资源简介

广东省广州市白云区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷
1．（2026八上·广州期末）下列四个图标中，是轴对称图形的是 (　　)
A． B． C． D．
2．（2026八上·广州期末）若分式 有意义，则m的取值应满足(　　)
A．m≠0 B．
C． D．且m≠0
3．（2026八上·广州期末）下列运算正确的是 (　　)
A． B．
C． D．a(a+1) =a2+1
4．（2026八上·广州期末）下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是 (　　)
A． B．
C． D．
5．（2026八上·广州期末）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的(　　)
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处
6．（2026八上·广州期末）若把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值(　　)
A．A.缩小为原来的
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不变
7．（2026八上·广州期末）现有7根木棍，长度(单位： dm)分别是1，2，3，4，5，6，7.从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为7dm，另两边的差大于2dm.这样的三角形一共有(　　)个.
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2026八上·广州期末）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB∥EF，且AB=EF，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△FED 的是 (　　)
A．∠ACB=∠FDE B．BC=DE C．AD=CF D．∠B=∠E
9．（2026八上·广州期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， 若 根据作图痕迹可知，△BDE 的周长是(　　)
A． B． C．10 D．12
10．（2026八上·广州期末） 如图， 在等边△ABC中， AD⊥BC， E为AD 上一点， 连接BE， CE， ∠ABE=15°， 将△ABE沿BE 折叠， 使点A 落在点 F处， 连接AF， BF， CF. 下列结论： ①BE⊥AF； ②△AEC≌△FEB；③AF=CF； ④△AEF是等腰直角三角形⑤其中，正确的结论个数是 (　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．（2026八上·广州期末） 点 P (-5， - 4) 关于x轴对称的点的坐标是　 　.
12．（2026八上·广州期末）流感病毒是常见的呼吸道病毒，它的形状一般为球形，直径大约为0.0000000103米， 该直径用科学记数法表示为　 　米.
13．（2026八上·广州期末）因式分解：　 　．
14．（2026八上·广州期末）用长度为20cm的细绳围成一个有一边长为6cm的等腰三角形，三角形的三边长分别为　 　.
15．（2026八上·广州期末） 已知 则 的值为　 　.
16．（2026八上·广州期末）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD=30°， AC=AE，且满足∠CAE=∠ABD，若 则AB=　 　.
17．（2026八上·广州期末）因式分解： 3y2-6y+3.
18．（2026八上·广州期末）已知： 如图， HM=FG， EG=NH， HM∥FG， 求证： ∠E=∠N.
19．（2026八上·广州期末）如图， ∠B=42°， ∠A 比∠ACB 小20°， ∠ACD=59°.
求证： AB∥CD.
20．（2026八上·广州期末）已知：
（1） 化简A；
（2）从-1≤x≤1中选一个合适的整数作为x的值，求A 的值.
21．（2026八上·广州期末）在平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点坐标分别为A (-4， 1)， B(-1， - 1)， C (-3， 2).
（1） 若△ABC关于y轴对称的图形为△A1B1C1， 在直角坐标系中画出△A1B1C1；
（2）在x轴上是否存在点 P，能使PA+PC1有最小值，如存在，请在图中找出点 P 的位置，如不存在，请说明理由：
（3） △A1B1C1的面积为　 　.
22．（2026八上·广州期末） 用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等.假设两车一直都是匀速行驶.
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛 请说明理由.
23．（2026八上·广州期末） 观察下列等式：
①32-i2=9-1=8=8×1； ②52-32=25-9=16=8×2；
③72-52=49-25=24=8×3； ④92-72=81-49=32=8×4.
请解答下列问题：
（1）按照上述规律，第⑤个等式为　 　；第⑩个等式为　 　；
（2） 猜想 的结果，并证明你的猜想；
（3）若对于用正整数n、k(k≥1)表示的两个奇数2n+2k-1和2n-1，它们的平方差结果为120.请求出所有满足条件的 (n，k).
24．（2026八上·广州期末） 在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=90°.
（1） 如图1， CD平分∠ACB， BE⊥CD， 与线段 CD 的延长线交于点E.
①证明： ∠ACD=∠EBD；
②试探究线段BE和 CD的数量关系，并证明你的结论.
（2）如图2，若点M 是线段BC上的动点(不与点B、C重合)，且 MN交AB于点G， 在点M运动的过程中， 是否为定值 请说明理由.
25．（2026八上·广州期末） 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=60°， 点D是AC上一定点.
（1）尺规作图：过点D作DE∥AB，交BC于点E (不用写作法，保留作图痕迹)；
（2） 证明： △CDE是等边三角形；
（3）F是射线BC上的一动点(不与点B，C重合)，以DF为一边，在DF的右侧作等边△DFG.
①当点F在线段BE上(不与点E重合) 时， 求证： CF=CD+CG；
②当点F在射线EC上(不与点C重合)时，直接写出线段CF，CD，CG之间满足的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：不是轴对称图形，所以B不符合题意；
C：是轴对称图形，所以C符合题意；
D：不是轴对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C .
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 分式 有意义，
∴3m+2≠0，
∴m≠
故答案为：C .
【分析】根据分式有意义的条件可得出3m+2≠0，进而得出m≠。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：左边两项不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B： ，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D： a(a+1) =a2+a，所以D正确；
故答案为：B .
【分析】根据合并同类项法则可得出A不正确；根据同底数幂的乘法可得出B正确；根据幂的乘方可得出C不正确；根据单项式乘多项式法则可得出D不正确，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A：从左到右的变形是整式的乘法，所以A不符合题意；
B：从左到右的变形属于整式的乘法，所以B不符合题意；
C： 从左到右的变形，属于因式分解，所以C符合题意；
D：从左到右的变形，既不属于因式分解，又不属于整式的乘法，所以D不符合题意。
故答案为：C .
【分析】根据因式分解是把一个多项式变形为几个整式的积的形式，逐项进行判断，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意： 发射塔到三个村庄的距离相等，
∴ 信号发射塔应建在△ABC的 三条垂直平分线的交点处
故答案为：D .
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出到三个村庄的距离相等的发射塔应该在△ABC的 三条垂直平分线的交点处 。
6．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解： 把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，可得出：
故答案为：A .
【分析】根据把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，可得出，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)、
对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
(1，4，7)：1+4=5<7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(1，5，7)：1+5=6<7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(1，6，7)：1+6=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(2，5，7)：2+5=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(2，6，7)：2+6=8＞7，满足三边关系，能围成三角形。
(3，6，7)：3+6=9>7，6-3=3<7，满足三边关系，可以围成三角形。
满足条件的三角形有(2， 6， 7)、(3， 6， 7)2种。
故答案为：A .
【分析】根据 最长的边为7dm， 可从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)，对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。进而即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：根据AAS可判定 △ABC≌△FED ，所以A不符合题意；B：满足SSA，不能判定 △ABC≌△FED ，所以B符合题意；C：首先根据等式的性质得出AC=FD，进而根据SAS可 判定△ABC≌△FED，所以C不符合题意；
D： 根据ASA可判定 △ABC≌△FED ，所以D不符合题意。
故答案为： B.
【分析】根据全等三角形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，
∵ ∠C=90°，
∴DC=DE，
∴ △BDE 的周长=BD+BE+BE=BD+DC+BE=BC+BE，
又AD=AD，∠C=∠DEA=90°，
∴
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴ △BDE 的周长=AE+BE=AB=10.
故答案为： C.
【分析】由作图可知：AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，进而根据角平分线的性质，可得出DC=DE，即可得出 △BDE 的周长=BD+BE+BE=BD+DC+BE=BC+BE，再根据HL可得出，得出AC=AE，即可得出△BDE 的周长=AE+BE=AB=10.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：①由折叠性质得：FB=AB，AE=FE，∠FBE=∠ABE，∠FEB=∠AEB，
∴△ABF是等腰三角形，BE是∠FBA的平分线，
根据等腰三角形的性质得：BE⊥AF，
故结论①正确；
②：∵△ABC是等边三角形，且AD⊥BC，
∴AB=CB=AC=FB，BD=CD，∠ABC =60°，∠BAD =∠BAC=30°，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴EC=EB，
在△AEC和△FEB中，
∵AE=FE，AC=FB，AE=FE
∴ △AEC≌△FEB； (SSS)，
故结论②正确；
③∵ ∠ABE=15°，
∴∠FBE=∠ABE=15°，
∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=30°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=30°，
∴∠ABF= ∠CBF=30°，
在△ABF和△CBF中，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF
∴ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF，
故结论③正确；
④∵AE=FE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故结论④正确；
⑤在△ABE中，∠ABE=15°，∠BAD=30°，
∴ ∠AEB=180°-(∠ABE +∠BAD) =135°
∴∠FEB=∠AEB=135°，
∴∠AEF =360°-(∠FEB+∠AEB) = 90°，
∴FE⊥AD，
∵AD⊥BC，
∴EF//BC，
∴△EFC和△EFB等底同高，
∴S△EFC = S△EFB，
由折叠性质得：△EFB ≌ △EAB，
∴S△EFB= S△EAB，
∴S△EFB+S△EAB=2S△EFB=2S△EFC，
∴S△ABF > S△EFB+ S△EAB，
∴S△ABF > 2S△EFC，
故结论⑤不正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个.
故答案为：B .
【分析】根据折叠性质可得出△ABF是等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质可得出①正确；根据SSS证得△AEC≌△FEB，进而得出②正确；根据SAS可得ABF≌△CBF，进而得出③正确；根据AE=FE，可得出结论④正确；根据等底登高的三角形的面积相等，可得出S△ABF > 2S△EFC，即可得出⑤不正确，综上即可得出答案。
11．【答案】(-5，4)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点 P (-5， - 4) 关于x轴对称的点的坐标（-5，4）。
故答案为：（-5，4） .
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标之间的关系可直接得出答案。
12．【答案】1.03×10-8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000000103=1.03×10-8
故答案为：1.03×10-8 .
【分析】把0.0000000103改写成a×10n即可，其中a=1.03，n=-8.
13．【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据提公因式法分解因式：公因式为x，提出公因式，分解即可解答．
14．【答案】6cm， 6cm， 8cm 或6cm， 7cm， 7cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：可分成两种情况：
① 边长为6cm的边为腰长：底边为20-6×2=8（cm），此时三角形的三边长分别为：6cm， 6cm， 8cm ；
② 边长为6cm的边为底边：腰长为（cm），此时三角形的三边长分别为：6cm， 7cm， 7cm。
综上可得出三角形的三边长分别为 6cm， 6cm， 8cm 或6cm， 7cm， 7cm。
故答案为：6cm， 6cm， 8cm 或6cm， 7cm， 7cm .
【分析】可分成两种情况：① 边长为6cm的边为腰长：三角形的三边长分别为：6cm， 6cm， 8cm ；边长为6cm的边为底边：三角形的三边长分别为：6cm， 7cm， 7cm。
15．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴a-b=-3ab，
∴
故答案为： .
【分析】首先根据可得出a-b=-3ab，进而得出。
16．【答案】10
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，
∵∠AEM= ∠ABD+∠BAE，∠CAN=∠CAE+∠BAE，且∠CAE=∠ABD，
∴∠AEM=∠CAN.
在 △ AEM和 △ CAN中，∵∠AEM=∠CAN，AC=AE，∠AME=∠CNA
∴ △ AEM ≌ △ CAN(ASA).
∴AM=CN.
又∵ ∠ABD= 30°，
∴AM=AB，
∴CN=AB.
∵S△ ABC = 25，
∴AB·CN =25，
则AB2=100，
∴AB=10.
故答案为：10.
【分析】过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，根据ASA证明△ AEM ≌ △ CAN，得出AM=CN.再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出 AM=AB， 进而得出CN=AB.再根据S△ ABC = 25，可得出AB·CN =25，即可得出AB=10.
17．【答案】解：原式
=3(y-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】首先提公因式3，进而再根据完全平方公式，即可得出因式分解的结果。
18．【答案】证明：∵ HM∥FG
∴ ∠MHN =∠EGF
在△NMH和 △EFG中
∴ △NMH≌△EFG
∴∠E=∠N
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据SAS可得出△NMH≌△EFG ，进而得出∠E=∠N。
19．【答案】解：∵∠A 比∠ACB小20°
∴∠ACB=∠A+20°
在△ABC中
∠A+∠B+∠ACB=180°
又∵∠ACD=59°
∴ ∠ACD=∠A
∴AB∥CD
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据内角和定理可得出，进而得出，进而得出∠ACD=∠A ，进一步得出AB∥CD 。
20．【答案】（1）解：
.
（2）解：取 x=0
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）进行分式的乘除进行花简即可；
（2）根据分式有意义的条件，x≠±1，可得出取 x=0，进而根据（1）化简的结果，求代数式的值即可。
21．【答案】（1）解：如图所示△A1B1C1即为所求
（2）解：作出点A关于x轴的对称点A'，再连接A'C1，交x轴于点P，点P即为所求。
（3）
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3） △A1B1C1 的面积为：×（1+3）×3-×1×1-×3×2=.
故答案为：.
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标之间的关系，可得出 A (-4， 1)， B(-1， - 1)， C (-3， 2)关于y轴的对称点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
（2）首先找到点A关于x轴的对称点A'，再连接A'C1，交x轴于点P，点P即为所求。
（3）根据割补法即可得出 △A1B1C1的面积 。
22．【答案】（1）解：设“和谐号”的平均速度为x米/秒
解得： x=7
经检验：x=7是原分式方程的解
答：“和谐号”的平均速度为7米/秒.
（2）解：“和谐号”能赢得比赛.
理由： 2秒后“和谐号”离终点还有100-2×7=86 (米)
∴ “和谐号”到终点还需86÷7≈12.29 (秒)
而“畅想号”到终点需100÷8=12.5 (秒)
12.29<12.5
∴“和谐号”能赢得比赛
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x米/秒，根据“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等，即可得出方程，解方程并进行检验即可得出答案；
（2）“和谐号”能赢得比赛.首先计算出2秒后“和谐号”离终点的距离，进而根据路程除以速度可求得“和谐号”到终点，再计算出“畅想号”到终点所需时间，再进行比较大小，即可得出答案。
23．【答案】（1）；
（2）解：n2+4n；
证明：
=-12+(2n+1) 2
（3）解：(2n+2k-1)2-(2n-1)2=120
(2n+2k-1+2n-1) (2n+2k-1-2n+1) =120
(4n+2k-2) 2k=120
k(2n+k-1) =30
∵n、k(k≥1) 都为正整数
∴当k=1时， 2n+1-1=30， 此时n=15
当k=2时， 2n+2-1=15， 此时n=7
当k=3时， 2n+3-1=10， 此时n=4
当k=4时， 2n+4-1=7.5， 此时n=2.25(不合题意， 舍去)
当k=5时， 2n+5-1=6， 此时n=1
当k=6时， 2n+6-1=5， 此时n=0(不合题意， 舍去)
此后当k越大n会越小，n都为负数，都不合题意
综上所述， 符合题意的(n， k) 有： (15， 1)， (7， 2)， (4， 3) (1， 5).
【知识点】平方差公式及应用；二元一次方程的应用；探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）根据①-④等式的特征，可得出 第⑤个等式为 ； 第⑩个等式为；
（2）根据加法的交换律和结合律，可得出=-12+(2n+1) 2 ，再根据完全平方公式展开后，进行加法运算即可得出结论；
（3）首先根据平方差公式进行因式分解，得出(4n+2k-2) 2k=120，进而得出k(2n+k-1) =30 ，进而根据n、k(k≥1) 都为正整数，分析讨论，即可得出答案。
24．【答案】（1）解：①∵BE⊥CD
∴∠BEC=90°
∴∠EDB+∠EBD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ADC+∠ACD=90°
∵∠EDB=∠ADC
∴∠ACD=∠EBD
②
如图1：延长BE、CA 交于点 F
∵∠BAC=90°
∴∠DAC=∠BAF=90°
在△BAF和 △CAD中
∴ △BAF≌△CAD
∴BF=CD
∵ AB=AC， ∠BAC=90°
∴ ∠ABC=∠ACB=45°
∵ CD平分∠ACB
∴∠BCE=∠FCE=22.5°
∵BE⊥CD
∴∠CEB=∠CEF=90°
在△CEB 和 △CEF中
∴ △CEB≌△CEF
∴ BE=EF
∵ BE+EF=BF
（2）解： 是定值.
证明：如图2：过点M作MH∥AC，交AC于点 H，交BN的延长线于点K
∵MH∥AC
∴∠BHM=∠BAC=90°
∠KMB=∠ACB=45°
∴∠KMB=∠ABC=45°
∴MH=BH
∴∠NMB=∠NMK=22.5°
在△NMB 和 △NMK中
∴△NMB≌△NMK
∴∠KBH=∠MBH-∠HBM =67.5°-45°=22.5°
∴ ∠KBH=∠GMH
在△BHK和 △MHG中
∴ △BHK≌△MHG
∴ BK = MG
是定值
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）①首先根据直角三角形的性质可得出∠EDB+∠EBD=90°，∠ADC+∠ACD=90°，再根据对顶角的性质和等角的余角相等，即可得出结论；②，如图1：延长BE、CA 交于点 F ，首先根据ASA可证得△BAF≌△CAD ，即可得出BF=CD，再根据ASA证得△CEB≌△CEF ，得出BE=EF，进而；
（2）是定值.如图2：过点M作MH∥AC，交AC于点 H，交BN的延长线于点K，通过证明△NMB≌△NMK，得出，，进而得出∠KBH=∠GMH，再证明△BHK≌△MHG，可得出BK = MG，进而得出，即是定值。
25．【答案】（1）解：
（2）证明：∵AB=AC， ∠BAC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
∵DE∥AB
∴∠CDE=∠A=60°
∠CED=∠B=60°
∴∠CDE=∠CED=∠C=60°
∴△CDE 是等边三角形
（3）解：①证明：如图所示
∵△CDE是等边三角形
∴DE=DC=CE， ∠EDC=60°
∵△DFG是等边三角形
∴DF=DG， ∠FDG=60°
∴∠EDC=∠FDG
∴∠EDC - ∠EDG=∠FDG - ∠EDG
即∠FDE=∠GDC
∴△FDE≌△GDC
∴EF=CG
∵CF=CE+EF
∴CF=CD+CG
② 当点 F 在线段 EC上时， CD=CF+CG.
当点 F 在线段 EC 的延长线上时， CG=CD+CF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；尺规作图-平行线；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）②当点F在射线EC上(不与点C重合）时，可分为以下两种情况：
(i)当点F在线段EC上时，如图3所示：
∵△DFG是等边三角形，
∴DF = DG，∠FDG =60°，
由(2)可知：△CDE是等边三角形，
∴DE =CD=CE，∠EDC =60°，
.∴∠FDG =∠EDC =60°，
∴∠FDG-∠CDF=∠EDC-∠CDF，
∴∠CDG=∠EDF，
在△CDG和△EDF中，
DF=DG
∠CDG=∠EDF，
DE=CD
∴△ CDG △EDF(SAS)，
∴CG =FE，
∴CE =CF +FE，CE=CD，
∴CD =CF +CG；
（ii）当点F在EC的延长线上时，如图4所示：
∵△DFG是等边三角形，
∴DG = DF，∠FDG =60°，
由(2)可知：△CDE是等边三角形，
∴CD = DE = CE，∠EDC =60°，
∴ ∠FDG=∠EDC=60°，
∴ ∠FDG +∠CDF =∠EDC+∠CDF，
∴∠CDG=∠EDF，
在△CDG和△EDF中，
DG=DF
∠CDG=∠EDF，
CD=DE
∴△CDG AEDF(SAS)，
∴CG=FE，
∵FE =CF +CE，CD =CE，
∴CG = CF + CD，
综上所述： 当点 F 在线段 EC上时， CD=CF+CG.
当点 F 在线段 EC 的延长线上时， CG=CD+CF.
【分析】（1）尺规作∠CDE=∠BAC，即可得出 DE∥AB；
（2）首先根据一个角为60°的等腰三角形为等边三角形证得△ABC是等边三角形，得出 ∠A=∠B=∠C=60°，再根据（1）中DE∥AB，得出∠CDE=∠A=60°，∠CED=∠B=60°，进而得出∠CDE=∠CED=∠C=60°，即可得出△CDE 是等边三角形；
（3）①根据SAS可证明△FDE≌△GDC，得出EF=CG ，再根据CF=CE+EF，即可得出CF=CD+CG ；②分为两种情况：当点 F 在线段 EC上时， CD=CF+CG.；当点 F 在线段 EC 的延长线上时， CG=CD+CF.
1 / 1广东省广州市白云区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷
1．（2026八上·广州期末）下列四个图标中，是轴对称图形的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：不是轴对称图形，所以B不符合题意；
C：是轴对称图形，所以C符合题意；
D：不是轴对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C .
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
2．（2026八上·广州期末）若分式 有意义，则m的取值应满足(　　)
A．m≠0 B．
C． D．且m≠0
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 分式 有意义，
∴3m+2≠0，
∴m≠
故答案为：C .
【分析】根据分式有意义的条件可得出3m+2≠0，进而得出m≠。
3．（2026八上·广州期末）下列运算正确的是 (　　)
A． B．
C． D．a(a+1) =a2+1
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：左边两项不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B： ，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D： a(a+1) =a2+a，所以D正确；
故答案为：B .
【分析】根据合并同类项法则可得出A不正确；根据同底数幂的乘法可得出B正确；根据幂的乘方可得出C不正确；根据单项式乘多项式法则可得出D不正确，即可得出答案。
4．（2026八上·广州期末）下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A：从左到右的变形是整式的乘法，所以A不符合题意；
B：从左到右的变形属于整式的乘法，所以B不符合题意；
C： 从左到右的变形，属于因式分解，所以C符合题意；
D：从左到右的变形，既不属于因式分解，又不属于整式的乘法，所以D不符合题意。
故答案为：C .
【分析】根据因式分解是把一个多项式变形为几个整式的积的形式，逐项进行判断，即可得出答案。
5．（2026八上·广州期末）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的(　　)
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意： 发射塔到三个村庄的距离相等，
∴ 信号发射塔应建在△ABC的 三条垂直平分线的交点处
故答案为：D .
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出到三个村庄的距离相等的发射塔应该在△ABC的 三条垂直平分线的交点处 。
6．（2026八上·广州期末）若把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值(　　)
A．A.缩小为原来的
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不变
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解： 把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，可得出：
故答案为：A .
【分析】根据把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，可得出，即可得出答案。
7．（2026八上·广州期末）现有7根木棍，长度(单位： dm)分别是1，2，3，4，5，6，7.从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为7dm，另两边的差大于2dm.这样的三角形一共有(　　)个.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)、
对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
(1，4，7)：1+4=5<7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(1，5，7)：1+5=6<7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(1，6，7)：1+6=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(2，5，7)：2+5=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(2，6，7)：2+6=8＞7，满足三边关系，能围成三角形。
(3，6，7)：3+6=9>7，6-3=3<7，满足三边关系，可以围成三角形。
满足条件的三角形有(2， 6， 7)、(3， 6， 7)2种。
故答案为：A .
【分析】根据 最长的边为7dm， 可从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)，对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。进而即可得出答案。
8．（2026八上·广州期末）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB∥EF，且AB=EF，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△FED 的是 (　　)
A．∠ACB=∠FDE B．BC=DE C．AD=CF D．∠B=∠E
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：根据AAS可判定 △ABC≌△FED ，所以A不符合题意；B：满足SSA，不能判定 △ABC≌△FED ，所以B符合题意；C：首先根据等式的性质得出AC=FD，进而根据SAS可 判定△ABC≌△FED，所以C不符合题意；
D： 根据ASA可判定 △ABC≌△FED ，所以D不符合题意。
故答案为： B.
【分析】根据全等三角形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
9．（2026八上·广州期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， 若 根据作图痕迹可知，△BDE 的周长是(　　)
A． B． C．10 D．12
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，
∵ ∠C=90°，
∴DC=DE，
∴ △BDE 的周长=BD+BE+BE=BD+DC+BE=BC+BE，
又AD=AD，∠C=∠DEA=90°，
∴
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴ △BDE 的周长=AE+BE=AB=10.
故答案为： C.
【分析】由作图可知：AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，进而根据角平分线的性质，可得出DC=DE，即可得出 △BDE 的周长=BD+BE+BE=BD+DC+BE=BC+BE，再根据HL可得出，得出AC=AE，即可得出△BDE 的周长=AE+BE=AB=10.
10．（2026八上·广州期末） 如图， 在等边△ABC中， AD⊥BC， E为AD 上一点， 连接BE， CE， ∠ABE=15°， 将△ABE沿BE 折叠， 使点A 落在点 F处， 连接AF， BF， CF. 下列结论： ①BE⊥AF； ②△AEC≌△FEB；③AF=CF； ④△AEF是等腰直角三角形⑤其中，正确的结论个数是 (　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：①由折叠性质得：FB=AB，AE=FE，∠FBE=∠ABE，∠FEB=∠AEB，
∴△ABF是等腰三角形，BE是∠FBA的平分线，
根据等腰三角形的性质得：BE⊥AF，
故结论①正确；
②：∵△ABC是等边三角形，且AD⊥BC，
∴AB=CB=AC=FB，BD=CD，∠ABC =60°，∠BAD =∠BAC=30°，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴EC=EB，
在△AEC和△FEB中，
∵AE=FE，AC=FB，AE=FE
∴ △AEC≌△FEB； (SSS)，
故结论②正确；
③∵ ∠ABE=15°，
∴∠FBE=∠ABE=15°，
∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=30°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=30°，
∴∠ABF= ∠CBF=30°，
在△ABF和△CBF中，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF
∴ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF，
故结论③正确；
④∵AE=FE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故结论④正确；
⑤在△ABE中，∠ABE=15°，∠BAD=30°，
∴ ∠AEB=180°-(∠ABE +∠BAD) =135°
∴∠FEB=∠AEB=135°，
∴∠AEF =360°-(∠FEB+∠AEB) = 90°，
∴FE⊥AD，
∵AD⊥BC，
∴EF//BC，
∴△EFC和△EFB等底同高，
∴S△EFC = S△EFB，
由折叠性质得：△EFB ≌ △EAB，
∴S△EFB= S△EAB，
∴S△EFB+S△EAB=2S△EFB=2S△EFC，
∴S△ABF > S△EFB+ S△EAB，
∴S△ABF > 2S△EFC，
故结论⑤不正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个.
故答案为：B .
【分析】根据折叠性质可得出△ABF是等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质可得出①正确；根据SSS证得△AEC≌△FEB，进而得出②正确；根据SAS可得ABF≌△CBF，进而得出③正确；根据AE=FE，可得出结论④正确；根据等底登高的三角形的面积相等，可得出S△ABF > 2S△EFC，即可得出⑤不正确，综上即可得出答案。
11．（2026八上·广州期末） 点 P (-5， - 4) 关于x轴对称的点的坐标是　 　.
【答案】(-5，4)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点 P (-5， - 4) 关于x轴对称的点的坐标（-5，4）。
故答案为：（-5，4） .
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标之间的关系可直接得出答案。
12．（2026八上·广州期末）流感病毒是常见的呼吸道病毒，它的形状一般为球形，直径大约为0.0000000103米， 该直径用科学记数法表示为　 　米.
【答案】1.03×10-8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000000103=1.03×10-8
故答案为：1.03×10-8 .
【分析】把0.0000000103改写成a×10n即可，其中a=1.03，n=-8.
13．（2026八上·广州期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据提公因式法分解因式：公因式为x，提出公因式，分解即可解答．
14．（2026八上·广州期末）用长度为20cm的细绳围成一个有一边长为6cm的等腰三角形，三角形的三边长分别为　 　.
【答案】6cm， 6cm， 8cm 或6cm， 7cm， 7cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：可分成两种情况：
① 边长为6cm的边为腰长：底边为20-6×2=8（cm），此时三角形的三边长分别为：6cm， 6cm， 8cm ；
② 边长为6cm的边为底边：腰长为（cm），此时三角形的三边长分别为：6cm， 7cm， 7cm。
综上可得出三角形的三边长分别为 6cm， 6cm， 8cm 或6cm， 7cm， 7cm。
故答案为：6cm， 6cm， 8cm 或6cm， 7cm， 7cm .
【分析】可分成两种情况：① 边长为6cm的边为腰长：三角形的三边长分别为：6cm， 6cm， 8cm ；边长为6cm的边为底边：三角形的三边长分别为：6cm， 7cm， 7cm。
15．（2026八上·广州期末） 已知 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴a-b=-3ab，
∴
故答案为： .
【分析】首先根据可得出a-b=-3ab，进而得出。
16．（2026八上·广州期末）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD=30°， AC=AE，且满足∠CAE=∠ABD，若 则AB=　 　.
【答案】10
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，
∵∠AEM= ∠ABD+∠BAE，∠CAN=∠CAE+∠BAE，且∠CAE=∠ABD，
∴∠AEM=∠CAN.
在 △ AEM和 △ CAN中，∵∠AEM=∠CAN，AC=AE，∠AME=∠CNA
∴ △ AEM ≌ △ CAN(ASA).
∴AM=CN.
又∵ ∠ABD= 30°，
∴AM=AB，
∴CN=AB.
∵S△ ABC = 25，
∴AB·CN =25，
则AB2=100，
∴AB=10.
故答案为：10.
【分析】过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，根据ASA证明△ AEM ≌ △ CAN，得出AM=CN.再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出 AM=AB， 进而得出CN=AB.再根据S△ ABC = 25，可得出AB·CN =25，即可得出AB=10.
17．（2026八上·广州期末）因式分解： 3y2-6y+3.
【答案】解：原式
=3(y-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】首先提公因式3，进而再根据完全平方公式，即可得出因式分解的结果。
18．（2026八上·广州期末）已知： 如图， HM=FG， EG=NH， HM∥FG， 求证： ∠E=∠N.
【答案】证明：∵ HM∥FG
∴ ∠MHN =∠EGF
在△NMH和 △EFG中
∴ △NMH≌△EFG
∴∠E=∠N
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据SAS可得出△NMH≌△EFG ，进而得出∠E=∠N。
19．（2026八上·广州期末）如图， ∠B=42°， ∠A 比∠ACB 小20°， ∠ACD=59°.
求证： AB∥CD.
【答案】解：∵∠A 比∠ACB小20°
∴∠ACB=∠A+20°
在△ABC中
∠A+∠B+∠ACB=180°
又∵∠ACD=59°
∴ ∠ACD=∠A
∴AB∥CD
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据内角和定理可得出，进而得出，进而得出∠ACD=∠A ，进一步得出AB∥CD 。
20．（2026八上·广州期末）已知：
（1） 化简A；
（2）从-1≤x≤1中选一个合适的整数作为x的值，求A 的值.
【答案】（1）解：
.
（2）解：取 x=0
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）进行分式的乘除进行花简即可；
（2）根据分式有意义的条件，x≠±1，可得出取 x=0，进而根据（1）化简的结果，求代数式的值即可。
21．（2026八上·广州期末）在平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点坐标分别为A (-4， 1)， B(-1， - 1)， C (-3， 2).
（1） 若△ABC关于y轴对称的图形为△A1B1C1， 在直角坐标系中画出△A1B1C1；
（2）在x轴上是否存在点 P，能使PA+PC1有最小值，如存在，请在图中找出点 P 的位置，如不存在，请说明理由：
（3） △A1B1C1的面积为　 　.
【答案】（1）解：如图所示△A1B1C1即为所求
（2）解：作出点A关于x轴的对称点A'，再连接A'C1，交x轴于点P，点P即为所求。
（3）
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3） △A1B1C1 的面积为：×（1+3）×3-×1×1-×3×2=.
故答案为：.
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标之间的关系，可得出 A (-4， 1)， B(-1， - 1)， C (-3， 2)关于y轴的对称点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
（2）首先找到点A关于x轴的对称点A'，再连接A'C1，交x轴于点P，点P即为所求。
（3）根据割补法即可得出 △A1B1C1的面积 。
22．（2026八上·广州期末） 用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等.假设两车一直都是匀速行驶.
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛 请说明理由.
【答案】（1）解：设“和谐号”的平均速度为x米/秒
解得： x=7
经检验：x=7是原分式方程的解
答：“和谐号”的平均速度为7米/秒.
（2）解：“和谐号”能赢得比赛.
理由： 2秒后“和谐号”离终点还有100-2×7=86 (米)
∴ “和谐号”到终点还需86÷7≈12.29 (秒)
而“畅想号”到终点需100÷8=12.5 (秒)
12.29<12.5
∴“和谐号”能赢得比赛
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x米/秒，根据“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等，即可得出方程，解方程并进行检验即可得出答案；
（2）“和谐号”能赢得比赛.首先计算出2秒后“和谐号”离终点的距离，进而根据路程除以速度可求得“和谐号”到终点，再计算出“畅想号”到终点所需时间，再进行比较大小，即可得出答案。
23．（2026八上·广州期末） 观察下列等式：
①32-i2=9-1=8=8×1； ②52-32=25-9=16=8×2；
③72-52=49-25=24=8×3； ④92-72=81-49=32=8×4.
请解答下列问题：
（1）按照上述规律，第⑤个等式为　 　；第⑩个等式为　 　；
（2） 猜想 的结果，并证明你的猜想；
（3）若对于用正整数n、k(k≥1)表示的两个奇数2n+2k-1和2n-1，它们的平方差结果为120.请求出所有满足条件的 (n，k).
【答案】（1）；
（2）解：n2+4n；
证明：
=-12+(2n+1) 2
（3）解：(2n+2k-1)2-(2n-1)2=120
(2n+2k-1+2n-1) (2n+2k-1-2n+1) =120
(4n+2k-2) 2k=120
k(2n+k-1) =30
∵n、k(k≥1) 都为正整数
∴当k=1时， 2n+1-1=30， 此时n=15
当k=2时， 2n+2-1=15， 此时n=7
当k=3时， 2n+3-1=10， 此时n=4
当k=4时， 2n+4-1=7.5， 此时n=2.25(不合题意， 舍去)
当k=5时， 2n+5-1=6， 此时n=1
当k=6时， 2n+6-1=5， 此时n=0(不合题意， 舍去)
此后当k越大n会越小，n都为负数，都不合题意
综上所述， 符合题意的(n， k) 有： (15， 1)， (7， 2)， (4， 3) (1， 5).
【知识点】平方差公式及应用；二元一次方程的应用；探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）根据①-④等式的特征，可得出 第⑤个等式为 ； 第⑩个等式为；
（2）根据加法的交换律和结合律，可得出=-12+(2n+1) 2 ，再根据完全平方公式展开后，进行加法运算即可得出结论；
（3）首先根据平方差公式进行因式分解，得出(4n+2k-2) 2k=120，进而得出k(2n+k-1) =30 ，进而根据n、k(k≥1) 都为正整数，分析讨论，即可得出答案。
24．（2026八上·广州期末） 在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=90°.
（1） 如图1， CD平分∠ACB， BE⊥CD， 与线段 CD 的延长线交于点E.
①证明： ∠ACD=∠EBD；
②试探究线段BE和 CD的数量关系，并证明你的结论.
（2）如图2，若点M 是线段BC上的动点(不与点B、C重合)，且 MN交AB于点G， 在点M运动的过程中， 是否为定值 请说明理由.
【答案】（1）解：①∵BE⊥CD
∴∠BEC=90°
∴∠EDB+∠EBD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ADC+∠ACD=90°
∵∠EDB=∠ADC
∴∠ACD=∠EBD
②
如图1：延长BE、CA 交于点 F
∵∠BAC=90°
∴∠DAC=∠BAF=90°
在△BAF和 △CAD中
∴ △BAF≌△CAD
∴BF=CD
∵ AB=AC， ∠BAC=90°
∴ ∠ABC=∠ACB=45°
∵ CD平分∠ACB
∴∠BCE=∠FCE=22.5°
∵BE⊥CD
∴∠CEB=∠CEF=90°
在△CEB 和 △CEF中
∴ △CEB≌△CEF
∴ BE=EF
∵ BE+EF=BF
（2）解： 是定值.
证明：如图2：过点M作MH∥AC，交AC于点 H，交BN的延长线于点K
∵MH∥AC
∴∠BHM=∠BAC=90°
∠KMB=∠ACB=45°
∴∠KMB=∠ABC=45°
∴MH=BH
∴∠NMB=∠NMK=22.5°
在△NMB 和 △NMK中
∴△NMB≌△NMK
∴∠KBH=∠MBH-∠HBM =67.5°-45°=22.5°
∴ ∠KBH=∠GMH
在△BHK和 △MHG中
∴ △BHK≌△MHG
∴ BK = MG
是定值
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）①首先根据直角三角形的性质可得出∠EDB+∠EBD=90°，∠ADC+∠ACD=90°，再根据对顶角的性质和等角的余角相等，即可得出结论；②，如图1：延长BE、CA 交于点 F ，首先根据ASA可证得△BAF≌△CAD ，即可得出BF=CD，再根据ASA证得△CEB≌△CEF ，得出BE=EF，进而；
（2）是定值.如图2：过点M作MH∥AC，交AC于点 H，交BN的延长线于点K，通过证明△NMB≌△NMK，得出，，进而得出∠KBH=∠GMH，再证明△BHK≌△MHG，可得出BK = MG，进而得出，即是定值。
25．（2026八上·广州期末） 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=60°， 点D是AC上一定点.
（1）尺规作图：过点D作DE∥AB，交BC于点E (不用写作法，保留作图痕迹)；
（2） 证明： △CDE是等边三角形；
（3）F是射线BC上的一动点(不与点B，C重合)，以DF为一边，在DF的右侧作等边△DFG.
①当点F在线段BE上(不与点E重合) 时， 求证： CF=CD+CG；
②当点F在射线EC上(不与点C重合)时，直接写出线段CF，CD，CG之间满足的数量关系.
【答案】（1）解：
（2）证明：∵AB=AC， ∠BAC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
∵DE∥AB
∴∠CDE=∠A=60°
∠CED=∠B=60°
∴∠CDE=∠CED=∠C=60°
∴△CDE 是等边三角形
（3）解：①证明：如图所示
∵△CDE是等边三角形
∴DE=DC=CE， ∠EDC=60°
∵△DFG是等边三角形
∴DF=DG， ∠FDG=60°
∴∠EDC=∠FDG
∴∠EDC - ∠EDG=∠FDG - ∠EDG
即∠FDE=∠GDC
∴△FDE≌△GDC
∴EF=CG
∵CF=CE+EF
∴CF=CD+CG
② 当点 F 在线段 EC上时， CD=CF+CG.
当点 F 在线段 EC 的延长线上时， CG=CD+CF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；尺规作图-平行线；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）②当点F在射线EC上(不与点C重合）时，可分为以下两种情况：
(i)当点F在线段EC上时，如图3所示：
∵△DFG是等边三角形，
∴DF = DG，∠FDG =60°，
由(2)可知：△CDE是等边三角形，
∴DE =CD=CE，∠EDC =60°，
.∴∠FDG =∠EDC =60°，
∴∠FDG-∠CDF=∠EDC-∠CDF，
∴∠CDG=∠EDF，
在△CDG和△EDF中，
DF=DG
∠CDG=∠EDF，
DE=CD
∴△ CDG △EDF(SAS)，
∴CG =FE，
∴CE =CF +FE，CE=CD，
∴CD =CF +CG；
（ii）当点F在EC的延长线上时，如图4所示：
∵△DFG是等边三角形，
∴DG = DF，∠FDG =60°，
由(2)可知：△CDE是等边三角形，
∴CD = DE = CE，∠EDC =60°，
∴ ∠FDG=∠EDC=60°，
∴ ∠FDG +∠CDF =∠EDC+∠CDF，
∴∠CDG=∠EDF，
在△CDG和△EDF中，
DG=DF
∠CDG=∠EDF，
CD=DE
∴△CDG AEDF(SAS)，
∴CG=FE，
∵FE =CF +CE，CD =CE，
∴CG = CF + CD，
综上所述： 当点 F 在线段 EC上时， CD=CF+CG.
当点 F 在线段 EC 的延长线上时， CG=CD+CF.
【分析】（1）尺规作∠CDE=∠BAC，即可得出 DE∥AB；
（2）首先根据一个角为60°的等腰三角形为等边三角形证得△ABC是等边三角形，得出 ∠A=∠B=∠C=60°，再根据（1）中DE∥AB，得出∠CDE=∠A=60°，∠CED=∠B=60°，进而得出∠CDE=∠CED=∠C=60°，即可得出△CDE 是等边三角形；
（3）①根据SAS可证明△FDE≌△GDC，得出EF=CG ，再根据CF=CE+EF，即可得出CF=CD+CG ；②分为两种情况：当点 F 在线段 EC上时， CD=CF+CG.；当点 F 在线段 EC 的延长线上时， CG=CD+CF.
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