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广东省广州市天河区广州中学2025－2026学年七年级上学期1月期末考试数学试卷
1．（2026七上·天河期末）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2026七上·天河期末） 2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，创造了全球直播观看人次的纪录.截至9月5日10时，全媒体渠道总触达人次约 33940000000次，其中数据“33940000000”用科学记数法表示为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 33940000000 =.
故答案为： D.
【分析】将较大的数化为的形式即可，其中，n为数位减1.
3．（2026七上·天河期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】去括号法则及应用；同类项的概念；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
A：x，原计算错误，故A不符合题意
B：不是同类项不能合并，故B不符合题意
C：，计算正确，故C符合题意
D：，原计算错误，故D不符合题意
故答案为：C.
【分析】
根据整式的加减由合并同类项和去括号法则得5x+3x=8x，可判断A；根据同类项的定义可得2x与3y不是同类项，不能计算，可判断B；根据合并同类项法则计算可判断C；根据去括号法则可判断D；逐一判断即可解答.
4．（2026七上·天河期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则射线的方向是（　　）
A．西偏北 B．北偏西 C．西偏北 D．北偏西
【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：已知 OA 是北偏东 30° 方向，即 OA 与正北方向的夹角为 30°。∵ OB 与 OA 垂直，所以∠AOB = 90°。由此可算出 OB 与正北方向的夹角为：90° - 30° = 60°。
结合图形，OB 位于正北方向的西侧，因此 OB 的方向为北偏西 60°。
故答案为：B。
【分析】已知 OA 是北偏东 30°，OB 与 OA 垂直，先算出 OB 与正北方向的夹角为90 30 =60 ，再结合 OB 在正北西侧，确定方向为北偏西 60°。
5．（2026七上·天河期末）下列各组的两个量成反比例关系的是（　　）
A．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
B．等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长
C．三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高
D．圆的周长与它的半径
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆的相关概念；成反比例的量及其意义；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A： 销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系是正比例关系，所以A不符合题意。
B： 等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成比例，所以B不符合题意；
C： 三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，所以C符合题意；
D： 圆的周长与它的半径成正比例关系，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据反比例关系，正比例关系的定义逐项进行判断，即可得出答案。
6．（2026七上·天河期末）如果ax+6=5的解与2x+5=4-3x的解相同，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】解一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数；一元一次方程-同解问题
【解析】【解答】解： 2x+5=4-3x，
移项，得 ：2x+3x=4-5，
合并同类项，得：5x=-1，
∴x=
∵ ax+6=5的解与2x+5=4-3x的解相同，
∴a+6=5，
∴a=5
故答案为：D.
【分析】首先解方程2x+5=4-3x，求得x=，进而根据同解方程，即可得出a+6=5，解方程即可求得a的值。
7．（2026七上·天河期末）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：∵，是一副直角三角板，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】
根据直角三角板的特性可得：，再根据角的和差求得，再根据余角的性质计算即可解答．
8．（2026七上·天河期末）已知为关于x的二次三项式，当x=1时，该多项式的值是（　　）
A．-8 B．-10 C．-12 D．-14
【答案】A
【知识点】多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵为关于x的二次三项式，
∴a-4=0，b=2，
∴a=4，
∴该多项式为：-x2+x-8
∴当x=1时：代数式-x2+x-8=-12+1-8=-8.
故答案为：A
【分析】首先根据二次三项式的定义可得出a-4=0，b=2，进而得出该多项式为：-x2+x-8，进一步把x=1代入代数式进行求值即可。
9．（2026七上·天河期末）一艘轮船在A、B两港口之间行驶，顺水航行要5小时，逆水航行要7小时，水流的速度是5千米/时，则A、B两地之间的路程是（　　）
A．105千米 B．175千米 C．180千米 D．210千米
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设静水速为x千米/时，
根据题意，得：5（x+5）=7（x-5）
解方程，得：x=30，
∴ A、B两地之间的路程是：5（x+5）=5×（30+5）=175.
故答案为：B。
【分析】设静水速为x千米/时，即可得出顺水速和逆水速分别为：（x+5）千米/时，（x-5）千米/时，再根据 A、B两地之间的路程 不变，即可得出5（x+5）=7（x-5），解方程求得x=30，进而得出 A、B两地之间的路程是：5（x+5）=5×（30+5）=175（千米）即可。
10．（2026七上·天河期末）如图，根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（　　）
A． B．2 C． D．548
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：左上角数字：符号交替为负、正、负、正…，绝对值是，所以第个图的。
右上角数字：比大2，所以。
下方数字：是的一半，符号与一致，所以。
代入第9个图（）：
；；
故：
故答案为：B。
【分析】先总结出第个图中、、的规律，再代入求出、、的值，最后计算得到结果为。
11．（2026七上·天河期末）如图，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度变短，这样做的道理是　 　．
【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间，线段最短；
故答案为：两点之间，线段最短．
【分析】根据线段的性质，线段的基本性质为“两点之间线段最短”，河道改直缩短长度正是应用了这一性质.
12．（2026七上·天河期末）如果与是同类项，则　 　．
【答案】
【知识点】同类项的概念；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：因为与是同类项，
所以的指数相等，即；的指数相等，即，
解得：．
所以：．
故答案为：．
【分析】利用同类项的定义（同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）可得m=3，，再求解即可.
13．（2026七上·天河期末）已知线段，在直线上有一点C，且，则线段的长为　 　
【答案】或
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由线段，且，
当点C在点B的左侧时，
；
当点C在点B的右侧时，
，
故答案为：或．
【分析】因为点 C 在直线 AB 上，位置不确定，需要分两种情况计算：当点 C 在 A、B 之间时，AC = AB - BC = 5 - 2 = 3cm；当点 C 在 B 的外侧时，AC = AB + BC = 5 + 2 = 7cm。
14．（2026七上·天河期末）用小立方块搭一个几何体，它从正面看和从上面看从正面着到的图形如图所示，则这个几何体最少需要的小立方块个数为　 　．
【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由从正面和从上面看到的图形可知：
从上面看到的图形中每个小正方形里的数字是该位置上小正方体的最少个数，
则至少需要：个小立方块．
故答案为：10．
【分析】由俯视图确定底层（第一层）的小立方块数量为 6 个，由主视图确定几何体有 3 层，且第 2 列、第 1 列最高有 3 层，第二层和第三层取最少数量：第二层最少 2 个，第三层最少 2 个，总个数为6+2+2=10。
15．（2026七上·天河期末）若、、为实数，且满足，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】先由 b c=1 得到 c=b 1，把它代入 a b+2c 里化简，得到 a+b 2，再把 a+b=4 代入，算出结果即可。
16．（2026七上·天河期末）规定：平面上条直线最多交点数记为，则　 　；　 　．
【答案】6；
【知识点】探索数与式的规律；直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：∵平面上条直线交点数最多时，每条直线都与另外的条直线相交，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
，
故答案为：6；．
【分析】先得出条直线最多交点数公式，代入，得，由，推出，再对原式裂项相消，得到。
17．（2026七上·天河期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】(1) 按照先乘除后加减的运算顺序：先算乘法 和除法 ，再将结果相减，即 。
(2) 先算乘方 ，再用乘法分配律展开括号：
最后计算减法：。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2026七上·天河期末）解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1) 先去括号，再移项合并同类项，把系数化为 1，算出 x=2。
(2) 先去分母，再去括号、移项合并同类项，把系数化为 1，算出。
（1）解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
19．（2026七上·天河期末）如图，平面上有三个点．
（1）尺规作图，并保留作图痕迹；
①画直线；
②连接，并延长至，使；
（2）在（1）条件下，若，求的值．
【答案】（1）解：①如图，直线即为所求；
②线段，如图即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)① 画直线 AB：过 A、B 两点作一条无限延伸的直线，保留作图痕迹。② 延长 BC 到 D：先连接 BC，再用尺规在 BC 的延长线上截取 CD，使 CD 的长度等于 2 倍 BC，保留作图痕迹。
(2)已知 BC=1，CD=2BC，所以 CD=2。BD=BC+CD=1+2=3。又已知 AB=2，因此。
（1）解：①如图，直线即为所求；
②线段，如图即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
20．（2026七上·天河期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：
______0，______0，______0．
（2）化简：．
【答案】（1），，
（2）解：∵，
∴
．
【知识点】整式的加减运算；有理数的减法法则；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】（1）解：由数轴可得：，|c|＜|b|＜|a|
则．
故答案为：，，；
【分析】（1）先根据数轴上点所表示的数右边的总比左边的大得出-2＜b＜c＜0＜2＜a，然后根据绝对值的几何意义“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离”得出|c|＜|b|＜|a|，进而有理数的加减法法则确定所求代数式的正负即可；
（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．
21．（2026七上·天河期末）如图，已知，射线、在的内部，且．
（1）求的度数；
（2）若射线平分，求的度数．
【答案】（1）解： ∵，，
∴，
即．
（2）解：∵若射线平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】(1) 已知∠AOB = 120°，且∠AOC：∠BOC = 1：3，说明∠BOC占∠AOB的，直接计算得∠BOC = 。
(2) 先由OD平分∠AOB，算出∠AOD = ；再根据比例算出∠AOC = ；最后用∠COD = ∠AOD - ∠AOC，得到∠COD = 60° - 30° = 30°。
（1）解： ∵，，
∴，
即．
（2）解：∵若射线平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．（2026七上·天河期末）已知．
（1）化简；
（2）若（1）中式子的值与的取值无关，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：原式，
由结果与a的取值无关，得到，
解得．
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】(1) 先去括号，把 4A-(3A-2B) 整理成 A+2B，再把 A 和 B 的表达式代入，合并同类项后得到 5ab-2a+3。
(2) 把化简后的式子整理成 (5b-2) a+3 的形式，因为式子的值和 a 的取值无关，所以 a 的系数 5b-2 必须等于 0，解这个方程得到。
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：原式，
由结果与a的取值无关，得到，
解得．
23．（2026七上·天河期末）元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案：
方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券．
方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券．
（1）若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_______元；
（2）小明一家元旦期间去该火锅店消费了元，
①若使用代金券，实际花费_______元（用含的代数式表示）；
②若使用方案一比方案二少花20元，求值．
【答案】（1）168；
（2）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费（元），
故答案为：；
②使用方案二的实际花费为元，
根据题意得：时，
解得．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】（1）解：（元），
∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元，
故答案为：168；
【分析】(1)消费 210 元时，最多用 2 张 100 元代金券，实际花费为 2 张代金券的钱（79×2）加上未用券的 10 元，即 158+10=168 元。
(2)① 消费 x>300 元时，用 3 张代金券，实际花费为 3 张代金券的钱（79×3）加上超出 300 元的部分（x-300），整理得 x-63 元。② 方案二花费为 0.9x 元，根据 “方案一比方案二少花 20 元” 列方程：x-63+20=0.9x，解得 x=430。
（1）解：（元），
∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元，
故答案为：168；
（2）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费（元），
故答案为：；
②使用方案二的实际花费为元，
根据题意得：时，
解得．
24．（2026七上·天河期末）阅读下列材料，解答问题：
材料一：如果一个两位数的个位上的数字是，十位上的数字是，那么我们可以把这个两位数记为，．同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如______．
材料二：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是，若能被3整除，试说明：这个三位数也能被3整除． 解：根据题意，得这个三位数为． 因为能被3整除，能被3整除， 所以这个三位数能被3整除．
（1）补充材料一：　 　（用含、、的代数式表示）；
（2）【能力提升】依据材料二请说明：若能被11整除，则能被11整除；
（3）【拓展应用】若是各位数字均不相同的能被11整除的三位数，求该三位数的最大值．
【答案】（1）
（2）证明：根据题意，得这个三位数为，
因为能被11整除，能被11整除，
所以这个三位数能被11整除；
（3）解：∵是各位数字均不相同的能被11整除的三位数，
∴由（2）可知能被11整除，
∵，
∴，
∴或
∵要使这个三位数最大，
∴首先要保证a最大，
当，且时，则，
∴，
∴当c最大时，b最大，
∵a、b、c互不相同，且都为整数，
∴c的最大值为8，
∴b的最大值为6，
∴此时这个三位数为968，符合题意；
当，且时，则，
∴，不符合题意，即当时，这个三位数的值一定小于968，
故这个三位数最大为968．
【知识点】整式的加减运算；整除的意义
【解析】【解答】（1）解：由题意得，；
故答案为：。
【分析】(1) 根据两位数的记法规律，三位数的百位是、十位是、个位是，所以表示为。
(2)把三位数拆成，其中能被11整除，又已知能被11整除，所以整个三位数能被11整除。
(3)先由(2)的结论得或，要让三位数最大，先让百位取最大的9；
当时，得，在数字互不相同的条件下，让最大取8，对应，得到三位数968；
当时，，无符合条件的数字组合，且结果一定小于968。
所以最大三位数是968。
（1）解：由题意得，；
（2）证明：根据题意，得这个三位数为，
因为能被11整除，能被11整除，
所以这个三位数能被11整除；
（3）解：∵是各位数字均不相同的能被11整除的三位数，
∴由（2）可知能被11整除，
∵，
∴，
∴或
∵要使这个三位数最大，
∴首先要保证a最大，
当，且时，则，
∴，
∴当c最大时，b最大，
∵a、b、c互不相同，且都为整数，
∴c的最大值为8，
∴b的最大值为6，
∴此时这个三位数为968，符合题意；
当，且时，则，
∴，不符合题意，即当时，这个三位数的值一定小于968，
故这个三位数最大为968．
25．（2026七上·天河期末）如图，点、、在同一直线上，线段长为，长为，且满足．
（1）的值为______，的值为______；
（2）如图2，线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，即长度为2，若点为线段中点，点为线段中点，求线段的长；
（3）如图1，点从点开始以每秒2个单位长度的速度向左边运动，同时点从点以每秒1个单位速度向左运动，设运动的时间为秒，
①若，求的值；
②若的值与无关，求的值．
【答案】（1）6；4；
（2）由（1）得，
∵线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为线段中点，点为线段中点，
∴，
∴；
（3）①根据题意得：，
当点Q在之间时，即时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在左侧时，即时，
，
∵，
∴，
解得：；
综上可得：或时，；
②由①得：当点Q在之间时，即时，
，，
∴，，
∴，
∵的值与无关，
设，整理得：，
∴，解得：
当点Q在左侧时，即时，
，，，，
∴，
∵的值与无关，
∴设，整理得：，
∴，解得：
综上可得：当时，，当时，．
【知识点】绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；4；
【分析】(1)由，平方和绝对值均非负，故，，得，
(2)BC右移2个单位得EF，故，。
，。
M、N为中点，，，则。
(3) ①分情况讨论：：，得；
：，得。
②分情况整理，令含项系数为0：
：；
：。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；4；
（2）由（1）得，
∵线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为线段中点，点为线段中点，
∴，
∴；
（3）①根据题意得：，
当点Q在之间时，即时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在左侧时，即时，
，
∵，
∴，
解得：；
综上可得：或时，；
②由①得：当点Q在之间时，即时，
，，
∴，，
∴，
∵的值与无关，
设，整理得：，
∴，解得：
当点Q在左侧时，即时，
，，，，
∴，
∵的值与无关，
∴设，整理得：，
∴，解得：
综上可得：当时，，当时，．
1 / 1广东省广州市天河区广州中学2025－2026学年七年级上学期1月期末考试数学试卷
1．（2026七上·天河期末）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2026七上·天河期末） 2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，创造了全球直播观看人次的纪录.截至9月5日10时，全媒体渠道总触达人次约 33940000000次，其中数据“33940000000”用科学记数法表示为 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2026七上·天河期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026七上·天河期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则射线的方向是（　　）
A．西偏北 B．北偏西 C．西偏北 D．北偏西
5．（2026七上·天河期末）下列各组的两个量成反比例关系的是（　　）
A．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
B．等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长
C．三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高
D．圆的周长与它的半径
6．（2026七上·天河期末）如果ax+6=5的解与2x+5=4-3x的解相同，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2026七上·天河期末）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026七上·天河期末）已知为关于x的二次三项式，当x=1时，该多项式的值是（　　）
A．-8 B．-10 C．-12 D．-14
9．（2026七上·天河期末）一艘轮船在A、B两港口之间行驶，顺水航行要5小时，逆水航行要7小时，水流的速度是5千米/时，则A、B两地之间的路程是（　　）
A．105千米 B．175千米 C．180千米 D．210千米
10．（2026七上·天河期末）如图，根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（　　）
A． B．2 C． D．548
11．（2026七上·天河期末）如图，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度变短，这样做的道理是　 　．
12．（2026七上·天河期末）如果与是同类项，则　 　．
13．（2026七上·天河期末）已知线段，在直线上有一点C，且，则线段的长为　 　
14．（2026七上·天河期末）用小立方块搭一个几何体，它从正面看和从上面看从正面着到的图形如图所示，则这个几何体最少需要的小立方块个数为　 　．
15．（2026七上·天河期末）若、、为实数，且满足，则的值为　 　．
16．（2026七上·天河期末）规定：平面上条直线最多交点数记为，则　 　；　 　．
17．（2026七上·天河期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2026七上·天河期末）解方程
（1）；
（2）．
19．（2026七上·天河期末）如图，平面上有三个点．
（1）尺规作图，并保留作图痕迹；
①画直线；
②连接，并延长至，使；
（2）在（1）条件下，若，求的值．
20．（2026七上·天河期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：
______0，______0，______0．
（2）化简：．
21．（2026七上·天河期末）如图，已知，射线、在的内部，且．
（1）求的度数；
（2）若射线平分，求的度数．
22．（2026七上·天河期末）已知．
（1）化简；
（2）若（1）中式子的值与的取值无关，求的值．
23．（2026七上·天河期末）元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案：
方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券．
方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券．
（1）若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_______元；
（2）小明一家元旦期间去该火锅店消费了元，
①若使用代金券，实际花费_______元（用含的代数式表示）；
②若使用方案一比方案二少花20元，求值．
24．（2026七上·天河期末）阅读下列材料，解答问题：
材料一：如果一个两位数的个位上的数字是，十位上的数字是，那么我们可以把这个两位数记为，．同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如______．
材料二：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是，若能被3整除，试说明：这个三位数也能被3整除． 解：根据题意，得这个三位数为． 因为能被3整除，能被3整除， 所以这个三位数能被3整除．
（1）补充材料一：　 　（用含、、的代数式表示）；
（2）【能力提升】依据材料二请说明：若能被11整除，则能被11整除；
（3）【拓展应用】若是各位数字均不相同的能被11整除的三位数，求该三位数的最大值．
25．（2026七上·天河期末）如图，点、、在同一直线上，线段长为，长为，且满足．
（1）的值为______，的值为______；
（2）如图2，线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，即长度为2，若点为线段中点，点为线段中点，求线段的长；
（3）如图1，点从点开始以每秒2个单位长度的速度向左边运动，同时点从点以每秒1个单位速度向左运动，设运动的时间为秒，
①若，求的值；
②若的值与无关，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 33940000000 =.
故答案为： D.
【分析】将较大的数化为的形式即可，其中，n为数位减1.
3．【答案】C
【知识点】去括号法则及应用；同类项的概念；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
A：x，原计算错误，故A不符合题意
B：不是同类项不能合并，故B不符合题意
C：，计算正确，故C符合题意
D：，原计算错误，故D不符合题意
故答案为：C.
【分析】
根据整式的加减由合并同类项和去括号法则得5x+3x=8x，可判断A；根据同类项的定义可得2x与3y不是同类项，不能计算，可判断B；根据合并同类项法则计算可判断C；根据去括号法则可判断D；逐一判断即可解答.
4．【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：已知 OA 是北偏东 30° 方向，即 OA 与正北方向的夹角为 30°。∵ OB 与 OA 垂直，所以∠AOB = 90°。由此可算出 OB 与正北方向的夹角为：90° - 30° = 60°。
结合图形，OB 位于正北方向的西侧，因此 OB 的方向为北偏西 60°。
故答案为：B。
【分析】已知 OA 是北偏东 30°，OB 与 OA 垂直，先算出 OB 与正北方向的夹角为90 30 =60 ，再结合 OB 在正北西侧，确定方向为北偏西 60°。
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆的相关概念；成反比例的量及其意义；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A： 销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系是正比例关系，所以A不符合题意。
B： 等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成比例，所以B不符合题意；
C： 三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，所以C符合题意；
D： 圆的周长与它的半径成正比例关系，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据反比例关系，正比例关系的定义逐项进行判断，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】解一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数；一元一次方程-同解问题
【解析】【解答】解： 2x+5=4-3x，
移项，得 ：2x+3x=4-5，
合并同类项，得：5x=-1，
∴x=
∵ ax+6=5的解与2x+5=4-3x的解相同，
∴a+6=5，
∴a=5
故答案为：D.
【分析】首先解方程2x+5=4-3x，求得x=，进而根据同解方程，即可得出a+6=5，解方程即可求得a的值。
7．【答案】A
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：∵，是一副直角三角板，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】
根据直角三角板的特性可得：，再根据角的和差求得，再根据余角的性质计算即可解答．
8．【答案】A
【知识点】多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵为关于x的二次三项式，
∴a-4=0，b=2，
∴a=4，
∴该多项式为：-x2+x-8
∴当x=1时：代数式-x2+x-8=-12+1-8=-8.
故答案为：A
【分析】首先根据二次三项式的定义可得出a-4=0，b=2，进而得出该多项式为：-x2+x-8，进一步把x=1代入代数式进行求值即可。
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设静水速为x千米/时，
根据题意，得：5（x+5）=7（x-5）
解方程，得：x=30，
∴ A、B两地之间的路程是：5（x+5）=5×（30+5）=175.
故答案为：B。
【分析】设静水速为x千米/时，即可得出顺水速和逆水速分别为：（x+5）千米/时，（x-5）千米/时，再根据 A、B两地之间的路程 不变，即可得出5（x+5）=7（x-5），解方程求得x=30，进而得出 A、B两地之间的路程是：5（x+5）=5×（30+5）=175（千米）即可。
10．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：左上角数字：符号交替为负、正、负、正…，绝对值是，所以第个图的。
右上角数字：比大2，所以。
下方数字：是的一半，符号与一致，所以。
代入第9个图（）：
；；
故：
故答案为：B。
【分析】先总结出第个图中、、的规律，再代入求出、、的值，最后计算得到结果为。
11．【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间，线段最短；
故答案为：两点之间，线段最短．
【分析】根据线段的性质，线段的基本性质为“两点之间线段最短”，河道改直缩短长度正是应用了这一性质.
12．【答案】
【知识点】同类项的概念；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：因为与是同类项，
所以的指数相等，即；的指数相等，即，
解得：．
所以：．
故答案为：．
【分析】利用同类项的定义（同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）可得m=3，，再求解即可.
13．【答案】或
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由线段，且，
当点C在点B的左侧时，
；
当点C在点B的右侧时，
，
故答案为：或．
【分析】因为点 C 在直线 AB 上，位置不确定，需要分两种情况计算：当点 C 在 A、B 之间时，AC = AB - BC = 5 - 2 = 3cm；当点 C 在 B 的外侧时，AC = AB + BC = 5 + 2 = 7cm。
14．【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由从正面和从上面看到的图形可知：
从上面看到的图形中每个小正方形里的数字是该位置上小正方体的最少个数，
则至少需要：个小立方块．
故答案为：10．
【分析】由俯视图确定底层（第一层）的小立方块数量为 6 个，由主视图确定几何体有 3 层，且第 2 列、第 1 列最高有 3 层，第二层和第三层取最少数量：第二层最少 2 个，第三层最少 2 个，总个数为6+2+2=10。
15．【答案】2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】先由 b c=1 得到 c=b 1，把它代入 a b+2c 里化简，得到 a+b 2，再把 a+b=4 代入，算出结果即可。
16．【答案】6；
【知识点】探索数与式的规律；直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：∵平面上条直线交点数最多时，每条直线都与另外的条直线相交，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
，
故答案为：6；．
【分析】先得出条直线最多交点数公式，代入，得，由，推出，再对原式裂项相消，得到。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】(1) 按照先乘除后加减的运算顺序：先算乘法 和除法 ，再将结果相减，即 。
(2) 先算乘方 ，再用乘法分配律展开括号：
最后计算减法：。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1) 先去括号，再移项合并同类项，把系数化为 1，算出 x=2。
(2) 先去分母，再去括号、移项合并同类项，把系数化为 1，算出。
（1）解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
19．【答案】（1）解：①如图，直线即为所求；
②线段，如图即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)① 画直线 AB：过 A、B 两点作一条无限延伸的直线，保留作图痕迹。② 延长 BC 到 D：先连接 BC，再用尺规在 BC 的延长线上截取 CD，使 CD 的长度等于 2 倍 BC，保留作图痕迹。
(2)已知 BC=1，CD=2BC，所以 CD=2。BD=BC+CD=1+2=3。又已知 AB=2，因此。
（1）解：①如图，直线即为所求；
②线段，如图即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1），，
（2）解：∵，
∴
．
【知识点】整式的加减运算；有理数的减法法则；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】（1）解：由数轴可得：，|c|＜|b|＜|a|
则．
故答案为：，，；
【分析】（1）先根据数轴上点所表示的数右边的总比左边的大得出-2＜b＜c＜0＜2＜a，然后根据绝对值的几何意义“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离”得出|c|＜|b|＜|a|，进而有理数的加减法法则确定所求代数式的正负即可；
（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．
21．【答案】（1）解： ∵，，
∴，
即．
（2）解：∵若射线平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】(1) 已知∠AOB = 120°，且∠AOC：∠BOC = 1：3，说明∠BOC占∠AOB的，直接计算得∠BOC = 。
(2) 先由OD平分∠AOB，算出∠AOD = ；再根据比例算出∠AOC = ；最后用∠COD = ∠AOD - ∠AOC，得到∠COD = 60° - 30° = 30°。
（1）解： ∵，，
∴，
即．
（2）解：∵若射线平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：原式，
由结果与a的取值无关，得到，
解得．
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】(1) 先去括号，把 4A-(3A-2B) 整理成 A+2B，再把 A 和 B 的表达式代入，合并同类项后得到 5ab-2a+3。
(2) 把化简后的式子整理成 (5b-2) a+3 的形式，因为式子的值和 a 的取值无关，所以 a 的系数 5b-2 必须等于 0，解这个方程得到。
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：原式，
由结果与a的取值无关，得到，
解得．
23．【答案】（1）168；
（2）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费（元），
故答案为：；
②使用方案二的实际花费为元，
根据题意得：时，
解得．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】（1）解：（元），
∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元，
故答案为：168；
【分析】(1)消费 210 元时，最多用 2 张 100 元代金券，实际花费为 2 张代金券的钱（79×2）加上未用券的 10 元，即 158+10=168 元。
(2)① 消费 x>300 元时，用 3 张代金券，实际花费为 3 张代金券的钱（79×3）加上超出 300 元的部分（x-300），整理得 x-63 元。② 方案二花费为 0.9x 元，根据 “方案一比方案二少花 20 元” 列方程：x-63+20=0.9x，解得 x=430。
（1）解：（元），
∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元，
故答案为：168；
（2）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费（元），
故答案为：；
②使用方案二的实际花费为元，
根据题意得：时，
解得．
24．【答案】（1）
（2）证明：根据题意，得这个三位数为，
因为能被11整除，能被11整除，
所以这个三位数能被11整除；
（3）解：∵是各位数字均不相同的能被11整除的三位数，
∴由（2）可知能被11整除，
∵，
∴，
∴或
∵要使这个三位数最大，
∴首先要保证a最大，
当，且时，则，
∴，
∴当c最大时，b最大，
∵a、b、c互不相同，且都为整数，
∴c的最大值为8，
∴b的最大值为6，
∴此时这个三位数为968，符合题意；
当，且时，则，
∴，不符合题意，即当时，这个三位数的值一定小于968，
故这个三位数最大为968．
【知识点】整式的加减运算；整除的意义
【解析】【解答】（1）解：由题意得，；
故答案为：。
【分析】(1) 根据两位数的记法规律，三位数的百位是、十位是、个位是，所以表示为。
(2)把三位数拆成，其中能被11整除，又已知能被11整除，所以整个三位数能被11整除。
(3)先由(2)的结论得或，要让三位数最大，先让百位取最大的9；
当时，得，在数字互不相同的条件下，让最大取8，对应，得到三位数968；
当时，，无符合条件的数字组合，且结果一定小于968。
所以最大三位数是968。
（1）解：由题意得，；
（2）证明：根据题意，得这个三位数为，
因为能被11整除，能被11整除，
所以这个三位数能被11整除；
（3）解：∵是各位数字均不相同的能被11整除的三位数，
∴由（2）可知能被11整除，
∵，
∴，
∴或
∵要使这个三位数最大，
∴首先要保证a最大，
当，且时，则，
∴，
∴当c最大时，b最大，
∵a、b、c互不相同，且都为整数，
∴c的最大值为8，
∴b的最大值为6，
∴此时这个三位数为968，符合题意；
当，且时，则，
∴，不符合题意，即当时，这个三位数的值一定小于968，
故这个三位数最大为968．
25．【答案】（1）6；4；
（2）由（1）得，
∵线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为线段中点，点为线段中点，
∴，
∴；
（3）①根据题意得：，
当点Q在之间时，即时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在左侧时，即时，
，
∵，
∴，
解得：；
综上可得：或时，；
②由①得：当点Q在之间时，即时，
，，
∴，，
∴，
∵的值与无关，
设，整理得：，
∴，解得：
当点Q在左侧时，即时，
，，，，
∴，
∵的值与无关，
∴设，整理得：，
∴，解得：
综上可得：当时，，当时，．
【知识点】绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；4；
【分析】(1)由，平方和绝对值均非负，故，，得，
(2)BC右移2个单位得EF，故，。
，。
M、N为中点，，，则。
(3) ①分情况讨论：：，得；
：，得。
②分情况整理，令含项系数为0：
：；
：。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；4；
（2）由（1）得，
∵线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为线段中点，点为线段中点，
∴，
∴；
（3）①根据题意得：，
当点Q在之间时，即时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在左侧时，即时，
，
∵，
∴，
解得：；
综上可得：或时，；
②由①得：当点Q在之间时，即时，
，，
∴，，
∴，
∵的值与无关，
设，整理得：，
∴，解得：
当点Q在左侧时，即时，
，，，，
∴，
∵的值与无关，
∴设，整理得：，
∴，解得：
综上可得：当时，，当时，．
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