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2.3一元二次方程根与系数的关系教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 2.3一元二次方程根与系数的关系 课时 1
课标要求 本节课需落实 “数与代数” 领域核心要求：引导学生探索并掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，理解定理的推导逻辑，发展运算素养与推理意识；能运用定理求与根相关的代数式的值、构造一元二次方程，体会 “从特殊到一般”“数形结合” 的数学思想；衔接求根公式与代数式变形旧知，构建方程 “系数 — 根 — 代数式” 的关联体系，为后续函数、不等式学习奠定基础，契合新课标 “强化规律探究，发展核心素养” 的导向。
教材分析 本节课是一元二次方程章节的规律探究与综合应用课，承接 “求根公式”，聚焦 “根与系数的内在关联”。教材以 “合作学习” 为切入点，通过让学生解具体方程、计算根的和与积，自主发现规律，再利用求根公式进行代数证明，抽象出韦达定理；例题设计从基础的求根的和与积，到复杂代数式变形(如)，再到构造方程，层层递进。内容编排遵循 “特例探究 — 规律猜想 — 严格证明 — 应用拓展” 的逻辑，既体现知识的连贯性，又突出探究式学习的新课标理念，是提升学生代数推理与综合应用能力的关键载体。
学情分析 学生已掌握一元二次方程的解法(求根公式、因式分解法)、二次根式运算及代数式变形技巧(如完全平方公式、通分)，具备初步的规律探究能力。但存在明显短板：一是对 “不用求根直接通过系数推导根的关系” 的抽象逻辑不适应，推导定理时易在含字母的运算中出错；二是运用定理时，忽略 “方程需化为一般形式” 的前提，或在代数式变形(如 、)中不会灵活运用完全平方公式、通分等技巧；三是构造方程时，混淆二次项系数与根的和、积的对应关系，个体差异集中在 “定理推导的理解” 与 “代数式变形的灵活性” 上。
教学目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，能准确运用定理求根的和、积及相关代数式的值，会根据根构造一元二次方程； 2.经历 “解具体方程—猜规律—证定理—用定理” 的过程，提升代数推理、代数式变形与规律探究能力； 3.建立 “方程一般形式—系数—根的和与积—代数式值” 的思维链条，发展运算素养与推理意识； 4.感受数学规律的严谨性与实用性，激发探究数学内在关联的兴趣，培养规范推理、细致运算的习惯。
教学重点 1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系( )； 2.能运用韦达定理求与根相关的代数式的值，会根据已知根构造一元二次方程。
教学难点 韦达定理的代数证明过程(含字母的配方、平方差公式应用及二次根式运算)，以及复杂代数式(如 、)向 “根的和与积” 的转化。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 1.用求根公式解下列方程，并计算两根之和与两根之积： ；； 2.观察上述方程的根的和、积与方程的系数(二次项系数a、一次项系数b、常数项c)，你发现了什么规律？ 3.猜想：对于任意一元二次方程，其根的和与积是否也与系数存在类似关系？ 预设答案 1.(1)方程的根为，两根之和，两根之积；(2)方程的根为，两根之和 ，两根之积； 2.规律：(1)中，根的和等于，根的积等于 ；(2)中，根的和与积同样满足该关系； 3.猜想存在类似普遍规律： 。 引导学生用求根公式解具体方程，计算根的和与积，启发观察根与系数的关联，铺垫探究方向。 完成方程求解与根的和积计算，初步感知数据规律，提出猜想。 以旧知为起点，通过具体实例积累素材，激发探究兴趣，为定理推导奠定基础。
探究活动一：根与系数关系 一元二次方程根与系数的关系是法国数学家韦达 (Vieta，1540~1603)发现的，人们称之为韦达定理。 思考： 一元二次方程的求根公式.揭示了方程的根与方程的系数之间的联系。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有怎样的关系？ 合作学习：先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积： (1) ； (2) ； (3) . 答案：解：(1) ， ， 则或， 解得或； 则， (2)将原方程的左边分解因式，得， 则，或， 解得， . 则， . (3)由原方程可得， 则， 解得. 则x1+ x2＝， x1x2＝ 思考：这些方程的两根之和与两根之积和方程的系数有什么联系？ 一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系：如果是一元二次方程的两个根，那么. 组织小组合作分析多组方程的根与系数数据，引导提炼共性规律，明确猜想内容。 对比不同方程的 a、b、c 与根的和积关系，归纳猜想 “”。 经历 “特例分析 — 规律提炼 — 猜想生成” 过程，培养数据分析与归纳推理能力。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：根与系数关系的证明 思考：你能证明一元二次方程的根与系数的关系吗？ 设一元二次方程的两个根为，则，， ∴ = = ∴ = = = 追问1：如果方程的两个根是，那么和为多少？ 推论1：如果方程的两个根是， 那么 追问2：如果一个一元二次方程的两个根是x1， x2(二次项系数为1)，你能写出这个方程吗？ 推论2：以两个数x1， x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是. 引导学生利用求根公式推导猜想，分步拆解含字母的运算过程，强调平方差公式的应用要点。 跟随推导步骤完成代数运算，验证猜想的合理性，理解定理的严谨性。 落实代数推理素养，让学生体会定理的形成过程，强化 “从特殊到一般” 的数学思想。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：根与系数关系的应用 例1 设x1， x2是一元二次方程5x2=0的两个根，求和的值. 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 =， ， ； . 注意：在解决上述这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系，我们不必先求出方程的根，给计算带来方便。 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是 ，1.写出这个方程. 解：设这个方程为， 由一元二次方程根与系数的关系，得 ，解得； ，解得. 所以这个一元二次方程是. 方法总结： 1.求与根相关的代数式值：先将代数式转化为含 “” 和 “” 的形式(如 )，再代入定理结果计算。 2.构造一元二次方程：若两根为 ，二次项系数为1 时，方程为 ；二次项系数为 时，方程为 。 3.核心前提：所有应用需先将方程化为一般形式 ，准确识别 的值(含符号)。 示范定理在求代数式值、构造方程中的应用，强调 “先化一般式” 的前提，指导复杂代数式变形技巧。 运用定理解决具体问题，掌握代数式转化方法，规范解题步骤。 巩固定理应用技能，提升代数式变形与综合运算能力，落实知识落地。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.若是一元二次方程的两根，则的值是(　　) A. B.1 C.5 D. 2.若是一元二次方程的两个根，则的值是(　　) A.B.C.1D.7 3.若a，b为方程 的两个实数根，则 的值为(　　) A.-41 B.-35 C.39 D.45 4.设是方程的两个根，且.则　 . 5.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　 . 6.一元二次方程的两根为和，则　 　. 7.如果实数a，b满足，且，则ab的值　 　. 8.若方程的两个实数根都是整数，则整数p值为　 　. 9.已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.定理掌握：熟记韦达定理的核心结论，理解其推导逻辑，明确 “方程为一般形式”“a≠0” 的适用条件。 2.核心应用：能运用定理求 x +x 、1/x +1/x 等代数式的值，会根据已知根构造一元二次方程，掌握代数式转化的关键技巧。 3.推理素养：经历 “猜想 — 证明 — 应用” 的完整过程，体会 “从特殊到一般” 的数学思想，提升代数推理与运算严谨性。 4.关联整合：衔接求根公式、完全平方公式等旧知，构建 “系数 — 根 — 代数式” 的关联体系，为后续函数、不等式学习奠定基础。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.3 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） 一、核心定理 若 的两根为 ，则： 二、推论（二次项系数为 1） 若 的两根为 ，则： 构造方程： 三、应用类型 求代数式值：转化为 的形式 构造一元二次方程 结合根的性质求值 四、易错提醒 先化方程为一般形式，再确定 a、b、c（注意符号） 代数式变形需灵活运用完全平方、通分等技巧 定理适用前提：方程有实数根（Δ≥0） 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列四张卡片上各写有一个一元二次方程，其中两根之和等于负数的有 (　　) x2+3x-4=0　　 x2-4x+4=0 x2+4x+5=0　　　 x2+4x+4=0 A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 2.一元二次方程的两个根为，则 (　　) A.-3　　　　 B.2　　　　 C.- 3.若两实数满足，则以为根的一元二次方程是 (　　) A.　B. C.　　　　D. 4.已知关于的方程的一个根为，则另一个根是 (　　) A.-3　　　　B.-2　　　　C.3　　　　D.6 5.已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为 (　　) A.7　　　　B.-7　　　　C.6　　　　D.-6 6.已知方程的根是和，则　　　　. 能力提升： 7.若是关于x的方程的两个根，且，则的值是　　　　. 8.对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n).例如，4※2=4×2×(4+2)=48.若x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，则x1※x2=　　　　. 9.设是一元二次方程的两根，则的值为　　　　. 10.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值. 拓展迁移： 11.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”. (1)通过计算，判断下列方程是不是“邻根方程”： ①； ②； (2)已知关于x的方程(m是常数)是“邻根方程”，求m的值.
教学反思 本节课通过特例探究激发学生兴趣，多数学生能掌握韦达定理的基础应用，但存在两点不足：一是定理推导环节，部分学生对含字母的运算(如求根公式相加、相乘)理解模糊，难以跟上推理节奏；二是复杂代数式变形时，不会主动将其转化为 “根的和与积” 的形式(如不会转化为)。后续需优化推导教学，用分步拆解的方式降低字母运算难度；设计 “代数式变形专项练习”，总结常见变形技巧；强化 “先化方程为一般形式” 的易错点提醒，让学生在实践中深化对定理本质的理解，更好落实推理意识与运算素养的培养目标。
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课题名称：2.3一元二次方程根与系数关系
第二章 一元二次方程
初中数学
学习目标
经历 “解具体方程—猜规律—证定理—用定理” 的过程，提升代数推理、代数式变形与规律探究能力；
02
掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，能准确运用定理求根的和、积及相关代数式的值，会根据根构造一元二次方程
01
建立 “方程一般形式—系数—根的和与积—代数式值” 的思维链条，发展运算素养与推理意识；
03
感受数学规律的严谨性与实用性，激发探究数学内在关联的兴趣，培养规范推理、细致运算的习惯。
04
复习回顾
1.用求根公式解下列方程，并计算两根之和与两根之积:
；；
1.(1)方程的根为，
两根之和，两根之积；
(2)方程的根为，
两根之和 ，两根之积；
复习回顾
2.观察上述方程的根的和、积与方程的系数(二次项系数a、一次项系数b、常数项c)，你发现了什么规律？
2.规律:(1)中，根的和等于，根的积等于 ；
(2)中，根的和与积同样满足该关系；
复习回顾
3.猜想:对于任意一元二次方程，其根的和与积是否也与系数存在类似关系？
3.猜想存在类似普遍规律: 。
探究新知
探究一:根与系数关系
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家韦达
(Vieta，1540~1603)发现的，人们称之为韦达定理。
思考: 一元二次方程的求根公式.揭示了方程的根与方程的系数之间的联系。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有怎样的关系？
探究新知
探究一:公式法
合作学习:先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积:
(1) ； (2) ； (3) .
解:(1) ，
，
则或，
解得或；
则，
(2)将原方程的左边分解因式，得，
则，或，
解得， .
则， .
探究新知
探究一:公式法
合作学习:先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积:
(1) ； (2) ； (3) .
(3)由原方程可得，
则，
解得.
则x1+ x2＝， x1x2＝
探究新知
探究一:公式法
思考:这些方程的两根之和与两根之积和方程的系数有什么联系？
猜想:一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系:
如果是一元二次方程的两个根，
那么.
探究新知
探究二：根与系数关系的证明
思考:你能证明一元二次方程的根与系数的关系吗？
设一元二次方程的两个根为，则，，
==
= = =
探究新知
探究二：根与系数关系的证明
追问1:如果方程的两个根是，那么和为多少？
推论1:如果方程的两个根是，
那么
追问2:如果一个一元二次方程的两个根是x1， x2(二次项系数为1)，你能写出这个方程吗？
推论2:以两个数x1， x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是.
探究新知
探究三：根与系数关系的应用
例1 设x1， x2是一元二次方程5x2=0的两个根，求和的值.
解:由一元二次方程的根与系数的关系，得
=， ， ；
.
注意:在解决上述这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系，我们不必先求出方程的根，给计算带来方便。
探究新知
探究三：根与系数关系的应用
例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是 ，1.写出这个方程.
解:设这个方程为，
由一元二次方程根与系数的关系，得
，解得；
，解得.
所以这个一元二次方程是.
探究新知
方法总结：
1.求与根相关的代数式值：先将代数式转化为含 “” 和 “” 的形式(如 )，再代入定理结果计算。
2.构造一元二次方程：若两根为 ，二次项系数为 1 时，方程为 ；二次项系数为 时，方程为 。
3.核心前提：所有应用需先将方程化为一般形式 ，准确识别 的值(含符号)。
课堂练习
1.若是一元二次方程的两根，则的值是(　　)
A. B.1 C.5 D.
2.若是一元二次方程的两个根，则的值是(　　)
A. B. C.1 D.7
3.若a，b为方程 的两个实数根，则 的值为(　　)
A.-41 B.-35 C.39 D.45
4.设是方程的两个根，且.则　 　.
B
D
C
-2
课堂练习
5.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　 .
6.一元二次方程的两根为和，则　 　.
7.如果实数满足，且，则的值　 　.
8.若方程的两个实数根都是整数，则整数值为　 　.
8或-4
课堂练习
9.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值.
解:(1)证明:，
，
方程总有两个不相等的实数根；
课堂练习
9.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值.
解: (2)解:由题意得:
， 解得: ，
，
，
，
的值为.
课堂小结
知识点：
1.定理掌握：熟记韦达定理的核心结论，理解其推导逻辑，明确 “方程为一般形式”“a≠0” 的适用条件。
2.核心应用：能运用定理求 、等代数式的值，会根据已知根构造一元二次方程，掌握代数式转化的关键技巧。
3.推理素养：经历 “猜想 — 证明 — 应用” 的完整过程，体会 “从特殊到一般” 的数学思想，提升代数推理与运算严谨性。
4.关联整合：衔接求根公式、完全平方公式等旧知，构建 “系数 — 根 — 代数式” 的关联体系，为后续函数、不等式学习奠定基础。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.下列四张卡片上各写有一个一元二次方程，其中两根之和等于负数的有 (　　)
x2+3x-4=0　　 x2-4x+4=0 x2+4x+5=0　　　 x2+4x+4=0
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
2.一元二次方程的两个根为，则 (　　)
A.-3　　　　 B.2　　　　 C.-
3.若两实数满足，则以为根的一元二次方程是 (　　)
A.　B. C.　　D.
B
B
A
课后提升
基础作业：
4.已知关于的方程的一个根为，则另一个根是 (　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.3　　　　D.6
5.已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为 (　　)
A.7　　　　B.-7　　　　C.6　　　　D.-6
6.已知方程的根是和，则　　　　.
A
B
2
课后提升
能力提升：
7.若是关于x的方程的两个根，且，则的值是　　　　.
8.对于实数m、n，定义运算“※”:
例如，.若是关于x的一元二次方程的两个实数根，则=　　　　.
9.设是一元二次方程的两根，则的值为　　　　.
1
20
课后提升
提升作业：
10.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值.
解:(1)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得.
课后提升
提升作业：
10.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值.
解:(2)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，，
解得，，.
课后提升
拓展作业：
11.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”.
(1)通过计算，判断下列方程是不是“邻根方程”:
①；
②；
(2)已知关于x的方程(m是常数)是“邻根方程”，求m的值.
课后提升
拓展作业：
解:(1)①解方程，得或，
，
不是“邻根方程”.
②解方程，
得，，
是“邻根方程”.
课后提升
拓展作业：
(2)根据根与系数的关系可知方程的解为或，
∵方程(m是常数)是“邻根方程”，
或，
解得或.
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分课时学案
课题 2.3一元二次方程根与系数的关系 单元 二 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，能准确运用定理求根的和、积及相关代数式的值，会根据根构造一元二次方程； 2.经历 “解具体方程—猜规律—证定理—用定理” 的过程，提升代数推理、代数式变形与规律探究能力； 3.建立 “方程一般形式—系数—根的和与积—代数式值” 的思维链条，发展运算素养与推理意识； 4.感受数学规律的严谨性与实用性，激发探究数学内在关联的兴趣，培养规范推理、细致运算的习惯。
重点 1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系( )； 2.能运用韦达定理求与根相关的代数式的值，会根据已知根构造一元二次方程。
难点 韦达定理的代数证明过程(含字母的配方、平方差公式应用及二次根式运算)，以及复杂代数式(如 、 )向 “根的和与积” 的转化。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.用求根公式解下列方程，并计算两根之和与两根之积： ；； 2.观察上述方程的根的和、积与方程的系数(二次项系数a、一次项系数b、常数项c)，你发现了什么规律？ 3.猜想：对于任意一元二次方程，其根的和与积是否也与系数存在类似关系？
新知讲解 探究活动一：根与系数关系 一元二次方程根与系数的关系是法国数学家韦达(Vieta，1540~1603)发现的，人们称之为韦达定理。 思考： 一元二次方程的求根公式.揭示了方程的根与方程的系数之间的联系。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有怎样的关系？ 合作学习：先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积： (1) ； (2) ； (3) . 思考：这些方程的两根之和与两根之积和方程的系数有什么联系？ 探究活动二：根与系数关系的证明 思考：你能证明一元二次方程的根与系数的关系吗？ 追问1：如果方程的两个根是，那么和为多少？ 追问2：如果一个一元二次方程的两个根是x1， x2(二次项系数为1)，你能写出这个方程吗？ 探究活动三：根与系数关系的应用 例1 设x1， x2是一元二次方程5x2=0的两个根，求和的值. 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是 ，1.写出这个方程.
课堂练习 课堂练习 1.若是一元二次方程的两根，则的值是(　　) A. B.1 C.5 D. 2.若是一元二次方程的两个根，则的值是(　　) A.B.C.1D.7 3.若a，b为方程 的两个实数根，则 的值为(　　) A.-41 B.-35 C.39 D.45 4.设是方程的两个根，且x1+x2=4，x1x2=3.则m+n=　 　. 5.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　 . 6.一元二次方程的两根为和，则　 　. 7.如果实数a，b满足，且，则ab的值　 　. 8.若方程的两个实数根都是整数，则整数p值为　 　. 9.已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1.下列四张卡片上各写有一个一元二次方程，其中两根之和等于负数的有 (　　) x2+3x-4=0　　 x2-4x+4=0 x2+4x+5=0　　　 x2+4x+4=0 A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 2.一元二次方程的两个根为，则 (　　) A.-3　　　　 B.2　　　　 C.- 3.若两实数满足，则以为根的一元二次方程是 (　　) A.　B. C.　　　　D. 4.已知关于的方程的一个根为，则另一个根是 (　　) A.-3　　　　B.-2　　　　C.3　　　　D.6 5.已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为 (　　) A.7　　　　B.-7　　　　C.6　　　　D.-6 6.已知方程的根是和，则　　　　. 能力提升： 7.若是关于x的方程的两个根，且，则的值是　　　　. 8.对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n).例如，4※2=4×2×(4+2)=48.若x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，则x1※x2=　　　　. 9.设是一元二次方程的两根，则的值为　　　　. 10.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值. 拓展迁移： 11.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”. (1)通过计算，判断下列方程是不是“邻根方程”： ①； ②； (2)已知关于x的方程(m是常数)是“邻根方程”，求m的值.
参考答案：
复习回顾：
1.(1)方程的根为，两根之和，两根之积；(2)方程的根为，两根之和 ，两根之积；
2.规律：(1)中，根的和等于，根的积等于 ；(2)中，根的和与积同样满足该关系；
3.猜想存在类似普遍规律： 。
探究一：
答案：解：(1) ，
，
则或，
解得或；
则，
(2)将原方程的左边分解因式，得，
则，或，
解得， .
则， .
(3)由原方程可得，
则，
解得.
则x1+ x2＝， x1x2＝
思考：一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系：如果是一元二次方程的两个根，那么.
探究二：
答案：设一元二次方程的两个根为，则，，
∴
=
=
∴
=
=
=
推论1：如果方程的两个根是，那么
推论2：以两个数x1， x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是.
探究三：
例1：
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
=， .
== = ；
.
例2：解：设这个方程为3x2=0，
由一元二次方程根与系数的关系，得
= +1 = ，解得b=；
= ×1= ，解得c=1.
所以这个一元二次方程是3x2=0.
课堂练习：
答案：1.B；2.D；3.C；4.-2；5.3；6.2025；7.2；8. 8或 4；
9. 【答案】(1)证明：，
，
方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：由题意得：
，
解得： ，
，
，
，
的值为.
作业设计：
答案：1.B　设方程的两根为x1，x2，x2+3x-4=0中，x1+x2=-=-3<0，符合题意；
x2-4x+4=0中，x1+x2=-=4>0，不符合题意；
x2+4x+5=0中，42-4×1×5=-4<0，方程没有实数根，
不符合题意；x2+4x+4=0中，x1+x2=-=-4<0，符合题意.故选B.
2.B　因为一元二次方程x2-3x+2=0的两个根为x1，x2，
所以x1x2==2.
3.A　根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1x2=，可知A正确.故选A.
4.A　设另一个根是m，因为关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2，所以2+m=-1，解得m=-3.
5.B　方法一：因为关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1，x2，x1=-1，
所以(-1)2+2-a=0，解得a=3.
所以x1+x2=-=2，x1x2==-3.
所以a-=a-()=a-[(x1+x2)2-2x1x2]
=3-[22-2×(-3)]=-7.
方法二：∵关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1x2=-a，
∵x1=-1，∴x2=3，∴x1x2=-3=-a，∴a=3，
∴原式=3-(-1)2-32=3-1-9=-7.
6.2
解析　∵方程x2-3x+1=0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2=3，x1x2=1，∴x1+x2-x1x2=3-1=2.
7.1
解析　∵x1、x2是关于x的方程x2+bx-3b=0的两个根，
∴x1+x2=-b，x1x2=-3b.
又∵=7，
∴(x1+x2)2-2x1x2=b2+6b=7，解得b=-7或b=1，
当b=-7时，b2+12b=49-84=-35<0，方程无实数根，∴b=1.
8.20
解析　∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-5x+4=0的两个实数根，
∴x1+x2=5，x1x2=4，
∴x1※x2=x1x2(x1+x2)=4×5=20.
9.
解析　因为x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两根，所以x1+x2=-，x1x2=，
所以=(x1+x2)2-2x1x2=.
10.解析　(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴(2k+1)2-4(k2+1)>0，解得k>.
(2)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1x2=k2+1，∵x1x2=5，∴k2+1=5，
解得k1=-2，k2=2，∵k>，∴k=2.
11.解析　(1)①解方程x2-x-6=0，得x=3或x=-2，
∵3-(-2)=5，∴x2-x-6=0不是“邻根方程”.
②解方程2x2-2x+1=0，
得x=，∵=1，
∴2x2-2x+1=0是“邻根方程”.
(2)根据根与系数的关系可知方程x2-(m-1)x-m=0的解为x=m或x=-1，
∵方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”，∴m-(-1)=1或-1-m=1，
解得m=0或m=-2.
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