“总重1斤”这一明显条件，直接列出 ；再分析“互换1只雀和燕后重量相等”的条件：互换后雀堆和燕堆的组成发生变化，分别表示出两堆的重量表达式，根据重量相等列出第二个方程，进而得到完整的方程组。
3．（2026八上·惠来期末）古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，请问能算士，鸦树多少数.若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，设乌鸦x只，树y棵，
“三个坐一棵，五个没去处”：每棵树坐3只乌鸦，y棵树可坐只，还剩5只乌鸦无树可坐，
∴ 乌鸦总数；
“五个坐一棵，闲了一棵树”：闲了1棵树，即实际使用棵树，每棵树坐5只乌鸦，
∴ 乌鸦总数。
综上，方程组为。
故答案为：C
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是从歌谣中提取两个明确的等量关系。先分析“三个坐一棵，五个没去处”：树的数量乘以每棵树的乌鸦数，再加上没去处的乌鸦数，等于乌鸦总数；再分析“五个坐一棵，闲了一棵树”：闲了1棵树意味着使用的树数比总树数少1，用使用的树数乘以每棵树的乌鸦数，等于乌鸦总数，据此列出两个方程，组成方程组。
4．（2025八上·惠阳月考）解方程组错误的解法是（　　）
A．先将①变形为，再代入②
B．先将②变形为，再代入①
C．将②-①，消去
D．将①②，消去
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：A、由，应变形为，而不是，所以该解法错误，符合题意；
B、由，变形为，代入，是正确的代入消元法，不符合题意；
C、用，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意；
D、得，再减，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意．
故答案为：A
【分析】本题考查解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的正确运用，核心是掌握两种消元法的逻辑原理。代入消元法需将一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程；加减消元法是通过变形方程使某一未知数系数相等或互为相反数，再通过加减消去该未知数。
分析选项时，选项A将方程①变形为，违背了等式变形规则，正确变形应为，因此该解法错误；选项B将方程②变形为，代入方程①可消去y，变形正确；选项C用方程②减去方程①，能直接消去y，得到x的值，消元方式正确；选项D将方程①乘以2后减去方程②，可消去x，得到y的值，消元方式正确。
5．（2025八上·高州月考）已知方程组的解为，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为，
∴该解满足方程，
将，代入
得：，
化简得：，
解得：，
故选：A．
【分析】将，代入，解方程即可求出答案.
6．（2026八上·惠来期末）已知方程组的解满足x+y=6，则k的值为　 　.
【答案】17
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 方程组的解满足，∴ 可将与联立，组成新方程组：
用第一个方程减去第二个方程消去y：，
即。
将代入，得，解得。
∵是原方程组的解，∴ 代入，
得。
故答案为：17
【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质，解题的关键是明确“方程组的解同时满足所有相关方程”。由于原方程组的解既满足两个方程，又满足，因此先将与联立，通过加减消元法求出x和y的值，再将x、y代入，即可计算出k的值。
7．（2025七下·珠海期中）已知方程组，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴两式相加得，，
故答案为：6．
【分析】本题考查二元一次方程组的整体求解技巧，无需单独求出和的具体值。解题时观察两个方程的结构，发现将两式相加后，左侧可整理为，右侧为，因此直接通过两式相加即可得到的值。
8．（2025八上·顺德期末）已知一次函数y=ax+b与y=mx+n的图像如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数y=ax+b可以变形为ax-y+b=0， y=mx+n可以变形为mx-y+n=0，
图中一次函数y=ax+b与y=mx+n的交点为（-2，3），结合图象可得方程组的解是，．
故答案为：．
【分析】本题首先把两个一次函数进行变形，发现和方程组中的两个方程一致，此时可以理解为方程组的解就是这两个一次函数的交点；然后结合图形，根据方程组的解为两直线的交点坐标解答即可．
9．（2025八上·福田期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
②－①，
得，，
把代入①，
得；
故原方程组的解为；

（2）解：
②，得③，
①+③，得，
，
将代入②，
得，
故原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（1）解：②－①，
得，，
把代入①，
得；
故原方程组的解为；
（2）解：②，得③，
①+③，得，
，
将代入②，
得，
故原方程组的解为．
10．（2024八上·福田期中）用合适的方法解二元一次方程组
（1）
（2）
【答案】（1）（1）解：
将②代入①得：
解得
将代入②可得：
原方程组的解为：；
（2）解：
得：
将代入②可得：
原方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）利用代入消元法运算即可；
（2）利用加减消元法运算即可．
（1）解：
将②代入①得：
解得
将代入②可得：
原方程组的解为：；
（2）解：
得：
将代入②可得：
原方程组的解为：．
二、能力题
11．（2021·广东）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．9
【答案】B
【知识点】非负数之和为0
【解析】【解答】
解：∵
∴
∴
∴
∴ab=
故答案为：B．
【分析】考查绝对值与二次根式的非负性问题，当几个非负数相加为0时，这几个非负数只能都为0，所以令各部分等于0，计算出a与b的值即可。
12．（2024·深圳）在明朝程大位 《算法统宗》中有首住店诗： 我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空. 诗的大意是： 一些客人到李三公的店中住宿， 如果每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住； 如果每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房. 设该店有客房 间， 房客 人， 则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意， 每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住 故总人数为7x+7， 每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房 ，故总人数为9(x-1)，而人数为y.则可列方程组.
故选：A.
【分析】根据题中的等量关系，用含有x的代数式表达总人数，即可列出方程.
13．（2026八上·罗湖月考）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为，
依题意得，
解得，
则小长方形的长、宽分别为，
，
故选：D．
【分析】本题考查二元一次方程组在几何图形中的应用，解题的关键是根据图形尺寸找出等量关系。设小长方形的长为 ，宽为 ，从图中可观察到两个等量关系：一是大长方形的某一边长为 14cm，对应小长方形的长加 3 个宽，即 ；二是另一边长为 6cm，对应小长方形的长减 1 个宽，即 （由 化简可得）。联立这两个方程组成方程组，解出 x 和 y 的值后，确定大长方形的长为 14cm，宽为 ，再根据长方形面积公式计算大长方形的面积。
14．（2025七上·深圳月考）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值为（　　）
A．9 B．1 C．8 D．-8
【答案】B
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】根据题意得，
解得，
∴ xy =19=1，
故答案为：B.
【分析】根据“ 任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等 ”列出方程组求解x、y的值，从而计算 xy的值 .
15．（2025七下·越秀期末） 若为方程的一组解，则点不可能在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】
解： ∵为方程的一组解
∴2a-b=5
∴b=2a-5
当a＞0时，假设a=3，则b=1，此时点P坐标为（3，1）在第一象限；
假设假设a=1，则b=-3，此时点P坐标为（1，-3）在第四象限；
当a＜0时，假设a=-1，则b=-7，此时点P坐标为（-1，-7）在第三象限；
故点P不可能在第二象限；
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的解的定义：将x=a和y=b代入方程可得：2a-b=5，移项得：b=2a-5；假设a的值，代入得出b的值，再根据象限内点的坐标特征：第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、第三象限(-，-)、第四象限(+，-)，横、纵坐标的符号判断点所在象限，由此可得出答案.
16．（2025七下·饶平期末） 已知关于x， y的方程组的解满足， 若k为整数， 且关于t的不等式的解集为， 则k的值为(　　)
A．1 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；不等式的性质；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】
解：
①×2得：4x+2y=-20 ③
③－②得：(4x+2y)-(x+2y)=-20-(-3k-11)
4x+2y-x-2y=-20+3k+11
3x=3k-9
x=k-3 ④
将④代入①得：2(k-3)+y=-10
2k-6+y=-10
y=-4-2k
∴该方程组的解为
∵x≤0，y＜0
∴
解得：-2＜k≤3
∵的解集为，
∴ 3k+2＜0
∴
∵-2＜k≤3
∴
∵k是整数
∴k=-1
故答案为：B .
【分析】
本题考查二元一次方程组的解法和一元一次不等式组、不等式的性质，熟知以上知识点是解题关键.
根据加减消元法解二元一次方程组，求出x与y的值，即，再根据x≤0，y＜0可得出关于k的一元一次不等式组即，解得：-2＜k≤3，再根据不等式的性质可知：3k+2＜0，从而可缩小k的取值范围，即：，最后根据k是整数，即可得出k的值，即可得出答案.
17．（2025八上·惠阳月考）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知方程组 的解为，则
，；
对于方程组，
将，
代入得：，
整理得：，
由于，，，不全为零（方程组有意义），
且，
解得，，
故答案为：，．
【分析】本题考查同解方程组的性质，核心是通过变形将新方程组转化为与已知方程组结构一致的形式。解题时先对新方程组进行变形，两边同时除以4，得到。由于该方程组与已知方程组同解，因此对应未知数的表达式相等，即，，解这两个一元一次方程，即可求出x和y的值。
18．（2025八上·宝安期中）如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为　 　．
【答案】40
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形得：，
②①得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
则图中阴影部分面积为．
故答案为：．
【分析】
设小长方形的长为，宽为，观察AB边上的白色部分发现x+y=8，观察AD边上的白色部分，发现x+4y=11，解方程组求出与的值，即可求出阴影部分面积．
19．（2025八上·深圳期末）如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高76cm的收纳柜恰好可以收纳　 　把休闲凳。
【答案】6
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，
根据题意得：，
解得：，
∴（把），
∴高76cm的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳．
故答案为：6．
【分析】设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，结合图形列出方程组，再求解即可.
20．（2026八上·惠来期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：把①代入②，得2（3-y）-3y=1，
解得y=1，
把y=1代入①，得x=2，
所以方程组的解是
（2）原方程组整理得
③+④，得5x=20，
解得x=4，
把x=4代入①，得
所以原方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，包括代入消元法和加减消元法。
(1)方程①已用y表示出x，适合用代入消元法，将x=3-y代入方程②，得到关于y的一元一次方程，求解y后再代入方程①求x；
(2)先将方程②去分母（两边同乘12）化为整式方程，整理得，此时方程组变为，两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，将两方程相加消去y，求出x后再代入方程①求y。
21．（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为140元
②购买2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球和购买6个足球花费相同
（1） 上述3个条件选择两2个，请帮助小桃小李求出每个篮球、足球多少钱？
（2） 现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少？
【答案】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元
（三个方程组任选一种即可）
解得：
答：每个篮球60元，每个足球50元.
（2）解：设篮球有m个，则足球有(10-m)个
解得：
设购买的总费用是W元
随着m的减小而减小
当m最小值为4时，W最小值为540元
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球和足球的价格，由条件可列3个方程组，解其中一个方程组即可得结果；
(2)设篮球有m个，则足球有10-m个，由题意列不等式可得m的范围，求出费用与m的函数关系，可得当m=4时，费用最少.
22．（2023·深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】（1）解：设A，B两种玩具的单价分别为x元与y元，由题意，得
，
解得，
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）解： 该商场最多可以购置a个A玩具，由题意得
50a+75×2a≤20000，
解得a≤100，
答：该商场最多购置100个A玩具．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种玩具的单价分别为x元与y元，由“ B玩具的单价比A玩具的单价贵25元 ”可列方程y-x=25，由“ 购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元 ”x+2y=200，联立两方程组成方程组，求解即可；
（2） 该商场最多可以购置a个A玩具，最多购置2a个B玩具，由单价乘以数量等于总价及购置a个A玩具的费用+购置2a个B玩具的费用不高于20000元，列出不等式，求出最大整数解即可.
三、拓展题
23．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数 M 分解成 的过程，称为“合分解”.
例如：∵609=21×29，21 和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609 是“合和数”.
又如：∵234=18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234 不是“合和数”.
（1）判断168，621是否为“合和数”，并说明理由.
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B，A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M），A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）.令 当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的 M.
【答案】（1）解：168不是“合和数”，理由如下：
分解为两个两位数相乘，（十位不同）、（不是两位数 ），所有两位数分解中，无十位相同且个位和为的情况，故不是“合和数”.
621是“合和数”，理由如下：
，与十位均为，个位，符合“合和数”定义，故是“合和数”.
（2）解：设A 的十位数字为m，个位数字为n(m，n为自然数，且3≤m≤9，1≤n≤9)，则A=10m+n，B=10m+10-n，∴P(M)=m+n+m+10-n=2m+10，Q(M)=|(m+n)-(m+10-n)|=|2n-10|，
当G(M)能被4 整除时，设 (k是整数).
∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14.
∵k是整数，∴m+5=8或m+5=12.
①当m+5=8时， 或 ∴M=36×34=1224或M=37×33=1221.
②当m+5=12时， 或 ∴M=76×74=5624或M=78×72=5616.
综上，所有满足条件的M 为1224，1221，5624，5616.
【知识点】代数式的实际意义；二元一次方程（组）的新定义问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）按“合和数”定义，分解数为两个两位数相乘，验证“十位相同、个位和为”条件.
（2）设、的十位为，个位为，表示出、，推导表达式；结合被整除的条件，枚举、的可能值，计算对应.
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