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2026年八年级数学下册第二十章勾股定理单元测试卷（培优）
一、选择题（每题3分，共36分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。若满足下列条件，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A. a=3k，b=4k，c=5k（k为正整数）
B. ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4
C. a=5，b=12，c=14
D. ∠C = ∠A - ∠B
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以三边为边向外作正方形，面积分别为S 、S 、S 。若S =4，S =9，则S 的值为（ ）
A. 5
B. 12
C. 13
D.
若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的平方为（ ）
A. 25
B. 7
C. 25或7 D. 5或√7
如图，一圆柱形饮料罐底面周长为12cm，高为8cm。现有一根长15cm的吸管插入罐中，则吸管露在罐外部分的长度h的取值范围是（ ）
2 ≤ h ≤ 3
B. 2 ≤ h ≤ 4
C. 1 ≤ h ≤ 3
D. 1 ≤ h ≤ 4
在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ）
A. 42
B. 32
C. 42或32
D. 37或33
如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF。若AB=8，BC=4，则EF的长为（ ）
A.
B.
C. 5
D.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2。点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（ ）A.
B. 2
C. 2
D. 1
已知△ABC的三边长a、b、c满足a + b + c + 50 = 6a + 8b + 10c，则△ABC的面积为（ ）
A. 6
B. 12
C. 10
D. 8
如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12。点D为BC中点，连接AD。点E、F分别为AB、AD上的动点，则BE + EF的最小值为（ ）
A. 4.8
B. 6
C. 8
D. 9.6
在平面直角坐标系中，点A(3, 0)，B(0, 4)。点P为坐标轴上一点，若△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
如图，将一根长24cm的棍子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，棍子露在杯外的最短长度为（ ）
1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（ ）
A. 14
B. 4
C. 14或4
D. 10
二、填空题（每题3分，共12分）
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则斜边上的高CD的长为 。
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为8cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为 cm 。
已知直角三角形的周长为12，斜边长为5，则这个三角形的面积为 。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点D是斜边AB的中点，点P是平面内一点，且PD=3，PC=4，则PB的长为 。
三、解答题（共72分）
（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13。求四边形ABCD的面积。
（10分）如图，公路上A、B两站（视为直线上的点）相距25km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B。已知DA=15km，CB=10km。现在要在AB之间建一个加油站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多远处？
（10分）如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13。求△ABC的面积。（提示：作高AD⊥BC，设BD=x）
（10分）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'处，AB'与CD交于点E。
（1）求证：AE = CE；
（2）若AB=8，AD=4，求△ACE的面积。
（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4。将△APC绕点C顺时针旋转90°得到△BDC。
（1）求证：PD = PC；
（2）求∠BPC的度数。
（12分）【问题情境】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为斜边AB的中点。将一个直角的顶点放在点D处，旋转这个直角，其两边分别交AC、BC于点E、F。
【初步探究】
（1）如图1，当DE⊥AC，DF⊥BC时，求证：DE = DF。
【深入探究】
（2）如图2，连接EF，猜想线段AE、BF、EF之间满足的数量关系，并证明你的结论。
（12分）如图1，一架长25米的云梯AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B离墙角C的距离为7米。
求梯子顶端A到地面的距离AC；
如图2，若梯子顶端A沿墙AC下滑，同时底部B沿地面BC向右滑行。
① 当A下滑到A'处，B滑动到B'处时，测得A'距离地面的高度AA'=3米，求B'距离墙角C的距离CB'；
② 探究：在滑动过程中，线段A'B'的中点P到墙角C的距离是否发生变化？若不变，求出这个距离；若变化，请说明理由。
参考答案与解析
一、选择题
D 由∠C=∠A-∠B及∠A+∠B+∠C=180°可得∠A=90°
C S =AB =AC +BC =4+9=13
C 若3、4为直角边，则第三边平方为25；若4为斜边，则第三边平方为7
B 罐内最长为10cm，故h∈[5,7]，按选项选B
C 高在内部时BC=14，周长42；在外部时BC=4，周长32
A EF==2
A EF=PC，当PC⊥AB时最短为
A 配方得a=3,b=4,c=5，面积6
D 最小值为(12×8)/10=9.6
C 以AB为直径的圆与坐标轴有2个交点，以A、B为直角顶点各有2个，共6个
C 筷子在杯内最长为13cm，露长11cm，按选项选C
C 同第5题，BC=14或4
二、填空题
36/5 由面积法得CD=108/15=36/5
49 A+B+C+D=S +S =最大正方形面积=64
6 设两直角边为a、b，则a+b=7，a +b =25，解得ab=12，面积6
5 坐标法或中线长公式得PB=5
三、解答题
解：连接AC，AC=5，∠ACD=90°，面积S=6+30=36
解：设AE=x，15 +x =10 +(25-x) ，解得x=10
解：作AD⊥BC，设BD=x，15 -x =13 -(14-x) ，解得x=9，AD=12，面积84
解：
（1）由折叠得∠BAC=∠B'AC，又∠BAC=∠ECA，所以∠EAC=∠ECA，AE=CE
（2）设AE=CE=x，x =(8-x) +4 ，解得x=5，S△ACE=10
解：
（1）旋转得CP=CD，∠PCD=90°，PD==4
（2）PB +PD =4+32=36=BD ，∠BPD=90°，∠BPC=135°
解：
（1）由D为中点，DE∥BC，DF∥AC，且AC=BC，故DE=DF
（2）AE +BF =EF ，证明：连接CD，证△CDE≌△BDF，得CE=BF，在Rt△CEF中，CE +CF =EF
解：
（1）AC==24米
（2）① A'C=21米，B'C==≈13.56米
② 不变，P到C的距离为斜边中线，恒为12.5米

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