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一元二次方程——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
2．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020·甘肃）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（　　）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
4．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是　 　.
5．（2021·徐州）若 是方程 的两个根，则 　 　.
6．（2026九上·南山期末）解下列方程：
（1）x(x+2) =3x+6；
（2）
7．（2025九上·惠阳月考）解下列方程：
（1）．
（2）．
8．（2026九上·越秀期末）某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长，四、五月份该商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋．
（1）求该商店三月份的销量；
（2）求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率．
9．（2025九上·惠阳月考）已知关于x的方程．
（1）若该方程的一个根为，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根．
10．（2018九上·广州期中）某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．
（1）若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉应降价多少元？
（2）每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？
二、能力题
11．（2024九上·惠州期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
12．（2023·广州）已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是（　　）
A． B． C． D．
13．（2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2021·宜宾）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则 的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
15．（2024·广州） 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
16．（2021·南通）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为　 　.
17．（2021·北部湾模拟）解方程： .
18．（2019九上·顺德月考）解方程：x2-2x-3=0
19．（2021·黄石）已知关于 的一元二次方程 有实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值.
20．（2021九上·高州期末）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
三、拓展题
21．（2024九上·榕城月考）如图，中，，，，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，　 　；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后
22．（2024九上·榕城月考）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”　 　．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、　 　．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为　 　，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x
代入平均增长率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案为： A.
【分析】：根据平均增长率的计算公式，结合题目中的已知条件已知该公司 5 月产值（即初始量a）为2500万元；月均增长率为x；从 5 月到 7 月经过了2个月，即增长次数n = 2；7 月产值（即增长后的量b）将增至9100万元。可以列出方程。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入 得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵ 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】首先把x=1代入 ，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
4．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
5．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
故答案是：-3.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可知 ，据此求解即可.
6．【答案】（1）解：x(x+2) - 3(x+2) =0，
(x-3) (x+2) =0，
x-3=0或x+2=0，
∴x1=3， x2=-2.
（2）解：∵a=2， b=-4， c=-1， Δ=b2-4ac=16+8=24，
解得
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的多种解法，需根据方程的结构特征选择简便的求解方法。
（1）方程右边可提取公因式转化为 ，此时方程左右两边均含有因式 ，通过移项将所有项移到左边，再提取公因式 ，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可；
（2）方程二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，再通过配方在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式，最后开方求解，得到方程的两个根。
7．【答案】（1）解：原方程即为，
两边开平方，得，
解得：，。
（2）解：原方程可变形为，
∴或，
解得：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）将81移项后，可以利用直接开平方法进行计算，得出，然后求解即可；
（2）将原方程利用十字相乘法因式分解，变形得到，然后求解即可。
（1）解：原方程即为，
两边开平方，得，
解得：，；
（2）解：原方程可变形为，
∴或，
解得：，．
8．【答案】（1）解：由题意得（袋）
答：该商店三月份的销量144袋
（2）解：设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得，
，
解得，（舍去），
答：该商店四、五两个月销售量的月平均增长率．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】（1）解：∵关于的方程有一个根，
∴，
解得：；
（2）证明：∵关于的方程，
∴，
∴不论取何实数，该方程总有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）把的值代入方程得出关于的方程并解之即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根，据此即可得证结论.
（1）解：将代入原方程可得：
，
解得：；
（2）解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴不论m取何实数，该方程总有实数根．
10．【答案】（1）解：设每盆花卉应降价x元，
根据题意可得：（40-x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20，
∵为了增加盈利并尽快减少库存，
∴x=20，
答：若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉应降价20元
（2）解：设每盆花卉降低x元，花圃每天盈利y元，
则 y=（40-x）（20+2x） =-2x2+60x+800 =-2（x-15）2+1250，
由 ，
解得：0≤x＜40 ，
故当x=15时，y最大=1250，
答：每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用数量关系，列出一元二次方程，因式分解可得答案，
（2）根据题意得出关于x的二次函数，转化为顶点式，在自变量取值范围内求最值即可；
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
12．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即（2-2k）2-4（k2-1）≥0，
解得k≤1，
∴k-1≤0，2-k≥0，
∴.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，然后判断出k-1与2-k的正负，进而根据及绝对值的性质化简即可即可.
13．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：92号汽油价格三月底的单价×（1+增长率）2=五月底的单价，列方程即可.
14．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，
∴m2＋3m 9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6.
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝-3，mn＝ 9，根据方程根的概念可得m2＋3m 9＝0，则m2＋3m＝9，将待求式变形为m2+3m＋m＋n，据此计算.
15．【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
17．【答案】解：
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将一元二次方程的左边分解成两个因式的积的形式，于是可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
18．【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
19．【答案】（1）解：由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是
（2）解：由 可得：
∵ ；
∴
解得： 或
∵
∴
即 的值为-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0；由此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再将已知条件转化为（x1+x2）2-21·x2=12，再整体代入可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
20．【答案】（1）解：设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）解：由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据题意列出方程求解即可。
21．【答案】（1）8
（2）解：设P出发ts时，，则Q运动的时间为(t-2)s
∴AP=t，CQ=2(t-2)
∴PC=6-t
∴
解得：t=4
∴ 点Q移动4秒钟后
（3）解：设经过x秒后PQ=BQ，则PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x
由题意可得：
解得：或（舍去）
∴经过秒钟后
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：PA=2，CQ=4
∴PC=AC-AP=4
∴
故答案为：8
【分析】由题意可得：PA=2，CQ=4，根据边之间的关系可得PC，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）设P出发ts时，，则Q运动的时间为(t-2)s，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设经过x秒后PQ=BQ，则PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）
（2）；倒数
（3）∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x1=-1，x2=2021
将，整理得
∴x-1=-1或x-1=2021
解得：x=0或x=2022
∴关于x的方程的两根为x=0或x=2022
【知识点】一元二次方程的根；整体思想
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
一元二次方程的“友好方程”为
即为
故答案为：
（2）由（1）可知一元二次方程的“友好方程”为
解方程可得：，
观察可得：
∴猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为互为倒数
故答案为：；倒数
【分析】（1）根据“友好方程”的定义即可求出答案.
（2）求出该方程的“友好方程”，再解方程可得x4，再根据根之间的关系可得“友好方程”的根互为倒数.
（3）根据题意可得该方程的“友好方程”的根，化简二次方程，根据整体思想再解方程即可求出答案.
1 / 1一元二次方程——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
2．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x
代入平均增长率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案为： A.
【分析】：根据平均增长率的计算公式，结合题目中的已知条件已知该公司 5 月产值（即初始量a）为2500万元；月均增长率为x；从 5 月到 7 月经过了2个月，即增长次数n = 2；7 月产值（即增长后的量b）将增至9100万元。可以列出方程。
3．（2020·甘肃）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（　　）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入 得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵ 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】首先把x=1代入 ，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
4．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是　 　.
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
5．（2021·徐州）若 是方程 的两个根，则 　 　.
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
故答案是：-3.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可知 ，据此求解即可.
6．（2026九上·南山期末）解下列方程：
（1）x(x+2) =3x+6；
（2）
【答案】（1）解：x(x+2) - 3(x+2) =0，
(x-3) (x+2) =0，
x-3=0或x+2=0，
∴x1=3， x2=-2.
（2）解：∵a=2， b=-4， c=-1， Δ=b2-4ac=16+8=24，
解得
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的多种解法，需根据方程的结构特征选择简便的求解方法。
（1）方程右边可提取公因式转化为 ，此时方程左右两边均含有因式 ，通过移项将所有项移到左边，再提取公因式 ，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可；
（2）方程二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，再通过配方在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式，最后开方求解，得到方程的两个根。
7．（2025九上·惠阳月考）解下列方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原方程即为，
两边开平方，得，
解得：，。
（2）解：原方程可变形为，
∴或，
解得：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）将81移项后，可以利用直接开平方法进行计算，得出，然后求解即可；
（2）将原方程利用十字相乘法因式分解，变形得到，然后求解即可。
（1）解：原方程即为，
两边开平方，得，
解得：，；
（2）解：原方程可变形为，
∴或，
解得：，．
8．（2026九上·越秀期末）某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长，四、五月份该商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋．
（1）求该商店三月份的销量；
（2）求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率．
【答案】（1）解：由题意得（袋）
答：该商店三月份的销量144袋
（2）解：设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得，
，
解得，（舍去），
答：该商店四、五两个月销售量的月平均增长率．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2025九上·惠阳月考）已知关于x的方程．
（1）若该方程的一个根为，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根．
【答案】（1）解：∵关于的方程有一个根，
∴，
解得：；
（2）证明：∵关于的方程，
∴，
∴不论取何实数，该方程总有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）把的值代入方程得出关于的方程并解之即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根，据此即可得证结论.
（1）解：将代入原方程可得：
，
解得：；
（2）解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴不论m取何实数，该方程总有实数根．
10．（2018九上·广州期中）某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．
（1）若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉应降价多少元？
（2）每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？
【答案】（1）解：设每盆花卉应降价x元，
根据题意可得：（40-x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20，
∵为了增加盈利并尽快减少库存，
∴x=20，
答：若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉应降价20元
（2）解：设每盆花卉降低x元，花圃每天盈利y元，
则 y=（40-x）（20+2x） =-2x2+60x+800 =-2（x-15）2+1250，
由 ，
解得：0≤x＜40 ，
故当x=15时，y最大=1250，
答：每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用数量关系，列出一元二次方程，因式分解可得答案，
（2）根据题意得出关于x的二次函数，转化为顶点式，在自变量取值范围内求最值即可；
二、能力题
11．（2024九上·惠州期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
12．（2023·广州）已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即（2-2k）2-4（k2-1）≥0，
解得k≤1，
∴k-1≤0，2-k≥0，
∴.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，然后判断出k-1与2-k的正负，进而根据及绝对值的性质化简即可即可.
13．（2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：92号汽油价格三月底的单价×（1+增长率）2=五月底的单价，列方程即可.
14．（2021·宜宾）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则 的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，
∴m2＋3m 9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6.
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝-3，mn＝ 9，根据方程根的概念可得m2＋3m 9＝0，则m2＋3m＝9，将待求式变形为m2+3m＋m＋n，据此计算.
15．（2024·广州） 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．（2021·南通）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为　 　.
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
17．（2021·北部湾模拟）解方程： .
【答案】解：
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将一元二次方程的左边分解成两个因式的积的形式，于是可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
18．（2019九上·顺德月考）解方程：x2-2x-3=0
【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
19．（2021·黄石）已知关于 的一元二次方程 有实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）解：由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是
（2）解：由 可得：
∵ ；
∴
解得： 或
∵
∴
即 的值为-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0；由此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再将已知条件转化为（x1+x2）2-21·x2=12，再整体代入可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
20．（2021九上·高州期末）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】（1）解：设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）解：由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据题意列出方程求解即可。
三、拓展题
21．（2024九上·榕城月考）如图，中，，，，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，　 　；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后
【答案】（1）8
（2）解：设P出发ts时，，则Q运动的时间为(t-2)s
∴AP=t，CQ=2(t-2)
∴PC=6-t
∴
解得：t=4
∴ 点Q移动4秒钟后
（3）解：设经过x秒后PQ=BQ，则PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x
由题意可得：
解得：或（舍去）
∴经过秒钟后
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：PA=2，CQ=4
∴PC=AC-AP=4
∴
故答案为：8
【分析】由题意可得：PA=2，CQ=4，根据边之间的关系可得PC，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）设P出发ts时，，则Q运动的时间为(t-2)s，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设经过x秒后PQ=BQ，则PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2024九上·榕城月考）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”　 　．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、　 　．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为　 　，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根
【答案】（1）
（2）；倒数
（3）∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x1=-1，x2=2021
将，整理得
∴x-1=-1或x-1=2021
解得：x=0或x=2022
∴关于x的方程的两根为x=0或x=2022
【知识点】一元二次方程的根；整体思想
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
一元二次方程的“友好方程”为
即为
故答案为：
（2）由（1）可知一元二次方程的“友好方程”为
解方程可得：，
观察可得：
∴猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为互为倒数
故答案为：；倒数
【分析】（1）根据“友好方程”的定义即可求出答案.
（2）求出该方程的“友好方程”，再解方程可得x4，再根据根之间的关系可得“友好方程”的根互为倒数.
（3）根据题意可得该方程的“友好方程”的根，化简二次方程，根据整体思想再解方程即可求出答案.
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