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浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七下·杭州月考）下列四幅图案能通过基本图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案不能通过平移得到，是通过旋转变换得到的，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案不能通过平移得到，是通过轴对称变换得到的，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图案不能通过平移得到，是通过轴对称变换得到的，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图案能通过平移得到，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，据此逐一判断得出答案.
2．（2025七下·杭州月考）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（　　）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是对顶角 D．与是同旁内角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意；
B、与是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意；
C、与是对顶角，因此选项C不符合题意；
D、与是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的在被截直线同侧，且在截线同旁的一对角就是同位角，同位角形如字母“F”，据此可判断A、B选项；两条直线相交，形成的有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边反向延长线的两个角就是对顶角，据此可判断C选项；两条直线被第三条直线所截，形成的在被截直线之间，且在截线同旁的一对角就是同旁内角，同旁内角形如字母“u”，据此可判断D选项.
3．（2025七下·杭州月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
B、该方程的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
C、不是整式方程，不符合题意；
D、是二元一次方程，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程的概念：含有两个未知数，未知数项的次数都是1的整式方程，依此选择即可.
4．（2025七下·杭州月考）如图，，垂足为，则下列线段关系不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、∵BD⊥AD，∴线段AD的长是点A到线段BD的距离，∴，故A选项不符合题意；
B、∵BD⊥CD，∴线段CD的长是点C到线段BD的距离，∴，故B选项不符合题意；
C、 ∵BD⊥AD，∴线段BD的长是点B到线段AD的距离，∴，故C选项不符合题意；
D、根据题目条件不能判断出BC与AB的长度，所以BC不一定大于AB，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据直线外一点与直线上的各点连接得所有线段中，垂线段最短，据此逐一判断得出答案.
5．（2025七下·杭州月考）若是二元一次方程2x＋y＝0的解，且a≠0，则下列结论错误的是（　　）
A．a，b异号 B．
C．2－6a－3b＝2 D．满足条件的解有无数
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将方程的解代入可得：2a＋b=0，
A、a≠0，b=－2a，则a，b异号，故A选项结论正确；
B、b=－2a，则，故B选项结论错误，符合题意；
C、2－6a－3b=2－3（2a＋b）=2，故C选项结论正确；
D、a≠0，方程2a＋b=0有无数个解，故a，b的值有无数组，故D选项结论正确.
故答案为：B.
【分析】根据方程解的定义，将x=a，y=b代入二元一次方程2x＋y＝0可得2a＋b=0，即b=-2a，由于a≠0，则a，b异号，据此判断A选项；将把b=-2a代入分式约分即可判断B选项；将等式的左边含字母的部分逆用乘法分配律提取公因数“-3”变形后整体代入算出结果，与右边进行比较即可判断C选项；根据二元一次方程有无数个解即可判断D选项.
6．（2025七下·杭州月考）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（　　）
A．25° B．40° C．50° D．130°
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠1=50°，
∴∠3=90°﹣50°=40°，
∵直尺边缘两边互相平行，
∴∠2=∠3=40°，
故答案为：B.
【分析】先根据平角求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等求解即可．
7．（2025七下·杭州月考）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（　　）
A．平行和相交 B．平行和垂直
C．平行、垂直和相交 D．垂直和相交
【答案】A
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：平面内的直线有平行和相交两种位置关系．
故答案为：A．
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交．垂直是相交的特殊情况．
8．（2025七下·杭州月考）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，则木条还剩余 1 尺，问木条长多少尺？”现设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，则可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，．
故答案为：D.
【分析】根据用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺可得y-x=4.5；根据将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺可得x-=1，联立可得方程组.
9．（2025七下·杭州月考）一次数学活动中，为检验纸带①、②的边线是否平行，小明和小丽采用了两种不同的方法：
小明把纸带①沿折叠，量得；小丽把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点在同一直线上，点也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
B．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
C．纸带①、②的边线都平行
D．纸带①、②的边线都不平行
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图①所示：
∵，∠2=50°，
∴，
∴，
∴纸带①的边线不平行；
如图②所示：
∵与重合，与重合，
∴，
∴，
∴纸带②的边线平行．
故答案为：B．
【分析】如图①，由对顶角相等得∠1=∠3=50°，由三角形内角和定理得∠5=80°，由折叠的性质得∠4=∠5=80°，然后根据内错角不相等，两直线不平行可判断纸带①的边线不平行；如图②，由折叠及平角定义得∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，从而根据同旁内角互补，两直线平行可判断纸带②的边线平行，从而即可逐一判断得出答案.
10．（2025七下·杭州月考）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2025七下·杭州月考）已知二元一次方程x﹣2y﹣1＝0，若用含x的代数式表示y，可得 y＝　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣1＝2y，
∴y．
故答案为：．
【分析】先将原方程移项（含y的项留在方程的一边，其它项留在方程的另一边），再将未知数y的系数化为1即可.
12．（2025七下·杭州月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则　 　．
【答案】1
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意，得
且，
∴．
故答案为：1．
【分析】含有两个未知数，且未知数项的最高次数为1的整式方程就是二元一次方程，据此列出关于字母m的混合组，求解即可得出符合题意的m的值.
13．（2025七下·杭州月考）如图，将沿方向平移到，若、间的距离为，，则　 　．
【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF，且A与D之间的距离为1，
∴．
．
故答案为：4．
【分析】根据平移前后图形对应点连线平行（或一条直线上）且相等得出BE=CF=AD=1，然后根据线段和差，由BF=BE+CE+CF可得答案.
14．（2025七下·杭州月考）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：方程组的解是，∴‘
∵方程组可化为，
，，
解得，，
方程组的解是．
故答案为：．
【分析】先将方程的解代入得出，再根据方程组转化为对应系数相等得到x，y的关系式，求解即可．
15．（2025七下·杭州月考）如果和的两边分别互相平行，且满足，则的度数是　 　．
【答案】或
【知识点】平行公理；分类讨论
【解析】【解答】解：与的两边分别平行，
与相等或互补．
分两种情况：
①当时，
由可得，，
解得：；
②当时，
由可得，，
解得：
所以或
故答案为：或
【分析】根据平行线的性质：如果两角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，分当时和当时，两种情况求解即可.
16．（2025七下·杭州月考）已知，如图，直线，则、、、之间的数量关系为　 　 ．
【答案】
【知识点】邻补角；多边形的内角和公式；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长ED交直线b于A，如图所示，
∵a∥b，
∴∠1=∠DAB，
∵∠DAB+∠4+∠DCB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠4+（180°-∠3）+（180°-∠2）=360°，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
故答案为∠1+∠4=∠2+∠3．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠DAB，再根据四边形的内角和为360°，和领补角求解即可．
三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·杭州月考）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
由①－②，得，
解得．
把代入①，
得，
∴原方程组的解为
（2）解：
由①②，得，
解得．
把代入①，
得，
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组的两个方程中未知数x的系数相同，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①减去②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可得到方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中未知数y的系数呈二倍关系，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①×2+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到方程组的解.
（1）解：
由①－②，得，
解得．
把代入①，
得，
∴原方程组的解为
（2）由①②，得，
解得．
把代入①，
得，
∴原方程组的解为
18．（2025七下·杭州月考）如图，，，．将求的过程填写完整．
解：∵（已知）
∴________（________），
又∵（已知），
∴（________），
∴________（________），
∴________（________），
∵（已知），
∴________．
【答案】解：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质与判定逐一写出即可．
19．（2025七下·杭州月考）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，平移三角形，使三角形的顶点C平移到点F处．
（1）请画出平移后的三角形（点A，B的对应点分别为D，E），并判断与的关系；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求，，；
（2）解：连接AD，BE，
S四边形ABED=5×7-×4×4×2-×1×3×2=16
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，观察点C、F的位置得出平移的方向和距离是将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，据此分别作出A，B的对应点D，E即可，再顺次连接D、E、F三点即可得到所求的△DEF，进而根据平移不会前后图形的对应边相等且平行或在同一直线上，可得AB与DE的关系；
（2）利用方格纸的特点，根据割补法，用四边形ABED外接矩形的面积分别减去周围四个直角三角形的面积，列式计算即可.
（1）解：如图，即为所求，，；
（2）过点作于点M，过点D作于点N，
，
，
平移后得到的是，
，
四边形的面积=矩形的面积，
由勾股定理得：，，
四边形的面积=矩形的面积．
20．（2025七下·杭州月考）若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
【答案】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴的解也是方程和方程组的解，
①+②得，
解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．

（2）由（1）得两个方程组的解为，
把，代入，
得，
解得．
故a的值是，b的值是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）由题意得同解方程，解方程组即可解答．
（2）首先把解代入两个方程组并联立两个方程组可得含a、b的同解方程组，求解即可．
21．（2025七下·杭州月考）如图，分别是射线上的点，连接平分，平分，．
（1）判定与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：；理由如下：平分，
，
，
，
∴
（2）解：
平分
∴∠AEF=∠DFE
∵AB∥CD
∠AFE=∠DEF
∴∠AFE=∠AEF
∴∠AFE+∠CEF=180°
即：∠AFE+∠AEF+∠2=180°
∠1+30°+∠1+30°+∠1=180°
3∠1+60°=180°
∴∠1=40°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，已知∠1=∠2，利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）根据已知可得，根据平行线性质和角平分线的定义可得，而∠CEF=∠AEF+∠2=∠AEF+∠1，最后代入进行计算可求出的度数，即可解答．
（1）解：；理由如下：
平分，
，
，
，
∴；
（2）解：，
，
∵，
∴，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
22．（2025七下·杭州月考）已知关于x ，y 的方程组．
（1）请写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求 m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
【答案】（1）或
（2）解：，
，即，
将③代入①得，，，
将，代入②得，；
（3）解：，由得：，得，
将代入①得，，
∵方程组有正整数解，则或或，
或或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，m的值为或2．
【知识点】解二元一次方程；解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：方程 的所有正整数解为：或；
故答案为：或；
【分析】（1）对x、y分别取整计算即可；
（2）将和利用消元法求出x，y，再代入求出m的值即可；
（3）先用加减消元法求出x，y，再根据方程的正整数解将满足条件的m的值进行验证即可．
（1）解：方程 的所有正整数解为：或；
（2）解：，
，即，
将③代入①得，，，
将，代入②得，；
（3）解；，
由得：，得，
将代入①得，，
∵方程组有正整数解，则或或，
或或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，m的值为或2．
23．（2025七下·杭州月考）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200ml的甲品牌消毒液和规格500ml的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．
（1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；
（2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；
（3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？
【答案】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元.
（2）解：设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，
200a+500b=4000，
整理得，a=20-b，
当b=2时，a=15，
当b=4时，a=10，
当b=6时，a=5，
∴共有三种方案：方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；
方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；
方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；
（3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶， 设使用t天，
则，
由①得m=③，
把③代入②得：200×+500n=10000t，
解得t=5，
答：这批消毒液可使用5天.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据“ 购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元 ”列出方程组并解之即可；
（2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据“ 购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml”列出方程并求出整数解即可；
（3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶， 设使用t天，根据“ 采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元 ， 现我校在校师生共1000人 ，平均每人每天都需要使用10mL的消毒液”列出方程组并解之即可.
24．（2025七下·杭州月考）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则　 　．
【答案】（1）证明：∵，∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点N作，
∴，
∴，
设，
∵分别平分，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为；
（3）
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（3）
解：，
∵，即
∴
∴，
∴，
又∵和是角平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识．
（1）如图1所示：由两直线平行内错角相等可得，等量代换得，再由同位角相等两直线平行可得出；
（2）如图2所示：过点作，由两直线平行内错角相等可把和分别转换到和的位置上，则等于和的差；此时由两直线平行同旁内角互补知与的2倍互补且与的2倍互余，从而可得和的差恰好为，即等于；
（3）如图2所示：由于等于，等于的2倍，则由结合前面（2）的结论，可分别求出和的度数，由角平分线的概念知，即图3中所示的和已知，由于（1）中已证得，则和互补，则由角平分线的概念可得，则与 互余，借助平行线的性质可得到的度数；由等角的余角相等可得到的度数，最后由对顶角相等即可得到的度数，则．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点N作，
∴，
∴，
设，
∵分别平分，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：，
∵，即
∴
∴，
∴，
又∵和是角平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
1 / 1浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七下·杭州月考）下列四幅图案能通过基本图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州月考）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（　　）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是对顶角 D．与是同旁内角
3．（2025七下·杭州月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·杭州月考）如图，，垂足为，则下列线段关系不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·杭州月考）若是二元一次方程2x＋y＝0的解，且a≠0，则下列结论错误的是（　　）
A．a，b异号 B．
C．2－6a－3b＝2 D．满足条件的解有无数
6．（2025七下·杭州月考）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（　　）
A．25° B．40° C．50° D．130°
7．（2025七下·杭州月考）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（　　）
A．平行和相交 B．平行和垂直
C．平行、垂直和相交 D．垂直和相交
8．（2025七下·杭州月考）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，则木条还剩余 1 尺，问木条长多少尺？”现设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，则可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
9．（2025七下·杭州月考）一次数学活动中，为检验纸带①、②的边线是否平行，小明和小丽采用了两种不同的方法：
小明把纸带①沿折叠，量得；小丽把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点在同一直线上，点也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
B．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
C．纸带①、②的边线都平行
D．纸带①、②的边线都不平行
10．（2025七下·杭州月考）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2025七下·杭州月考）已知二元一次方程x﹣2y﹣1＝0，若用含x的代数式表示y，可得 y＝　 　．
12．（2025七下·杭州月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则　 　．
13．（2025七下·杭州月考）如图，将沿方向平移到，若、间的距离为，，则　 　．
14．（2025七下·杭州月考）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是　 　．
15．（2025七下·杭州月考）如果和的两边分别互相平行，且满足，则的度数是　 　．
16．（2025七下·杭州月考）已知，如图，直线，则、、、之间的数量关系为　 　 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·杭州月考）解方程组：
（1）
（2）
18．（2025七下·杭州月考）如图，，，．将求的过程填写完整．
解：∵（已知）
∴________（________），
又∵（已知），
∴（________），
∴________（________），
∴________（________），
∵（已知），
∴________．
19．（2025七下·杭州月考）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，平移三角形，使三角形的顶点C平移到点F处．
（1）请画出平移后的三角形（点A，B的对应点分别为D，E），并判断与的关系；
（2）求四边形的面积．
20．（2025七下·杭州月考）若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
21．（2025七下·杭州月考）如图，分别是射线上的点，连接平分，平分，．
（1）判定与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
22．（2025七下·杭州月考）已知关于x ，y 的方程组．
（1）请写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求 m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
23．（2025七下·杭州月考）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200ml的甲品牌消毒液和规格500ml的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．
（1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；
（2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；
（3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？
24．（2025七下·杭州月考）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案不能通过平移得到，是通过旋转变换得到的，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案不能通过平移得到，是通过轴对称变换得到的，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图案不能通过平移得到，是通过轴对称变换得到的，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图案能通过平移得到，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意；
B、与是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意；
C、与是对顶角，因此选项C不符合题意；
D、与是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的在被截直线同侧，且在截线同旁的一对角就是同位角，同位角形如字母“F”，据此可判断A、B选项；两条直线相交，形成的有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边反向延长线的两个角就是对顶角，据此可判断C选项；两条直线被第三条直线所截，形成的在被截直线之间，且在截线同旁的一对角就是同旁内角，同旁内角形如字母“u”，据此可判断D选项.
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
B、该方程的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
C、不是整式方程，不符合题意；
D、是二元一次方程，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程的概念：含有两个未知数，未知数项的次数都是1的整式方程，依此选择即可.
4．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、∵BD⊥AD，∴线段AD的长是点A到线段BD的距离，∴，故A选项不符合题意；
B、∵BD⊥CD，∴线段CD的长是点C到线段BD的距离，∴，故B选项不符合题意；
C、 ∵BD⊥AD，∴线段BD的长是点B到线段AD的距离，∴，故C选项不符合题意；
D、根据题目条件不能判断出BC与AB的长度，所以BC不一定大于AB，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据直线外一点与直线上的各点连接得所有线段中，垂线段最短，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将方程的解代入可得：2a＋b=0，
A、a≠0，b=－2a，则a，b异号，故A选项结论正确；
B、b=－2a，则，故B选项结论错误，符合题意；
C、2－6a－3b=2－3（2a＋b）=2，故C选项结论正确；
D、a≠0，方程2a＋b=0有无数个解，故a，b的值有无数组，故D选项结论正确.
故答案为：B.
【分析】根据方程解的定义，将x=a，y=b代入二元一次方程2x＋y＝0可得2a＋b=0，即b=-2a，由于a≠0，则a，b异号，据此判断A选项；将把b=-2a代入分式约分即可判断B选项；将等式的左边含字母的部分逆用乘法分配律提取公因数“-3”变形后整体代入算出结果，与右边进行比较即可判断C选项；根据二元一次方程有无数个解即可判断D选项.
6．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠1=50°，
∴∠3=90°﹣50°=40°，
∵直尺边缘两边互相平行，
∴∠2=∠3=40°，
故答案为：B.
【分析】先根据平角求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等求解即可．
7．【答案】A
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：平面内的直线有平行和相交两种位置关系．
故答案为：A．
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交．垂直是相交的特殊情况．
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，．
故答案为：D.
【分析】根据用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺可得y-x=4.5；根据将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺可得x-=1，联立可得方程组.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图①所示：
∵，∠2=50°，
∴，
∴，
∴纸带①的边线不平行；
如图②所示：
∵与重合，与重合，
∴，
∴，
∴纸带②的边线平行．
故答案为：B．
【分析】如图①，由对顶角相等得∠1=∠3=50°，由三角形内角和定理得∠5=80°，由折叠的性质得∠4=∠5=80°，然后根据内错角不相等，两直线不平行可判断纸带①的边线不平行；如图②，由折叠及平角定义得∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，从而根据同旁内角互补，两直线平行可判断纸带②的边线平行，从而即可逐一判断得出答案.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣1＝2y，
∴y．
故答案为：．
【分析】先将原方程移项（含y的项留在方程的一边，其它项留在方程的另一边），再将未知数y的系数化为1即可.
12．【答案】1
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意，得
且，
∴．
故答案为：1．
【分析】含有两个未知数，且未知数项的最高次数为1的整式方程就是二元一次方程，据此列出关于字母m的混合组，求解即可得出符合题意的m的值.
13．【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF，且A与D之间的距离为1，
∴．
．
故答案为：4．
【分析】根据平移前后图形对应点连线平行（或一条直线上）且相等得出BE=CF=AD=1，然后根据线段和差，由BF=BE+CE+CF可得答案.
14．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：方程组的解是，∴‘
∵方程组可化为，
，，
解得，，
方程组的解是．
故答案为：．
【分析】先将方程的解代入得出，再根据方程组转化为对应系数相等得到x，y的关系式，求解即可．
15．【答案】或
【知识点】平行公理；分类讨论
【解析】【解答】解：与的两边分别平行，
与相等或互补．
分两种情况：
①当时，
由可得，，
解得：；
②当时，
由可得，，
解得：
所以或
故答案为：或
【分析】根据平行线的性质：如果两角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，分当时和当时，两种情况求解即可.
16．【答案】
【知识点】邻补角；多边形的内角和公式；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长ED交直线b于A，如图所示，
∵a∥b，
∴∠1=∠DAB，
∵∠DAB+∠4+∠DCB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠4+（180°-∠3）+（180°-∠2）=360°，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
故答案为∠1+∠4=∠2+∠3．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠DAB，再根据四边形的内角和为360°，和领补角求解即可．
17．【答案】（1）解：
由①－②，得，
解得．
把代入①，
得，
∴原方程组的解为
（2）解：
由①②，得，
解得．
把代入①，
得，
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组的两个方程中未知数x的系数相同，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①减去②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可得到方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中未知数y的系数呈二倍关系，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①×2+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到方程组的解.
（1）解：
由①－②，得，
解得．
把代入①，
得，
∴原方程组的解为
（2）由①②，得，
解得．
把代入①，
得，
∴原方程组的解为
18．【答案】解：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质与判定逐一写出即可．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求，，；
（2）解：连接AD，BE，
S四边形ABED=5×7-×4×4×2-×1×3×2=16
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，观察点C、F的位置得出平移的方向和距离是将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，据此分别作出A，B的对应点D，E即可，再顺次连接D、E、F三点即可得到所求的△DEF，进而根据平移不会前后图形的对应边相等且平行或在同一直线上，可得AB与DE的关系；
（2）利用方格纸的特点，根据割补法，用四边形ABED外接矩形的面积分别减去周围四个直角三角形的面积，列式计算即可.
（1）解：如图，即为所求，，；
（2）过点作于点M，过点D作于点N，
，
，
平移后得到的是，
，
四边形的面积=矩形的面积，
由勾股定理得：，，
四边形的面积=矩形的面积．
20．【答案】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴的解也是方程和方程组的解，
①+②得，
解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．

（2）由（1）得两个方程组的解为，
把，代入，
得，
解得．
故a的值是，b的值是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）由题意得同解方程，解方程组即可解答．
（2）首先把解代入两个方程组并联立两个方程组可得含a、b的同解方程组，求解即可．
21．【答案】（1）解：；理由如下：平分，
，
，
，
∴
（2）解：
平分
∴∠AEF=∠DFE
∵AB∥CD
∠AFE=∠DEF
∴∠AFE=∠AEF
∴∠AFE+∠CEF=180°
即：∠AFE+∠AEF+∠2=180°
∠1+30°+∠1+30°+∠1=180°
3∠1+60°=180°
∴∠1=40°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，已知∠1=∠2，利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）根据已知可得，根据平行线性质和角平分线的定义可得，而∠CEF=∠AEF+∠2=∠AEF+∠1，最后代入进行计算可求出的度数，即可解答．
（1）解：；理由如下：
平分，
，
，
，
∴；
（2）解：，
，
∵，
∴，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）或
（2）解：，
，即，
将③代入①得，，，
将，代入②得，；
（3）解：，由得：，得，
将代入①得，，
∵方程组有正整数解，则或或，
或或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，m的值为或2．
【知识点】解二元一次方程；解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：方程 的所有正整数解为：或；
故答案为：或；
【分析】（1）对x、y分别取整计算即可；
（2）将和利用消元法求出x，y，再代入求出m的值即可；
（3）先用加减消元法求出x，y，再根据方程的正整数解将满足条件的m的值进行验证即可．
（1）解：方程 的所有正整数解为：或；
（2）解：，
，即，
将③代入①得，，，
将，代入②得，；
（3）解；，
由得：，得，
将代入①得，，
∵方程组有正整数解，则或或，
或或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，m的值为或2．
23．【答案】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元.
（2）解：设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，
200a+500b=4000，
整理得，a=20-b，
当b=2时，a=15，
当b=4时，a=10，
当b=6时，a=5，
∴共有三种方案：方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；
方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；
方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；
（3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶， 设使用t天，
则，
由①得m=③，
把③代入②得：200×+500n=10000t，
解得t=5，
答：这批消毒液可使用5天.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据“ 购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元 ”列出方程组并解之即可；
（2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据“ 购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml”列出方程并求出整数解即可；
（3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶， 设使用t天，根据“ 采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元 ， 现我校在校师生共1000人 ，平均每人每天都需要使用10mL的消毒液”列出方程组并解之即可.
24．【答案】（1）证明：∵，∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点N作，
∴，
∴，
设，
∵分别平分，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为；
（3）
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（3）
解：，
∵，即
∴
∴，
∴，
又∵和是角平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识．
（1）如图1所示：由两直线平行内错角相等可得，等量代换得，再由同位角相等两直线平行可得出；
（2）如图2所示：过点作，由两直线平行内错角相等可把和分别转换到和的位置上，则等于和的差；此时由两直线平行同旁内角互补知与的2倍互补且与的2倍互余，从而可得和的差恰好为，即等于；
（3）如图2所示：由于等于，等于的2倍，则由结合前面（2）的结论，可分别求出和的度数，由角平分线的概念知，即图3中所示的和已知，由于（1）中已证得，则和互补，则由角平分线的概念可得，则与 互余，借助平行线的性质可得到的度数；由等角的余角相等可得到的度数，最后由对顶角相等即可得到的度数，则．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点N作，
∴，
∴，
设，
∵分别平分，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：，
∵，即
∴
∴，
∴，
又∵和是角平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
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