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广东省广州市天河区2025-2026学年八年级上学期数学期末考试试卷
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（2026八上·天河期末）第十五届全国运动会在广东、香港、澳门举行，观察下列运动图标，属于轴对称图形的是（　　）.
A． B．
C． D．
2．（2026八上·天河期末）点（1，-2）关于y轴对称的点的坐标为（　　）.
A．（-1，-2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（1，2）
3．（2026八上·天河期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　）.
A．3，5，9 B．2，3，4 C．2，4，6 D．4，4，9
4．（2026八上·天河期末）下列运算正确的是（　　）.
A． B． C． D．
5．（2026八上·天河期末）已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
6．（2026八上·天河期末）如图，点C在线段BD上，且△ABC≌△DBE，若AB=7，BE=3，则CD的长为（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．10
7．（2026八上·天河期末）已知m+n=2，m-n=3，则计算；的结果为（　　）.
A．-1 B．1 C．5 D．6
8．（2026八上·天河期末）如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM=2，则PN的长为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2026八上·天河期末）定义新运算“◎”：，如果2◎x=3，那么x的值为（　　）.
A．1或3或4 B．1或3 C．1或4 D．3或4
10．（2026八上·天河期末）如图，AD和BC相交于点O，AC∥BD，OA=OC且OA⊥OC，连接AB，CD.设OA=a，OB=b，若BC=16，△AOC和△BOD的面积和等于68，则下列结论正确的有（　　）.
①△AOB≌△COD；②；③；④ab=120.
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分.）
11．（2026八上·天河期末）若分式有意义，则实数的取值范围是　 　．
12．（2026八上·天河期末）计算：　 　.
13．（2026八上·天河期末）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数为　 　.
14．（2026八上·天河期末）如图，在△ABC中，∠A=70°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=ED，AB=EB，若∠ABD=30°，则∠C的度数为　 　.
15．（2026八上·天河期末）若则代数式的值为　 　.
16．（2026八上·天河期末）如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC.若OA=2，OD=4，当∠AOD=30°时，四边形ABCD面积的值为　 　.
三、解答题（本大题有5小题，共36分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（2026八上·天河期末）
（1）计算：（x+2）（x+3）；
（2）分解因式：
18．（2026八上·天河期末）在我国传统工艺中，油纸伞的制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，已知AE=AF，GE=GF.
求证：△AEG≌△AFG.
19．（2026八上·天河期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（-1，2），B（2，1）.
（1）在图中画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1；
（2）连接AB1和A1B，求证
20．（2026八上·天河期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC的角平分线.若∠BAD=40°，∠C=80°.
求∠AEB的度数.
21．（2026八上·天河期末）某公司响应“积极稳妥推进碳达峰碳中和”的节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的2倍，现公司用2000万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆.求每辆B型汽车进价.
四、解答题（本大题有4小题，共50分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
22．（2026八上·天河期末）小天和小河在学完数学活动《月历中的奥秘》后，又发现了日历上某些数满足一定的规律.图1是2026年1月份的月历，如果用图2所示的折型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减，例如：9×11-16×4，19×21-26×14，发现这两个算式计算结果相等.设折型框架中位置C上的数为x.
（1）小天利用整式的运算对发现的规律给予证明.请你完成该规律的证明；
（2）小河在研究中进一步发现：设位置A，B，C上的数的乘积为M，位置C，D，E上的数的乘积为N，令y=M—N，求y与x的关系式.
23．（2026八上·天河期末）小天和小河在学完《轴对称》之后，对教材P84习题15.3中的几道数学习题进行拓展研究，编写了两道数学题，它们的已知条件都是：在△ABC中，AB=AC，点D，E是直线BC上任意两点（不与点B，C重合，且点D在点E的左侧）.解答下面两个问题：
（1）如图，若点D，E分别是边BC的三等分点，且AD=AE=2，则下列结论正确的是（　　）.
A．图中共有2对全等三角形
B．若则∠BAE=90°
C．若∠BAC=120°，则DE=2
D．若DE=2，在边AC上有一点P，设y=PD+PE，当y取最小值时，△PDE的面积等于△ABE的面积的三分之一
注意：本小题是多项选择题，有多个选项符合题目要求，要求回答时，在答题卡填涂.全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分.
（2）若点D，E关于△ABC的对称轴对称，求证BD=EC.
24．（2026八上·天河期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题.
【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成由于（可知当x=-1时，代数式有最小值为0.同理，由可知代数式有最小值为-5.类似的，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值.
（1）【解决问题】
求代数式（x-2）（x-4）的最小值；
（2）判断代数式有最大值还是有最小值 并求出这个最值；
（3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形ABCD的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆
25．（2026八上·天河期末）如图，已知△ABC是等边三角形.
（1）作线段AC的中点D，延长BC至E，使CE=AD，连接DB，DE.求∠E的度数；（要求：先尺规作图，后求角的度数）
（2）若D是线段AC延长线上一点时，延长BC至E，使CE=AD，连接DB，DE.
①求证DB=DE；
②作AF⊥BC交DB于F，若求△CBD的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
解： 属于轴对称图形
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答.
2．【答案】A
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】
解：点（1，-2）关于y轴对称的点的坐标为 （-1，-2）
故答案为：A
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，写出坐标即可解答.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】
解：A、3+5<9，不构成三角形，故A不符合题意；
B、2+3>4，构成三角形，故B符合题意；
C、2+4=6，不构成三角形，故C不符合题意；
D、4+4<9，不构成三角形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可判断得到答案，解答即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解： A、，计算错误，故A不符合题意；
B、，计算错误，故B不符合题意；
C、，计算错误，故C不符合题意；
D、，计算正确，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则可判断A；根据幂的乘方法则可判断B；根据同底数幂的乘法法则可判断C；根据积的乘方法则可判断D；逐一判断即可解答.
5．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
解： 0.0000026 =
故答案为：A
【分析】根据科学记数法，将一个绝对值小于10数据表示成为ax10-n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，计算即可解答.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
解： ∵△ABC≌△DBE，AB=7， BE=3
∴BD=AB=7， BC=BE=3
∴CD=BD-BC=4
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的性质得到BD=AB=7， BC=BE=3，再计算线段的和差即可解答.
7．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】
解： =（m+n）（m-n）
∵ m+n=2，m-n=3，
∴ =6
故答案为：D
【分析】先根据平方差公式因式分解得到 =（m+n）（m-n），再整体代值计算即可解答.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：如图，过点P作PCOA，垂足为C，
∵OP平分 ∠ AOB，PMOB， PCOA，
∴PM=PC=2， ∠ AOP= ∠ POB= 15°，
∵PN||OB，
∴∠NPO=∠POB=15°，
∴∠ANP= ∠AOP+∠NPO=30°，
∴在Rt△ PCN中，PN=2PC=4，
故答案为：C
【分析】过点P作PCOA，垂足为C，根据角平分线定理得到PM=PC=2， 根据角平分线的定义得到∠ AOP= ∠ POB= 15°，通过平行线的性质和外角的性质计算得到∠ANP=30°，再通过30°角的性质可得PN=2PC=4，解答即可.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；解分式方程
【解析】【解答】
解：当2>x时； 2◎x =，化简得到，解得x=1
当2故答案为：B
【分析】根据新定义，分2>x时；210．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；三角形全等的判定-SAS；求代数式的值-整体代入求值；两直线平行，内错角相等；数形结合
【解析】【解答】
解： ① 、∵OA=OC且OA⊥OC
∴ △AOC是等腰直角三角形
∴
∵AC∥BD，
∴
∴OB=OD
∵
∴ △AOB≌△COD；故①正确；
② 、 ∵OA=a，OB=b， BC=16，
∴a+b=16
∵△AOC和△BOD的面积和等于68
∴
∴； 故 ② 正确；
③ 、∵；a+b=16
∴
∴；故 ③ 正确； ④ 错误
∴结论正确的有 ①②③
故答案为：B
【分析】根据已知条件可判断△AOC是等腰直角三角形，再由特殊角度和平行线的性质得到，即可利用SAS判定得到△AOB≌△COD，可判定①；根据已知条件得到a+b=16，利用面积关系可得，可判定②；根据完全平方公式的配凑得到ab=60，，可判定③④；逐一判断即可解答.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则，
即，
故答案为：．
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不为0列式为，计算即可解答．
12．【答案】a2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】
解： a2
故答案为：a2
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变指数相减，计算即可解答.
13．【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：如图，
∵a∥b， ∠1=75°，
∴ ∠4= ∠1=75°，
∵∠4=∠2+∠3， ∠2=35°，
∴ ∠3 =40°
故答案为：40°
【分析】根据平行线的性质得到∠4= ∠1=75°，再根据外角的性质计算得到∠3 =40°，计算即可解答.
14．【答案】50°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
解： ∵AD=ED，AB=EB ，BD=BD
∴
∴∠ABD=∠DBE
∵∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBE=60°，
∵∠A=70°，
∴ ∠C =180°-∠A-∠ABC=50°
故答案为：50°
【分析】先根据SSS证明，再根据全等三角形的性质得到∠ABC=60°，再由三角形的内角和定理计算即可解答.
15．【答案】6
【知识点】配方法的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解： =
∵
∴ =6
故答案为：6
【分析】先用配方法配方得到 =，再整体代值计算即可解答.
16．【答案】14
【知识点】角的运算；三角形的面积；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：延长BO过点C作垂线交于点H，延长OA过点D作垂线交于点M，
∵ △AOB和△COD是等腰直角三角形
∴OD=OC=4，OA=OB=2
∵∠AOB=∠COD=90°， ∠AOD=30°，
∴∠BOC=150°，∠HOC=30°，
在Rt DOM中：∠AOD=30°，OD=4
∴DM=2
在Rt HOC中：∠HOC=30°，OC=4
∴CH=2
四边形ABCD面积 =
=14
故答案为：14
【分析】延长BO过点C作垂线交于点H，延长OA过点D作垂线交于点M，根据等腰直角三角形的性质得到OD=OC=4，OA=OB=2，分别在Rt DOM中，在Rt HOC中利用30°直角三角形的性质得到DM，CH的值，再利用面积公式计算即可解答.
17．【答案】（1）解：原式
（2）原式：
=a（x-y）（x+y）
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】
（1）根据多项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项，即可解答；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解即可解答.
18．【答案】证明：在△AEG和△AFG中，AG=AG（公共边）
又∵AE=AF，EG=FG
∴△AEG≌△AFG（SSS）.
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】
先找到公共边，然后利用SSS可证明 △AEG≌△AFG，解答即可.
19．【答案】（1）解：如图 △A1OB1 即为所求，

（2）解：如图所示，连接 和，
证明：由（1）得：△AOB≌△A1OB1，
∴OA=OA1，OB=OB1，
∵
∴
【知识点】角的运算；轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
(1)根据点的对称性，作出 △AOB关于x轴对称的△A1OB1 解答即可；
（2）根据轴对称的性质得到△AOB≌△A1OB1，，再根据全等三角形的性质得到OA=OA1，OB=OB1，再利用角度的和差运算得到，即可利用SAS证明，再根据全等三角形的性质解答即可.
20．【答案】解：∵AD⊥BC，垂足为D
∴∠BDA=90°
又∵∠C=80°
∴∠CAD=∠BDA-∠C=10°
∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+10°=50°
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°
又∵BE是△ABC的角平分线
∠AEB=∠ABC+∠C=105°
【知识点】角的运算；垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】
根据垂线的定义得到∠BDA=90°，再计算余角得到∠CAD=10°，再利用三角形内角和定理计算角度的和差运算得到∠ABC=50°，再根据角平分线的定义进行角度的和差运算即可解答.
21．【答案】解：设求每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是2x万元
由题有：
解得：x=10
检验：当x=10时，2x≠0，所以x=10是原分式方程的解.
答：每辆B型汽车进价是10万元。
【知识点】解分式方程；列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
设求每辆B型汽车进价是x万元，表示出每辆A型汽车进价是2x万元，根据用2000万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆这个等量关系列出分式方程得到，计算并检验即可解答.
22．【答案】（1）解：（1）设折型框架中位置C上的数为x，则位置B上的数为x-1，位置A上的数为x+6，位置D上的数为x+1，位置E上的数为x-6
则：（x-1）（x+1）-（x-6）（x+6）
=35
（2）M-N=x（x-1）（x+6）-x（x+1）（x-6）.
∴y与x的关系式为y=10x2.
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】
(1)根据图表的数量关系设折型框架中位置C上的数为x，可表示出位置B上的数，位置A上的数，位置D上的数，位置E上的数，然后将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，最后将得到的积相减，化简即可解答；
（2） 将A，B，C上的数的乘积为M表示为x（x-1）（x+6）；再将位置C，D，E上的数的乘积为N表示为x（x+1）（x-6），再根据整式的乘法运算化简可得y=10x2，解答即可.
23．【答案】（1）A；B；D
（2）解：①当D，E在BC内部时，过A做AH⊥BC于点H，
∵△ABC中，AB=AC，AH⊥BC
∴AH是△ABC的对称轴，BH=CH.
∵点D，E关于△ABC的对称轴对称.
∴DH=EH
∴BH-DH=CH-EH即BD=CE
②当D，E在BC外部时，过A做AH⊥BC于点H，
∵△ABC中，AB=AC，AH⊥BC
∴AH是△ABC的对称轴，BH=CH
∵点D，E关于△ABC的对称轴对称.
∴DH=EH
DH-BH=EH-CH，即BD=CE

【知识点】两点之间线段最短；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【解答】
解： (1)A、∵ AB=AC，
∴
∵D，E分别是边BC的三等分点
∴BD=DE=EC
∴
∵BD+DE=CE+DE
∴BE=CD
∴
∴图中共有2对全等三角形，故A正确；
B、 ∵BD=DE
∴AD=BD=DE
∴
∵
∴
∴∠BAE=90°，故B正确；
C、 由∠BAC=120°， AB=AC，可得，
由AD=AE可得，从而利用外角关系得到
，但无法说明，从而不能说明，因而不能证明 △ADE 是等边三角形，从而不能说明DE=2，故C不正确；
D、如图，构造点D关于AC的对称点D'，连接DP'，DD'
∵D，D'关于AC对称
∴DP=DP'
∴DP+PE=D'P+PE，即如图当点D'，P'E三点共线时，y取最小值为D'E，作AG于点G
∵AG， AD=AE
∴DG=GE
∵ 点D，E分别是边BC的三等分点 ，PEBC，AG
∴，PE||AG
∴
∴当y取最小值时，△PDE的面积等于△ABE的面积的三分之一，故D正确
故答案为：ABD
【分析】
(1)根据SAS判定，可判断A；根据等边对等角利用三角形内角和定理计算可得∠BAE=90°，可判断B；根据等边对等角可得，但结合AD=AE不能证明 △ADE 是等边三角形，从而不能说明DE=2，可判断C；构造点D关于AC的对称点D'，连接DP'，DD'根据轴对称的性质得到当点D'，P'E三点共线时，y取最小值为D'E，作AG于点G，根据等腰三角形的三线合一的性质得到DG=GE，根据点D，E分别是边BC的三等分点得到，根据平行线分线段成比例得到，再利用三角形的面积计算比值，可判断D，解答即可.
(2)①当D，E在BC内部时，过A做AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质得到AH是△ABC的对称轴，BH=CH，根据轴对称的性质得到DH=EH，再进行线段的和差运算计算可解答；②当D，E在BC外部时，过A做AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质得到AH是△ABC的对称轴，BH=CH根据轴对称的性质得到DH=EH，再进行线段的和差运算计算可解答.
24．【答案】（1）解：
当x=3时，代数式有最小值，最小值为-1
（2）解：
当x=2时，代数式有最大值，最大值为12
（3）解：设与墙垂直的边长为x，则生物园的面积S=x（20-2x）
=
当x=5时，生物园的面积有最大值50
∴与墙垂直的边长为5时， 生物园的面积最大 .
【知识点】多项式乘多项式；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】
(1)先根据多项式乘多项式的法则计算得到，再利用配方法配方可得，再根据偶次方的非负性可得 代数式（x-2）（x-4）的最小值 ，解答即可；
（2）利用配方法将代数式配方为再根据偶次方的非负性可得最小值 ，解答即可；
（3）设与墙垂直的边长为x表示出生物园的面积S=x（20-2x）利用配方法配方，再根据偶次方的非负性可得最小值 ，解答即可.
25．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠BCA=60°，
又点D为线段AC的中点，
∴BD平分∠ABC，AD=CD，
∴∠CBD=30°，
又∵AD=CE，
∴CD=CE，∠CDE=∠CED，
又∠CDE+∠CED=∠BCD，
∴2∠CED=60°，
∴∠CED=∠CBD=30°
（2）解：①证明：如图，过点D作DF∥AB交BE于F，
∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB，
∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，
∴△CDF为等边三角形，
∴CD=DF=CF，
又∵AD=CE，
∴AD-CD=CE-CF，
∴BC=AC=EF，
∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°，
∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，
∴△BCD≌△EFD（SAS），
∴DB=DE.
②解：如图，CG⊥BD交BD于G，连接CF.
∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，
∴AF平分线段BC，
∴AF垂直平分线段BC，
∴∠FCB=∠FBC，
由（2）可知，DB=DE，
∴∠E=∠DBE
∵∠BDE=150°，
∴∠DBC=∠E=∠BCF=15°，
∴∠CFG=∠FBC+∠FCB=15°+15°=30°，
∵CG⊥BD，
∴∠CGF=∠CGD=90°，
∵∠ACB=∠DBC+∠BDC=60°，
∴∠GCD=∠GDC=45°，

【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
(1)作AC的垂直平分线与AC的交点D即为中点，然后延长BC以C为圆心CD长为半径画弧交点为E，画出图形；根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BCA=60°，根据三线合一的性质得到BD平分∠ABC，AD=CD，根据等边对等角可得∠CDE=∠CED，再通过角度的和差运算可得∠CED=∠CBD=30°，解答即可；
(2)①过点D作DF∥AB交BE于F，根据平行线的性质可得∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，再根据等边三角形的性质利用角度的和差运算可得∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，从而可判定△CDF为等边三角形，再通过等边三角形的性质利用角度的和差运算可推导证明△BCD≌△EFD，根据全等三角形的性质可得出结论；②CG⊥BD交BD于G，连接CF，根据等边三角形的性质可得到AF垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线的性质可得∠FCB=∠FBC，结合角度的和差运算可得∠CFG=30°，再利用30°角的性质得到再通过角度的计算得到∠GCD=∠GDC=45°，利用等角对等边可得再利用三角形的面积公式计算即可解答.
1 / 1广东省广州市天河区2025-2026学年八年级上学期数学期末考试试卷
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（2026八上·天河期末）第十五届全国运动会在广东、香港、澳门举行，观察下列运动图标，属于轴对称图形的是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
解： 属于轴对称图形
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答.
2．（2026八上·天河期末）点（1，-2）关于y轴对称的点的坐标为（　　）.
A．（-1，-2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（1，2）
【答案】A
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】
解：点（1，-2）关于y轴对称的点的坐标为 （-1，-2）
故答案为：A
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，写出坐标即可解答.
3．（2026八上·天河期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　）.
A．3，5，9 B．2，3，4 C．2，4，6 D．4，4，9
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】
解：A、3+5<9，不构成三角形，故A不符合题意；
B、2+3>4，构成三角形，故B符合题意；
C、2+4=6，不构成三角形，故C不符合题意；
D、4+4<9，不构成三角形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可判断得到答案，解答即可.
4．（2026八上·天河期末）下列运算正确的是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解： A、，计算错误，故A不符合题意；
B、，计算错误，故B不符合题意；
C、，计算错误，故C不符合题意；
D、，计算正确，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则可判断A；根据幂的乘方法则可判断B；根据同底数幂的乘法法则可判断C；根据积的乘方法则可判断D；逐一判断即可解答.
5．（2026八上·天河期末）已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
解： 0.0000026 =
故答案为：A
【分析】根据科学记数法，将一个绝对值小于10数据表示成为ax10-n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，计算即可解答.
6．（2026八上·天河期末）如图，点C在线段BD上，且△ABC≌△DBE，若AB=7，BE=3，则CD的长为（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
解： ∵△ABC≌△DBE，AB=7， BE=3
∴BD=AB=7， BC=BE=3
∴CD=BD-BC=4
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的性质得到BD=AB=7， BC=BE=3，再计算线段的和差即可解答.
7．（2026八上·天河期末）已知m+n=2，m-n=3，则计算；的结果为（　　）.
A．-1 B．1 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】
解： =（m+n）（m-n）
∵ m+n=2，m-n=3，
∴ =6
故答案为：D
【分析】先根据平方差公式因式分解得到 =（m+n）（m-n），再整体代值计算即可解答.
8．（2026八上·天河期末）如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM=2，则PN的长为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：如图，过点P作PCOA，垂足为C，
∵OP平分 ∠ AOB，PMOB， PCOA，
∴PM=PC=2， ∠ AOP= ∠ POB= 15°，
∵PN||OB，
∴∠NPO=∠POB=15°，
∴∠ANP= ∠AOP+∠NPO=30°，
∴在Rt△ PCN中，PN=2PC=4，
故答案为：C
【分析】过点P作PCOA，垂足为C，根据角平分线定理得到PM=PC=2， 根据角平分线的定义得到∠ AOP= ∠ POB= 15°，通过平行线的性质和外角的性质计算得到∠ANP=30°，再通过30°角的性质可得PN=2PC=4，解答即可.
9．（2026八上·天河期末）定义新运算“◎”：，如果2◎x=3，那么x的值为（　　）.
A．1或3或4 B．1或3 C．1或4 D．3或4
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；解分式方程
【解析】【解答】
解：当2>x时； 2◎x =，化简得到，解得x=1
当2故答案为：B
【分析】根据新定义，分2>x时；210．（2026八上·天河期末）如图，AD和BC相交于点O，AC∥BD，OA=OC且OA⊥OC，连接AB，CD.设OA=a，OB=b，若BC=16，△AOC和△BOD的面积和等于68，则下列结论正确的有（　　）.
①△AOB≌△COD；②；③；④ab=120.
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；三角形全等的判定-SAS；求代数式的值-整体代入求值；两直线平行，内错角相等；数形结合
【解析】【解答】
解： ① 、∵OA=OC且OA⊥OC
∴ △AOC是等腰直角三角形
∴
∵AC∥BD，
∴
∴OB=OD
∵
∴ △AOB≌△COD；故①正确；
② 、 ∵OA=a，OB=b， BC=16，
∴a+b=16
∵△AOC和△BOD的面积和等于68
∴
∴； 故 ② 正确；
③ 、∵；a+b=16
∴
∴；故 ③ 正确； ④ 错误
∴结论正确的有 ①②③
故答案为：B
【分析】根据已知条件可判断△AOC是等腰直角三角形，再由特殊角度和平行线的性质得到，即可利用SAS判定得到△AOB≌△COD，可判定①；根据已知条件得到a+b=16，利用面积关系可得，可判定②；根据完全平方公式的配凑得到ab=60，，可判定③④；逐一判断即可解答.
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分.）
11．（2026八上·天河期末）若分式有意义，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则，
即，
故答案为：．
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不为0列式为，计算即可解答．
12．（2026八上·天河期末）计算：　 　.
【答案】a2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】
解： a2
故答案为：a2
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变指数相减，计算即可解答.
13．（2026八上·天河期末）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数为　 　.
【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：如图，
∵a∥b， ∠1=75°，
∴ ∠4= ∠1=75°，
∵∠4=∠2+∠3， ∠2=35°，
∴ ∠3 =40°
故答案为：40°
【分析】根据平行线的性质得到∠4= ∠1=75°，再根据外角的性质计算得到∠3 =40°，计算即可解答.
14．（2026八上·天河期末）如图，在△ABC中，∠A=70°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=ED，AB=EB，若∠ABD=30°，则∠C的度数为　 　.
【答案】50°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
解： ∵AD=ED，AB=EB ，BD=BD
∴
∴∠ABD=∠DBE
∵∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBE=60°，
∵∠A=70°，
∴ ∠C =180°-∠A-∠ABC=50°
故答案为：50°
【分析】先根据SSS证明，再根据全等三角形的性质得到∠ABC=60°，再由三角形的内角和定理计算即可解答.
15．（2026八上·天河期末）若则代数式的值为　 　.
【答案】6
【知识点】配方法的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解： =
∵
∴ =6
故答案为：6
【分析】先用配方法配方得到 =，再整体代值计算即可解答.
16．（2026八上·天河期末）如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC.若OA=2，OD=4，当∠AOD=30°时，四边形ABCD面积的值为　 　.
【答案】14
【知识点】角的运算；三角形的面积；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：延长BO过点C作垂线交于点H，延长OA过点D作垂线交于点M，
∵ △AOB和△COD是等腰直角三角形
∴OD=OC=4，OA=OB=2
∵∠AOB=∠COD=90°， ∠AOD=30°，
∴∠BOC=150°，∠HOC=30°，
在Rt DOM中：∠AOD=30°，OD=4
∴DM=2
在Rt HOC中：∠HOC=30°，OC=4
∴CH=2
四边形ABCD面积 =
=14
故答案为：14
【分析】延长BO过点C作垂线交于点H，延长OA过点D作垂线交于点M，根据等腰直角三角形的性质得到OD=OC=4，OA=OB=2，分别在Rt DOM中，在Rt HOC中利用30°直角三角形的性质得到DM，CH的值，再利用面积公式计算即可解答.
三、解答题（本大题有5小题，共36分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（2026八上·天河期末）
（1）计算：（x+2）（x+3）；
（2）分解因式：
【答案】（1）解：原式
（2）原式：
=a（x-y）（x+y）
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】
（1）根据多项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项，即可解答；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解即可解答.
18．（2026八上·天河期末）在我国传统工艺中，油纸伞的制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，已知AE=AF，GE=GF.
求证：△AEG≌△AFG.
【答案】证明：在△AEG和△AFG中，AG=AG（公共边）
又∵AE=AF，EG=FG
∴△AEG≌△AFG（SSS）.
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】
先找到公共边，然后利用SSS可证明 △AEG≌△AFG，解答即可.
19．（2026八上·天河期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（-1，2），B（2，1）.
（1）在图中画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1；
（2）连接AB1和A1B，求证
【答案】（1）解：如图 △A1OB1 即为所求，

（2）解：如图所示，连接 和，
证明：由（1）得：△AOB≌△A1OB1，
∴OA=OA1，OB=OB1，
∵
∴
【知识点】角的运算；轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
(1)根据点的对称性，作出 △AOB关于x轴对称的△A1OB1 解答即可；
（2）根据轴对称的性质得到△AOB≌△A1OB1，，再根据全等三角形的性质得到OA=OA1，OB=OB1，再利用角度的和差运算得到，即可利用SAS证明，再根据全等三角形的性质解答即可.
20．（2026八上·天河期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC的角平分线.若∠BAD=40°，∠C=80°.
求∠AEB的度数.
【答案】解：∵AD⊥BC，垂足为D
∴∠BDA=90°
又∵∠C=80°
∴∠CAD=∠BDA-∠C=10°
∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+10°=50°
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°
又∵BE是△ABC的角平分线
∠AEB=∠ABC+∠C=105°
【知识点】角的运算；垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】
根据垂线的定义得到∠BDA=90°，再计算余角得到∠CAD=10°，再利用三角形内角和定理计算角度的和差运算得到∠ABC=50°，再根据角平分线的定义进行角度的和差运算即可解答.
21．（2026八上·天河期末）某公司响应“积极稳妥推进碳达峰碳中和”的节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的2倍，现公司用2000万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆.求每辆B型汽车进价.
【答案】解：设求每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是2x万元
由题有：
解得：x=10
检验：当x=10时，2x≠0，所以x=10是原分式方程的解.
答：每辆B型汽车进价是10万元。
【知识点】解分式方程；列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
设求每辆B型汽车进价是x万元，表示出每辆A型汽车进价是2x万元，根据用2000万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆这个等量关系列出分式方程得到，计算并检验即可解答.
四、解答题（本大题有4小题，共50分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
22．（2026八上·天河期末）小天和小河在学完数学活动《月历中的奥秘》后，又发现了日历上某些数满足一定的规律.图1是2026年1月份的月历，如果用图2所示的折型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减，例如：9×11-16×4，19×21-26×14，发现这两个算式计算结果相等.设折型框架中位置C上的数为x.
（1）小天利用整式的运算对发现的规律给予证明.请你完成该规律的证明；
（2）小河在研究中进一步发现：设位置A，B，C上的数的乘积为M，位置C，D，E上的数的乘积为N，令y=M—N，求y与x的关系式.
【答案】（1）解：（1）设折型框架中位置C上的数为x，则位置B上的数为x-1，位置A上的数为x+6，位置D上的数为x+1，位置E上的数为x-6
则：（x-1）（x+1）-（x-6）（x+6）
=35
（2）M-N=x（x-1）（x+6）-x（x+1）（x-6）.
∴y与x的关系式为y=10x2.
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】
(1)根据图表的数量关系设折型框架中位置C上的数为x，可表示出位置B上的数，位置A上的数，位置D上的数，位置E上的数，然后将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，最后将得到的积相减，化简即可解答；
（2） 将A，B，C上的数的乘积为M表示为x（x-1）（x+6）；再将位置C，D，E上的数的乘积为N表示为x（x+1）（x-6），再根据整式的乘法运算化简可得y=10x2，解答即可.
23．（2026八上·天河期末）小天和小河在学完《轴对称》之后，对教材P84习题15.3中的几道数学习题进行拓展研究，编写了两道数学题，它们的已知条件都是：在△ABC中，AB=AC，点D，E是直线BC上任意两点（不与点B，C重合，且点D在点E的左侧）.解答下面两个问题：
（1）如图，若点D，E分别是边BC的三等分点，且AD=AE=2，则下列结论正确的是（　　）.
A．图中共有2对全等三角形
B．若则∠BAE=90°
C．若∠BAC=120°，则DE=2
D．若DE=2，在边AC上有一点P，设y=PD+PE，当y取最小值时，△PDE的面积等于△ABE的面积的三分之一
注意：本小题是多项选择题，有多个选项符合题目要求，要求回答时，在答题卡填涂.全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分.
（2）若点D，E关于△ABC的对称轴对称，求证BD=EC.
【答案】（1）A；B；D
（2）解：①当D，E在BC内部时，过A做AH⊥BC于点H，
∵△ABC中，AB=AC，AH⊥BC
∴AH是△ABC的对称轴，BH=CH.
∵点D，E关于△ABC的对称轴对称.
∴DH=EH
∴BH-DH=CH-EH即BD=CE
②当D，E在BC外部时，过A做AH⊥BC于点H，
∵△ABC中，AB=AC，AH⊥BC
∴AH是△ABC的对称轴，BH=CH
∵点D，E关于△ABC的对称轴对称.
∴DH=EH
DH-BH=EH-CH，即BD=CE

【知识点】两点之间线段最短；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【解答】
解： (1)A、∵ AB=AC，
∴
∵D，E分别是边BC的三等分点
∴BD=DE=EC
∴
∵BD+DE=CE+DE
∴BE=CD
∴
∴图中共有2对全等三角形，故A正确；
B、 ∵BD=DE
∴AD=BD=DE
∴
∵
∴
∴∠BAE=90°，故B正确；
C、 由∠BAC=120°， AB=AC，可得，
由AD=AE可得，从而利用外角关系得到
，但无法说明，从而不能说明，因而不能证明 △ADE 是等边三角形，从而不能说明DE=2，故C不正确；
D、如图，构造点D关于AC的对称点D'，连接DP'，DD'
∵D，D'关于AC对称
∴DP=DP'
∴DP+PE=D'P+PE，即如图当点D'，P'E三点共线时，y取最小值为D'E，作AG于点G
∵AG， AD=AE
∴DG=GE
∵ 点D，E分别是边BC的三等分点 ，PEBC，AG
∴，PE||AG
∴
∴当y取最小值时，△PDE的面积等于△ABE的面积的三分之一，故D正确
故答案为：ABD
【分析】
(1)根据SAS判定，可判断A；根据等边对等角利用三角形内角和定理计算可得∠BAE=90°，可判断B；根据等边对等角可得，但结合AD=AE不能证明 △ADE 是等边三角形，从而不能说明DE=2，可判断C；构造点D关于AC的对称点D'，连接DP'，DD'根据轴对称的性质得到当点D'，P'E三点共线时，y取最小值为D'E，作AG于点G，根据等腰三角形的三线合一的性质得到DG=GE，根据点D，E分别是边BC的三等分点得到，根据平行线分线段成比例得到，再利用三角形的面积计算比值，可判断D，解答即可.
(2)①当D，E在BC内部时，过A做AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质得到AH是△ABC的对称轴，BH=CH，根据轴对称的性质得到DH=EH，再进行线段的和差运算计算可解答；②当D，E在BC外部时，过A做AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质得到AH是△ABC的对称轴，BH=CH根据轴对称的性质得到DH=EH，再进行线段的和差运算计算可解答.
24．（2026八上·天河期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题.
【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成由于（可知当x=-1时，代数式有最小值为0.同理，由可知代数式有最小值为-5.类似的，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值.
（1）【解决问题】
求代数式（x-2）（x-4）的最小值；
（2）判断代数式有最大值还是有最小值 并求出这个最值；
（3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形ABCD的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆
【答案】（1）解：
当x=3时，代数式有最小值，最小值为-1
（2）解：
当x=2时，代数式有最大值，最大值为12
（3）解：设与墙垂直的边长为x，则生物园的面积S=x（20-2x）
=
当x=5时，生物园的面积有最大值50
∴与墙垂直的边长为5时， 生物园的面积最大 .
【知识点】多项式乘多项式；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】
(1)先根据多项式乘多项式的法则计算得到，再利用配方法配方可得，再根据偶次方的非负性可得 代数式（x-2）（x-4）的最小值 ，解答即可；
（2）利用配方法将代数式配方为再根据偶次方的非负性可得最小值 ，解答即可；
（3）设与墙垂直的边长为x表示出生物园的面积S=x（20-2x）利用配方法配方，再根据偶次方的非负性可得最小值 ，解答即可.
25．（2026八上·天河期末）如图，已知△ABC是等边三角形.
（1）作线段AC的中点D，延长BC至E，使CE=AD，连接DB，DE.求∠E的度数；（要求：先尺规作图，后求角的度数）
（2）若D是线段AC延长线上一点时，延长BC至E，使CE=AD，连接DB，DE.
①求证DB=DE；
②作AF⊥BC交DB于F，若求△CBD的面积.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠BCA=60°，
又点D为线段AC的中点，
∴BD平分∠ABC，AD=CD，
∴∠CBD=30°，
又∵AD=CE，
∴CD=CE，∠CDE=∠CED，
又∠CDE+∠CED=∠BCD，
∴2∠CED=60°，
∴∠CED=∠CBD=30°
（2）解：①证明：如图，过点D作DF∥AB交BE于F，
∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB，
∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，
∴△CDF为等边三角形，
∴CD=DF=CF，
又∵AD=CE，
∴AD-CD=CE-CF，
∴BC=AC=EF，
∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°，
∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，
∴△BCD≌△EFD（SAS），
∴DB=DE.
②解：如图，CG⊥BD交BD于G，连接CF.
∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，
∴AF平分线段BC，
∴AF垂直平分线段BC，
∴∠FCB=∠FBC，
由（2）可知，DB=DE，
∴∠E=∠DBE
∵∠BDE=150°，
∴∠DBC=∠E=∠BCF=15°，
∴∠CFG=∠FBC+∠FCB=15°+15°=30°，
∵CG⊥BD，
∴∠CGF=∠CGD=90°，
∵∠ACB=∠DBC+∠BDC=60°，
∴∠GCD=∠GDC=45°，

【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
(1)作AC的垂直平分线与AC的交点D即为中点，然后延长BC以C为圆心CD长为半径画弧交点为E，画出图形；根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BCA=60°，根据三线合一的性质得到BD平分∠ABC，AD=CD，根据等边对等角可得∠CDE=∠CED，再通过角度的和差运算可得∠CED=∠CBD=30°，解答即可；
(2)①过点D作DF∥AB交BE于F，根据平行线的性质可得∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，再根据等边三角形的性质利用角度的和差运算可得∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，从而可判定△CDF为等边三角形，再通过等边三角形的性质利用角度的和差运算可推导证明△BCD≌△EFD，根据全等三角形的性质可得出结论；②CG⊥BD交BD于G，连接CF，根据等边三角形的性质可得到AF垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线的性质可得∠FCB=∠FBC，结合角度的和差运算可得∠CFG=30°，再利用30°角的性质得到再通过角度的计算得到∠GCD=∠GDC=45°，利用等角对等边可得再利用三角形的面积公式计算即可解答.
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