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15.4　零指数幂与负整数指数幂
1．零指数幂与负整数指数幂
　零指数幂
1．计算(1－3)0的结果是(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．4
2．(易错题)等式(x－3)0＝1成立的条件是(　　)
A．x≠3 B．x≥－3 C．x≠－3 D．x≤－3
　负整数指数幂
3．计算2 0260×3－1的结果是(　　)
A．－3 B． C．3 D．－
4．已知|x|＝5，且(x－5)－3有意义，则x＝________．
　幂的运算性质
5．下列计算正确的是(　　)
A．－52＝25 B．(－5)3＝－15
C．5－2＝－25 D．54÷53＝5
6．设a≠0，b≠0，计算下列各式：
(1)a－5(a2b－1)3.
(2).
(3)·.
1．已知a＝－42，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．a＜c＜b
2．(新定义)定义一种新的运算：如果a≠0，则有a▲b＝a－2＋ab＋|－b|，那么▲2的值是(　　)
A．－3 B．5 C．－ D．
3．若(－5)3x＋1＝1，则x＝________．
4．计算：(－1)2 027＋＝________．
5．已知10－2α＝3，10－β＝，求106α＋2β的值．
6．(推理能力)比较2 025－2 026与2 026－2 025的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法．
(1)通过计算比较下列各式中两数的大小：(填“＞”“＜”或“＝”)
①1－2________2－1；②2－3________3－2；
③3－4________4－3；④4－5________5－4.
(2)由(1)可以猜测n－(n＋1)与(n＋1)－n(n为正整数)的大小关系：当n________时，n－(n＋1)＞(n＋1)－n；当n________时，n－(n＋1)＜(n＋1)－n.
(3)根据上面的猜想，则有2 025－2 026________2 026－2 025(填“＞”“＜”或“＝”).
【详解答案】
基础达标
1．C　2．A　3．B　4．－5　5．D
6．解：(1)原式＝a－5·a6b－3＝ab－3＝.
(2)原式＝＝＝27a12b6.
(3)原式＝·＝
－·＝－.
能力提升
1．D　解析：a＝－42＝－16，b＝＝16，c＝＝1，∵－16＜1＜16，∴a＜c＜b.故选D.
2．B　解析：根据题中的新定义，得▲2＝＋×2＋|－2|＝4－1＋2＝5.故选B.
3．－　解析：∵(－5)3x＋1＝1，∴3x＋1＝0，解得x＝－.
4．0　解析：(－1)2 027＋＝－1＋1＝0.
5．解：∵10－2α＝＝3，10－β＝＝，∴102α＝，10β＝5.
∴106α＋2β＝(102α)3·(10β)2＝×52＝×25＝.
6．(1)①＞　②＞　③＜　④＜
(2)≤2　＞2　(3)＜
解析：(1)①∵1－2＝＝1，2－1＝，
∴1－2＞2－1.
②∵2－3＝＝，3－2＝，
∴2－3＞3－2.
③∵3－4＝＝，4－3＝＝，
∴3－4＜4－3.
④∵4－5＝＝，5－4＝＝，
∴4－5＜5－4.
(2)由(1)猜测：n为正整数时，当n≤2时，n－(n＋1)＞(n＋1)－n，当n＞2时，n－(n＋1)＜(n＋1)－n.
(3)根据(2)得，当n＝2 025时，
2 025－2 026＜2 026－2 025.专题训练一　分式求值的几种常见类型
类型1　　　化简后直接代入求值
1．(吉林中考)先化简，再求值：·，其中a＝2 025.
2．先化简，再求值：÷，其中x＝3.
3．先化简，再求值：(x2－1)，其中x＝2.
类型2　　化简后整体代入求值
4．已知a－b－1＝0，求代数式的值．
5．先化简，再求值：÷，其中a满足a2＋2a－3＝0.
6．已知x－y－5＝0，求代数式÷的值．
类型3　　化简后选值代入求值
7．先化简：－，再从－1，0，2中选取一个使原式有意义的数代入求值．
8．先化简，再求值：÷，其中x的取值范围如图所示，且x为正整数．
类型4　化简后变形代入求值
9．利用教材上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：÷，再求值．
10．(遂宁中考)先化简，再求值：÷，其中a满足a2－4＝0.
11．先化简，再求值：÷－，其中a、b满足b－2a＝0.
12．先化简，再求值：÷，其中a、b满足＋|b－3|＝0.
类型5　　设参化简求值
13．阅读下列解题过程：
题目：已知＝＝ (a、b、c互不相等)，求x＋y＋z的值．
解：设＝＝＝k，则x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，
∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0，∴x＋y＋z＝0.
依照上述方法解答问题：
已知＝＝，其中x＋y＋z≠0，求的值．
【详解答案】
1．解：原式＝·
＝a＋1，
当a＝2 025时，
原式＝2 025＋1＝2 026.
2．解：原式＝·(x＋1)(x－1)
＝，
当x＝3时，
原式＝＝1.
3．解：原式＝(x＋1)(x－1)(＋)
＝(x＋1)(x－1)·
＝(x－1)(x＋2)
＝x2＋x－2，
当x＝2时，
原式＝4＋2－2＝4.
4．解：∵a－b－1＝0，
∴a－b＝1，
＝
＝
＝
＝
＝
＝3.
5．解：原式＝·
＝·
＝·
＝·
＝2a(a＋2)
＝2a2＋4a，
∵a2＋2a－3＝0，
∴a2＋2a＝3，
原式＝2(a2＋2a)＝2×3＝6.
6．解：÷
＝·
＝·
＝·
＝2(x－y)，
∵x－y－5＝0，
∴x－y＝5，
∴原式＝2(x－y)＝2×5＝10.
7．解：－
＝－
＝
＝.
∵a≠0且a－1≠0，
∴a≠0且a≠1，
∴当a＝2时，原式＝.
当a＝－1时，原式＝－1.
(答案不唯一，任选其一即可)
8．解：÷
＝÷
＝·
＝.
由数轴可知，x的正整数解为1，2，
∵2－x≠0，
∴x≠2，
∴当x＝1时，原式＝＝－.
9．解：÷
＝·
＝·
＝，
由题意可得m＝±＝±＝±2，
∵4－2m≠0，
∴m≠2，
当m＝－2时，
原式＝＝－.
10．解：原式＝(＋)·
＝·
＝.
∵a2－4＝0，a－2≠0，
∴a＝－2，
原式＝＝.
11．解：原式＝·－＝－＝，
∵b－2a＝0，
∴b＝2a，
∴原式＝＝.
12．解：原式＝÷
＝·
＝，
∵＋|b－3|＝0，
∴a－2＝0，b－3＝0，
∴a＝2，b＝3.
原式＝＝－5.
13．解：设＝＝＝k，
则
①＋②＋③得2x＋2y＋2z＝k(x＋y＋z)，
∵x＋y＋z≠0，
∴k＝2，
∴原式＝＝＝.2.分式的基本性质
　　分式的基本性质
1．下列式子从左至右变形不正确的是(　　)
A．＝ B．＝
C．－＝ D．＝
2．填空：
(1)＝.
(2)＝.
(3)＝ (x－y≠0).
(4)＝.
3．不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数．
(1). (2).
　　分式的约分与最简分式
4．下列各式中，最简分式是(　　)
A． B．
C． D．
5．(湖南中考)约分：＝________．
6．约分：
(1). (2).
　最简公分母与分式的通分
7．分式，的最简公分母是(　　)
A．3ab B．ab C．3b D．3ab2
8．通分：
(1)，.　　(2)，.
1．(易错题)如果把分式中的a和b都扩大到原来的5倍，那么分式的值(　　)
A．扩大到原来的5倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的10倍 D．不变
2．若是一个最简分式，则△可以是(　　)
A．x B． C．4 D．4x
3．化简：
＝……①
＝.………②
其中步骤①②的运算依据分别属于(　　)
A．①是整式乘法；②是通分
B．①是分解因式；②是通分
C．①是分解因式；②是约分
D．①是整式乘法；②是约分
4．当15．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正．
甲：当a为何值时，分式有意义？
解：∵原式＝，
∴当a≠3时，分式有意义．
乙：代数式是分式还是整式？
解：∵原式＝x－2，∴是整式．
丙：化简分式.
解：＝＝．
6．(北京中考)已知a＋b－3＝0，求代数式的值．
7．(新定义)我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：＝＝4x，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有________(填序号).
①；②；
③.
(2)若分式 (m为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，求m的值．
(3)若分式的“巧整式”为1－x.
①求整式A；
②是“巧分式”吗？
微专题1 分式的代换求值
对于含有多个字母求分式的比值问题，一般有以下方法：(1)设参数法．(2)求出字母比值法．(3)整体代入法．
1．已知＝≠0，则＝________．
2．若＝，则＝________．
3．已知a－b－2＝0，求代数式的值．
【详解答案】
基础达标
1．D
2．(1)2x＋6　(2)y　(3)x－y　(4)b
3．解：(1)＝.
(2)＝.
4．B　5．x2
6．解：(1)＝.
(2) ＝＝.
7．A
8．解：(1)∵与的最简公分母为ab，
∴＝，＝.
(2)∵与的最简公分母为(x＋y)(x－y)2，
∴＝，
＝＝.
能力提升
1．D　解析：把分式中的a和b都扩大到原来的5倍，得＝，则分式的值不变．故选D.
2．A　解析：当△是x时，原式＝，原式是最简分式，故A选项符合题意；当△是时，原式＝，原式不是最简分式，故B选项不符合题意；当△是4时，原式＝＝，原式不是最简分式，故C选项不符合题意；当△是4x时，原式＝＝，原式不是最简分式，故D选项不符合题意．故选A.
3．C　解析：①4m－m2＝m(4－m)是用提公因式法分解因式，m2－8m＋16＝(m－4)2＝(4－m)2是用公式法分解因式；②是分式的约分化简．故选C.
4．－2　解析：∵15．解：甲同学的解答不正确．
根据题意，得a2－9≠0，
解得a≠3且a≠－3，
即当a≠3且a≠－3时，分式有意义．
乙同学的解答不正确．
代数式是分式．
丙同学的解答不正确．
＝＝－.
6．解：∵a＋b－3＝0，
∴a＋b＝3，
∴原式＝
＝
＝
＝.
7．解：(1)①③
解析：∵＝2x－3，2x－3是整式，
∴①是“巧分式”；
∵是最简分式，不能约分，
∴②不是“巧分式”；
∵＝＝x－y，x－y是整式，
∴③是“巧分式”．
(2)∵分式 (m为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，
∴(x＋3)(x－7)＝x2－4x＋m，
∴x2－4x－21＝x2－4x＋m，
∴m＝－21.
(3)①∵分式的“巧整式”为1－x，
∴A＝＝＝＝2x(1＋x)＝2x2＋2x.
②∵＝＝＝x＋1，
又x＋1是整式，
∴是“巧分式”．
微专题1
1．－1　解析：设＝＝k(k≠0)，则x＝2k，y＝3k，＝＝＝－1.
2.　解析：∵＝＋＝1＋，
∴1＋＝，∴＝－1＝.
3．解：
＝
＝.
∵a－b－2＝0，∴a－b＝2，
∴原式＝.2.科学记数法
　用科学记数法表示绝对值较小的数
1．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000 074”用科学记数法表示为(　　)
A．0.74×10－4 B．7.4×10－4
C．7.4×10－5 D．74×10－6
2．(科技前沿)据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为(　　)
A．4×10－10秒 B．4×10－11秒
C．4×10－12秒 D．40×10－12秒
3．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 031 6. (2)－0.000 306 8.
　还原用科学记数法表示的数
4．已知一粒米的质量约为2.1×10－5 kg，则数据2.1×10－5用小数表示为(　　)
A．0.021 B．0.002 1
C．0.000 21 D．0.000 021
1．(跨化学学科)水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为1.674×10－27 kg，一个氧原子的质量约为2.657×10－26 kg，一个水分子的质量大约是(　　)
A．3.613 7×10－25 kg B．2.824 4×10－26 kg
C．2.991 8×10－26 kg D．3.613 7×10－27 kg
2．在显微镜下，一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为8.2×10－7 m，还原为原数为(　　)
A．0.000 008 2 B．0.000 000 082
C．0.000 000 82 D．0.000 000 008 2
3．若a＝3.2×10－5，b＝7.5×10－5，c＝6.3×10－6，则a、b、c三数的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
4．(传统文化)宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1 g，用科学记数法表示一粒粟的重量约为________g.
5．(应用意识)如图，阶梯图有四级台阶，每个台阶上都标着一个数．已知第1个台阶上的数是－12.
(1)按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2，求第4个台阶上的数．
(2)按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数是前一个台阶上的数的，用科学记数法表示第4个台阶上的数．
【详解答案】
基础达标
1．C　2.A
3．解：(1)0.000 031 6＝3.16×10－5.
(2)－0.000 306 8＝－3.068×10－4.
4．D
能力提升
1．C　解析：2×1.674×10－27＋2.657×10－26＝0.334 8×10－26＋2.657×10－26＝2.991 8×10－26(kg).故选C.
2．C　解析：8.2×10－7＝0.000 000 82.故选C.
3．C　解析：∵a＝3.2×10－5＝0.000 032，
b＝7.5×10－5＝0.000 075，c＝6.3×10－6＝0.000 006 3，0.000 006 3＜0.000 032＜0.000 075，∴c＜a＜b.故选C.
4．5×10－3　解析：1÷200＝0.005＝5×10－3.
5．解：(1)根据题意得－12＋2＋2＋2＝－6.
答：第4个台阶上的数为－6.
(2)根据题意得－12×＝－12×10－6＝－1.2×10－5.
答：第4个台阶上的数为－1.2×10－5.15.3　可化为一元一次方程的分式方程
第1课时　分式方程及其解法
　　分式方程的概念
1．下列关于x的方程是分式方程的是(　　)
A．＝1－ B．＝2＋x
C．＋＝1 D．＝1
2．下列方程：①＝2，②＝3，③－＝，④＋＝5，⑤＋1＝0中，关于x的分式方程有________．(填序号)
　分式方程的解法
3．(湖南中考)将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　　)
A．x＋1＝2x B．x＋2＝1
C．1＝2x D．x＝2(x＋1)
4．分式方程＝的解是(　　)
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝ D．x＝
5．方程＋＝0的解为__________．
6．解方程：－＝0.
　分式方程的增根
7．关于x的分式方程＋3＝有增根，则增根为(　　)
A．x＝7 B．x＝－7
C．x＝－2 D．x＝2
8．若分式方程＝1－有增根，则k的值是(　　)
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
9．(教材变式)已知关于x的分式方程＋＝有增根，求m的值．
1．下列关于x的方程①＝5，②＝，③＝x－1，④＝中，是分式方程的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若代数式和2－的值相等，则x的值为(　　)
A．1 B．3 C．－3 D．－2
3．已知关于x的分式方程－＝3的解为负数，则k的取值范围为(　　)
A．k＜－4
B．k＞－4
C．k＜4且k≠－
D．k＞－4且k≠－
4．(新定义)对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：a☆b＝.例如：1☆3＝＝－2，则方程(－2)☆x＝1的解是(　　)
A．x＝1 B．x＝3
C．x＝－3 D．x＝－1
5．若关于x的方程＝－的解为整数，且不等式组无解，则满足条件的非负整数a有(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．若关于x的方程＋＝1有增根，则m的值是________．
7．(广东中考)在解分式方程＝－2时，小李的解法如下：
第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2， 第二步：1－x＝－1－2， 第三步：－x＝－1－2－1， 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x＝4.
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
8．阅读下面的材料，解答后面的问题．
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程化为y－＝0，方程两边同时乘以y，得y2－4＝0，
解得y＝±2，
经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解．
当y＝2时，＝2，解得x＝－1，
当y＝－2时，＝－2，解得x＝，
经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解，
故原分式方程的解为x＝－1或x＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
(1)若方程－＝0，设y＝，则原方程可化为____________．
(2)模仿上述换元法解方程：－＝0.
9．(推理能力)下列一组方程：①x＋＝4；②x＋＝6；③x＋＝8；……
小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下：
由①x＋＝1＋3，得x＝1或x＝3；
由②x＋＝2＋4，得x＝2或x＝4；
由③x＋＝3＋5，得x＝3或x＝5.
(1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路写出该方程的解．
(2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解．
(3)若n为正整数，关于x的方程x＋＝2n＋1的一个解是x＝5，求n的值．
【详解答案】
基础达标
1．D　2.⑤　3.A　4.D　5.x＝2
6．解：－＝0，
方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得3(x－1)－(x＋1)＝0，
去括号，得3x－3－x－1＝0，
解得x＝2，
检验：把x＝2代入(x＋1)(x－1)，得(2＋1)×(2－1)≠0，
∴x＝2是原方程的解．
7．D　8.C
9．解：原方程去分母，得3(x－1)＋6(x＋1)＝mx，
去括号，得3x－3＋6x＋6＝mx，
整理，得(m－9)x＝3，
由题意得，该分式方程的增根为x＝1或x＝－1，
当x＝1时，m－9＝3，
解得m＝12;
当x＝－1时，9－m＝3，
解得m＝6.
综上，m的值为6或12.
能力提升
1．A　解析：①＝5，③＝x－1，④＝属于整式方程；②＝的分母中含有未知数x，属于关于x的分式方程．故选A.
2．B　解析：由题意，得＝2－，方程两边同时乘以(x－2)，得4＝2(x－2)＋2，去括号，得4＝2x－4＋2，解得x＝3，检验：把x＝3代入x－2，得3－2≠0，∴分式方程的解为x＝3.故选B.
3．A　解析：－＝3，方程两边都乘以(x－4)，得x＋3k＝3x－12，解得x＝，根据题意，得x＝＜0，即3k＋12＜0，解得k＜－4，∵分母x－4≠0，即x≠4，即≠4，解得k≠－，∴k＜－4.故选A.
4．C　解析：由题意可得＝1，去分母得－2＋x＝1＋2x，解得x＝－3，经检验，x＝－3是分式方程的解．故选C.
5．A　解析：去分母得ax＝3＋a＋x，x＝＝＝1＋，由于解为整数，则a－1＝1，－1，2，－2，4，－4，则a＝2，0，3，－1，5，－3，由于无解，则a≤6，由于x≠2，即a≠5，则a＝2，0，3，－1，－3，∴非负整数a为2，0，3.故选A.
6．－1　解析：方程两边都乘以(x－2)，得1－x－m＝x－2，解得x＝，
∵关于x的方程＋＝1有增根，∴增根x＝＝2，解得m＝－1.
7．解：小李的解法中，第一步是去分母；
去分母的依据是：等式的基本性质；
小李的解答过程不正确；
正确的解答过程如下：
＝－2，
去分母，得·(x－2)＝－·(x－2)－2(x－2)，
整理，得1－x＝－1－2x＋4，
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0.
∴原分式方程无解．
8．解：(1)－＝0
(2)设m＝，
则原方程化为m－＝0，
解得m＝±3，
经检验，m＝±3都是方程m－＝0的解．
当m＝3时，＝3，
解得x＝－3.5，
当m＝－3时，＝－3，
解得x＝－1.25，
经检验，x＝－3.5或x＝－1.25都是原分式方程的解．
故原分式方程的解为x＝－3.5或x＝－1.25.
9．解：(1)第4个方程为x＋＝4＋6，
解得x＝4或x＝6，
经检验，x＝4或x＝6是该方程的解．
(2)第n个方程为x＋＝n＋n＋2，即x＋＝2n＋2，
解得x＝n或x＝n＋2，
经检验，x＝n或x＝n＋2是该方程的解．
(3)n为正整数，关于x的方程x＋＝2n＋1的一个解是x＝5，
即方程x＋1＋＝n＋n＋2的一个解是x＝5，
则x＋1＝6，
得x＋1＝n或x＋1＝n＋2，
解得n＝4或n＝6.15.2　分式的运算
1．分式的乘除
　　分式的乘法
1．计算·的结果是(　　)
A． B． C．xy D．
2．计算：·＝________．
3．计算：
(1)·.
(2)·.
　　分式的除法
4．计算÷的结果是(　　)
A． B． C．a D．
5．计算÷的结果是________．
6．计算：
(1)·÷.
(2)÷.
　分式的乘方
7．计算的结果是(　　)
A． B． C． D．a2b2
8．计算：÷＝________．
9．计算：
(1)÷·.
(2)·÷.
1．若A＝，B＝，则A÷B的值可能为(　　)
A． B． C． D．0
2．化简x3÷的结果是(　　)
A． B．x3y2 C． D．x2y6
3．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是(　　)
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
4．计算·的过程中，在约分化简时，发现公因式为(x－2)(…)，则“Δ”可以为(　　)
A．2x B．3x C．4x D．6x
5．计算：÷·＝________．
6．先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算：÷(x－1)·.
7．若分式除以的商是整数，求整数m的值．
8．如图，将4块长、宽分别为a、b的长方形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形的面积为49，中间的小正方形的面积为1.求(a4－b4)÷÷(6a－6b)的值.
9．先化简：÷，再从－2≤x≤2中选择一个合适的整数代入求值．
10．(运算能力)老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：
·÷＝.
(1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简．
(2)原代数式的值能等于－1吗？请说明理由．
【详解答案】
基础达标
1．D　2．y
3．解：(1)·＝＝.
(2)·
＝·
＝.
4．B　5．
6．解：(1)原式＝··＝6.
(2)原式＝·
＝.
7．B　8.－
9．解：(1)原式＝÷·
＝··
＝.
(2)原式＝·÷
＝·÷
＝x3·
＝.
能力提升
1．C　解析：A÷B＝÷＝·＝，由题意可知x≠±3、0，则A÷B的值不可能为、、0，当x＝－2时，A÷B的值为.故选C.
2．C　解析：原式＝x3÷＝x3·＝.故选C.
3．C　解析：乙的分子由2－x变成了x－2，也就是分子乘以了－1，而分母和分式本身的符号并没有发生变化，所以乙有错误．故选C.
4．A　解析：根据题意可知，·＝，当Δ＝2x时，2x＋6＝2(x＋3)，公因式为(x－2)·(x＋3)，符合题意，当Δ＝3x，4x，6x时，不符合题意．故选A.
5．－x　解析：÷·＝··＝－x.
6．解：原式＝·＝.
当x＝0时，原式＝.(答案不唯一)
7．解：根据题意得÷
＝÷
＝·
＝.
∵分式除以的商是整数，m为整数，
∴m－1＝1或m－1＝－1，
∴m＝2或m＝0，
∵m≠0且m－1≠0，
∴m≠0且m≠1，
∴m＝2.
8．解：由题意得，(a＋b)2＝49，(a－b)2＝1，a>0，b>0，a>b，
∴a＋b＝7，a－b＝1，
∴a＝4，b＝3，
∴原式＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)··＝＝＝14.
9．解：原式＝·÷
＝··
＝，
∵－2≤x≤2，且x≠0，±2，
∴整数x＝1或－1，
∴当x＝1时，原式＝＝3.(答案不唯一)
10．解：(1)被手遮住部分的代数式为
·÷
＝··
＝－.
(2)原代数式的值不能等于－1，
理由：＝－1，
x＋1＝－(x－1)，
x＋1＝－x＋1，
x＋x＝1－1，
2x＝0，
x＝0，
要使代数式－·÷有意义，x＋1≠0且x≠0且x－1≠0，
即x不能为－1，1，0，
所以原代数式的值不能等于－1.第2课时　分式方程的应用
　　行程问题
1．某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5 min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程为(　　)
A．－＝5 B．－＝5
C．－＝ D．－＝
2．(长春中考)小吉和小林从同一地点出发跑800 m，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40 s到达终点．求小林跑步的平均速度．
　工程问题
3．甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30 min后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工多少个零件．设乙每小时加工x个零件，可列方程为(　　)
A．－＝30 B．－＝30
C．－＝ D．－＝
4．为提升历史文化街区风貌，市政府计划修建一条文化步道，全长7 000 m，甲工程队修3 000 m后，因另有其他任务离开，调来乙工程队接着修路，乙工程队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米．
　　其他问题
5．某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划种植人数为x，则下列方程正确的是(　　)
A．－＝3 B．－＝3
C．＝2× D．＝2×
6．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电动汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电动汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电动汽车每百公里的耗电费．设纯电动汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为____________．
1．(数学文化)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是(　　)
A．＝× B．＝×
C．＝× D．＝×
2．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4 000元，…….若设单枪充电桩的单价为x元，这一情境中的等量关系可用方程“＝＋1”刻画，则“……”表示的条件为(　　)
A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个
B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个
C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个
D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个
3．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件(　　)
A．200件 B．210件
C．250件 D．260件
4．小丽和小颖相约周末到某电影院看电影，她们的家分别距离该电影院1 800 m和2 400 m．两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2∶3，结果小丽比小颖晚4 min到达电影院，则小丽的速度是________m/min.
5．(应用意识)某市建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书，从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月．
(2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由．
【详解答案】
基础达标
1．D
2．解：设小林跑步的平均速度为x m/s，则小吉跑步的平均速度为1.25x m/s，
由题意得－＝40，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：小林跑步的平均速度为4 m/s.
3．D
4．解：设甲工程队每天修路x m，则乙工程队每天修路2x m，
根据题意得＋＝50，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队每天修路100 m.
5．A　6.＝
能力提升
1．A　解析：由题意可得＝×.故选A.
2．A　解析：根据题意，得“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个.故选A.
3．A　解析：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x＋80)件，由题意得＝，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，所以原来平均每人每周投递快件200件．故选A.
4．50　解析：设小丽的速度是2x m/min，则小颖的速度是3x m/min，根据题意得－＝4，整理得，4x＝100，解得x＝25，经检验，x＝25是分式方程的解且符合题意，∴2x＝2×25＝50.∴小丽的速度是50 m/min.
5．解：(1)设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需3x个月，
根据题意得＋＝1，
解得x＝6，
经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×6＝18.
答：甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月．
(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算100万元，理由如下：
设甲、乙两队合作完成这项工程需y个月，
根据题意得＋＝1，
解得y＝，
∴(75＋165)y＝(75＋165)×＝1 080，
∵1 080＞980，1 080－980＝100，
∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算100万元．滚动练习一（15.1～15.2）
一、选择题
1．下列各式中不属于分式的是(　　)
A． B． C． D．
2．计算的结果是(　　)
A． B． C．－ D．
3．下列各式从左到右的变形一定正确的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
4．若分式的值为0，则a、b满足的条件是(　　)
A．a＝b B．a＋b＝0
C．a＝b或a＋b＝0 D．a＋b＝0且a≠b
5．(易错题)分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值(　　)
A．不变
B．扩大到原来的5倍
C．扩大到原来的10倍
D．缩小到原来的
6．计算：÷＝(　　)
A．－ B．
C． D．
7．若a＋b＝2，则代数式÷的值为(　　)
A． B．－ C．2 D．－2
8．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为(　　)
A． B．
C． D．－
9．若a为负整数，且a≠－1，则÷的值落在图中数轴上的(　　)
A．段① B．段② C．段③ D．段④
10．对于任意实数x，规定f(x)＝，则f(x)＋f(x＋1)＝(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在分式，，，中，最简分式有________个．
12．(开放题)写出一个使分式有意义的x的值，可以是________．
13．计算：÷＝________．
14．若a＋＝，则a2＋＝________．
15．(新定义)定义：若两个分式A与B满足：|A－B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a、b均为不等于0的实数，则分式的值为________．
三、解答题
16．计算：
(1)·.
(2)÷(x－2).
(3)(辽宁中考)÷－.
(4)(甘肃中考)＋÷.
17．下面是某同学计算－的解题过程：
解：－
＝－①
＝(m＋1)－2②
＝m－1.③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
18．先化简：(a+1－)÷，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
19．甲、乙两地之间公路全长360 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h.
(1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？
(2)如果汽车的行驶速度减小4 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车减速后晚到了多少小时？
【详解答案】
1．B　2.D　3.D
4．D　解析：∵分式的值为0，∴a2－b2＝0且a－b≠0，∴(a＋b)(a－b)＝0且a－b≠0，∴a＋b＝0且a≠b.故选D.
5．D　解析：根据题意可知，＝＝＝·，∴分式的值缩小到原来的.故选D.
6．D　解：原式＝÷＝÷＝×＝.故选D.
7．D　解析：÷
＝÷
＝－·
＝－(a＋b)，
当a＋b＝2时，原式＝－2.故选D.
8．A　解析：撕坏的一角中“■”为÷＋1＝×(5－a)＋1＝＝.故选A.
9．C　解析：原式＝·＝－，∵a为负整数，且a≠－1，∴0＜－≤，∴原分式的值落在题图中数轴上的段③.故选C.
10．A　解析：原式＝＋＝＝.故选A.
11．2　解析：＝＝，不是最简分式，不符合题意；＝＝，不是最简分式，不符合题意；，不能继续化简，是最简分式，符合题意．∴最简分式有2个．
12．1(答案不唯一)　解析：分式有意义，即x＋3≠0，所以x≠－3即可，所以x的值可以是1.
13．x－2　解析：原式＝·x＝x－2.
14．3　解析：∵a＋＝，∴a2＋＝－2＝()2－2＝3.
15．－或－　解析：∵与互为“美妙分式”，
∴＝3，
∵＝|－|＝，
∴＝3或＝－3，∴3a2＋ab＝3(a2－b2)或3a2＋ab＝－3(a2－b2)，∵a、b均为不等于0的实数，∴a＝－3b，或ab＝3b2－6a2，∴＝＝＝－，或＝＝＝－.综上，分式的值为－或－.
16．解：(1)原式＝·＝.
(2)原式＝·
＝.
(3)原式＝·－
＝－
＝
＝.
(4)原式＝＋·
＝.＋
＝
＝1.
17．解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
－＝－
＝
＝
＝.
18．解：原式＝(－)·＝·
＝，
由题意得a≠1且a≠－2，
当a＝0时，原式＝＝－1，
当a＝2时，原式＝＝0.
(答案不唯一，任选其一即可)
19．解：(1)汽车从甲地到乙地需要行驶 h.
(2)汽车从甲地到乙地需要行驶 h，汽车减速后晚到 h.2.分式的加减
　　同分母分式相加减
1．计算＋的结果是(　　)
A． B． C． D．
2．(新疆中考)计算：－＝(　　)
A．1 B．x－2y
C． D．
3．计算：
(1)－.　　　(2)＋.
　　异分母分式相加减
4．计算＋的结果是(　　)
A． B． C． D．1
5．下面的计算过程中，开始出现错误的一步是(　　)
－
＝－①
＝②
＝…………………③
＝1. ……………………………④
A．① B．② C．③ D．④
6．(湖北中考)计算－x的结果是________.
7．计算：
(1)－. (2)x－y＋.
　　分式的混合运算
8．计算－÷的结果是(　　)
A．0 B． C． D．
9．计算：·＋1＝________．
10．计算：1－÷＝________．
　　分式的简单应用
11．小刚从家到学校骑车需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.则小刚从家到学校需要的时间t(h)可以表示为(　　)
A． B． C． D．
12．把a kg的盐溶在b kg的水中，那么m kg这种盐水中的含盐量为________ kg.
1．下列式子计算正确的是(　　)
A．＋＝
B．＋＝
C．＋＝
D．－＝
2．已知分式P＝，Q＝，其中n为任意正整数，则P、Q的大小关系为(　　)
A．P＜Q
B．P＝Q
C．P＞Q
D．与n的取值有关
3．已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝(　　)
A．x B．y C．x＋y D．x－y
4．某施工队每天挖掘隧道a m，改进施工技术后每天能多挖掘20%，那么同样挖掘b m隧道，比原来少用的天数可以表示为(　　)
A． B． C． D．
5．已知实数a、b满足ab＝1，则＋＝________．
6．已知a1＝x＋1(x≠0且x≠－1)，a2＝，a3＝，…，an＝，则a2 028＝________．(用含x的代数式表示)
7．(教材变式)下面是某同学计算－a－1的解题过程：
解：－a－1
＝－……①
＝………②
＝……③
＝1.…………………④
上述解题过程从第________步开始出现错误，写出正确的解题过程．
8．(1)先化简，再求值：÷，其中a＝.
(2)先化简÷，再从－2，0，1中选一个合适的数代入求值．
(3)先化简，再求值：÷，其中x、y满足(x＋2)2＋|y－1|＝0.
9．(推理能力)在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把代数式变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若＝，求代数式x＋的值．
解：∵＝，∴＝4，∴＋＝4，∴x＋＝4.
任务：已知＝.
(1)求x＋的值．
(2)求的值．
【详解答案】
基础达标
1．C　2．A
3．解：(1)原式＝＝1.
(2)原式＝－
＝
＝
＝2x＋3.
4．A　5．B　6．2
7．解：(1)原式＝
＝
＝
＝.
(2)原式＝＝.
8．C　9．x　10.－
11．B　12．
能力提升
1．B　解析：A.＋＝，故此选项不符合题意；B.＋＝－＝，故此选项符合题意；C.＋＝，故此选项不符合题意；D.－＝＝，故此选项不符合题意．故选B.
2．C　解析：P－Q＝－＝
＝＝，∵n为任意正整数，∴n(n＋1)＞0，∴＞0，∴P＞Q.故选C.
3．A　解析：∵－＝，
∴＝＋，
∴＝＋，
∴＝＋，∴Ax＝(x－y)(x＋y)＋y2，∴Ax＝x2，∴A＝x.故选A.
4．A　解析：按原来的速度用的天数为，改进施工技术后用的天数为，所以比原来少用的天数为－＝－＝－＝.故选A.
5．1　解析：∵ab＝1，∴原式＝＋＝＋＝＝1.
6.　解析：∵a1＝x＋1，∴a2＝＝＝－，a3＝＝＝，∴a4＝＝＝＝x＋1，∴a5＝－，a6＝，…，由上可得，每三个为一个循环，∵2 028÷3＝676，∴a2 028＝.
7．解：①
正确的解题过程如下：
原式＝=－(a＋1)
＝－
＝
＝
＝.
8．解：(1)原式＝÷
＝·
＝，
当a＝时，
原式＝＝.
(2)原式＝·
＝·
＝a－2，
由题意得a≠±2，
当a＝0时，原式＝0－2＝－2，
当a＝1时，原式＝1－2＝－1.
(答案不唯一，任选其一即可)
(3)原式＝[＋]·
＝·
＝，
∵(x＋2)2＋|y－1|＝0，
∴x＋2＝0，y－1＝0，
∴x＝－2，y＝1，
∴原式＝＝－1.
9．解：(1)∵＝，
∴＝3，
∴x－3＋＝3，
∴x＋＝6.
(2)∵＝x2＋2＋＝＝62＝36，
∴＝.专题训练二　由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围
类型1　根据分式方程有增根求字母的值
1．若关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
2．若关于x的分式方程－＝5有增根，求m的值．
3．已知关于x的分式方程－＝1.
(1)若分式方程的根是x＝2，求a的值．
(2)若分式方程有增根，求a的值．
类型2　根据分式方程无解求字母的值
4．(齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程＋＝2无解，那么实数m的值是(　　)
A．m＝1 B．m＝－1
C．m＝1或m＝－1 D．m≠1且m≠－1
5．若关于x的方程＋1＝无解，求n的值．
6．已知关于x的方程＋＝无解，求m的值．
7．已知关于x的分式方程＋＝.
(1)若方程有增根，求m的值．
(2)若方程无解，求m的值．
类型3　根据分式方程的解是整数求字母的值
8．(眉山中考)若关于x的不等式组
至少有两个正整数解，且关于x的分式方程＝2－的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为(　　)
A．8 B．14 C．18 D．38
9．已知关于x的方程＋＝的解为整数，求整数m的值．
10．已知关于x的方程＋＝2有整数解，求此时整数m的值．
类型4　　根据分式方程的解是正负数求字母的值或取值范围
11．若分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围为(　　)
A．m>－5
B．m>－5且m≠－3
C．m<5
D．m<5且m≠－3
12．关于x的分式方程＝2＋的解为负数，则m的取值范围是(　　)
A．m＞－4
B．m＜－4
C．m＜－4且m≠－5
D．m＜0
13．已知关于x的分式方程－2＝.
(1)若分式方程有增根，则m＝________．
(2)若分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
14．已知关于x的分式方程－1＝的解是正数，求m的取值范围．
【详解答案】
1．A　解析：在分式方程中，分母为x－2和2－x，最简公分母为x－2.当x＝2时，分母为零，故增根为x＝2.将方程两边同乘以(x－2)得x＋1＋3(x－2)＝－m，整理得4x－5＝－m，将增根x＝2代入得4×2－5＝－m，解得m＝－3.故选A.
2．解：－＝5，
方程两边都乘以(x－1)，得2m－1－7x＝5(x－1)，
解得x＝，
∵分式方程有增根，
∴x－1＝0，
∴x＝1，
把x＝1代入x＝中可得
1＝，
解得m＝4，
∴m的值为4.
3．解：(1)∵分式方程的根是x＝2，
∴－＝1，
解得a＝18，
∴a的值为18.
(2)去分母得x(x＋a)－6(x＋3)＝x(x＋3)，
∵分式方程有增根，
∴x＝0或－3，
当x＝0时，0－18＝0，
此时不存在a的值，
当x＝－3时，－3(－3＋a)－0＝0，
∴a＝3，
∴a的值为3.
4．C　解析：方程去分母，得mx－x＝2(1－x)，整理，得(m＋1)x＝2.∵原方程无解，∴①整式方程无解，则m＋1＝0，解得m＝－1，②分式方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，把x＝1代入(m＋1)x＝2，得m＋1＝2，解得m＝1.综上，m＝1或m＝－1.故选C.
5．解：方程两边都乘以(x－3)，得3－2x＋x－3＝－nx＋2，
整理，得(n－1)x＝2，
当整式方程无解时，n－1＝0，
解得n＝1；
当分式方程有增根，即x＝3时，3(n－1)＝2，解得n＝.
∴当方程无解时，n＝1或n＝.
6．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
整理，得(1－m)x＝10.
∵原方程无解，
∴1－m＝0或2(1－m)＝10或－2(1－m)＝10，
解得m＝1或m＝－4或m＝6.
7．解：(1)＋＝，
方程两边都乘以(x－1)(x＋2)，得
2(x＋2)＋mx＝x－1，
整理，得(m＋1)x＝－5，
∵原分式方程有增根，
∴(x－1)(x＋2)＝0，
解得x＝1或x＝－2，
当x＝1时，m＝－6；
当x＝－2时，m＝1.5.
综上，m的值为－6或1.5.
(2)当m＋1＝0时，整式方程(m＋1)·x＝－5无解，则原分式方程也无解，此时m＝－1；
当m＋1≠0时，要使原方程无解，由(1)得m＝－6或m＝1.5.
综上，m的值为－1或－6或1.5.
8．B　解析：解不等式①得x≤5.解不等式②得x≥.∵关于x的不等式组至少有两个正整数解，∴不等式组的解集为≤x≤5，且解集包含至少两个正整数，∴≤4，解得a≤9.分式方程＝2－变形为＝，解得x＝，要求解为正整数且x≠1，则为大于或等于2的整数，即a为大于或等于6的偶数，∵a≤9，∴a＝6或8.∴所有满足条件的整数a的值之和为6＋8＝14.故选B.
9．解：解分式方程得x＝，
∵方程的解为整数，且x≠±1，m为整数，
∴＝±3，
∴m－9＝±1，
解得m＝10或m＝8.
10．解：＋＝2，
去分母得mx－1－1＝2(x－2)，
解得x＝，
∵＋＝2有整数解，且x≠2，
∴2－m＝－1或2－m＝±2，
解得m＝3或0或4，
∴整数m的值为3或0或4.
11．B　解析：＝1－，去分母得3＝x－2－m，解得x＝5＋m，∵分式方程＝1－的解为正数，∴5＋m>0，∴m>－5，∵x－2≠0，∴5＋m－2≠0，∴m≠－3，∴m>－5且m≠－3.故选B.
12．C　解析：＝2＋，方程两边同乘以(x＋1)，得3x－2＝2(x＋1)＋m，解得x＝m＋4，∵关于x的分式方程＝2＋的解为负数，∴x＋1≠0且x＜0，即m＋4＋1≠0且m＋4＜0，解得m＜－4且m≠－5.故选C.
13．解：(1)－1
解析：－2＝，方程两边都乘以(x－1)，得x－2(x－1)＝－m，解得x＝m＋2，∵原分式方程有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，把x＝1代入x＝m＋2，得1＝m＋2，解得m＝－1.
(2)由(1)得x＝m＋2，
由分式方程有解且解为非负数，得x≥0且x≠1，
即m＋2≥0且m＋2≠1，
即m≥－2且m≠－1.
14．解：方程两边同时乘以(x－1)，得1－m－(x－1)＝－2，
解得x＝4－m.
∵x是正数，
∴4－m＞0，解得m＜4，
∵x≠1，
∴4－m≠1，即m≠3，
∴m的取值范围是m＜4且m≠3.第15章　分式
15.1　分式及其基本性质
1．分式
　分式的有关概念
1．下列各式中，是分式的是(　　)
A． B．
C． D．＋1
2．代数式x，，，，，中，属于分式的有________个，属于整式的有________个．
　　分式有、无意义的条件
3．要使分式有意义，则a的取值应满足(　　)
A．a＞4 B．a≠4 C．a＞0 D．a≠0
4．(开放题)(山东七市中考)写出使分式有意义的x的一个值：________．
5．若分式有意义，则实数x的取值范围是________；当x＝________时，分式无意义．
6．当x为何值时，下列分式有意义？
(1). (2).
　分式的值为0的条件
7．(贵州中考)若分式的值为0，则实数x的值为(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－3
8．如果分式无意义，的值为0，求x－2y的值．
　　根据实际问题列分式
9．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册m元，现每册降价x元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为n元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是(　　)
A． 册 B． 册
C． 册 D． 册
10．填空：
(1)小明t h走了s km的路，则小明走路的速度是________ km/h.
(2)某食堂有煤m t，原计划每天烧煤a t，现每天节约用煤b(b＜a)t，这批煤可比原计划多烧____________天．
1．若分式的值为0，则x的值为(　　)
A．3 B．－3 C．±3 D．9
2．下列各式中，当m<2时一定有意义的是(　　)
A． B．
C． D．
3．若三角形三边长分别为a、b、c，且分式的值为零，则此三角形一定是(　　)
A．三边都不相等的三角形
B．腰与底边不相等的等腰三角形
C．等边三角形
D．直角三角形
4．已知当x＝1时，分式无意义；当x＝2时，此分式的值为0，则(a－b)2 027＝________．
5．若分式－的值为整数，则整数x的值为____________．
6．小玉要打一份40 000字的文件，第一天她打字1.5 h，打字速度为a字/min.第二天她打字速度比第一天快了20字/min，两天打完全部文件，用含a的式子表示第二天打字用的时间为________min.
7．当x取什么值时，下列分式的值为零？
(1). (2).
8．已知关于x的分式，解答下列问题：
(1)当x满足什么条件时，分式无意义？
(2)当x满足什么条件时，分式有意义？
(3)当x满足什么条件时，分式的值为0
9.若式子的值为零，求x的值．
晓丽的解答过程如下：
∵式子的值为零，∴|x|－2＝0，
∴x＝±2.
晓丽的解答过程是否正确？如果不正确，请写出正确的解答过程．
10．(运算能力)在一次数学练习课上，徐老师为同学们出了这样一道题：当x＝－，x＝－2，x＝0，x＝1，x＝时，求分式的值．
(1)请你完成这道题．
(2)做完这道题后，聪明的王鑫发现：无论x取何值，上述分式都有意义，你知道这是为什么吗？
(3)如果分式无论x取何实数总有意义，你能求出m的取值范围吗？
【详解答案】
基础达标
1．B　2.3　3　3.B
4．2(答案不唯一)
5．x≠7　－6
6．解：(1)∵有意义，
∴2x－1≠0，
∴x≠.
(2)∵有意义，
∴4x2－1≠0，
∴x≠±.
7．A
8．解：∵分式无意义，
∴2x＋4＝0，
∴x＝－2.
∵的值为0，
∴y＋4＝0且y2＋2≠0，
∴y＝－4.
∴x－2y＝－2－2×(－4)＝－2＋8＝6.
9．B
10．(1)　(2)
能力提升
1．A　解析：由题意可知
解得x＝3.故选A.
2．C　解析：A选项，当m＝－1时，分式没有意义，故该选项不符合题意；B选项，当m＝－3时，分式没有意义，故该选项不符合题意；C选项，当m＝3时，分式没有意义，∵m<2，∴分式一定有意义，故该选项符合题意；D选项，当m＝1时，分式没有意义，故该选项不符合题意．故选C.
3．B　解析：依题意，得ab－ac＋bc－b2＝0，且a－c≠0，整理得(b－c)(a－b)＝0，且a≠c，则b＝c或a＝b，且a≠c，故该三角形是腰与底边不相等的等腰三角形．故选B.
4．－1　解析：当x＝1时，分式无意义，得到1－a＝0，解得a＝1；当x＝2时，此分式的值为0，得到2－b＝0，2－a≠0，解得b＝2，故原式＝(1－2)2 027＝－1.
5．－4或－3或－1或0　解析：∵分式－的值为整数，x为整数，∴x＋2＝－2或x＋2＝－1或x＋2＝1或x＋2＝2，∴整数x的值为－4或－3或－1或0.
6.　解析：1.5 h＝90 min，根据题意得第二天打字用的时间为 min.
7．解：(1)由题意得(x＋3)(x－2)＝0且x2－9≠0，
解得x＝2，
所以当x＝2时，分式的值为零．
(2)由题意得2x＋6＝0且x2＋6x＋9≠0，
方程无解，
所以无论x取什么值，分式的值都不为零．
8．解：(1)由题可得(x＋1)(x－3)＝0，
解得x＝－1或x＝3，
∴当x＝－1或x＝3时，分式无意义．
(2)由题可得(x＋1)(x－3)≠0，
解得x≠－1且x≠3，
∴当x≠－1且x≠3时，分式有意义．
(3)由题可得
解得x＝1，
∴当x＝1时，分式的值为0.
9．解：不正确．正确的解答过程如下：
∵式子的值为零，
∴|x|－2＝0且x＋2≠0，
解得x＝2.
10．解：(1)把x＝－代入中，得＝
＝－；
把x＝－2代入－中，得
＝＝；
把x＝0代入中，得
＝；
把x＝1代入中，得
＝；
把x＝代入中，得＝＝.
(2)因为x2－2x＋3＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2，
无论x取何值，(x－1)2≥0，
所以(x－1)2＋2≠0，即x2－2x＋3≠0，
所以无论x取何值，分式都有意义．
(3)因为x2－2x＋m＝(x2－2x＋1)＋(m－1)＝(x－1)2＋(m－1)，
所以当m－1＞0，即m＞1时，无论x取何实数，分式都有意义．

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