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分式方程——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·高要模拟）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·廉江期末）某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）
A．﹣＝10 B．﹣＝10
C．﹣＝1.5 D．﹣＝1.5
3．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
4．（2025八下·南山期中）如果关于的方程有增根，则的值为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
5．（2024八上·湛江期末）以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·揭东开学考）若关于x的方程无实数解，则m的值为　 　.
7．（2023·连平模拟）解分式方程．
8．（2019七上·利辛月考）解方程：
9．（2025·光明模拟）王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.
（1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；
（2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？
二、能力题
10．（2023·广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020·齐齐哈尔）若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
12．（2018·齐齐哈尔）若关于x的方程 + = 无解，则m的值为　 　．
13．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是　 　
14．（2024九上·深圳开学考）若关于x的方程解为正数，则m的取值范围是　 　．
15．（2024九上·深圳开学考）若分式方程有增根，则它的增根是　 　．
16．解方程：．
17．（2011·深圳）解分式方程： ．
18．（2025·广东）在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步：
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
19．（2025·广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
20．（2025九下·乳源月考）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
三、拓展题
21．（2025八下·坪山期末）导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：
信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道
信息一 距离 39千米 42千米
信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰 时段(7：30-9：30和18：00-20：00)，大巴车的平均速度将下降为原来的 80%
信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟.
⑴任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时.
⑵任务二 某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗 湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴 车的出发时间不能晚于什么时间
22．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故答案为：B．
【分析】
根据解分式方程的步骤：先去分母得，然后去括号，移项并合并计算可得，最后检验根，即可解答．
2．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原价每瓶x元， 现价每瓶为元，
由题意可得：原价可买瓶，经过还价，可买瓶．
方程可表示为： =10．
故选：B.
【分析】 设原价每瓶x元， 现价每瓶为元，根据“结果比用原价多买了10瓶”，列出方程即可．
3．【答案】D
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得：a-x+2=0
整理得：x=a+2
∵方程的解为非负数
∴a+2≥0，且
解得：且
故答案为：D
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】
解： 方程两边同乘(x 2)，得：4x (x 2)= -k，
化简：4x-x+2=-k，
解得：x=，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴=2，
解得：k=-8，
故答案为：B.
【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可.
5．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x-2），得：
去括号，得
故答案为：B.
【分析】首先方程两边都乘最简公分母，可得再根据去括号法则去掉括号，即可得出答案。
6．【答案】6
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程无实数解 ，
∴即
将原方程变形得：
，
方程两边两边都乘以 得：
解得：
∴
∴
故答案为：6.
【分析】根据关于x的方程无实数解得，解方程得，最后得，解出便可.
7．【答案】解：
去分母得：
去括号得：
移项、合并得：
解得：
经检验是分式方程的解．
∴此分式方程的解为.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】把两边同乘去分母、去括号、移项、合并得：解得：，在检验后即可得解.
8．【答案】解：去分母得：7(1-2x)=3(3x+1)-3×21，
去括号得：7-14x=9x+3-63，
解得x=
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据等式的基本性质，通过去分母，移项，合并同类项，等号两边同除以未知数的系数，即可求解，特别要注意，要检验求出的值，是否为增根.
9．【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支
根据题意可得：
解得：
经检验：x=4是原方程的解.
（2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支
根据题意可得：
解得：
答：A 型圆珠笔最多可购买10 支.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：，解方程，并进行检验，即可得出答案；
（2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：，解不等式可得出：，取最大整数解即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，
由题意得 .
故答案为：B.
【分析】设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，根据路程除以速度等于时间及动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同列出方程即可.
11．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：去分母得 ，
解得 ，
由方程的解为正数，得到 ，且 ， ，
则m的范围为 且 ，
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
12．【答案】﹣1或5或﹣
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m﹣1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=﹣1，
当m+1≠0时，
则x= =±4，
解得：m=5或﹣ ，
综上所述：m=﹣1或5或﹣ ，
故答案为：﹣1或5或﹣ ．
【分析】方程两边都乘以（x+4)(x-4)约去分母，将分式方程转化为整式方程，整理得（m+1）x=5m﹣1，当m+1=0时，一元一次方程无解，此时m=﹣1；当m+1≠0时，则x==±4，解得m=5或- ，综上所述得出答案。
13．【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2.5，
由②得x≤3-m，
∵不等式组至少有2个整数解，
，
解得
解关于y的分式方程，
得
∵分式方程的解是非负整数，
且，
解得且的奇数，
∴m取，，3，
∴满足条件的整数的和是
故答案为：-1.
【分析】经m作为系数系数先解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案．
14．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘x -2得2x-(x - 2)=m，
去括号得2x - x + 2 = m
合并同类项得x + 2 = m
解得x = m - 2.
因为方程的解为正数，所以x>0，即m - 2>0，解得m>2.
又因为分母不能为0，所以即，解得
所以m的取值范围是
故填：.
【分析】本题围绕分式方程展开，着重考查分式方程的求解以及根据解的条件确定参数取值范围.首先通过去分母、去括号、合并同类项等步骤解分式方程，得到方程的解x = m - 2.然后根据方程的解为正数这一条件，得到m - 2>0，从而确定m的一个取值范围.同时，由于分式方程分母不能为零，所以，即，进一步确定m的取值范围.本题充分体现了分式方程解的条件在确定参数取值范围中的应用，是对学生代数运算能力和逻辑推理能力的全面考查.
15．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程去分母，得4-a（x+1）=（x+1）（x-1），
∵分式方程有增根，
∴（x+1）（x-1）=0，
∴x+1=0或x-1=0，
∴x=-1或x=1，
当x=-1时，有4=0，舍去，
当x=1时，有4-2a=0，即a=2，
∴它的增根是x=1，
故答案为：.
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根的条件得（x+1）（x-1）=0，从而求出x=-1或x=1，将x的值分别代入整式方程中，发现当x=-1时，有4=0不成立，故x=-1不是增根，即可求解.
16．【答案】解：去分母得：3x2﹣2x+10x﹣15=4（2x﹣3）（3x﹣2），
整理得：3x2﹣2x+10x﹣15=24x2﹣52x+24，即7x2﹣20x+13=0，
分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）=0，
解得：x1=1，x2=，
经检验x1=1与x2=都为分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
17．【答案】解：去分母，得2x（x﹣1）+3（x+1）=2（x+1）（x﹣1），
去括号，得2x2﹣2x+3x+3=2x2﹣2，
移项，合并，解得x=﹣5，
检验：当x=﹣5时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原方程的解为x=﹣5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】公分母为（x+1）（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
18．【答案】解：第一步出错
等式的性质：等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立.
过程不正确，正确解析如下：
1-x=-1-2x+4
x=2
检验： 当x=2时， x-2=0
∴原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】小李解法中的第一步是去分母操作。去分母是将分式方程转化为整式方程的关键步骤，依据是等式的基本性质：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立 。在分式方程中，为了消去分母，需要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母。小李没有对方程最右边的常数项乘以最简公分母x-2。
19．【答案】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采换的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
21．【答案】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时
由题意可得：，解得：v=45
∴=48.75
∴ 非高峰时段路线②的平均速度为45千米/时，则路线①的平均速度为48.75千米/时
（2）晚高峰时段路线②的平均速度为45×80%=36千米/时
路线②的行驶时间为(小时)=70分钟
∴出发时间需满足7：55-70分钟，即为6：45
∴大巴车的出发时间不能晚于6：45
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】 【分析】（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出晚高峰时段路线②的平均速度，再求出所需要的时间，即可求出答案.
22．【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【知识点】倒数法解分式方程；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
1 / 1分式方程——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·高要模拟）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故答案为：B．
【分析】
根据解分式方程的步骤：先去分母得，然后去括号，移项并合并计算可得，最后检验根，即可解答．
2．（2025八上·廉江期末）某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）
A．﹣＝10 B．﹣＝10
C．﹣＝1.5 D．﹣＝1.5
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原价每瓶x元， 现价每瓶为元，
由题意可得：原价可买瓶，经过还价，可买瓶．
方程可表示为： =10．
故选：B.
【分析】 设原价每瓶x元， 现价每瓶为元，根据“结果比用原价多买了10瓶”，列出方程即可．
3．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得：a-x+2=0
整理得：x=a+2
∵方程的解为非负数
∴a+2≥0，且
解得：且
故答案为：D
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．（2025八下·南山期中）如果关于的方程有增根，则的值为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】
解： 方程两边同乘(x 2)，得：4x (x 2)= -k，
化简：4x-x+2=-k，
解得：x=，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴=2，
解得：k=-8，
故答案为：B.
【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可.
5．（2024八上·湛江期末）以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x-2），得：
去括号，得
故答案为：B.
【分析】首先方程两边都乘最简公分母，可得再根据去括号法则去掉括号，即可得出答案。
6．（2024九上·揭东开学考）若关于x的方程无实数解，则m的值为　 　.
【答案】6
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程无实数解 ，
∴即
将原方程变形得：
，
方程两边两边都乘以 得：
解得：
∴
∴
故答案为：6.
【分析】根据关于x的方程无实数解得，解方程得，最后得，解出便可.
7．（2023·连平模拟）解分式方程．
【答案】解：
去分母得：
去括号得：
移项、合并得：
解得：
经检验是分式方程的解．
∴此分式方程的解为.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】把两边同乘去分母、去括号、移项、合并得：解得：，在检验后即可得解.
8．（2019七上·利辛月考）解方程：
【答案】解：去分母得：7(1-2x)=3(3x+1)-3×21，
去括号得：7-14x=9x+3-63，
解得x=
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据等式的基本性质，通过去分母，移项，合并同类项，等号两边同除以未知数的系数，即可求解，特别要注意，要检验求出的值，是否为增根.
9．（2025·光明模拟）王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.
（1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；
（2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？
【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支
根据题意可得：
解得：
经检验：x=4是原方程的解.
（2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支
根据题意可得：
解得：
答：A 型圆珠笔最多可购买10 支.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：，解方程，并进行检验，即可得出答案；
（2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：，解不等式可得出：，取最大整数解即可得出答案。
二、能力题
10．（2023·广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，
由题意得 .
故答案为：B.
【分析】设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，根据路程除以速度等于时间及动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同列出方程即可.
11．（2020·齐齐哈尔）若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：去分母得 ，
解得 ，
由方程的解为正数，得到 ，且 ， ，
则m的范围为 且 ，
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
12．（2018·齐齐哈尔）若关于x的方程 + = 无解，则m的值为　 　．
【答案】﹣1或5或﹣
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m﹣1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=﹣1，
当m+1≠0时，
则x= =±4，
解得：m=5或﹣ ，
综上所述：m=﹣1或5或﹣ ，
故答案为：﹣1或5或﹣ ．
【分析】方程两边都乘以（x+4)(x-4)约去分母，将分式方程转化为整式方程，整理得（m+1）x=5m﹣1，当m+1=0时，一元一次方程无解，此时m=﹣1；当m+1≠0时，则x==±4，解得m=5或- ，综上所述得出答案。
13．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是　 　
【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2.5，
由②得x≤3-m，
∵不等式组至少有2个整数解，
，
解得
解关于y的分式方程，
得
∵分式方程的解是非负整数，
且，
解得且的奇数，
∴m取，，3，
∴满足条件的整数的和是
故答案为：-1.
【分析】经m作为系数系数先解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案．
14．（2024九上·深圳开学考）若关于x的方程解为正数，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘x -2得2x-(x - 2)=m，
去括号得2x - x + 2 = m
合并同类项得x + 2 = m
解得x = m - 2.
因为方程的解为正数，所以x>0，即m - 2>0，解得m>2.
又因为分母不能为0，所以即，解得
所以m的取值范围是
故填：.
【分析】本题围绕分式方程展开，着重考查分式方程的求解以及根据解的条件确定参数取值范围.首先通过去分母、去括号、合并同类项等步骤解分式方程，得到方程的解x = m - 2.然后根据方程的解为正数这一条件，得到m - 2>0，从而确定m的一个取值范围.同时，由于分式方程分母不能为零，所以，即，进一步确定m的取值范围.本题充分体现了分式方程解的条件在确定参数取值范围中的应用，是对学生代数运算能力和逻辑推理能力的全面考查.
15．（2024九上·深圳开学考）若分式方程有增根，则它的增根是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程去分母，得4-a（x+1）=（x+1）（x-1），
∵分式方程有增根，
∴（x+1）（x-1）=0，
∴x+1=0或x-1=0，
∴x=-1或x=1，
当x=-1时，有4=0，舍去，
当x=1时，有4-2a=0，即a=2，
∴它的增根是x=1，
故答案为：.
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根的条件得（x+1）（x-1）=0，从而求出x=-1或x=1，将x的值分别代入整式方程中，发现当x=-1时，有4=0不成立，故x=-1不是增根，即可求解.
16．解方程：．
【答案】解：去分母得：3x2﹣2x+10x﹣15=4（2x﹣3）（3x﹣2），
整理得：3x2﹣2x+10x﹣15=24x2﹣52x+24，即7x2﹣20x+13=0，
分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）=0，
解得：x1=1，x2=，
经检验x1=1与x2=都为分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
17．（2011·深圳）解分式方程： ．
【答案】解：去分母，得2x（x﹣1）+3（x+1）=2（x+1）（x﹣1），
去括号，得2x2﹣2x+3x+3=2x2﹣2，
移项，合并，解得x=﹣5，
检验：当x=﹣5时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原方程的解为x=﹣5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】公分母为（x+1）（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
18．（2025·广东）在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步：
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
【答案】解：第一步出错
等式的性质：等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立.
过程不正确，正确解析如下：
1-x=-1-2x+4
x=2
检验： 当x=2时， x-2=0
∴原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】小李解法中的第一步是去分母操作。去分母是将分式方程转化为整式方程的关键步骤，依据是等式的基本性质：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立 。在分式方程中，为了消去分母，需要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母。小李没有对方程最右边的常数项乘以最简公分母x-2。
19．（2025·广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采换的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2025九下·乳源月考）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
三、拓展题
21．（2025八下·坪山期末）导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：
信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道
信息一 距离 39千米 42千米
信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰 时段(7：30-9：30和18：00-20：00)，大巴车的平均速度将下降为原来的 80%
信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟.
⑴任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时.
⑵任务二 某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗 湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴 车的出发时间不能晚于什么时间
【答案】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时
由题意可得：，解得：v=45
∴=48.75
∴ 非高峰时段路线②的平均速度为45千米/时，则路线①的平均速度为48.75千米/时
（2）晚高峰时段路线②的平均速度为45×80%=36千米/时
路线②的行驶时间为(小时)=70分钟
∴出发时间需满足7：55-70分钟，即为6：45
∴大巴车的出发时间不能晚于6：45
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】 【分析】（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出晚高峰时段路线②的平均速度，再求出所需要的时间，即可求出答案.
22．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【知识点】倒数法解分式方程；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
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