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4.求一次函数的表达式
　用待定系数法求一次函数的表达式
1．(广西中考)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，则b＝(　　)
A．3 B．4 C．6 D．7
2．若一个正比例函数的图象经过点(－2，4)，则它的图象必经过点(　　)
A．(3，6) B．(－3，－6)
C．(－2，1) D．(－1，2)
3．已知一次函数y＝kx＋b的图象与y＝3x－4的图象平行，而且经过点(1，1)，则该一次函数的表达式为________．
4．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，求该一次函数的表达式．
　实际问题中求一次函数的表达式
5. (跨物理学科)在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(A)是它两端的电压U(V)的正比例函数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为(　　)
A．12 A B．8 A C．6 A D．4 A
6．(跨生物学科)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的函数关系式为(　　)
尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
A.y＝7.5x＋0.5 B．y＝7.5x－0.5
C．y＝15x D．y＝15x＋45.5
7．(跨物理学科)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如果一个弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm，在其弹性限度内，当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧的长度为6.5 cm，那么，当弹簧的长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为________kg.
8．已知学校热水器有一个可以储存200 L水的储水装置，且储水装置在水装满时会自动停止加水．如图所示为储水量y(L)与加水时间x(min)之间的关系图象，已知加水过程中，水的温度t(℃)与x(min)之间的关系为t＝.
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)求储水装置中的水加满时，储水装置内水的温度．
1．如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点P和Q，则直线l所对应的函数的表达式为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝x＋1
2．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标是－5，当x＝1时，y＝－2，则它的表达式是(　　)
A．y＝3x＋5 B．y＝－3x－5
C．y＝－3x＋5 D．y＝3x－5
3．已知y是x的一次函数，y与x之间的部分对应值如下表所示：
x … －1 1 3 …
y … －6 m 2 …
则m的值为(　　)
A．6 B．－2 C．2 D．－6
4．有一个一次函数的图象，甲、乙两位同学分别说出了它的一些特点．甲：y随x的增大而减小；乙：当且仅当x＜2时，y＞0.满足甲、乙两位同学描述的一次函数的表达式为(　　)
A．y＝x－2 B．y＝－x－2
C．y＝－x＋2 D．y＝－2x＋2
5．若直线m平行于直线y＝4x＋3，且经过点(1，－1)，则直线m所对应的函数的表达式为________．
6．如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的表达式．
(2)在x轴上是否存在点P，使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．(应用意识)2025年4月23日第四届全民阅读大会的主题是“培育读书风尚　建设文化强国”．某文化馆借此机会推出两种阅读收费方式．
方式一：先购买年卡，每张年卡100元，仅限本人一年内使用，凭卡阅读，每次再付费5元；
方式二：不购买年卡，每次付费10元．
设小华在一年内来此文化馆阅读的次数为x，选择方式一的总费用是y1元，选择方式二的总费用是y2元．
(1)请你直接写出y1、y2与x之间的函数关系式．
(2)若小华计划一年内来此文化馆的消费金额为220元，则选择哪种方式阅读的次数更多？
(3)请你帮助小华思考，选择哪种方式更省钱？
【详解答案】
基础达标
1．D　2．D　3．y＝3x－2
4．解：∵在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
∴解得
∴该一次函数的表达式为y＝2x＋1.
5．A　6．A　7．0.8
8．解：(1)由题图得，每分钟加水量为(160－80)÷2＝40(L)，
则y＝40x＋80，
当40x＋80＝200时，解得x＝3，
∴y与x之间的函数关系式为y＝40x＋80(0≤x≤3).
(2)当x＝3时，t＝＝32，
∴储水装置中的水加满时，储水装置内水的温度为32 ℃.
能力提升
1．D　解析：设直线l所对应的函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点P和Q的坐标代入直线l所对应的函数的表达式得解得
∴直线l所对应的函数的表达式为y＝x＋1.故选D.
2．D　解析：把x＝0，y＝－5；x＝1，y＝－2分别代入y＝kx＋b(k≠0)得
解得所以一次函数的表达式为y＝3x－5.故选D.
3．B　解析：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把x＝－1，y＝－6；x＝3，y＝2分别代入y＝kx＋b，得解得∴y＝2x－4，当x＝1时，m＝2×1－4＝－2.故选B.
4．C　解析：设此函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，∵当且仅当x＜2时，y＞0，∴一次函数的图象过点(2，0)，∴满足题意的一次函数的表达式为y＝－x＋2.故选C.
5．y＝4x－5　解析：设直线m所对应的函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵直线m平行于直线y＝4x＋3，且经过点(1，－1)，∴k＝4，把点(1，－1)代入y＝4x＋b得b＝－5，∴直线m所对应的函数的表达式为y＝4x－5.
6．解：(1)∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，
∴OH·AH＝3，
∴×3·AH＝3，
解得AH＝2，
∴点A的坐标为(3，－2)，
∵正比例函数y＝kx的图象经过点A，
∴3k＝－2，
解得k＝－，
∴正比例函数的表达式是y＝－x.
(2)存在．
设P(t，0)，
∵△AOP的面积为6，点A的坐标为(3，－2)，
∴|t|·2＝6，
解得t＝6或t＝－6，
∴点P的坐标为(6，0)或(－6，0).
7．解：(1)y1＝100＋5x，y2＝10x.
(2)当y1＝220时，100＋5x＝220，解得x＝24，当y2＝220时，10x＝220，解得x＝22，
∵24＞22，
∴选择方式一阅读的次数更多．
(3)分情况讨论：
①当y1＜y2时，100＋5x＜10x，解得x＞20，
②当y1＝y2时，100＋5x＝10x，解得x＝20，
③当y1＞y2时，100＋5x＞10x，解得x＜20，
综上所述，若小华在一年内来此文化馆阅读的次数大于20，选择方式一更省钱；若小华在一年内来此文化馆阅读的次数等于20，两种方式的消费金额一样；若小华在一年内来此文化馆阅读的次数小于20，选择方式二更省钱．16.4　反比例函数
1．反比例函数
　　反比例函数的定义
1．下列函数中，是反比例函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝
C．y＝x＋2 D．y＝x2
2．如果函数y＝xm－2是反比例函数，那么m的值是(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．0
3．下列函数关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1)y＝.(2)y＝.(3)y＝－.
　列反比例函数关系式
4．为丰富学生课余活动，某校用5 000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为(　　)
A．y＝5 000x B．y＝
C．y＝ D．y＝x＋5 000
5．写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数．
(1)火车从A地驶往相距约277 km的B地，若火车的平均速度为70 km/h，则火车距B地的距离s(km)是行驶的时间t(h)的函数．
(2)某中学现有存煤20 t，如果平均每天烧煤x t，共烧了y天，那么y是x的函数．
1．当气温不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的函数，下表记录了一组实验数据：
V/m3 1 2 3 4
p/kPa 96 48 32 24
p与V之间的函数关系式可能是(　　)
A．p＝96V B．p＝－16V＋112
C．p＝ D．p＝V2－24V＋112
2．若函数y＝是反比例函数，则m＝________．
3．已知函数y＝(m＋1)x|2m|－1.
(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？
(2)当m为何值时，y是x的反比例函数？
4. (应用意识)如图，某养鸡场利用一面长为11 m的墙，其他三面用栅栏围成长方形，面积为60 m2，设与墙垂直的边长为x m，与墙平行的边长为y m.
(1)y与x之间的函数关系式为________．(不要求写出自变量的取值范围)
(2)现有两种方案x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【详解答案】
基础达标
1．B　2．C
3．解：(1)y＝，y不是x的反比例函数．
(2)y＝，y不是x的反比例函数．
(3)y＝－，y是x的反比例函数，比例系数k是－.
4．B
5．解：(1)由题意可得s＝277－70t，是一次函数．
(2)由题意可得y＝，是反比例函数．
能力提升
1．C　解析：观察发现Vp＝1×96＝2×48＝3×32＝4×24＝96，故p与V之间的函数关系式为p＝.故选C.
2.　解析：根据题意，得2m－2＝1，解得m＝.
3．解：(1)∵函数y＝(m＋1)x|2m|－1是正比例函数，
∴|2m|－1＝1，且m＋1≠0，解得m＝1，即当m＝1时，y是x的正比例函数．
(2)∵函数y＝(m＋1)x|2m|－1是反比例函数，
∴|2m|－1＝－1，且m＋1≠0，解得m＝0，即当m＝0时，y是x的反比例函数．
4．解：(1)y＝
(2)当x＝5时，y＝＝12，
∵12>11，∴不符合题意，舍去；
当x＝6时，y＝＝10，
∵10<11，∴符合题意，
此栅栏总长为2x＋y＝2×6＋10＝22(m).
答：应选择x＝6的设计方案，此栅栏总长为22 m．16.3　一次函数
1．一次函数
　一次函数的定义
1．下列函数中，是正比例函数的是(　　)
A．y＝5x－2 B．y＝7x2
C．y＝ D．y＝
2．下列函数中，是一次函数的是(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝x2＋3
D．y＝mx＋n(m，n是常数)
3．若函数y＝(k－1)x＋1是一次函数，则k的取值范围是________．
4．红星机械厂有煤80 t，每天需烧煤5 t，求工厂剩余煤量y(t)与烧煤天数x(天)之间的函数关系式，指出y是不是x的一次函数，并求自变量x的取值范围．
5．已知关于x的函数y＝(m＋1)x|m|＋n－3.
(1)当m取何值时，该函数是关于x的一次函数？
(2)当m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？
　列一次函数关系式
6．下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，下降高度y与弹跳高度x之间的关系，能表示这种关系的式子是________．
x 25 40 50 75 …
y 50 80 100 150 …
7.我们知道，海拔每上升1 km，温度下降6 ℃.某时刻测量某市地面温度为20 ℃，设高出地面x km处的温度为y ℃，则y与x之间的函数关系式为________________，y________(填“是”或“不是”)x的一次函数．
8．(教材变式)某辆汽车油箱中原有汽油100 L，汽车每行驶50 km，耗油9 L，那么油箱中的余油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的函数关系式为________，y________(填“是”或“不是”)x的一次函数，y________(填“是”或“不是”)x的正比例函数．
9．一个弹簧不挂重物时长12 cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂1 kg重物后，弹簧伸长2 cm，那么弹簧总长y(cm)与所挂重物的质量x(kg)之间的函数关系式为________．(不需要写出自变量的取值范围)
1．若y＝(m＋1)x2－|m|＋1是关于x的一次函数，则m的值为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．±2
2．如果y是x的正比例函数，x是z的一次函数，那么y是z的(　　)
A．正比例函数 B．一次函数
C．其他函数 D．不构成函数关系
3．圆柱底面半径为5 cm，则圆柱的体积V(cm3)与圆柱的高h(cm)之间的函数关系式为________，它是________函数．
4．函数y＝是一次函数吗？如果是，请写出k，b的值；如果不是，试说明理由．
5．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系．
(2)刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y(元)与所买西瓜的质量x (kg)之间的关系．
(3)仓库内有粉笔200盒，如果每个星期运入36盒，仓库的粉笔盒数y与星期数x之间的关系．
(4)敏敏现在有10 000元现金，以后每个月支出500元，剩余现金总数y(元)与月数x之间的关系．
6．一盘蚊香长105 cm，点燃时每小时缩短10 cm.
(1)请写出点燃后蚊香的长度y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围).
(2)该蚊香可点燃多长时间？
7．(应用意识)某医疗器械生产厂生产了一批新型医疗产品，现有两种销售方案：
方案一：在下一个生产周期开始时售出该批医疗产品，可获利5万元，然后将该批医疗产品的生产成本(生产该批产品支出的总费用)和已获利5万元进行再投资，到生产周期结束时，再投资又可获利3.6%；
方案二：在下一个生产周期结束时售出该批产品，可获利57 800元，但要花费生产成本的0.4%作为该批医疗产品在此生产周期的储存费用．
(1)当该批医疗产品的生产成本为10万元时，方案一可获利________元；方案二可获利________元．
(2)设该批医疗产品的生产成本为x元，记方案一的获利为y1元，方案二的获利为y2元，分别求出 y1、y2与x之间的函数关系式．
(3)当该批医疗产品的生产成本是多少元时，方案一与方案二的获利相同？
【详解答案】
基础达标
1．D　2．A　3．k≠1
4．解：依题意得y＝80－5x，即y＝－5x＋80，y是x的一次函数．
因为y≥0，
所以－5x＋80≥0，
解得x≤16，
又因为x≥0，
所以x的取值范围为0≤x≤16.
5．解：(1)∵y＝(m＋1)x|m|＋n－3是关于x的一次函数，
∴|m|＝1，m＋1≠0，
∴m＝1，
∴当m＝1时，该函数是关于x的一次函数．
(2)由(1)知m＝1，
∵该函数是关于x的正比例函数，
∴n－3＝0，∴n＝3，
∴当m＝1，n＝3时，该函数是关于x的正比例函数．
6．y＝2x
7．y＝－6x＋20　是
8．y＝100－x　是　不是
9．y＝2x＋12
能力提升
1．A　解析：∵y＝(m＋1)x2－|m|＋1是关于x的一次函数，∴2－|m|＝1且m＋1≠0，解得m＝1.故选A.
2．B　解析：由题意得y＝kx，x＝k1z＋b，则y＝kk1z＋kb，当b≠0时，y是z的一次函数；当b＝0时，y是z的正比例函数．综上所述，y是z的一次函数．故选B.
3．V＝25πh　正比例　解析：由题意得V＝25πh，由正比例函数的定义得它是正比例函数．
4．解：函数y＝是一次函数．
∵y＝＝x－1，
∴k＝，b＝－1.
5．解：(1)y＝，y不是x的一次函数，也不是正比例函数．
(2)y＝3.6x，y是x的一次函数，也是正比例函数．
(3)y＝200＋36x，y是x的一次函数，不是正比例函数．
(4)y＝10 000－500x，y是x的一次函数，不是正比例函数．
6．解：(1)由题意得y＝105－10t.
(2)∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y＝0，
∴105－10t＝0，解得t＝10.5，
∴该蚊香可点燃10.5 h．
7．解：(1)55 400　57 400
(2)依题意得y1＝50 000＋(x＋50 000)×3.6%＝3.6%x＋51 800，
y2＝57 800－0.4%x.
(3)依题意得3.6%x＋51 800＝57 800－0.4%x，解得x＝150 000.即当该批医疗产品的生产成本是150 000元时，方案一与方案二的获利相同．16.2　函数的图象
1．平面直角坐标系
　　平面直角坐标系及点的坐标
1．如图所示的四个图形中，是平面直角坐标系的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为(　　)
A．(3，0) 　　B．(0，2)
C．(3，2) 　　D．(1，2)
　　各象限内点的坐标特征
3．在平面直角坐标系中，点P(－2，6)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在平面直角坐标系中，下列点在第四象限的是(　　)
A．(2，0) B．(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
5．(教材变式)如图，手掌盖住的点的坐标可能是(　　)
A．(3，4)
B．(－4，3)
C．(－4，－3)
D．(3，－4)
　坐标轴上的点的坐标特征
6．若点P(m＋3，m＋2)在y轴上，则点P的坐标为(　　)
A．(0，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，0)
7．若点P(3m＋1，2－m)在x轴上，则点P的坐标是________．
　关于坐标轴或原点对称的点的坐标特征
8．点M(2，－1)在第________象限，它关于x轴对称的点的坐标是________；它到x轴的距离是________，它到原点的距离是________．
9．点(－3，2)与点(3，2)的对称轴是________．
1．(贵州中考)如图，在平面直角坐标系中有A、B、C、D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限(　　)
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．(成都中考)在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在平面直角坐标系中，点P(b－1，b＋2)在x轴上，则b的值是(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D．2
4．若点P在第二象限，则m的取值范围是(　　)
A．m＞－2 B．－2＜m＜3
C．m＞3 D．m＜－2
5．(广安中考)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a、b满足(a－2)2＋|b＋3|＝0，则点A在第________象限．
6．若点P(m，1－2m)关于y轴的对称点在第二象限，则m的取值范围是________．
7．(1)在如图所示的平面直角坐标系内画出点P(2，3).
(2)分别作出点P关于x轴、y轴的对称点P1、P2，并写出P1、P2的坐标．
8．在某次演出活动中，小明在舞台中心以东30 m，再往北30 m处，小华在舞台中心以西20 m，再往南30 m处，小芳在小华所在位置以东40 m，再往南10 m处．
(1)利用下面的网格，建立适当的平面直角坐标系，标出舞台中心和这三位同学的位置，并用坐标表示出来(图中每个小正方形的边长代表实际距离10 m).
(2)结合(1)中图形，通过测量与估算，用表示方向的角和距离的方法表示小明相对于舞台中心的位置(长度精确到1 m，角度精确到1°).
微专题2 点的坐标与距离
已知点P(x，y)是平面直角坐标系内的任意一点，那么点P到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到原点的距离为.
1.已知点P(x，y)在第二象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，则点P的坐标是(　　)
A．(－3，5) B．(5，－3)
C．(3，－5) D．(－5，3)
2．在平面直角坐标系中，已知点P(m－1，3－2m)在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为________．
3．点A(3，－4)到x轴的距离是________，到原点的距离是________．
【详解答案】
基础达标
1．C　2．C　3．B　4．D　5．C　6．A
7．(7，0)　8．四　(2，1)　1　
9．y轴
能力提升
1．D　解析：点A在第一象限，点B在x轴上，点C在第三象限，点D在第四象限．故选D.
2．B　解析：∵－2＜0，a2＋1＞0，∴点P所在的象限是第二象限．故选B.
3．B　解析：根据题意可知b＋2＝0，解得b＝－2.故选B.
4．D　解析：∵点P在第二象限，∴m＋1＜0且6－2m＞0，∴m＜－2.故选D.
5．四　解析：∵(a－2)2＋|b＋3|＝0，
∴a－2＝0，b＋3＝0，∴a＝2，b＝－3，∴点A的坐标为(2，－3)，∴点A在第四象限．
6．0＜m＜　解析：∵点P(m，1－2m)关于y轴的对称点在第二象限，∴点P在第一象限，∴∴m的取值范围是0＜m＜.
7．解：(1)点P(2，3)如图所示．
(2)点P1、P2 如图所示．P1(2，－3)，P2(－2，3).
8．解：(1)如图，以舞台中心为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表实际距离10 m．
依题意所给的条件，舞台中心为点(0，0)，点(3，3)就是小明的位置，点(－2，－3)就是小华的位置，点(2，－4)就是小芳的位置．
(2)由图可得小明位于舞台中心北偏东45°方向，42 m处．
微专题2
1．A　解析：∵点P(x，y)在第二象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，∴点P的横坐标为－3，纵坐标为5，即点P的坐标是(－3，5).故选A.
2．(1，－1)　解析：根据题意得m－1＋3－2m＝0，解得m＝2，所以m－1＝1，3－2m＝－1，所以点P的坐标是(1，－1).
3．4　5　解析：根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，得点A到x轴的距离为|－4|＝4.设原点为O(0，0)，根据勾股定理，得AO＝＝5.专题训练七　一次函数的实际应用
类型1 行程与工程问题
1.甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20 km.两人前进路程s(km)与甲的前进时间t(h)之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是(　　)
A．甲比乙晚出发1 h
B．乙全程共用2 h
C．乙比甲早到B地3 h
D．甲的速度是5 km/h
2.国产芯片经过多年的发展，已经逐渐走出了一条属于自己的道路．近年来，国产芯片制造商已经推出了7 nm和5 nm的芯片，可以说，在制程技术的发展上，中国芯片制造商已经取得了非常显著的进展．甲、乙两个工厂同时加工一批芯片，两厂每天加工的速度保持不变，合作一段时间后，乙厂因设备维修停工，甲厂单独完成了剩下的任务．甲、乙两厂加工芯片的总数量y(万片)与甲厂加工时间x(天)之间的关系如图所示．
(1)甲厂比乙厂多加工了________天．
(2)求乙厂停工后y与x之间的函数关系式．
(3)第5天完成任务之后，通过计算说明甲、乙两个工厂谁加工的芯片多？
类型2 销售问题
3.某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售额为1 000万元，当投入90万元时销售额为5 000万元．则投入80万元时，销售额为________万元．
4.端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A、B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A 90 120
B 50 60
(1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围).
(2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
类型3 分段函数问题
5.同一条公路连接A、B、C三地，B地在A、C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．下列结论正确的是(　　)
A．甲车行驶 h与乙车相遇
B．A、C两地相距220 km
C．甲车的速度是70 km/h
D．乙车中途休息36 min
6.如图，折线OABC表示距离s(m)与时间t(min)之间的函数关系．
(1)分别写出线段OA、AB所对应的函数的表达式，并注明相应的t的取值范围．
(2)(开放题)请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述(不必描述具体的速度).
类型4 方案选择与设计问题
7.学校团委要组织为偏远山区孩子献爱心活动，计划订制一批精美日记本捐赠给偏远山区的孩子们，现有两家印务公司可以承接该款日记本制作业务，甲印务公司的收费标准是每本日记本收2元印制费，另收600元制版费．乙印务公司的收费标准是每本收2.5元印制费，不收制版费．
(1)分别写出两印务公司的收费y(元)与印制日记本数量x(本)之间的函数关系式．
(2)该校团委应该选择哪家印务公司更划算？请说明理由．
8.(龙东地区中考)2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2 160元又不多于2 200元，有哪几种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【详解答案】
1．D　解析：根据题图可得甲的速度是20÷4＝5(km/h)，乙全程共用1 h，乙比甲晚出发1 h，乙比甲早到B地2 h，故选项A、B、C不正确，选项D正确．故选D.
2．解：(1)2
(2)设乙厂停工后y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
把(3，150)，(5，190)代入得
解得
∴乙厂停工后y与x之间的函数关系式为y＝20x＋90.
(3)∵甲厂每天加工＝20(万片)，两厂合作每天加工＝50(万片)，
∴乙厂每天加工50－20＝30(万片)，
∴甲厂一共加工20×5＝100(万片)，乙厂一共加工3×30＝90(万片)，
∴甲厂加工的芯片多．
3．4 500　解析：设y＝kx＋b(k≠0)，∵当投入10万元时销售额为1 000万元，当投入90万元时销售额为5 000万元，
∴解得∴y＝50x＋500，当x＝80时，y＝50×80＋500＝4 500.
4．解：(1)由题意得y＝(120－90)x＋(60－50)(200－x)＝20x＋2 000，
故y关于x的函数关系式为 y＝20x＋2 000.
(2)由题意得20x＋2 000≥3 000，
解得x≥50，
故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元，至少需要购进A种粽子50盒．
5．A　解析：根据题图可得A、B两地之间的距离为20－0＝20(km)，两车行驶了4 h，同时到达C地，如图所示，在0～2 h时，两车同向运动，在第2 h，即D点时，两车之间的距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点的意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1 h，故D不正确，不符合题意；设甲车的速度为a km/h，乙车的速度为b km/h，根据题意，乙车休息完再出发后两车同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，即a＜b，∵2b＋20－2a＝40，∴b－a＝10，在DE—EF时，乙车不动，则甲车的速度是＝60(km/h)，乙车休息前速度为70 km/h，故C不正确，不符合题意；∴A、C两地之间的距离为4×60＝240(km)，故B不正确，不符合题意；设x h两车相遇，依题意得60x＝2×70＋20，解得x＝，即 h时，两车相遇，故A正确，符合题意．故选A.
6．解：(1)设线段OA所对应的函数的表达式为s＝kt(k≠0)，
∵点(20，900)在该函数图象上，
∴900＝20k，解得k＝45，
∴线段OA所对应的函数的表达式为s＝45t(0≤t≤20)，
由题图可得，线段AB所对应的函数的表达式为s＝900(20≤t≤30).
(2)小明从家步行去图书馆，图书馆距离小明家900 m，用时20 min，然后小明在图书馆看书用了10 min，再步行回家，用时15 min.
(答案不唯一，符合图象即可)
7．解：(1)甲印务公司的收费y(元)与印制日记本数量x(本)之间的函数关系式为y＝2x＋600，乙印务公司的收费y(元)与印制日记本数量x(本)之间的函数关系式为y＝2.5x.
(2)当印制日记本超过1 200本时，选择甲印务公司更划算；当印制日记本正好1 200本时，两家印务公司的收费相等；当印制日记本不足1 200本时，选择乙印务公司更划算．理由如下：
当2x＋600＜2.5x时，解得x＞1 200，
当2x＋600＝2.5x时，解得x＝1 200，
当2x＋600＞2.5x时，解得x＜1 200，
∴当印制日记本超过1 200本时，选择甲印务公司更划算；当印制日记本正好1 200本时，两家印务公司的收费相等；当印制日记本不足1 200本时，选择乙印务公司更划算．
8．解：(1)设购买一个“蜀宝”需要a元，购买一个“锦仔”需要b元．
根据题意，得
解得
答：购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元．
(2)设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”(30－x)个．
根据题意，得
解得6≤x≤8，
∵x为非负整数，
∴x＝6，7，8，
当x＝6时，30－6＝24(个)，
当x＝7时，30－7＝23(个)，
当x＝8时，30－8＝22(个)，
∴共有三种购买方案：
方案1：购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个；
方案2：购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个；
方案3：购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个．
(3)W＝88x＋68(30－x)＝20x＋2 040，
∵20＞0，
∴W随x的增大而增大，
∵x＝6，7，8，
∴当x＝6时，W的值最小，W最小＝20×6＋2 040＝2 160.
答：方案1需要的资金最少，最少资金是2 160元．滚动练习三（16.3～16.4）
一、选择题
1．下列函数中，属于正比例函数的是(　　)
A．y＝2x＋3 B．y＝
C．y＝－0.4x D．y＝x2
2．将直线y＝－x－1向上平移2个单位长度后得到的直线与y轴的交点坐标为(　　)
A．(0，－1) B．(0，1)
C．(0，－2) D．(0，2)
3．如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝ (k2＜0)的图象交于A、B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是(　　)
A．x＜－1或x＞1
B．x＜－1或0＜x＜1
C．－1＜x＜0或x＞1
D．－1＜x＜0或0＜x＜1
4．(湖南中考)对于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　)
A．点(2，2)在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
5．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过第二、三、四象限，它的表达式可以是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
6．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，函数y＝ (x>0)的图象经过BC的中点D，交AB于点E，连结DE.若S△BDE＝1，则k的值为(　　)
A．1 B．4 C．8 D．2
7．(贵州中考)如图，一次函数y＝x(x≥0)与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，点A的横坐标为1.有以下结论：①线段AB的长为8；②点C的坐标为(3，3)；③当x＞3时，一次函数的值小于反比例函数的值．其中结论正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
8．若函数y＝(m＋2)x|m|－1＋3是关于x的一次函数，则m＝________．
9．(跨物理学科)如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．实验数据记录如下：
x/cm … 10 15 20 25 30 …
y/N … 30 20 15 12 10 …
则y与x之间的函数关系式为________．
10．(开放题)在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线所对应的函数的表达式可能为________．(写出一个即可)
11．(深圳中考)如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象相交于点A和点B.若点A的横坐标为1，则点B的坐标为________．
12．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)为反比例函数y＝图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则m的取值范围为________．
13．如图，取直线y＝－x上一点A1(x1，y1)，①过点A1作x轴的垂线，交双曲线y＝于点A2(x2，y2)；②过点A2作y轴的垂线，交直线y＝－x于点A3(x3，y3)；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为(1，－1)，则点A2 026的坐标是________．
三、解答题
14．已知点A(1，4)、B(a，1)是反比例函数y1＝ (k≠0)的图象与一次函数y2＝mx＋n(m≠0)图象的交点．
(1)画出反比例函数与一次函数的图象．
(2)写出满足y1＜y2的x的取值范围．
15．(兰州中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝ (x＞0)的图象相交于点A(m，3)，与x轴相交于点B(8，0)，与y轴相交于点C.
(1)求一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝的表达式．
(2)点P为y轴负半轴上一点，连结AP.若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
【详解答案】
1．C　解析：y＝2x＋3，y＝，y＝x2不符合正比例函数的定义，它们不是正比例函数，y＝－0.4x符合正比例函数的定义，它是正比例函数．故选C.
2．B　解析：将直线y＝－x－1向上平移2个单位长度后得到直线y＝－x－1＋2＝－x＋1，令x＝0，则y＝1，故平移后的直线与y轴的交点坐标为(0，1).故选B.
3．C　解析：由双曲线的对称性得点B的横坐标为1，∴当y1＜y2时，x的取值范围为－1＜x＜0或x＞1.故选C.
4．D　解析：A.把点(2，2)代入反比例函数y＝，2＝1不成立，故不符合题意；B.k＝2＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意；C.当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；D.当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意．故选D.
5．D　解析：由一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过第二、三、四象限可知k<0，b<0，所以符合题意的只有D选项．故选D.
6．B　解析：设点D的坐标为，∵D为BC的中点，∴B，∴E(2m，)，∵S△BDE＝1，∴ (2m－m)＝1，解得k＝4.故选B.
7．C　解析：∵点A的横坐标为1，∴y＝＝9，∴A(1，9)，∵过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，∴B(1，1)，∴AB＝8，故①正确；联立解得∴点C的坐标为(3，3)，故②正确；由题图可知，当x＞3时，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误．故选C.
8．2　解析：由一次函数的定义可知|m|－1＝1且m＋2≠0，解得m＝2.
9．y＝解析：由题表中数据猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，∴设y＝ (k≠0)，把x＝10，y＝30代入得k＝300，∴y＝，将其余各组值代入验证均适合，∴y与x之间的函数关系式为y＝.
10．y＝x＋1(答案不唯一)　解析：∵直线y＝kx＋b与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，∴可设直线y＝kx＋b与x轴的交点坐标为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，1)，把(－1，0)，(1，0)分别代入y＝kx＋b得
解得∴该直线所对应的函数的表达式可能为y＝x＋1.
11．(－1，－1)　解析：∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象相交于点A和点B，点A的横坐标为1，∴a·1＝，解得a＝1，∴y＝x，∴当x＝1时，y＝x＝1，∴A(1，1)，∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴点A、B关于原点对称，∴B(－1，－1).
12．m＞－1　解析：∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，∴m＋1＞0，解得m＞－1.
13．(1，1)　解析：已知A1(1，－1)，过点A1作x轴的垂线，交双曲线y＝于点A2，∵作x轴的垂线时，横坐标不变，∴点A2的横坐标x2＝1，把x＝1代入y＝，得y2＝＝1，∴A2(1，1).过点A2作y轴的垂线，交直线y＝－x于点A3，∵作y轴的垂线时，纵坐标不变，∴点A3的纵坐标y3＝1，把y＝1代入y＝－x，得1＝－x，即x3＝－1，∴A3(－1，1)，过点A3作x轴的垂线，交双曲线y＝于点A4，∵作x轴的垂线时，横坐标不变，∴点A4的横坐标x4＝－1，把x＝－1代入y＝，得y4＝＝－1，∴A4(－1，－1)，过点A4作y轴的垂线，交直线y＝－x于点A5，∵作y轴的垂线时，纵坐标不变，∴点A5的纵坐标y5＝－1，把y＝－1代入y＝－x，得－1＝－x，即x5＝1，∴A5(1，－1)，∴观察可得，每4个点为一个循环，∵2 026÷4＝506……2，∴点A2 026的坐标与点A2的坐标相同，∴点A2 026的坐标为(1，1).
14．解：(1)∵点A(1，4)、B(a，1)在反比例函数y1＝ (k≠0)的图象上，
∴k＝4，a＝4，
∴反比例函数的表达式为y1＝.
把点A(1，4)、B(4，1)分别代入y2＝mx＋n(m≠0)中得
解得
∴一次函数的表达式为y2＝－x＋5.
两个函数图象如图：
(2)由图象可知，满足y1＜y2的x的取值范围为1＜x＜4或x＜0.
15．解：(1)由条件可得－×8＋b＝0，解得b＝4，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋4.
将点A(m，3)的坐标代入表达式得3＝－×m＋4，
解得m＝2，
∴A(2，3)，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)由一次函数的表达式可知C(0，4)，由(1)知A(2，3)，设点P(0，p)，
∴PC＝4－p，
∴S△ACP＝×(4－p)×2＝6，
解得p＝－2，
∴点P的坐标为(0，－2).专题训练三　平面直角坐标系中的规律探究
类型1　与平移有关的坐标变化
1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1(1，1)，第二次运动到点P2(2，0)，第三次运动到点P3(3，－2)……按这样的运动规律，第2 027次运动后，动点P的纵坐标是(　　)
A．1 B．2 C．－2 D．0
2．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标：
A1(________，________)，A3(________，________)，A12(________，________).
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数).
(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向．
类型2　与轴对称有关的坐标变化
3．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(a，b)，则经过第2 026次变换后所得点A的坐标是(　　)
A．(a，－b) B．(－a，－b)
C．(－a，b) D．(a，b)
4. 如图，已知平行四边形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，C(1.6，0.8).若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴……的规律进行，则经过第2 026次变换后，平行四边形顶点A的坐标为(　　)
A．(－0.4，1.2) B．(－0.4，－1.2)
C．(1.2，－0.4) D．(－1.2，－0.4)
类型3　与旋转有关的坐标变化
5. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO两边与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1.将长方形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2 026次旋转结束后，再将所得长方形向下平移2个单位长度，则变换后得到的点B的坐标为________．
类型4　新定义与图形坐标变化
6．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：(2)，(4，6，8)，(10，12，14，16，18)，(20，22，24，26，28，30，32)，…，若AM＝(i，j)表示正偶数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A8＝(2，3)，则A2 026＝(　　)
A．(32，27) B．(32，52)
C．(45，41) D．(45，49)
【详解答案】
1．B　解析：由题意知，动点P第一次从原点O运动到点P1(1，1)，第二次运动到点P2(2，0)，第三次运动到点P3(3，－2)，第四次运动到点P4(4，0)，第五次运动到点P5(5，2)，第六次运动到点P6(6，0)……分析可得，动点P的横坐标为对应的运动次数，纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，－2，0，2，0.∵2 027÷6＝337……5，∴第2 027次运动后，动点P的纵坐标与点P5的纵坐标相同，故第2 027次运动后，动点P的纵坐标是2.故选B.
2．解：(1)0　1　1　0　6　0
(2)当n＝1时，A4(2，0)，
当n＝2时，A8(4，0)，
当n＝3时，A12(6，0)，
所以A4n(2n，0).
(3)点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100(50，0)，A101(50，1)，所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是向上．
3．A　解析：由题图可知，第3次变换后△ABC回到初始位置，∴每3次变换为一个循环，∵2 026÷3＝675……1，∴经过第2 026次变换后所得点A的坐标与第1次变换后的坐标相同，故其坐标为(a，－b).故选A.
4．B　解析：∵平行四边形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，C(1.6，0.8)，∴A(0.4，1.2)，将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，A(－0.4，1.2)，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，A(－0.4，－1.2)，第三次轴对称变换，A(0.4，－1.2)，第四次轴对称变换，A(0.4，1.2)，即点A回到原处，即每4次轴对称变换重复一轮，∵2 026÷4＝506……2，∴经过第2 026次变换后，平行四边形顶点A的坐标为(－0.4，－1.2).故选B.
5．(－2，－3)　解析：∵长方形ABCO两边与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1，
∴B(2，1)，将长方形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，如图：
可知B1(－1，2)，B2(－2，－1)，B3(1，－2)，B4(2，1)，…，则每旋转4次回到原位置，∵2 026÷4＝506……2，∴第2 026次旋转结束时，B2 026与B2(－2，－1)的位置相同，∵第2 026次旋转结束后，再将所得长方形向下平移2个单位长度，∴变换后得到的点B的坐标为(－2，－3).
6．B　解析：2 026是第1 013个数，设2 026在第n组，则前n组共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝×2n×n＝n2(个)数，当n＝31时，n2＝961，当n＝32时，n2＝1 024，故第1 013个数在第32组，第32组的第一个数为961×2＋2＝1 924，则2 026是第＋1＝52(个)数，故A2 026＝(32，52).故选B.专题训练六　反比例函数与一次函数综合
类型1　一次函数与反比例函数图象的位置问题
1.一次函数y＝kx－1与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
2.在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx－k(k≠0)与y＝的大致图象为(　　)
3.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x＋b分别与x轴、y轴交于点A、B(0，1)，且直线l经过双曲线CD：y＝ (1≤x≤3)的左端点C.
(1)求点A的坐标和m的值．
(2)平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长．
类型2 一次函数与反比例函数图象的交点问题
4.如图，已知一次函数y＝x＋m的图象与反比例函数y＝ (k＞0)的图象相交于A、B两点．当m的值由4逐渐减小到－4时，关于线段AB的长度，下列判断正确的是(　　)
A．由大变小 B．由小变大
C．保持不变 D．有最小值
5.如图，正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝ (k≠0)的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连结BC，若△ABC的面积为3，则k的值为(　　)
A．－ B．－2 C．－3 D．－6
6.如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ (m>0)的图象相交于点A(1，6)，B(－6，n).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点C是y轴上一点，若△ABC的面积是21，求点C的坐标．
7.如图所示，一次函数y1＝k1x＋1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝ (x>0)的图象相交于点B(3，2).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P为x轴上一动点，且PA＋PB的值最小．
①画出点P的位置，并写出点P的坐标；
②求出此时△PAB的面积．
类型3 反比例函数值与一次函数值的大小比较
8.正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，若(x1－x2)(y2－y1)＝2 026，点C(a2＋1，yc)、D(a2＋5，yd)在反比例函数y＝的图象上，比较大小：yc________yd.
9.如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点是(1，3).
(1)求出这两个函数的表达式，并直接写出这两个函数图象的另一个交点坐标．
(2)写出使反比例函数的值大于正比例函数的值的x的取值范围．
(3)点A(2，y1)在正比例函数的图象上，点B(2，y2)、点C(－2，y3)、点D(－3，y4)都在反比例函数y＝的图象上，比较y1、y2、y3、y4的大小关系，并用“＜”连接．
类型4 反比例函数与一次函数中的最值问题
10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象交于A(－2，1)、B(a，－2)两点，直线AB与x轴交于点C.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)观察图象，不等式kx＋b－＞0的解集是______________．
(3)在y轴上取一点P，使PA－PC的值最大，并求出PA－PC的最大值及点P的坐标．
【详解答案】
1．C　解析：A.由反比例函数的图象在第一、三象限，可得k＞0，∴一次函数y＝kx－1的图象经过第一、三、四象限，故此选项错误；B.由反比例函数的图象在第二、四象限，可得k＜0，∴一次函数y＝kx－1的图象经过第二、三、四象限，故此选项错误；C.由反比例函数的图象在第二、四象限，可得k＜0，∴一次函数y＝kx－1的图象经过第二、三、四象限，故此选项正确；D.由反比例函数的图象在第一、三象限，可得k＞0，∴一次函数y＝kx－1的图象经过第一、三、四象限，故此选项错误．故选C.
2．C　解析：将x＝1代入y＝kx－k得y＝k－k＝0，∴函数y＝kx－k的图象过定点(1，0)，故B选项不符合题意；由A选项y＝的图象可知，k＞0，则y＝kx－k的图象应经过第一、三、四象限，故A选项不符合题意；由C、D选项y＝kx－k的图象可知k＞0，∴y＝＞0，∴此函数的图象都在x轴的上方，故D选项不符合题意，C选项符合题意．故选C.
3．解：(1)∵B(0，1)在直线y＝2x＋b上，∴1＝0＋b，即b＝1，
∴直线l所对应的函数的表达式为y＝2x＋1.
当y＝0时，y＝2x＋1＝0，
解得x＝－，
∴A，
∵直线l经过双曲线CD：y＝ (1≤x≤3)的左端点C，
∴当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，
∴C(1，3)，
∴3＝，即m＝3.
(2)∵m＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝ (1≤x≤3)，
当x＝3时，y＝＝1，
∴D(3，1)，
∵平移直线y＝2x＋1到直线l′，
∴设直线l′所对应的函数的表达式为y＝2x＋t，
∵直线l′经过D(3，1)，
∴当x＝3时，y＝2×3＋t＝1，
解得t＝－5，
∴直线l′所对应的函数的表达式为y＝2x－5.
当y＝0时，y＝2x－5＝0，
解得x＝，
∴E，
∵A，
∴AE＝－＝3.
4．D　解析：∵一次函数y＝x的图象与反比例函数y＝ (k＞0)的图象相交于A、B两点时，AB最小，∴当m的值由4逐渐减小到－4时，线段AB的长度有最小值．故选D.
5．C　解析：由反比例函数y＝ (k≠0)中k的几何意义得S△AOC＝|k|，根据反比例函数的对称性可知S△AOC＝S△BOC，∴S△ABC＝2S△AOC＝|k|＝3，∴k＝－3.故选C.
6．解：(1)∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ (m＞0)的图象相交于点A(1，6)，B(－6，n)，
∴m＝1×6＝－6n，
解得m＝6，n＝－1，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A(1，6)，B(－6，－1)在一次函数的图象上，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋5.
(2)如图，设直线AB交y轴于点D，
在直线y＝x＋5中，当x＝0时，y＝5，
∴D(0，5)，
设点C的坐标为(0，c)，
则CD＝|5－c|，
∴S△ABC＝S△BDC＋S△ADC＝×|5－c|×6＋×|5－c|×1＝21，
解得c＝－1或c＝11，
∴点C的坐标为(0，－1)或(0，11).
7．解：(1)∵一次函数y1＝k1x＋1的图象与反比例函数y2＝ (x>0)的图象相交于点B(3，2)，
∴2＝3k1＋1，2＝，
解得k1＝，k2＝6，
∴一次函数的表达式为y1＝x＋1，反比例函数的表达式为y2＝.
(2)①作点A关于x轴的对称点A′，连结BA′交x轴于点P，此时PA＋PB取到最小值，点P的位置如图所示．
由一次函数的表达式可知A(0，1)，则A′(0，－1)，
设直线A′B所对应的函数的表达式为y＝mx＋n，由条件可知
解得
∴直线A′B所对应的函数的表达式为y＝x－1.
当y＝0时，x－1＝0，解得x＝1，
∴点P的坐标为(1，0).
②S△PAB＝S△A′AB－S△A′AP＝×2×3－×2×1＝2.
8．＜　解析：∵正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴x2＝－x1，y2＝－y1，x1y1＝k，∵(x1－x2)(y2－y1)＝2 026，∴2x1·(－2y1)＝2 026.∴－4k＝2 026.∴k＝－＜0.∴函数y＝的图象分布在第二、四象限，并且在每个象限内，y随x的增大而增大．又∵0＜a2＋1＜a2＋5，∴yc＜yd.
9．解：(1)∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点坐标是(1，3)，
∴3＝k1，3＝，
∴k1＝3，k2＝3，
∴正比例函数的表达式为y＝3x，反比例函数的表达式为y＝.
两个函数图象的另一个交点坐标为(－1，－3).
(2)由题图可知，使反比例函数的值大于正比例函数的值的x的取值范围是x＜－1或0＜x＜1.
(3)如图．观察图象，可得y3＜y4＜y2＜y1.
10．解：(1)把A(－2，1)代入y＝，得m＝－2×1＝－2，
∴反比例函数的表达式为y＝－，
把B(a，－2)代入y＝－得
－2a＝－2，
解得a＝1，
∴B(1，－2)，
把A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－1.
(2)x＜－2或0＜x＜1
(3)在y＝－x－1中，令x＝0，则y＝－1，
∴一次函数与y轴的交点为P(0，－1)，
此时PA－PC的值最大，最大值为AC的长，
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
在y＝－x－1中，令y＝0，
则x＝－1，
∴直线y＝－x－1与x轴交于点C(－1，0)，
∵A(－2，1)，
∴AD＝1，CD＝－1－(－2)＝1，
∴AC＝＝，
∴PA－PC的最大值为，点P的坐标为(0，－1).第2课时　求自变量的取值范围及函数值
　　列函数关系式
1．一个蓄水池有20 m3的水，以每分钟0.5 m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q(m3)与注水时间t(min)之间的函数关系式为(　　)
A．Q＝20t B．Q＝0.5t
C．Q＝20－0.5t D．Q＝20＋0.5t
2．如图，在长方形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P是边BC上的动点(不与点C重合)，点Q是边AD上任意一点．点P从点B向点C以3 cm/s的速度运动，则△QPC的面积S(cm2)与点P的运动时间x(s)之间的函数关系式为(　　)
A．S＝x B．S＝5(7－x)
C．S＝ (7－3x) D．S＝ (7－x)
　　函数自变量的取值范围
3．函数y＝的自变量x的取值范围为(　　)
A．x≠4 B．x≠3 C．x≠2 D．x≠1
4．函数y＝的自变量x的取值范围是________．
　函数值
5．变量y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋3，当x＝－1时，y的值为(　　)
A．1 B．5 C．－5 D．－1
6．当x＝－2时，函数y＝3x2－7的函数值为________．
1．(教材变式)如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x之间的关系可以表示为(　　)
A．y＝3x B．y＝4x
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
2．根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为(　　)
A．－ B． C．1 D．
3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
4．(模型观念)将若干张长40 cm的长方形纸，按如图所示的方法黏合成纸条，黏合部分的宽为2 cm.
(1)将表格补充完整：
纸的张数 1 2 3 4 … 10 …
纸条的长度/cm 40 __ 116 154 … ___ …
(2)设x张纸黏合后的纸条长为y cm.
①直接写出y与x之间的表达式：__________．
②50张纸黏合后的纸条长为________ cm.
③小明能否用这样的长方形纸黏合出长为2 662 cm的纸条？若能，通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸；若不能，请说明理由．
【详解答案】
1．D　2.C　3.D　4.x≥6　5.B　6.5
能力提升
1．B　解析：由题图可知，小桌的长为2x尺，则y＝x＋x＋2x，即y＝4x.故选B.
2．B　解析：∵0＜＜2，∴y＝x2.当x＝时，y＝＝.故选B.
3．x≥3　解析：由题意可得x－3≥0且x＋2≠0，解得x≥3.
4．解：(1)补全表格如下：
纸的张数 1 2 3 4 … 10 …
纸条的长度/cm 40 78 116 154 … 382 …
(2)①y＝38x＋2
②1 902
③能．
当y＝2 662时，
即38x＋2＝2 662，
解得x＝70.
∴至少需要70张这样的长方形纸．2．反比例函数的图象和性质
　反比例函数图象的识别及画法
1．(教材变式)在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数y＝与y＝－的图象．
　　反比例函数的性质
2．(兰州中考)若点A(2，y1)与B(－2，y2)在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1＜y2 B．y1≤y2
C．y1＞y2 D．y1≥y2
3．已知反比例函数y＝.下列选项正确的是(　　)
A．函数图象在第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限
D．y随x的增大而增大
4．(开放题)已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是________．(只需写出一个)
　求反比例函数的表达式
5．若点(1，2)在反比例函数y＝ (k为常数，且k≠0)的图象上，则k＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知y是x的反比例函数，当x＝－2时，y＝3，则该函数的表达式是(　　)
A．y＝6x B．y＝－6x
C．y＝ D．y＝－
　比例系数k的几何意义
7. 如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为2，则k的值为(　　)
A．－4 B．1 C．2 D．4
1．在反比例函数y＝中，若2＜y＜4，则(　　)
A．＜x＜1 B．1＜x＜2
C．2＜x＜4 D．4＜x＜8
2．已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝－ D．y＝或y＝－
3．反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋3(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
4．如图是反比例函数y＝和y＝ (k1＜k2)在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝，则k2－k1的值是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，过原点的直线与反比例函数y＝ (k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为________．
6．如图，点A在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，AB⊥y轴于点B，点A的坐标为(2，4).
(1)求反比例函数的表达式．
(2)求△ABO的面积．
7．如图，正比例函数y＝－x的图象与反比例函数y＝ (k≠0)的图象都经过点A(a，2).
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式．
(2)当－x＞时，x的取值范围是__________________．
(3)若点P(m，n)在该反比例函数的图象上，且它到y轴的距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
微专题4 比较反比例函数值的大小的方法
已知反比例函数图象上两个点的横(纵)坐标，比较纵(横)坐标大小的方法：(1)若两个点在同一象限，则根据“当k>0时，y随x的增大而减小，当k<0时，y随x的增大而增大”比较大小．(2)若两个点在不同象限，则根据函数值的正负情况比较大小．
1.若点A(－3，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是(　　)
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
2．若点A(x1，－3)、B(x2，－1)、C(x3，4)都在反比例函数y＝的图象上，则x1、x2、
x3的大小关系是(　　)
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3
C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1
3．若点A(－2，a)、B(－1，b)、C(1，c)都在反比例函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【详解答案】
基础达标
1．解：y＝，列表如下：
x … －8 －4 －3 －2 －1 －
y … － －1 － －2 －4 －8
x 1 2 3 4 8 …
y 8 4 2 1 …
y＝－，列表如下：
x … －8 －4 －3 －2 －1 －
y … 1 2 4 8
x 1 2 3 4 8 …
y －8 －4 －2 － －1 － …
描点、连线如图所示．
2．C　3．C　4．y＝ (答案不唯一)
5．B　6.D　7.D
能力提升
1．B　解析：∵反比例函数y＝，k＝4＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∴当2＜y＜4时，＜x＜，即1＜x＜2.故选B.
2．D　解析：设反比例函数的表达式为y＝，∵点A是反比例函数图象上一点，点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，∴A(4，3)或A(－4，3)或A(－4，－3)或A(4，－3).把点A代入y＝，得k＝±12.故选D.
3．B　解析：一次函数的图象与y轴交于点(0，3)，故选项A、C错误，不符合题意．选项D中，一次函数的k小于0，反比例函数的k大于0，故选项D错误，不符合题意．故选B.
4．B　解析：∵点A、B分别在反比例函数y＝和y＝ (k15．9　解析：∵过原点的直线与反比例函数y＝ (k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，∴A(m，n)，B(m－6，n－6)两点关于原点O对称，即点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，∴－m＝m－6，－n＝n－6，解得m＝3，n＝3，∴A(3，3)，把A(3，3)代入y＝，得3＝，解得k＝9.
6．解：(1)∵点A(2，4)在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)∵点A(2，4)，
∴AB＝2，OB＝4，
∴S△ABO＝AB·OB＝×2×4＝4.
7．解：(1)把A(a，2)的坐标代入y＝－x，得2＝－a，
解得a＝－3，
∴A(－3，2)，
又∵点A(－3，2)在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，
∴k＝－3×2＝－6，
∴反比例函数的表达式为y＝－.
(2)x＜－3或0＜x＜3
(3)n的取值范围为n＞2或n＜－2.
解析：∵点P(m，n)在该反比例函数的图象上，且它到y轴的距离小于3，
∴－3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝－3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝－2，
结合题图可知n的取值范围为n＞2或n＜－2.
微专题4
1．D　解析：对于反比例函数y＝－，∵k＝－9＜0，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点A(－3，y1)在第二象限，∴y1＞0，又∵1＜3，∴y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1.故选D.
2．B　解析：对于反比例函数y＝，∵k＝8＞0，∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．∵点A、B在第三象限，且－3＜－1，∴x2＜x1＜0，∵点C在第一象限，∴x3＞0，∴x2＜x1＜x3.故选B.
3．D　解析：对于反比例函数y＝，∵k＝m2＋2＞0，∴其图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵－2＜－1＜0，∴点A(－2，a)、B(－1，b)在第三象限内，∴0＞a＞b，∵1＞0，∴点C(1，c)在第一象限内，∴c＞0，∴c＞a＞b.故选D.16.5　实践与探索
第1课时　一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与二元一次方程（组）的关系
1. 如图，一次函数y＝2x＋a的图象与y＝－x－b的图象交于点A，则关于x、y的方程组的解是(　　)
A． B．
C． D．
2．已知一次函数y＝2x＋1与y＝kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，3)，则方程组的解是________．
　利用图象解方程组
3．利用图象法解下列二元一次方程组：
(1) (2)
1．已知一次函数y＝kx＋b的图象与一次函数 y＝mx＋n的图象相交于点P(1，3)，则方程组的解为(　　)
A． B．
C． D．
2．点P(x，y)在直线y＝x－上，坐标(x，y)是二元一次方程3x＋4y＝－1的解，则点P的位置在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组 (a为常数)中的两个二元一次方程的图象交于点P，则a＝________．
4．(模型观念)如图，直线l1所对应的函数的表达式为y＝3x－2，且直线l1与x轴交于点D.直线l2与x轴交于点A，且经过点B(4，1)，直线l1与l2交于点C(m，3).
(1)求直线l2所对应的函数的表达式．
(2)利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解．
【详解答案】
基础达标
1．B　2．
3．解：(1)如图所示：
∵两函数图象的交点为(4，1)，
∴方程组的解为
(2)如图所示：
∵两函数图象的交点为(2，1)，
∴方程组的解为
能力提升
1．C　解析：∵一次函数y＝kx＋b的图象与一次函数y＝mx＋n的图象相交于点P(1，3)，∴一次函数y＝kx＋b－2的图象与一次函数y＝mx＋n－2的图象交点坐标为(1，1)，∴方程组
的解为故选C.
2．D　解析：联立方程组解得∴点P(1，－1).∴点P位于第四象限．故选D.
3．－1　解析：由条件可得2＋y＝4，解得y＝2，∴P(1，2)，∴a＝1－2＝－1.
4．解：(1)∵点C(m，3)在直线y＝3x－2上，
∴3m－2＝3，
解得m＝，
∴C；
设直线l2所对应的函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得
解得
∴直线l2所对应的函数的表达式为y＝x＋.
(2)由题图可知，关于x、y的二元一次方程组的解为2.一次函数的图象
　一次函数的图象
1．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是(　　)
A． B．－
C．－1 D．－
2．一次函数y＝2x－3的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数y＝2x＋1，画出函数的图象．
　一次函数图象的平移
4．在平面直角坐标系中，若将直线y＝－2x＋m向右平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m的值为(　　)
A．－3 B．3 C．6 D．－6
5．将正比例函数y＝3x的图象向上平移5个单位长度后得到函数图象所对应的函数的表达式为________．
6．已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点A(1，2).
(1)求此函数的表达式．
(2)将函数y＝kx的图象向上平移3个单位长度后经过点P(2，m)，求m的值．
　一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征
7．一次函数y＝2x－6的图象与y轴的交点是(　　)
A．(3，0) B．(0，3)
C．(－3，0) D．(0，－6)
8．在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋5与坐标轴围成的三角形的面积是________．
　实际问题中的一次函数图象
9．若等腰三角形的周长是20 cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系的图象是(　　)
10．早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s(m)与时间t(min)之间的关系．下列说法错误的是(　　)
A．王老师吃早餐之前的速度比吃完早餐以后的速度慢
B．王老师吃早餐用10 min
C．吃完早餐后王老师的平均速度是100 m/min
D．学校离王老师家500 m，从家出发到学校，他共用了25 min
1．(新疆中考)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是(　　)
2．A、B两地相距1 000 m，甲步行从A地到B地，乙步行从B地到A地，若甲的速度为100 m/min，乙的速度为150 m/min，甲、乙两人同时出发，则两人之间的距离y(m)与时间t(min)之间的函数图象是(　　)
3．将正比例函数y＝2x的图象向下平移2个单位长度，平移后图象所对应的函数的表达式为(　　)
A．y＝2(x＋2) B．y＝2(x－2)
C．y＝2x＋2 D．y＝2x－2
4．如图，直线y＝－3x＋6分别交x轴和y轴于点A和点B，点C(0，－3)在y轴上，连结AC.
(1)求点A和点B的坐标．
(2)若点P是直线AB上一点，且△BCP的面积为27，求点P的坐标．
5．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x－3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求A、B两点的坐标．
(2)画出一次函数y＝x－3的图象．
(3)当x________时，y＞0.
6．(模型观念)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴所围成长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做公正点．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴所围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是公正点．
(1)判断点M(1，2)，N(－4，4)是否为公正点，并说明理由．
(2)若公正点P(m，3)在直线y＝－x＋n(n为常数)上，求m、n的值．
【详解答案】
基础达标
1．A　2．B
3．解：由题意得y＝2x＋1，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝－.
函数图象如图：
4．D　5．y＝3x＋5
6．解：(1)∵正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点A(1，2)，
∴k＝2，
∴此函数的表达式为y＝2x.
(2)将函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到直线y＝2x＋3，
∵平移后经过点P(2，m)，
∴m＝2×2＋3＝7.
7．D　8．50　9．B　10．D
能力提升
1．D　解析：一次函数y＝x＋1的图象过点(－1，0)和(0，1).故选D.
2．C　解析：两人相遇时所用时间为1 000÷(100＋150)＝4(min)，则当t＝0时，y＝1 000，当t＝4时，y＝0，故选项B不符合题意；乙从B地步行到A地所用时间为1 000÷150＝ (min)，甲从A地步行到B地所用时间为1 000÷100＝10(min)，则当4＜t≤时，y随t的增加而增加，且增加速度较快，当＜t≤10时，y随t的增加速度较慢，故选项A、D不符合题意，选项C符合题意．故选C.
3．D　解析：将正比例函数y＝2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象所对应的函数的表达式是y＝2x－2.故选D.
4．解：(1)当y＝0时，－3x＋6＝0，
解得x＝2，
∴点A的坐标为(2，0)；
当x＝0时，y＝－3×0＋6＝6，
∴点B的坐标为(0，6).
(2)∵点B的坐标为(0，6)，点C的坐标为(0，－3)，
∴BC＝6－(－3)＝9.
设点P的坐标为(a，－3a＋6)，
则S△BCP＝BC·|a|＝×9·|a|＝27，
解得a＝±6，
∴点P的坐标为(6，－12)或(－6，24).
5．解：(1)当y＝0时，x－3＝0，
解得x＝3，
∴点A的坐标为(3，0)；
当x＝0时，y＝0－3＝－3，
∴点B的坐标为(0，－3).
(2)描点、连线，画出函数图象如图所示．
(3)＞3
6．解：(1)点M不是公正点，点N是公正点．
理由：∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)，
∴点M不是公正点，点N是公正点．
(2)由题意得①当m＞0时，
(m＋3)×2＝3m，
解得m＝6，
∵点P(m，3)在直线y＝－x＋n上，
∴3＝－6＋n，解得n＝9；
②当m＜0时，(－m＋3)×2＝－3m，
解得m＝－6，
∵点P(m，3)在直线y＝－x＋n上，
∴3＝6＋n，解得n＝－3.
综上，m＝6，n＝9或m＝－6，n＝－3.3.一次函数的性质
直线y＝kx＋b的位置与k、b的关系
1．直线y＝x－3经过的象限是(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
2．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，则k和b的取值范围是(　　)
A．k>0，b>0
B．k>0，b<0
C．k<0，b>0
D．k<0，b<0
3．(开放题)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：________．
　一次函数的性质
4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝5x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1≥y2
5．若一次函数y＝kx＋3的函数值y随自变量x的增大而增大，则k的值可以是(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
6．(开放题)(湖北中考)已知一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是________．
7．点A(1，y1)、B(2，y2)在一次函数y＝3x＋1的图象上，则y1________y2.(填“＜”“＝”或“＞”)
8．若关于x的一次函数y＝(m＋2)x＋m－6的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整数m的值之和为________．
9．已知一次函数y＝(1－2m)x＋m－1，求满足下列条件的m的取值范围：
(1)函数值y随自变量x的增大而增大．
(2)函数的图象过第二、三、四象限．
1．已知正比例函数y＝kx(k为常数且k≠0)的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝－kx＋k的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若点A(－2，y1)和点B(2，y2)在同一个正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上，则(　　)
A．y1＝－y2 B．y1＝y2
C．y2＞0 D．y2＞y1
3. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1、k2、b1、b2为常数)的图象分别为直线l1、l2.下列结论正确的是(　　)
A．b1＋b2＞0 B．b1b2＞0
C．k1＋k2＜0 D．k1k2＜0
4．对于某个一次函数y＝kx＋b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是(　　)
A．k＞0 B．kb＜0
C．k＋b＞0 D．k＝－b
5．下列有关一次函数y＝－3x＋4的说法中，错误的是(　　)
A．y随x的增大而减小
B．当x＞0时，y＞4
C．函数图象与y轴的交点坐标为(0，4)
D．函数图象经过第一、二、四象限
6．已知函数y＝x－5，当自变量x的取值范围是－3≤x≤5时，y的最大值为________．
7．已知直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限，且点(3，1)在该直线上，设m＝3k－b，则m的取值范围是________．
8．已知一次函数y＝(m－3)x＋m－4的图象不经过第二象限，且m为正整数．
(1)求m的值．
(2)画出该一次函数的图象．
(3)当－3＜y＜2时，根据函数图象，直接写出x的取值范围．
9．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x－1|－3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x －2 －1 0 1 2 3 4
y 0 －1 －2 a －2 b 0
则a＝________，b＝________．
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)①观察函数图象，当x________时，y随x的增大而增大．
②观察函数图象，当－3≤y≤1时，x的取值范围是______________．
③观察函数图象，试判断函数y＝|x－1|－3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
微专题3一次函数的图象与字母系数的关系
一次函数的图象与字母系数的关系
函数 y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)
k、b的符号 k>0 k<0
b>0 b<0 b>0 b<0
图象
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
1.已知正比例函数y＝k1x，且y随x的增大而减小，如果k1k2＜0，那么y＝k1x和y＝k2x在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
2．两个一次函数y1＝mx＋n，y2＝nx＋m(mn＜0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
【详解答案】
基础达标
1．B　2．C　3．y＝x＋1(答案不唯一)
4．B　5．D　6．1(答案不唯一)
7．＜　8．20
9．解：(1)由条件可知1－2m＞0，
解得m＜，
∴当m＜时，函数值y随自变量x的增大而增大．
(2)由条件可知
解得＜m＜1，
∴当＜m＜1时，函数的图象过第二、三、四象限．
能力提升
1．C　解析：∵正比例函数y＝kx(k为常数且k≠0)的图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴一次函数y＝－kx＋k的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C.
2．A　解析：根据题意得y1＝－2k＞0，y2＝2k＜0，故选项C错误；y1＞y2，故选项D错误；y1＝－y2，故选项B错误，选项A正确．故选A.
3．A　解析：由题图可得b1＝2，b2＝－1，k1＞0，k2＞0，∴b1＋b2＞0，故选项A正确，符合题意；b1b2＜0，故选项B错误，不符合题意；k1＋k2＞0，故选项C错误，不符合题意；k1k2＞0，故选项D错误，不符合题意．故选A.
4．C　解析：∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不经过第二象限，且函数图象经过点(2，0)，∴函数图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b<0，且k＝－b，∴kb＜0，k＋b＝b＜0，∴错误的是k＋b＞0.故选C.
5．B　解析：A.∵k＝－3＜0，∴y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意；B.∵当x＝0时，y＝4，又∵y随x的增大而减小，∴当x＞0时，y＜4，原说法错误，符合题意；C.∵当x＝0时，y＝4，∴函数图象与y轴的交点坐标为(0，4)，原说法正确，不符合题意；D.∵k＝－3＜0，b＝4＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，原说法正确，不符合题意．故选B.
6．　解析：由条件可知y随x的增大而增大，∵－3≤x≤5，∴当x＝5时，y最大＝×5－5＝.
7．－1＜m＜1　解析：把(3，1)代入y＝kx＋b得3k＋b＝1，即b＝－3k＋1，因为直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限，所以k＞0，b＞0，即－3k＋1＞0，所以k的取值范围为0＜k＜，因为m＝3k－b＝3k－(－3k＋1)＝6k－1，所以m的取值范围为－1＜m＜1.
8．解：(1)由条件可知
解得3＜m≤4，
∵m为正整数，
∴m＝4.
(2)由(1)知m＝4，
∴y＝x，
当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝1，该函数的图象如图所示：
(3)当－3＜y＜2时，－3＜x＜2.
9．解：(1)－3　－1
(2)函数y＝|x－1|－3的图象如图所示：
(3)①≥1
②－3≤x≤5
③观察图象可得函数y＝|x－1|－3存在最小值，最小值为－3.
微专题3
1．B　解析：∵在y＝k1x中，y随x的增大而减小，∴k1＜0，∴函数y＝k1x的图象在第二、四象限，∵k1k2＜0，∴k2＞0，∴函数y＝k2x的图象在第一、三象限．故选B.
2．B　解析：当m＞0，n＜0时，函数y1的图象经过第一、三、四象限，函数y2的图象经过第一、二、四象限；当m＜0，n＞0时，函数y1的图象经过第一、二、四象限，函数y2的图象经过第一、三、四象限．故选B.滚动练习二（16.1～16.2）
一、选择题
1．(内江中考)在函数y＝中，自变量x的取值范围是(　　)
A．x≥2 B．x≤2
C．x＞2 D．x＜2
2．如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度(　　)
A．越来越慢
B．越来越快
C．保持不变
D．快慢交替变化
3．已知点P(3，－5)，则点P到y轴的距离是(　　)
A．5 B．3 C．－5 D．－3
4．已知点P(a－3，a＋4)在x轴上，则点P的坐标为(　　)
A．(－4，0) B．(3，0)
C．(0，7) D．(－7，0)
5. 如图，一个圆柱形水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t之间的函数关系的是(　　)
6．如图，平面直角坐标系中有一6×6的正方形网格，其中A、B、C、D是四个格点，随m(m为任意常数)的变化，点P(m＋1，m－2)会经过的点是(　　)
A．点A B．点B
C．点C D．点D
7．(跨物理学科)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是(　　)
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D．若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
二、填空题
8．点P(a2＋1，－3)在第________象限．
9．(北京中考)某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润(单位：万元)与n的对应关系如下：
n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 …
A 40 60
B 30 55 75 90 100 105
C 20 40 60 70 80 90 …
D 14 38 62 86 110 134 …
(1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商________分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”).
(2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为________万元．
10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(0，1)，(0，2)，(1，2)，(1，3)，(0，3)，(－1，3)，…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为______________．
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，有点A(－2，a＋3)，B(2b，2a－3).
(1)当点A在第二象限的角平分线上时，求a的值．
(2)当点A和点B关于y轴对称时，求点B所在的象限位置．
12．风是地球上的一种空气流动现象，一般是由太阳辐射热引起的．风的测量多用电接风向风速计、轻便风速表、达因式风向风速计，以及用于测量农田中微风的热球微风仪等仪器进行．小力同学使用轻便风速表观测了某天连续12个小时风力变化的情况，并绘制如图：
(1)图中反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？
(2)A、B两点表示什么？
(3)什么时间范围内风力最大？此时风力为多少？
(4)简要描述8—12时风力变化的情况．
13．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，通过列表、描点、连线，画出函数的部分图象如图所示，探究过程如下：
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是________．
(2)y与x的几组对应值如下表：
x … －1 －0.5 0 0.5 1.5 2 2.5 3 …
y … 0.5 m 1 2 －2 －1 n －0.5 …
在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y)，并补全函数的图象(画出方格内部分函数图象即可)，其中，m＋n＝________．
【详解答案】
1．A　解析：已知函数y＝，则x－2≥0，解得x≥2.故选A.
2．B　解析：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽，∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快．故选B.
3．B　解析：∵P(3，－5)，∴点P到y轴的距离是3.故选B.
4．D　解析：由已知可得a＋4＝0，解得a＝－4，∴a－3＝－7.∴点P的坐标为(－7，0).故选D.
5．D　解析：下层圆柱底面半径大，水面上升快，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选D.
6．A　解析：∵点P(m＋1，m－2)，∴x＝m＋1，解得m＝x－1，代入y＝m－2，得y＝x－1－2，即y＝x－3，将平面直角坐标系中点的坐标代入，只有点A符合．故选A.
7．C　解析：由题图可得，汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，故选项A说法正确，不符合题意；当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意；要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不超过60 km/h，故选项C说法错误，符合题意；若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04，故选项D说法正确，不符合题意．故选C.
8．四　解析：∵a2＋1≥1＞0，－3＜0，∴点P(a2＋1，－3)在第四象限．
9．(1)B　(2)157　解析：(1)当n＝2时，A经销商的利润为60万元，比n＝1时增加60－40＝20(万元)，B经销商的利润为55万元，比n＝1时增加55－30＝25(万元)，C经销商的利润为40万元，比n＝1时增加40－20＝20(万元)，D经销商的利润为38万元，比n＝1时增加38－14＝24(万元)，∵25＞24＞20，∴应向经销商B分配2台设备．
(2)当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元，当分配给多家销售时：当分配给四家时，最大利润为40＋55＋20＋38＝153(万元)，当分配给三家时，最大利润为40＋55＋62＝157(万元)，当分配给两家时，最大利润为60＋90＝150(万元)或40＋110＝150(万元)，综上所述，企业可获得的总利润的最大值为157万元．
10．(－5，13)　解析：(0，1)，共1个，(0，2)，(1，2)，共2个，(1，3)，(0，3)，(－1，3)，共3个，…，以此类推，纵坐标是n的点共有n个，1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝13时，＝91，∴第90个点的纵坐标为13，(13－1)÷2＝6，∴第91个点的坐标为(－6，13)，∴第90个点的坐标为(－5，13).
11．解：(1)由题意可得－2＋a＋3＝0，
解得a＝－1.
(2)由题意可得
解得
∴B(2，9)，
故点B在第一象限．
12．解：(1)图中反映了风力和时间两个变量之间的关系，自变量是时间，因变量是风力．
(2)由题图可知，A点表示8时的风力为2级；B点表示17时的风力为5级．
(3)由题图可知，14时至15时风力最大，此时风力为7级．
(4)由题图可知，8时至9时风力逐渐增大，9时至10时风力不变，10时至11时风力逐渐增大，11时至12时风力逐渐减小至3级．
13．解：(1)x≠1
(2)描点并补全函数的图象如图所示．
0专题训练五　反比例函数中k的几何意义
类型1　同一象限内运用k的几何意义
1．如图，点A是反比例函数y＝ (x＞0)的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C是x轴上任意一点，S△ABC＝2，则k的值为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，CA⊥y轴，垂足为点D，BC⊥AC.若四边形AOBC的面积为8，＝，则k的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
类型2　两个象限内运用k的几何意义
3．若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B(如图)，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．2 C．k D．k2
4．下面四个图中反比例函数的表达式均为y＝，则图中阴影部分的面积为6的有(　　)
A．4个 B．2个 C．3个 D．1个
类型3　双反比例函数中运用k的几何意义
5．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，过点P(－1，0)作两条直线，分别交函数y＝－(x＜0)，y＝(x＞0)的图象于A、B两点，连结AB.若AB∥x轴，则△ABP的面积是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，求k的值．
【详解答案】
1．A　解析：连结OA，如图所示：
由题意得S△ABC＝S△AOB＝＝2，解得k＝4.故选A.
2．D　解析：设A，则AD＝a，OD＝，∵＝，∴AC＝2a，CD＝3a，∵CA⊥y轴，BC⊥AC，∴BC∥y轴，∴B，∴BC＝－＝，∵S梯形OBCD＝S△AOD＋S四边形AOBC，四边形AOBC的面积为8，∴××3a＝k＋8，解得k＝4.故选D.
3．A　解析：设点A的坐标为(x，y)，则xy＝1，故△ABO的面积为xy＝，又∵△ABO与△CBO同底等高，∴△ABC的面积＝2×△ABO的面积＝1.故选A.
4．D　解析：第1个图中，阴影部分的面积为3，故不符合题意；第2个图中，阴影部分的面积为×3＝1.5，故不符合题意；第3个图中，阴影部分的面积为2××3＝3，故不符合题意；第4个图中，阴影部分的面积为4××3＝6，故符合题意．故选D.
5．D　解析：∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴S△POA＝＝3，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△BOA＝＝2，∴S△POB＝S△POA－S△BOA＝3－2＝1.故选D.
6．B　解析：如图，连结OA、OB，
∵AB∥x轴，∴S△ABP＝S△AOB＝×1＋×3＝2.故选B.
7．解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，两个函数图象都在第一象限，
∴S长方形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD＝×3＝1.5，
∴S四边形PAOB＝S长方形PCOD－S△AOC－S△BOD＝k－1.5－1.5＝5.解得k＝8.第16章　函数及其图象
16.1　变量与函数
第1课时　变量与函数
　常量与变量
1．甲以每小时5 km的速度行走时，他所走过的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s＝5t来表示，则下列说法正确的是(　　)
A．5，s，t都是变量
B．s是常量，5和t是变量
C．5是常量，s和t是变量
D．t是常量，5和s是变量
　　函数的定义
2．下列关系中，y不是x的函数的是(　　)
A．y＝3x B．y＝x＋3
C．y＝2x＋1 D．|y|＝x
　函数的表示方法
3．把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为(　　)
A．y＝24－x B．y＝8x－24
C．y＝8x D．y＝8x＋24
1．(教材变式)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)间有下面的关系：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是(　　)
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂物体时的长度为0 cm
C．在弹簧弹性限度内，所挂物体的质量每增加1 kg，弹簧的长度增加0.5 cm
D．所挂物体的质量为7 kg时，弹簧的长度为13.5 cm
2．下列关系中：①y＝x；②y＝x2；③y2＝x(x≥0)；④y＝ (x≥0)；⑤|y|＝x(x≥0)；⑥y＝|x|.其中y是x的函数的有(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．据调查，某地区青春期男、女生平均身高增长速度(单位：厘米/年)呈现如图所示的规律，请你仔细观察函数图象，回答下列问题：
(1)图中反映的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？
(2)当年龄是多少时，男生的平均身高增长速度大于女生？
4．(几何直观)如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB＝10 cm，当点C、D在平行线上同方向匀速运动时，长方形ABCD的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________________．
(2)如果长方形的长BC为x(cm)，那么请用含x的式子表示长方形ABCD的面积y(cm2).
(3)当长方形的长BC从15 cm变到20 cm时，长方形的面积怎么变化？
【详解答案】
基础达标
1．C　2．D　3．D
能力提升
1．B　解析：A．y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确；B．弹簧不挂物体时的长度为10 cm，故B选项错误；C．在弹簧弹性限度内，所挂物体的质量每增加1 kg，弹簧的长度增加0.5 cm，故C选项正确；D．由B、C知y＝10＋0.5x，则当x＝7时，y＝13.5，即所挂物体的质量为7 kg时，弹簧的长度为13.5 cm，故D选项正确．故选B.
2．B　解析：①②④⑥中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，所以y是x的函数，故①②④⑥符合题意；③⑤中，对于x的每一个值，y不一定有唯一的值与之对应，所以y不是x的函数，故③⑤不符合题意．综上，y是x的函数的有4个．故选B.
3．解：(1)由题图可得图中反映的是年龄与平均身高增长速度这两个变量之间的关系，自变量是年龄．
(2)由题图可得当年龄大于11岁时，男生的平均身高增长速度大于女生．
4．解：(1)BC(AD)　长方形ABCD的面积
(2)长方形ABCD的面积＝AB×BC，即y＝10x.
(3)当BC＝15 cm时，y＝10x＝10×15＝150(cm2)，
当BC＝20 cm时，y＝10x＝10×20＝200(cm2)，
所以当长方形的长BC从15 cm变到20 cm时，长方形的面积从150 cm2变到200 cm2.第2课时　一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
一次函数与一元一次方程的关系
1．已知直线y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点P(0，2)，Q(3，0)，则关于x的方程kx＋b＝0的解为(　　)
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝2 D．x＝3
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图，则关于x的方程kx＋b＝0的解为(　　)
A．x＝－3
B．x＝－2
C．x＝2
D．x＝3
3．关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b的图象一定过点(　　)
A．(3，0) B．(7，0)
C．(3，7) D．(7，3)
一次函数与一元一次不等式的关系
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)的图象经过A(－3，0)、B(0，2)两点，则kx＋b＞0的解集是(　　)
A．x＞0 B．x＞－3
C．x＞2 D．x＜2
5．如图，一次函数y1＝－2x和y2＝ax＋3的图象相交于点A(－1，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是(　　)
A．x＞2 B．x＜2
C．x＞1 D．x＜－1
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋b(b为常数)与正比例函数y＝－x的图象交点的纵坐标为－1，则关于x的方程－x＋b＝0的解为(　　)
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝ D．x＝－
2．如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋1的图象相交于点P(m，2)，则关于x的方程kx＋b＝2的解为(　　)
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
3．如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________.
4．已知一次函数y＝mx＋n(m、n为常数，且m≠0)，x、y的部分对应值如下表所示，则一次函数y＝mx＋n的图象在直线y＝2x＋1上方时，x的取值范围为________．
x －1 0 1
y 2 －3 －8
5．(几何直观)如图，已知函数y1＝2x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B.
(1)分别求出这两个函数的表达式．
(2)求△ABP的面积．
(3)根据图象直接写出不等式2x＋b＜ax－3的解集．
【详解答案】
基础达标
1．D　2．C　3．D　4．B　5．D
能力提升
1．A　解析：∵一次函数y＝－x＋b(b为常数)与正比例函数y＝－x的图象交点的纵坐标为－1，∴－1＝－x，∴x＝3，∴交点坐标为(3，－1)，∴－1＝－3＋b，∴b＝2，∴一次函数的表达式为y＝－x＋2，当y＝0时，－x＋2＝0，∴x＝2，∴关于x的方程－x＋b＝0的解为x＝2.故选A.
2．A　解析：由条件可得m＋1＝2，解得m＝1，∴点P的坐标为(1，2)，∵点P(1，2)在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴k＋b＝2，∴关于x的方程kx＋b＝2的解为x＝1.故选A.
3．x＝－2　解析：∵OA＝2，∴一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(－2，0)，∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－2.
4．x＜－　解析：由题意得解得∴y＝－5x－3，解不等式－5x－3＞2x＋1得x＜－，∴x的取值范围为x<－.
5．解：(1)∵将点P(－2，－5)代入y1＝2x＋b，得－5＝2×(－2)＋b，解得b＝－1，将点P(－2，－5)代入y2＝ax－3，得－5＝a×(－2)－3，解得a＝1，
∴这两个函数的表达式分别为y1＝2x－1和y2＝x－3.
(2)∵在y1＝2x－1中，令y1＝0，得x＝，
∴A.
∵在y2＝x－3中，令y2＝0，得x＝3，
∴B(3，0).
∴S△ABP＝AB×5＝××5＝.
(3)不等式2x＋b＜ax－3的解集为x<－2.第3课时　一次函数、反比例函数的实际应用
　一次函数的实际应用
1．某地大力开发采摘型魅力乡村游，特开放果园供游客采摘，一名老师带领若干名学生到果园采摘，已知成人票每张50元，学生票每张20元．设门票的总费用为y元，学生人数为x名，则y与x之间的函数关系式为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．y＝20x＋50 B．y＝50x
C．y＝20＋50x D．y＝20x
2．某市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过3 kg物品需付13元，以后每增加1 kg(不足1 kg按1 kg计)需增加托运费1.5元．设托运x kg(x＞3)歇马杏的费用为y元，则y与x之间的函数关系式为________．
反比例函数的实际应用
3．(跨物理学科)在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为(　　)
A．24 B．27 C．45 D．50
4．(科技前沿)如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝________m/s.
5．在一定条件下，乐器中弦振动的频率f(Hz)与弦长l(m)成反比例关系，即f＝ (k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9 m，振动频率f为200 Hz，则k的值为________．
1．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500 kW·h电，若平均每天用电x kW·h，则能使用y天．下列说法错误的是(　　)
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
2．节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按9折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品x(x＞2)件，应付款y元，则y与x之间的函数关系式是(　　)
A．y＝30x·90%＋50
B．y＝30x·90%
C．y＝30x·90%－50
D．y＝50＋(30x－50)·90%
3．(跨物理学科)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)的部分对应数值如表：
温度t/℃ －10 0 10 30
声音传播的 速度v/(m/s) 325 331 337 349
研究发现v、t满足公式v＝at＋b(a、b为常数，且a≠0)，当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为(　　)
A．339 m/s B．340 m/s
C．341 m/s D．342 m/s
4．(跨物理学科)某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数．当V＝1.2 m3时，p＝20 000 Pa.则当V＝1.5 m3时，p＝________ Pa.
5．(跨物理学科)杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F N，动力臂为l m，则动力F关于动力臂l的函数关系式为________．
6．如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(cm)随着碗的数量x(个)的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数关系式，并说明理由．
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，求此时碗的数量最多为多少个？
7.(应用意识)某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(kW·h)与充电时间x(h)之间的函数图象，其中折线ABC表示用快速充电器充电时y1与x之间的函数关系；线段AD表示用普通充电器充电时y2与x之间的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
(1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需________h.
(2)求y2关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
(3)该品牌汽车电池电量从10 kW·h充到100 kW·h，快速充电器比普通充电器少用________h.
【详解答案】
基础达标
1．A　2．y＝1.5x＋8.5(x>3)　3．C　4．4
5．180
能力提升
1．C　解析：由题意得y＝；A.若x＝5，则y＝＝100，原说法正确，故此选项不符合题意；B.若y＝125，则125＝，解得x＝4，原说法正确，故此选项不符合题意；C.若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意；D.若x减小一半，则y′＝＝，所以y增大一倍，原说法正确，故此选项不符合题意．故选C.
2．D　解析：由题意可得，小明应付款y与商品件数x之间的函数关系式是y＝50＋(30x－50)·90%.故选D.
3．B　解析：将t＝0，v＝331和t＝10，v＝337分别代入v＝at＋b，得解得∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t＋331，当t＝15时，v＝0.6×15＋331＝340，∴当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为340 m/s.故选B.
4．16 000　解析：设p与V之间的函数关系式为p＝ (k为常数，且k≠0)，将V＝1.2 m3，p＝20 000 Pa代入p＝，得20 000＝，解得k＝24 000，∴p与V之间的函数关系式为p＝，当V＝1.5 m3时，p＝＝16 000(Pa).
5．F＝　解析：∵F·l＝1 600×0.5，
∴F＝.
6．解：(1)由题表中的数据得y的增加量不变，
∴y是x的一次函数，
设y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝2.4x＋3.6.
(2)由题意得2.4x＋3.6≤28.8，
解得x≤10.5，
∴x的最大整数解为10.
答：碗的数量最多为10个．
7．解：(1)
(2)设y2关于x的函数关系式为y2＝kx＋b(k≠0)，将A(0，10)，E(2，70)代入函数关系式中，得
解得
∴y2＝30x＋10，当y2＝100时，30x＋10＝100，解得x＝3，
∴y2关于x的函数关系式为y2＝30x＋10(0≤x≤3).
(3)专题训练四　一次函数与图形面积问题
类型1　直接利用面积公式求面积
1．如图是y＝－2x＋4的图象．
(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________．
(2)若直线上有一点C(－3，n)，求△OAC的面积．
2．在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，并求出两条直线与y轴围成的图形的面积．
类型2　　利用和差法求面积
3．如图，直线PA是一次函数y＝x＋1的图象，直线PB是一次函数y＝－2x＋4的图象．
(1)求A、B、P三点的坐标．
(2)求四边形PQOB的面积．
4．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－1，－1)，B(1，3)两点，与x轴交于点C.
(1)求该一次函数的表达式及点C的坐标．
(2)求△OAB的面积．
类型3　　由图形的面积求点的坐标
5．如图，A(m，0)，B(n，0)，且m、n满足(m＋2)2＋|n－2|＝0，直线AC恰好是一次函数y＝x＋1的图象，CB⊥x轴于点B.
(1)求点C的坐标，并求△ABC的周长．
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△ABC＝S△ACP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解答案】
1．解：(1)(2，0)　(0，4)
(2)把x＝－3代入y＝－2x＋4，
得y＝6＋4＝10，
∴C(－3，10)，
∴S△OAC＝×2×10＝10.
2．解：在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，如图．
两条直线与y轴围成的图形的面积为S△ABC＝BC·AD＝×6×2＝6.
3．解：(1)在y＝x＋1中，当y＝0时，则有x＋1＝0，解得x＝－1，
∴A(－1，0)；
在y＝－2x＋4中，当y＝0时，则有－2x＋4＝0，解得x＝2，
∴B(2，0)；
由解得
∴P(1，2).
(2)在y＝x＋1中，
当x＝0时，则有y＝1，
∴Q(0，1)，
S四边形PQOB＝S△ABP－S△AOQ＝×3×2－×1×1＝.
4．解：(1)把A(－1，－1)，B(1，3)分别代入y＝kx＋b得
解得
∴一次函数的表达式为y＝2x＋1.
当y＝0时，2x＋1＝0，
解得x＝－，
∴点C的坐标为.
(2)S△OAB＝S△AOC＋S△BOC＝××1＋××3＝1.
5．解：(1)由(m＋2)2＋|n－2|＝0得m＝－2，n＝2，
∴A(－2，0)，B(2，0)，AB＝4，
∵CB⊥x轴于点B，又点C在y＝x＋1的图象上，
设C(2，t)，
∴t＝×2＋1＝2，
∴C(2，2)，
∴BC＝2，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝，
∴△ABC的周长为4＋2＋＝6＋.
(2)存在．
如图，设P(0，y)，直线AC与y轴的交点为点D，
∵y＝x＋1，
∴当x＝0时，y＝1，
∴D(0，1)，
∴OD＝1.
∵S△ABC＝S△ACP，S△ABC＝AB·BC＝×4×2＝4，
S△ACP＝S△ADP＋S△CDP＝×|y－1|×2＋×|y－1|×2＝2|y－1|，
∴2|y－1|＝4，解得y＝3或y＝－1，
∴P(0，3)或P(0，－1).2.函数的图象
　　画函数图象
1．把下面画函数y＝－x＋2的图象的过程补充完整．
(1)列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－x＋2 … …
(2)画出的函数图象如下：
　　由函数图象获取信息
2. (跨生物学科)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y(个)随时间t(天)的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是(　　)
A．第5天的种群数量为300个
B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大
D．每天增加的种群数量相同
3．(成都中考)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间之间的关系．下列说法正确的是(　　)
A．小明家到体育馆的距离为2 km
B．小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D．小明从书店到家步行的时间为40 min
由实际问题确定函数图象
4．将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)之间的关系用图象可近似表示为(　　)
1. 匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是(　　)
2．(教材变式)如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示，下列说法错误的是(　　)
A．乙车先到达B地
B．A、B两地相距300 km
C．甲车的平均速度为100 km/h
D．在8：30时，乙车追上甲车
3．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1 km所用的时间，即“配速”(单位：min/km).小华参加5 km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是(　　)
A．第1 km所用的时间最长
B．第5 km的平均速度最大
C．第2 km和第3 km的平均速度相同
D．前2 km的平均速度大于最后2 km的平均速度
4．研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．若把学习后的时间记为x(h)，记忆留存率记为y(%)，则根据实验数据可绘制出曲线(如图所示)，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
请认真观察图象，回答下列问题：
(1)由图可知，知识记忆遗忘先________后________，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐________．(填序号)
①快；②慢；③增多；④减少．
(2)(开放题)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．
5．已知点A(－8，0)及在第二象限内的动点P(x，y)，且y－x＝10，设△OPA的面积为S.
(1)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)在所给的平面直角坐标系中画出函数S的图象．
(3)当S＝12时，求点P的坐标．
6．(应用意识)小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)图象所表示的两个变量中，自变量是________，因变量是________．
(2)小亮家到学校的距离是________m；本次上学途中，小亮一共骑行了________m.
(3)点A的实际意义是什么？
(4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？
【详解答案】
基础达标
1．解：(1)列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－x＋2 … 4 3 2 1 0 －1 …
(2)画出的函数图象如下：
2．B　3．C　4．C
能力提升
1．C　解析：由题图可知，容器的粗细是由细变粗再变细，且最上面比最下面粗，所以在注水过程中，容器内水面高度上升的速度是先快后慢再快，且第三段比第一段上升得慢．故选C.
2．C　解析：由题图可知，乙车先到达B地，故选项A说法正确，不符合题意；A、B两地相距300 km，故选项B说法正确，不符合题意；甲车的平均速度为300÷(11－6)＝60(km/h)，故选项C说法错误，符合题意；在8：30时，乙车追上甲车，故选项D说法正确，不符合题意．故选C.
3．D　解析：由题图可知，第1 km所用的时间最长，约4.5 min，故选项A说法正确，不符合题意；第5 km所用的时间最短，即平均速度最大，故选项B说法正确，不符合题意；第2 km和第3 km的平均速度相同，故选项C说法正确，不符合题意；前2 km的平均速度小于最后2 km的平均速度，故选项D说法错误，符合题意．故选D.
4．解：(1)①　②　④
(2)建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新．(答案不唯一)
5．解：(1)由y－x＝10得y＝10＋x，
∵点P在第二象限，点A的坐标为(－8，0)，
∴S＝OA·yP＝×8×(10＋x)＝4x＋40；
∵点P在第二象限，
∴
∴x的取值范围为－10＜x＜0.
∴S关于x的函数关系式为S＝4x＋40，x的取值范围为－10＜x＜0.
(2)∵S＝4x＋40(－10＜x＜0)，列表如下：
x －10 －8 －6 －4 －2 0
S 0 8 16 24 32 40
∴函数S的图象如图：
(3)当S＝12时，4x＋40＝12，
解得x＝－7，
∴点P的坐标为(－7，3).
6．解：(1)时间　离家距离
(2)1 500　2 700
(3)点A的实际意义是小亮出发6 min到达离家1 200 m的A处．
(4)1 200÷6＝200(m/min)，
1 500÷200＝7.5(min)，
所以小亮以往常的速度去学校，需要7.5 min.

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