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北京市昌平区2025-2026学年上学期九年级期末质量抽测数学试题
一、选择题(本题共8道小题，每小题2分，共16分)
1．（2026九上·昌平期末）已知，则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026九上·昌平期末）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·昌平期末）如图，是的直径，，是上两点，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·昌平期末）已知在中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·昌平期末）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．（2026九上·昌平期末）二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（　　）
A．向左平移3个单位，向上平移5个单位
B．向右平移3个单位，向上平移5个单位
C．向左平移5个单位，向下平移3个单位
D．向右平移5个单位，向上平移3个单位
7．（2026九上·昌平期末）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026九上·昌平期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（　　）
A． B．3 C． D．4
二、填空题(本题共8道小题，每小题2分，共16分)
9．（2026九上·昌平期末）如图，已知，其中，，则与的面积比为　 　．
10．（2026九上·昌平期末）请写出一个开口向上且过的二次函数表达式　 　．
11．（2026九上·昌平期末）若点，在反比例函数的图象上，则　 　（“”“”“ ”）．
12．（2026九上·昌平期末）是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为　 　．
13．（2026九上·昌平期末）如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为　 　m．（将无人机近似为一个点）
14．（2026九上·昌平期末）如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度　 　．
15．（2026九上·昌平期末）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为　 　．
16．（2026九上·昌平期末）“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是　 　．
①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为；
②；
③点到的距离为；
④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形．
三、解答题(本题共12道小题，第 17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第
17．（2026九上·昌平期末）计算：．
18．（2026九上·昌平期末）如图，在中，，，．求长及的值．
19．（2026九上·昌平期末）二次函数的部分图象和对称轴如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为　 　．
20．（2026九上·昌平期末）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，求的长．
21．（2026九上·昌平期末）如图，在中，，，，求的长．
22．（2026九上·昌平期末）如图，在矩形中，求作：经过，两点且与边相切．小明的做法如下：
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②连接，作线段的垂直平分线，交于点；
③以点为圆心，长为半径作圆．
即为所求作的圆．
（1）根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，．
垂直平分，
，．
四边形是矩形，
．
．
为半径，
与相切．（　 　）（填推理的依据）
垂直平分线段，
　 　．
．
经过，两点且与边相切．
23．（2026九上·昌平期末）图1是某种手机支架，包括夹持杆以及支撑杆．某款手机恰好能够固定在该支架上，如图2所示（将手机看作一个矩形）．此时夹持杆两端，以及支撑杆的底端在同一个圆上，，支撑杆另一端是的中点，且，．已知该手机的宽度为，求圆的半径长．
24．（2026九上·昌平期末）如图，为的直径，是的一条弦，，交于点，延长交于点，连接，过点作的切线分别交，延长线于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．（2026九上·昌平期末）当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质．
小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为；
（1）求液滴距离圆心处的沉积厚度；
（2）直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，　 　（填“>”或“<”）．
26．（2026九上·昌平期末）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线
（1）当时，求抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标；
（2）若对于任意，，，，都有，求的取值范围．
27．（2026九上·昌平期末）已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点．
（1）如图1，点与点重合，点与点重合，求证：；
（2）如图2，用等式表示和的数量关系，并证明．
28．（2026九上·昌平期末）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于外的点和弦，给出如下定义：若弦上存在一点，使，则称点是弦关于的关联点，如果点为上一点，则称是弦关于的“关联角”．
（1），
①，，中，点　 　是弦关于的“关联点”；
②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则　 　；
（2）直线与轴，轴分别交于点，，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点”，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A：由，可得出3x=2y，所以A不成立；
B：由，可得出2x=3y，所以B成立；
C：由，可得出3x=2y，所以C不成立；
D：由，可得出xy=6，所以D不成立；
故答案为：B
【分析】根据比例的基本性质，进行等积式和比例式的互化，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知其顶点坐标为；
故答案为：C．
【分析】
根据二次函数顶点式形如的顶点坐标为，解答即可．
3．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOC=∠COD=70°，
∴∠ABC=∠AOC=35°。
故答案为：A。
【分析】在同圆中，根据相等的弧所对的圆心角相等，可得出∠AOC=∠COD=70°，再根据圆周角定理。即可得出∠ABC=∠AOC=35°。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；正弦的概念；求正弦值
【解析】【解答】解：由勾股定理，得 ：AB=，
∴sinA=.
故答案为：C。
【分析】首先根据勾股定理求得AB=，再根据正弦的定义即可得出sinA=.
5．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设点到直线的距离为d，
∵d=6，且 直线与半径为的相交，
∴d＜r，
即r＞6.
4，5，6均不大于6，只有8＞6.
故答案为：D。
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小与直线与圆的位置之间的关系，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数的函数图象 向左平移3个单位，得到二次函数的图象，再向上平移5个单位，即可得出 二次函数的图象。
故答案为：A
【分析】根据二次函数的平移规律即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：根据点A，B，C的位置，及平行线分线段成比例定理，即可得出，
∵，
∴BC=3AB=3×3.2=9.6（cm）。
故答案为：C。【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得出，进而根据AB的长度，即可得出BC=3AB=3×3.2=9.6（cm）。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点A作CD⊥y轴，过点B作DE⊥x轴，得到矩形OCDE，
联立，得：，即点A的坐标为（1，2）；
联立.得：，即点B的坐标为：
∴ DE =OC =yA= 2，CD=OE =xB=
∴S矩形OCDE=OC·OE=2×=3+，
S△ADB=AD·DB=×（-1）×（2-+3）=-2
∴S△ACO= SBEO=，
∴S△AOB=3+-（-2） -1-1=3
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作CD⊥y轴，过点B作DE⊥x轴，得到矩形OCDE，首先根据交点的意义可分别联立方程组求得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为：，进而得出 DE =OC =yA= 2，CD=OE =xB=。再根据割补法即可求得S△AOB。
9．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴。
故答案为：。
【分析】根据相似三角形的性质即可得出它们的面积比。
10．【答案】(答案不唯一)
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：根据开口向上，可得出二次项系数为正数，且满足当x=0时，y=1，
例如：，等，
故答案为：(答案不唯一)
【分析】根据开口向上，可得出二次项系数为正数，且满足当x=0时，y=1，只需写出一个符合条件的二次函数表达式即可。
11．【答案】<
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵ 反比例函数中，2＞0，
∴ 反比例函数的图象的两个分支分居在第一，三象限
∵点，在反比例函数的图象上，
∴点A在第三象限，点B在第一象限，
∴y1＜0，y2＞0，
∴y1＜y2.
故答案为：＜
【分析】根据反比例函数的性质，即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ 四边形 是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴BD为的 直径，
∴BD=8，
∴AB2+AD2=BD2=64，
∴2AB2=64，
∴AB=。
即正方形的边长为。
【分析】连接BD，首先根据正方形的性质得出∠A=90°，AB=AD，进而得出BD为的 直径，再根据勾股定理，即可得出AB=。
13．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：根据题意可得出∠A=30°，
∴tan30°=，
∴AB=.
故答案为：。
【分析】根据正切的定义，即可得出AB的值。
14．【答案】8
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意可得：AB∥OP，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴AB=
故答案为：8.
【分析】首先得出，得出，进而得出AB=。
15．【答案】35
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BDC=180°，
∵，
∴∠A=55°，
∵是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=35°。
故答案为：35.
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得出∠A=55°，再根据圆周角定理的推轮得出∠ACB=90°，进而根据直角三角形两锐角互余，即可得出∠ABC=90°-∠A=35°。
16．【答案】①②③
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；圆锥的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：①如图，设圆心为O，连接OA，OB，NA，NB，OP，
由切线性质，得OA⊥PA，OB⊥PB，
∴在四边形OAPB中，∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=60°，则圆心角∠AOB = 360°-90°-90°- 60° = 120°.
由图可知点N一直在优弧AB上，
∴∠ANB=
∴①正确，
②∵ OA=OB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO=∠APB=30°，
在Rt△OAP中，OA=5cm，则AP=（cm）
∴②正确；
③如图，取DE的中点Q，CF的中点为M，
∵∠APO=30°，OA=5cm，
∴OP=2OA=10cm，
∵正方形CDEF边长为2cm，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点Q，M，O，P都在对称轴上，
∴点P到CF的距离即PM的长度，
∴DQ=DE=1cm，
∴ OQ = =
∴ PM = PO+OQ - DM = 10+2 -2=(8 +2)cm.
故③正确，
④如图，
圆锥的母线长PB=5cm，
设圆锥底面圆心为O'，且在PO上，
在直角三角形OBP中，O'B=
∴圆锥底面周长=2π·O'B= 2π x=
根据弧长公式I=，n=
因此展开图是圆心角为180°的扇形，不是120°．
∴④错误
故答案为：①②③.
【分析】首先根据切线的性质可得出OA⊥PA，OB⊥PB，结合∠APB=60°，即可得出∠AOB = 360°-90°-90°- 60° = 120°.进而根据圆周角定理得出∠ANB=，即①正确；根据切线长定理可得出∠APO=∠APB=30°，进而在Rt△OAP中，可得出AP=BP=（cm）即②正确；如图，取DE的中点Q，CF的中点为M，P到CF的距离即PM的长度，首先求得DQ=DE=1cm，OQ = =，进而即可得出PM = PO+OQ - DM = 10+2 -2=(8 +2)cm.即③正确；根据面积法可得出O'B=，再根据圆周长计算公式求得圆锥底面周长，即为展开图扇形的弧长，然后再根据弧长计算公式得出n=，即可得出④错误，进而即可得出答案。
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先把特殊锐角的三角函数值代入原式，然后再进行二次根式的混合运算即可。
18．【答案】解： ∵∠C=90°， AC=2， cosA=
∴AB=3
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】首先根据余弦定义求得AB=3，再根据勾股定理求得BC的长，进而根据正弦定义即可得出
19．【答案】（1）设二次函数的表达式为
将(-1， 0) 代入上式得(0=4a+4
∴a=-1
∴二次函数的表达式为
（2）(3， 0)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解（2）令=0，解方程，得：x1=3，x2=-1，
∴ 该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为 （3，0）。
故答案为（3，0）
【分析】令=0，解方程即可求出该二次函数图象与轴 的交点坐标。
20．【答案】解： ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD=4， AD=BC=3， AB∥CD， ∠ABC=90°.
在 Rt△ABC中， ∠ABC=90°，
∵E是AB中点，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF
【知识点】勾股定理；矩形的性质；线段的中点；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】首先根据矩形的性质可得出AB=CD=4， AD=BC=3， AB∥CD， ∠ABC=90°.再根据勾股定理得出z再根据中点的定义得出进而根据△AEF∽△CDF ，即可得出进一步即可得出
21．【答案】解： 过点C作 CD⊥AB于点 D，
∴∠CDA=∠CDB=90°.
在 Rt△ACD中， ∠A=30°， AC=12
又∵在Rt△BCD中，
∴设BC=5k， BD=4k.
∴3k=6， 解得k=2.
∴BC=5k=10
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】过点C作 CD⊥AB于点 D，首先根据含30°锐角的直角三角形的性质，得出，再根据余弦定义，设BC=5k， BD=4k.再根据勾股定理求得即3k=6， 解得k=2. 进一步即可得出BC=5k=10。
22．【答案】（1）解j：如图
（2）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；OE
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）根据小明的做法完成作图即可；
（2） 连接，． 由尺规作图知：垂直平分，即可得出，．再根据平行四边形的性质，可得出，进而根据经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出与相切，再根据l2垂直平分 线段， ，即可得出故而得出经过，两点且与边相切．
23．【答案】解： 设圆O的半径长为 rcm.
连接OA， OB， 则OA=OB=r
∵OA=OB
∴点O 在线段AB 的垂直平分线上
∵CD⊥AB， 且D是AB的中点，
∴O在CD上，
∵AE=AB，
∴CD=AE=8， OD=8-r.
在 Rt△ACD 中， ∠ADC=90°，
由勾股定理得，
解得r=5.
答：圆O的半径长为5cm.
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】设圆O的半径长为 rcm.连接OA， OB， 则OA=OB=r，根据垂径定理，构建直角三角形，进而根据勾股定理可得出方程进而解方程，即可得出圆O的半径长为5cm.
24．【答案】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°.
∴∠CDB+∠OBD=90°.
∵GH 是⊙O的切线，
∴∠DFH=90°.
∴∠H+∠ODB=90°.
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD.
∴∠CDB=∠H
（2）解：
∴设AE=2x， OE=3x， 则r=5x.
∵Rt△EOD中， OE=3x， OD=5x，
∵Rt△DFG中， DF=10x，
∵FH=5，
∵∠CDB=∠H，
∴GD=GH.
解得x=1.
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；切线的性质；解直角三角形；余角
【解析】【分析】（1）首先根据垂直的定义得出∠BED=90°.进而得出∠CDB+∠OBD=90°.再根据切线的性质得出∠DFH=90°.进而得出∠H+∠ODB=90°，又OD=OB，可得出∠ODB=∠OBD，进而根据等角的余角相等，即可得出∠CDB=∠H；
（2）根据可设AE=2x， OE=3x， 则r=5x.进而在Rt△EOD中， 根据勾股定理及三角函数的定义可得出进而根据DF=10x，可得出再根据等角对等边得出GD=GH.即可得出解方程求得x=1，进而得出
25．【答案】（1）解：将 (0， 0) (6， 36) 代入 得：
将x=2代入. 得： yA=20
∴液滴A 距离圆心 2mm处的沉积厚度为20μm.
（2）>
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(2)由题意，结合(1)yA=-x2+12x
令yA=-x2+12x=16，
∴x=6±2.
又∵沉积厚度超过16μm的区域算作“明显咖啡环”，
且， ，
∴6-2
∴dA =6-(6 -2 ) =2 (μm).
令 =16
∴x= 4或8.
∴4くxく8.
∴dB=8-4=4(μm).
∵>，
∴dA>dB.
故答案为：＞；
【分析】（1）根据题意可知 函数： 经过点 (0， 0)和(6， 36) ，进而得出，解得，即可得出，进而求出当x=2时的函数值即可；
（2）根据二次函数关系式分别求得当y=16时的x的值，进而即可得出dA 和dB的值，并比较大小即可。
26．【答案】（1）解：当a=1时，抛物线
∴抛物线的顶点坐标为(1，-1).
令x=0， 得y=0，
∴抛物线与y轴交点坐标为(0，0)
（2）解法一：
抛物线的对称轴为x=a，对于
①若a>0，
则当x≥a时，y随x的增大而增大，
当x设点A 关于对称轴x=a的对称点为 A'(x3， y1)，
则
(i) 当 时，有(
符合题意.
(ii) 当 时，有
令x2=4， 则
，不符合题意.
(iii)当a>4时，
令 则
不符合题意.5分
②若a<0，
则当x≥a时，y随x的增大而减小，
当x(i) 当a<-5时， 有x1>5，
，符合题意.
(ii) 当-5≤a<0时， 有(
令 则
不符合题意.
综上， 或a<-5.
解法二：
抛物线的对称轴为x=a，对于
①若a>0，
(i) 当0设点A 关于对称轴x=a的对称点为A' (x3， y1)，
则
∵当x≥a时，y随x的增大而增大，
∴3a<4
(ii) 当4≤a≤5时，
∵当x≤a时，y随x的增大而减小，当x>a时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y2取最小值，
，不符合题意.
(iii) 当a>5时
∵当x≤a时，y随x的增大而减小，
∵-a<0，
，不符合题意
②若a<0，
因为当x≥a时，y随x的增大而减小，.
∴-a>5.
∴a<-5.
综上， 或a<-5.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）首先求得当a=1时的函数关系式，并转化成顶点式，进而即可得出 抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标 ；
（2）若a>0时，；；若a<0，a<-5 ；综上， 或a<-5.
27．【答案】（1）解∵EB⊥CF，
∴∠AFE=∠AFB=90.°
∵AE=AC=AB， AF=AF，
∴△AEF≌△ABF(HL)
∴EF=BF
（2）解：BG=CD， 证明如下： 连接CE
由题意知， AE=AD， ∠EAD=180°-2α
在△BAC中， AB=AC， ∠B=α
∴∠C=α
∠BAC-∠DAC=∠EAD-∠DAC
即∠BAD=∠CAE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴CE=BD
∠ECA=∠B=α=∠FCG
∵EG⊥CF
又∵FC=FC
∴△ECF≌△GCF (ASA)
∴CE=CG
∴CG=BD
∴BG=CD
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据HL证得AEF≌△ABF，进而得出EF=BF；
（2）BG=CD，首先根据ASA证得△BAD≌△CAE，可得出CE=BD ，∠ECA=∠B=α=∠FCG，进而根据ASA可得出△ECF≌△GCF ，即可得出△ECF≌△GCF，得出CE=CG ，进而得出CG=BD，进一步根据等式的性质可得出BG=CD。
28．【答案】（1）P2， P3；
（2）或
【知识点】一次函数的图象；垂径定理；切线的性质；作图-平行线；正弦的概念
【解析】【解答】解：(1)①如图，由题意知，分别作直线y=x+2和y=x-2，
∵在两条直线之间及直线上，且在⊙O外的点是弦AB关于⊙O的“关联点”，此时点P2、P3符合题意，
∴P2、P3是弦AB关于的 “关联点”，
②如图，作平行于AB且距离为3的直线G1H1，G2H2，
要使∠CPQ最大，则点P在G1H1上角度会更大，
在G1H1上任取一点P，作PQ⊥AB，且PQ=3，
∵OC=2，CP=，
过点C作CK⊥G1H1，
∴sin∠CPK=
当点P往G1方向运动时，点C也会随之向左运动，
此时CK的值减小，OP的值增大，CP的值增大，
∴sin ∠CPK的值在减小，
当点P落在G1时，sin∠CPK最小，此时∠CPK最小，
∴∠CPQ =90°-∠CPK最大，
∴OP =，
在Rt中，由勾股定理，得：CP=.
故第1空答案为：P2，P3；第2空答案为：；
（2）如图，设AB是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作AH⊥x轴与BI⊥x轴交点H，
此时若点C在⊙O上，∠CPQ无限接近于0°，则当∠CPQ最大时，CP与OO相切，
当点P无限接近于⊙O时，∠CPQ的最大值超过90°
∴点Q越靠近A时，相切状态的∠CPQ的值会越大，
当点Q落在点A时，∠CPQ≥60°，
∴此时QP越大时，∠CPQ的值越小
∴∠CPQ = 60°，
∴如图，延长PC交x轴于点G，
此时∠OCG = 90°，∠COG = 60°，
∴∠CGO=30°，
在Rt△CGO中，OG=2OC=4，
∴G (4， 0)，
.PH=
当AB越大时，点P到x轴距离越大，
当AB=4时，PH最大值=2，此时PO=4，
∴点P的轨迹满足2如图，作以点O为圆心，4为半径的⊙O，
当EF过点(-2，0)，(0，-2)时，b= -2；
过点(0， 2)，(2， 0)时，b= 2，
当EF与半径为4的⊙O相切时，b=±4，
∴b的取值范围是-4≤b<-2或2【分析】（1）①根据关联点的定义进行判断即可；②如图，作平行于AB且距离为3的直线G1H1，G2H2，要使∠C可求得此时CP=；
（2）如图，设AB是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作AH⊥x轴与BI⊥x轴交点H，首先求出点P的轨迹满足21 / 1北京市昌平区2025-2026学年上学期九年级期末质量抽测数学试题
一、选择题(本题共8道小题，每小题2分，共16分)
1．（2026九上·昌平期末）已知，则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A：由，可得出3x=2y，所以A不成立；
B：由，可得出2x=3y，所以B成立；
C：由，可得出3x=2y，所以C不成立；
D：由，可得出xy=6，所以D不成立；
故答案为：B
【分析】根据比例的基本性质，进行等积式和比例式的互化，即可得出答案。
2．（2026九上·昌平期末）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知其顶点坐标为；
故答案为：C．
【分析】
根据二次函数顶点式形如的顶点坐标为，解答即可．
3．（2026九上·昌平期末）如图，是的直径，，是上两点，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOC=∠COD=70°，
∴∠ABC=∠AOC=35°。
故答案为：A。
【分析】在同圆中，根据相等的弧所对的圆心角相等，可得出∠AOC=∠COD=70°，再根据圆周角定理。即可得出∠ABC=∠AOC=35°。
4．（2026九上·昌平期末）已知在中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正弦的概念；求正弦值
【解析】【解答】解：由勾股定理，得 ：AB=，
∴sinA=.
故答案为：C。
【分析】首先根据勾股定理求得AB=，再根据正弦的定义即可得出sinA=.
5．（2026九上·昌平期末）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设点到直线的距离为d，
∵d=6，且 直线与半径为的相交，
∴d＜r，
即r＞6.
4，5，6均不大于6，只有8＞6.
故答案为：D。
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小与直线与圆的位置之间的关系，即可得出答案。
6．（2026九上·昌平期末）二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（　　）
A．向左平移3个单位，向上平移5个单位
B．向右平移3个单位，向上平移5个单位
C．向左平移5个单位，向下平移3个单位
D．向右平移5个单位，向上平移3个单位
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数的函数图象 向左平移3个单位，得到二次函数的图象，再向上平移5个单位，即可得出 二次函数的图象。
故答案为：A
【分析】根据二次函数的平移规律即可得出答案。
7．（2026九上·昌平期末）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：根据点A，B，C的位置，及平行线分线段成比例定理，即可得出，
∵，
∴BC=3AB=3×3.2=9.6（cm）。
故答案为：C。【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得出，进而根据AB的长度，即可得出BC=3AB=3×3.2=9.6（cm）。
8．（2026九上·昌平期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点A作CD⊥y轴，过点B作DE⊥x轴，得到矩形OCDE，
联立，得：，即点A的坐标为（1，2）；
联立.得：，即点B的坐标为：
∴ DE =OC =yA= 2，CD=OE =xB=
∴S矩形OCDE=OC·OE=2×=3+，
S△ADB=AD·DB=×（-1）×（2-+3）=-2
∴S△ACO= SBEO=，
∴S△AOB=3+-（-2） -1-1=3
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作CD⊥y轴，过点B作DE⊥x轴，得到矩形OCDE，首先根据交点的意义可分别联立方程组求得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为：，进而得出 DE =OC =yA= 2，CD=OE =xB=。再根据割补法即可求得S△AOB。
二、填空题(本题共8道小题，每小题2分，共16分)
9．（2026九上·昌平期末）如图，已知，其中，，则与的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴。
故答案为：。
【分析】根据相似三角形的性质即可得出它们的面积比。
10．（2026九上·昌平期末）请写出一个开口向上且过的二次函数表达式　 　．
【答案】(答案不唯一)
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：根据开口向上，可得出二次项系数为正数，且满足当x=0时，y=1，
例如：，等，
故答案为：(答案不唯一)
【分析】根据开口向上，可得出二次项系数为正数，且满足当x=0时，y=1，只需写出一个符合条件的二次函数表达式即可。
11．（2026九上·昌平期末）若点，在反比例函数的图象上，则　 　（“”“”“ ”）．
【答案】<
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵ 反比例函数中，2＞0，
∴ 反比例函数的图象的两个分支分居在第一，三象限
∵点，在反比例函数的图象上，
∴点A在第三象限，点B在第一象限，
∴y1＜0，y2＞0，
∴y1＜y2.
故答案为：＜
【分析】根据反比例函数的性质，即可得出答案。
12．（2026九上·昌平期末）是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ 四边形 是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴BD为的 直径，
∴BD=8，
∴AB2+AD2=BD2=64，
∴2AB2=64，
∴AB=。
即正方形的边长为。
【分析】连接BD，首先根据正方形的性质得出∠A=90°，AB=AD，进而得出BD为的 直径，再根据勾股定理，即可得出AB=。
13．（2026九上·昌平期末）如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为　 　m．（将无人机近似为一个点）
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：根据题意可得出∠A=30°，
∴tan30°=，
∴AB=.
故答案为：。
【分析】根据正切的定义，即可得出AB的值。
14．（2026九上·昌平期末）如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度　 　．
【答案】8
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意可得：AB∥OP，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴AB=
故答案为：8.
【分析】首先得出，得出，进而得出AB=。
15．（2026九上·昌平期末）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为　 　．
【答案】35
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BDC=180°，
∵，
∴∠A=55°，
∵是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=35°。
故答案为：35.
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得出∠A=55°，再根据圆周角定理的推轮得出∠ACB=90°，进而根据直角三角形两锐角互余，即可得出∠ABC=90°-∠A=35°。
16．（2026九上·昌平期末）“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是　 　．
①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为；
②；
③点到的距离为；
④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形．
【答案】①②③
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；圆锥的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：①如图，设圆心为O，连接OA，OB，NA，NB，OP，
由切线性质，得OA⊥PA，OB⊥PB，
∴在四边形OAPB中，∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=60°，则圆心角∠AOB = 360°-90°-90°- 60° = 120°.
由图可知点N一直在优弧AB上，
∴∠ANB=
∴①正确，
②∵ OA=OB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO=∠APB=30°，
在Rt△OAP中，OA=5cm，则AP=（cm）
∴②正确；
③如图，取DE的中点Q，CF的中点为M，
∵∠APO=30°，OA=5cm，
∴OP=2OA=10cm，
∵正方形CDEF边长为2cm，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点Q，M，O，P都在对称轴上，
∴点P到CF的距离即PM的长度，
∴DQ=DE=1cm，
∴ OQ = =
∴ PM = PO+OQ - DM = 10+2 -2=(8 +2)cm.
故③正确，
④如图，
圆锥的母线长PB=5cm，
设圆锥底面圆心为O'，且在PO上，
在直角三角形OBP中，O'B=
∴圆锥底面周长=2π·O'B= 2π x=
根据弧长公式I=，n=
因此展开图是圆心角为180°的扇形，不是120°．
∴④错误
故答案为：①②③.
【分析】首先根据切线的性质可得出OA⊥PA，OB⊥PB，结合∠APB=60°，即可得出∠AOB = 360°-90°-90°- 60° = 120°.进而根据圆周角定理得出∠ANB=，即①正确；根据切线长定理可得出∠APO=∠APB=30°，进而在Rt△OAP中，可得出AP=BP=（cm）即②正确；如图，取DE的中点Q，CF的中点为M，P到CF的距离即PM的长度，首先求得DQ=DE=1cm，OQ = =，进而即可得出PM = PO+OQ - DM = 10+2 -2=(8 +2)cm.即③正确；根据面积法可得出O'B=，再根据圆周长计算公式求得圆锥底面周长，即为展开图扇形的弧长，然后再根据弧长计算公式得出n=，即可得出④错误，进而即可得出答案。
三、解答题(本题共12道小题，第 17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第
17．（2026九上·昌平期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先把特殊锐角的三角函数值代入原式，然后再进行二次根式的混合运算即可。
18．（2026九上·昌平期末）如图，在中，，，．求长及的值．
【答案】解： ∵∠C=90°， AC=2， cosA=
∴AB=3
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】首先根据余弦定义求得AB=3，再根据勾股定理求得BC的长，进而根据正弦定义即可得出
19．（2026九上·昌平期末）二次函数的部分图象和对称轴如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为　 　．
【答案】（1）设二次函数的表达式为
将(-1， 0) 代入上式得(0=4a+4
∴a=-1
∴二次函数的表达式为
（2）(3， 0)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解（2）令=0，解方程，得：x1=3，x2=-1，
∴ 该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为 （3，0）。
故答案为（3，0）
【分析】令=0，解方程即可求出该二次函数图象与轴 的交点坐标。
20．（2026九上·昌平期末）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，求的长．
【答案】解： ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD=4， AD=BC=3， AB∥CD， ∠ABC=90°.
在 Rt△ABC中， ∠ABC=90°，
∵E是AB中点，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF
【知识点】勾股定理；矩形的性质；线段的中点；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】首先根据矩形的性质可得出AB=CD=4， AD=BC=3， AB∥CD， ∠ABC=90°.再根据勾股定理得出z再根据中点的定义得出进而根据△AEF∽△CDF ，即可得出进一步即可得出
21．（2026九上·昌平期末）如图，在中，，，，求的长．
【答案】解： 过点C作 CD⊥AB于点 D，
∴∠CDA=∠CDB=90°.
在 Rt△ACD中， ∠A=30°， AC=12
又∵在Rt△BCD中，
∴设BC=5k， BD=4k.
∴3k=6， 解得k=2.
∴BC=5k=10
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】过点C作 CD⊥AB于点 D，首先根据含30°锐角的直角三角形的性质，得出，再根据余弦定义，设BC=5k， BD=4k.再根据勾股定理求得即3k=6， 解得k=2. 进一步即可得出BC=5k=10。
22．（2026九上·昌平期末）如图，在矩形中，求作：经过，两点且与边相切．小明的做法如下：
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②连接，作线段的垂直平分线，交于点；
③以点为圆心，长为半径作圆．
即为所求作的圆．
（1）根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，．
垂直平分，
，．
四边形是矩形，
．
．
为半径，
与相切．（　 　）（填推理的依据）
垂直平分线段，
　 　．
．
经过，两点且与边相切．
【答案】（1）解j：如图
（2）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；OE
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）根据小明的做法完成作图即可；
（2） 连接，． 由尺规作图知：垂直平分，即可得出，．再根据平行四边形的性质，可得出，进而根据经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出与相切，再根据l2垂直平分 线段， ，即可得出故而得出经过，两点且与边相切．
23．（2026九上·昌平期末）图1是某种手机支架，包括夹持杆以及支撑杆．某款手机恰好能够固定在该支架上，如图2所示（将手机看作一个矩形）．此时夹持杆两端，以及支撑杆的底端在同一个圆上，，支撑杆另一端是的中点，且，．已知该手机的宽度为，求圆的半径长．
【答案】解： 设圆O的半径长为 rcm.
连接OA， OB， 则OA=OB=r
∵OA=OB
∴点O 在线段AB 的垂直平分线上
∵CD⊥AB， 且D是AB的中点，
∴O在CD上，
∵AE=AB，
∴CD=AE=8， OD=8-r.
在 Rt△ACD 中， ∠ADC=90°，
由勾股定理得，
解得r=5.
答：圆O的半径长为5cm.
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】设圆O的半径长为 rcm.连接OA， OB， 则OA=OB=r，根据垂径定理，构建直角三角形，进而根据勾股定理可得出方程进而解方程，即可得出圆O的半径长为5cm.
24．（2026九上·昌平期末）如图，为的直径，是的一条弦，，交于点，延长交于点，连接，过点作的切线分别交，延长线于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°.
∴∠CDB+∠OBD=90°.
∵GH 是⊙O的切线，
∴∠DFH=90°.
∴∠H+∠ODB=90°.
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD.
∴∠CDB=∠H
（2）解：
∴设AE=2x， OE=3x， 则r=5x.
∵Rt△EOD中， OE=3x， OD=5x，
∵Rt△DFG中， DF=10x，
∵FH=5，
∵∠CDB=∠H，
∴GD=GH.
解得x=1.
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；切线的性质；解直角三角形；余角
【解析】【分析】（1）首先根据垂直的定义得出∠BED=90°.进而得出∠CDB+∠OBD=90°.再根据切线的性质得出∠DFH=90°.进而得出∠H+∠ODB=90°，又OD=OB，可得出∠ODB=∠OBD，进而根据等角的余角相等，即可得出∠CDB=∠H；
（2）根据可设AE=2x， OE=3x， 则r=5x.进而在Rt△EOD中， 根据勾股定理及三角函数的定义可得出进而根据DF=10x，可得出再根据等角对等边得出GD=GH.即可得出解方程求得x=1，进而得出
25．（2026九上·昌平期末）当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质．
小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为；
（1）求液滴距离圆心处的沉积厚度；
（2）直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，　 　（填“>”或“<”）．
【答案】（1）解：将 (0， 0) (6， 36) 代入 得：
将x=2代入. 得： yA=20
∴液滴A 距离圆心 2mm处的沉积厚度为20μm.
（2）>
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(2)由题意，结合(1)yA=-x2+12x
令yA=-x2+12x=16，
∴x=6±2.
又∵沉积厚度超过16μm的区域算作“明显咖啡环”，
且， ，
∴6-2
∴dA =6-(6 -2 ) =2 (μm).
令 =16
∴x= 4或8.
∴4くxく8.
∴dB=8-4=4(μm).
∵>，
∴dA>dB.
故答案为：＞；
【分析】（1）根据题意可知 函数： 经过点 (0， 0)和(6， 36) ，进而得出，解得，即可得出，进而求出当x=2时的函数值即可；
（2）根据二次函数关系式分别求得当y=16时的x的值，进而即可得出dA 和dB的值，并比较大小即可。
26．（2026九上·昌平期末）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线
（1）当时，求抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标；
（2）若对于任意，，，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：当a=1时，抛物线
∴抛物线的顶点坐标为(1，-1).
令x=0， 得y=0，
∴抛物线与y轴交点坐标为(0，0)
（2）解法一：
抛物线的对称轴为x=a，对于
①若a>0，
则当x≥a时，y随x的增大而增大，
当x设点A 关于对称轴x=a的对称点为 A'(x3， y1)，
则
(i) 当 时，有(
符合题意.
(ii) 当 时，有
令x2=4， 则
，不符合题意.
(iii)当a>4时，
令 则
不符合题意.5分
②若a<0，
则当x≥a时，y随x的增大而减小，
当x(i) 当a<-5时， 有x1>5，
，符合题意.
(ii) 当-5≤a<0时， 有(
令 则
不符合题意.
综上， 或a<-5.
解法二：
抛物线的对称轴为x=a，对于
①若a>0，
(i) 当0设点A 关于对称轴x=a的对称点为A' (x3， y1)，
则
∵当x≥a时，y随x的增大而增大，
∴3a<4
(ii) 当4≤a≤5时，
∵当x≤a时，y随x的增大而减小，当x>a时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y2取最小值，
，不符合题意.
(iii) 当a>5时
∵当x≤a时，y随x的增大而减小，
∵-a<0，
，不符合题意
②若a<0，
因为当x≥a时，y随x的增大而减小，.
∴-a>5.
∴a<-5.
综上， 或a<-5.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）首先求得当a=1时的函数关系式，并转化成顶点式，进而即可得出 抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标 ；
（2）若a>0时，；；若a<0，a<-5 ；综上， 或a<-5.
27．（2026九上·昌平期末）已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点．
（1）如图1，点与点重合，点与点重合，求证：；
（2）如图2，用等式表示和的数量关系，并证明．
【答案】（1）解∵EB⊥CF，
∴∠AFE=∠AFB=90.°
∵AE=AC=AB， AF=AF，
∴△AEF≌△ABF(HL)
∴EF=BF
（2）解：BG=CD， 证明如下： 连接CE
由题意知， AE=AD， ∠EAD=180°-2α
在△BAC中， AB=AC， ∠B=α
∴∠C=α
∠BAC-∠DAC=∠EAD-∠DAC
即∠BAD=∠CAE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴CE=BD
∠ECA=∠B=α=∠FCG
∵EG⊥CF
又∵FC=FC
∴△ECF≌△GCF (ASA)
∴CE=CG
∴CG=BD
∴BG=CD
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据HL证得AEF≌△ABF，进而得出EF=BF；
（2）BG=CD，首先根据ASA证得△BAD≌△CAE，可得出CE=BD ，∠ECA=∠B=α=∠FCG，进而根据ASA可得出△ECF≌△GCF ，即可得出△ECF≌△GCF，得出CE=CG ，进而得出CG=BD，进一步根据等式的性质可得出BG=CD。
28．（2026九上·昌平期末）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于外的点和弦，给出如下定义：若弦上存在一点，使，则称点是弦关于的关联点，如果点为上一点，则称是弦关于的“关联角”．
（1），
①，，中，点　 　是弦关于的“关联点”；
②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则　 　；
（2）直线与轴，轴分别交于点，，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）P2， P3；
（2）或
【知识点】一次函数的图象；垂径定理；切线的性质；作图-平行线；正弦的概念
【解析】【解答】解：(1)①如图，由题意知，分别作直线y=x+2和y=x-2，
∵在两条直线之间及直线上，且在⊙O外的点是弦AB关于⊙O的“关联点”，此时点P2、P3符合题意，
∴P2、P3是弦AB关于的 “关联点”，
②如图，作平行于AB且距离为3的直线G1H1，G2H2，
要使∠CPQ最大，则点P在G1H1上角度会更大，
在G1H1上任取一点P，作PQ⊥AB，且PQ=3，
∵OC=2，CP=，
过点C作CK⊥G1H1，
∴sin∠CPK=
当点P往G1方向运动时，点C也会随之向左运动，
此时CK的值减小，OP的值增大，CP的值增大，
∴sin ∠CPK的值在减小，
当点P落在G1时，sin∠CPK最小，此时∠CPK最小，
∴∠CPQ =90°-∠CPK最大，
∴OP =，
在Rt中，由勾股定理，得：CP=.
故第1空答案为：P2，P3；第2空答案为：；
（2）如图，设AB是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作AH⊥x轴与BI⊥x轴交点H，
此时若点C在⊙O上，∠CPQ无限接近于0°，则当∠CPQ最大时，CP与OO相切，
当点P无限接近于⊙O时，∠CPQ的最大值超过90°
∴点Q越靠近A时，相切状态的∠CPQ的值会越大，
当点Q落在点A时，∠CPQ≥60°，
∴此时QP越大时，∠CPQ的值越小
∴∠CPQ = 60°，
∴如图，延长PC交x轴于点G，
此时∠OCG = 90°，∠COG = 60°，
∴∠CGO=30°，
在Rt△CGO中，OG=2OC=4，
∴G (4， 0)，
.PH=
当AB越大时，点P到x轴距离越大，
当AB=4时，PH最大值=2，此时PO=4，
∴点P的轨迹满足2如图，作以点O为圆心，4为半径的⊙O，
当EF过点(-2，0)，(0，-2)时，b= -2；
过点(0， 2)，(2， 0)时，b= 2，
当EF与半径为4的⊙O相切时，b=±4，
∴b的取值范围是-4≤b<-2或2【分析】（1）①根据关联点的定义进行判断即可；②如图，作平行于AB且距离为3的直线G1H1，G2H2，要使∠C可求得此时CP=；
（2）如图，设AB是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作AH⊥x轴与BI⊥x轴交点H，首先求出点P的轨迹满足21 / 1

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