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椭圆与双曲线的对偶性质一(必背的经典结论) 椭 圆
1. 点 处的切线 平分 在点 处的外角.
2. 平分 在点 处的外角,则焦点在直线 上的射影 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若 在椭圆 上,则过 的椭圆的切线方程是 .
6. 若 在椭圆 外,则过 作椭圆的两条切线切点为 ,则切点弦 的直线方程是
7. 椭圆 的左右焦点分别为 ,点 为椭圆上任意一点 ,则椭圆的焦点角形的面积为 .
8. 椭圆 的焦半径公式:
9. 设过椭圆焦点 作直线与椭圆相交 两点， 为椭圆长轴上一个顶点，连结 和 分别交相应于焦点 的椭圆准线于 两点,则 .
10. 过椭圆一个焦点 的直线与椭圆交于两点 为椭圆长轴上的顶点， 和 交于点 和 交于点 ,则 .
11. 是椭圆 的不平行于对称轴的弦, 为 的中点,则 , 即 。
12. 若 在椭圆 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .
13. 若 在椭圆 内,则过 的弦中点的轨迹方程是 .
双曲线
1. 点 处的切线 T 平分 在点 处的内角.
2. 平分 在点 处的内角,则焦点在直线 上的射影 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. (内切: 在右支; 外切: 在左支)
5. 若 在双曲线 上，则过 的双曲线的切线方程是 .
6. 若 在双曲线 外,则过 作双曲线的两条切线切点为 ,则切点弦 的直线方程是 .
7. 双曲线 的左右焦点分别为 ，点 为双曲线上任意一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为 .
8. 双曲线 的焦半径公式:
当 在右支上时, .
当 在左支上时,
9. 设过双曲线焦点 作直线与双曲线相交 两点, 为双曲线长轴上一个顶点,连结 和 分别交相应于焦点 的双曲线准线于 两点,则 .
10. 过双曲线一个焦点 的直线与双曲线交于两点 为双曲线实轴上的顶点， 和 交于点 和 交于点 ,则 .
11. 是双曲线 的不平行于对称轴的弦, 为 的中点,则 ,即 。
12. 若 在双曲线 内,则被 所平分的中点弦的方程是
13. 若 在双曲线 内,则过 的弦中点的轨迹方程是 .
椭圆与双曲线的对偶性质一(会推导的经典结论)
高三数学备课组
椭 圆
1. 椭圆 的两个顶点为 ,与 轴平行的直线交椭圆于 时 与 交点的轨迹方程是 .
2. 过椭圆 上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 两点，则直线 有定向且 (常数).
3. 若 为椭圆 上异于长轴端点的任一点， 是焦点， ， ， 则 .
4. 设椭圆 的两个焦点为 (异于长轴端点) 为椭圆上任意一点,在 中,记 ,则有 .
5. 若椭圆 的左、右焦点分别为 ,左准线为 ,则当 时,可在椭圆上求一点 ，使得 是 到对应准线距离 与 的比例中项.
6. 为椭圆 上任一点， ， 为二焦点， 为椭圆内一定点，则 ,当且仅当 三点共线时,等号成立.
7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是
8. 已知椭圆 为坐标原点， 为椭圆上两动点，且 . ( 1 ) 的最大值为 的最小值是 .
9. 过椭圆 的右焦点 作直线交该椭圆右支于 两点，弦 的垂直平分线交 轴于 ,则 .
10. 已知椭圆 ， 、 、是椭圆上的两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ,则 .
11. 设 点是椭圆 上异于长轴端点的任一点， 、 为其焦点记 ，则
(1) . (2) .
12. 设 是椭圆 的长轴两端点, 是椭圆上的一点, , ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1) . (2)
13. 已知椭圆 的右准线 与 轴相交于点 ,过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 在右准线 上,且 轴,则直线 经过线段 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率).
(注:在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17. 椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18. 椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质一(会推导的经典结论)
高三数学备课组
双曲线
1. 双曲线 的两个顶点为 ，与 轴平行的直线交双曲线于 时 与 交点的轨迹方程是 .
2. 过双曲线 上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 两点,则直线 有定向且 (常数).
3. 若 为双曲线 右(或左)支上除顶点外的任一点， ， 是焦点， ， ,则 (或 ).
4. 设双曲线 的两个焦点为 (异于长轴端点) 为双曲线上任意一点, 在 中,记 ,则有 .
5. 若双曲线 的左、右焦点分别为 ,左准线为 ,则当 时, 可在双曲线上求一点 ,使得 是 到对应准线距离 与 的比例中项.
6. 为双曲线 上任一点, 为二焦点, 为双曲线内一定点,则 ,当且仅当 三点共线且 和 在 轴同侧时,等号成立.
7. 双曲线 与直线 有公共点的充要条件是 .
8. 已知双曲线 为坐标原点， 、 为双曲线上两动点，且 .
(1) ；(2) 的最小值为 ；(3) 的最小值是 .
9. 过双曲线 的右焦点 作直线交该双曲线的右支于 两点，弦 的垂直平分线交 轴于 ,则 .
10. 已知双曲线 是双曲线上的两点,线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ,则 或 .
11. 设 点是双曲线 上异于实轴端点的任一点, 为其焦点记 , 则 (1) . (2) .
12. 设 是双曲线 的长轴两端点, 是双曲线上的一点, , 分别是双曲线的半焦距离心率,则有 .
(2) .
13. 已知双曲线 的右准线 与 轴相交于点 ,过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交于 两点,点 在右准线 上,且 轴,则直线 经过线段 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率).
(注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18. 双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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