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第17章　平行四边形
17.1 平行四边形的性质
第1课时　平行四边形及其边、角的性质
平行四边形的定义及对称性
1.关于平行四边形，下列说法正确的是(　　)
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，但是中心对称图形
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，根据平行四边形的定义，若不添加任何辅助线，请添加一个条件：________，使四边形ABCD是平行四边形．
性质定理1：平行四边形的对边相等
3.在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，则平行四边形ABCD的周长为(　　)
A．18 B．9 C．6 D．3
4．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AB＝13，AD＝12，AC⊥BC，则 ABCD的面积为(　　)
A．60 B．65 C．30 D．
性质定理2：平行四边形的对角相等
5．如图是一自行车的示意图，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠A＋∠C＝126°，则∠B的度数为(　　)
A．63° B．67° C．117° D．126°
平行线之间的距离处处相等
6.如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，AC⊥b.如果AB＝5 cm，AC＝4 cm，那么平行线a、b之间的距离为________ cm.
1.如图，在 ABCD中，AB∥EG∥FH∥CD，则图中平行四边形的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
2.已知在同一平面内，直线a、b、c互相平行，直线a与b之间的距离是3 cm，直线b与c之间的距离是5 cm，那么直线a与c之间的距离是(　　)
A．2 cm B．8 cm
C．8 cm或2 cm D．不能确定
3.在 ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比可能是(　　)
A．1∶1∶2∶2 B．2∶1∶1∶2
C．1∶2∶3∶4 D．2∶1∶2∶1
4.(几何直观)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，且CE＝CD，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A.
(1)求证：△BCE≌△FDC.
(2)若AB＝8，AD＝5，CE平分∠BCD，求AE的长．
【详解答案】
基础达标
1．C
2．AB∥CD(答案不唯一)
3．A　4.A　5.C　6.4
能力提升
1．D　解析：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得题图中的四边形AEGB、AFHB、ADCB、EFHG、EDCG、FDCH都是平行四边形，共6个．故选D.
2．C　解析：有两种情况，如图：
(1)直线a与c之间的距离是3＋5＝8(cm)；
(2)直线a与c之间的距离是5－3＝2(cm).故选C.
3．D　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴只有D选项中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶2∶1符合题意．故选D.
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A＋∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC.
∵∠DFC＋∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，
∴∠DFC＝∠B，
在△BCE和△FDC中，
∴△BCE≌△FDC(AAS).
(2)∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∵∠DCE＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，
∴BE＝5，
∴AE＝AB－BE＝8－5＝3.第4课时　三角形的中位线
知识点　三角形的中位线
1．如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点P，分别取PA、PB的中点D、C，知道等边三角形PCD的周长为18 m，则A、B之间的距离是(　　)
A．6 m B．12 m C．18 m D．24 m
2．(广东中考)如图，点D、E、F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　)
A．20° B．40° C．70° D．110°
3．(资阳中考)三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是(　　)
A．12 cm B．24 cm C．28 cm D．30 cm
4．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO、AB的中点C、D的横坐标分别是1、4，点B在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是________．
5．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点．若EF⊥AD，AB＝5，AD＝3，则EF的长为________．
6．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠ADC＝146°，E、F分别是AD、AB边的中点，连结EF，∠AFE＝56°，连结BD.
(1)求∠BDC的度数．
(2)若CD＝5，BC＝13，求EF的长．
1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连结DE，则DE的长为(　　)
A． B．1 C． D．
2．如图，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长(　　)
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．不能确定
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝8，BD＝6，若点E为AB的中点，点F为CD的中点，连结EF，则EF的长为________．
4．(教材变式)如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M与N分别是线段OB、OC的中点，连结DE、EM、MN、DN.
求证：四边形DEMN是平行四边形．
5．如图，在△ABC中，点E、G分别是边AB、BC的中点，AF平分∠BAC，BF⊥AF于点F，延长BF交AC于点D，连结FG.
(1)若AB＝6，BC＝9，FG＝2.求△ABC的周长．
(2)若点D恰好是AC的中点，BM为△ABC外角的平分线，交DE的延长线于点H，求证：AH⊥BM.
6.(推理能力)【教材再现】
连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
【定理证明】
(1)请依据三角形中位线定理，将下列题目补充完整．
已知：如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点．求证：________，________.
(2)小陇为证明三角形中位线定理而添加了如图2的辅助线：延长DE到点F，使EF＝DE，连结FC、DC、AF.请你帮小陇完成证明．
【详解答案】
基础达标
1．B　2.C　3.B　4.6　5.2
6．解：(1)∵在△ABD中，E、F分别是AD、AB边的中点，∠AFE＝56°，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥DB，
∴∠ABD＝∠AFE＝56°，
∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝56°，
∵∠ADC＝146°，
∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝146°－56°＝90°.
(2)由(1)得∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得BD＝＝＝12，
∵E、F分别是AD、AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝×12＝6.
能力提升
1．B　解析：如图，由题意可知BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°，又∵∠ADF＝∠BDG，∴△ADF≌△BDG(AAS)，∴AD＝BD，同理可得AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝1.故选B.
2．C　解析：连结AR，如图．∵E、F分别是AP、RP的中点，∴EF为△APR的中位线，∴EF＝AR，∵AR的长为定值，∴线段EF的长不变．故选C.
3．5　解析：如图，取BC的中点M，连结EM、FM，
∵点E为AB的中点，点F为CD的中点，AC＝8，BD＝6，∴EM、FM分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EM∥AC，EM＝AC＝4，FM∥BD，FM＝BD＝3，∵AC⊥BD，∴EM⊥FM，在直角三角形EMF中，由勾股定理得EF＝＝＝5.
4．证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线，
∴D、E分别是AC和AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED＝BC，
∵点M与N分别是线段OB、OC的中点，
∴MN是△OBC的中位线，
∴MN∥BC，MN＝BC，
∴ED∥MN，ED＝MN，
∴四边形DEMN是平行四边形．
5．解：(1)∵AF平分∠BAC，BF⊥AF，
∴AD＝AB＝6，BF＝FD，
∵G是边BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴DC＝2FG＝4，
∴AC＝AD＋DC＝6＋4＝10，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝6＋9＋10＝25.
(2)证明：由题意可知DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠EHB＝∠NBH，
∵BM平分∠ABN，
∴∠ABH＝∠NBH，
∴∠ABH＝∠EHB，
∴HE＝BE＝AE，
∴∠EHA＝∠EAH，
∵∠EHA＋∠EAH＋∠EHB＋∠ABH＝180°，
∴∠EHA＋∠EHB＝90°，
∴AH⊥BM.
6．解：(1)DE∥BC　DE＝BC
(2)证明：如题图2，延长DE到点F，使EF＝DE，连结FC、DC、AF.
∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD＝BD，AE＝CE，
∵AE＝CE，EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵AD＝BD，
∴CF＝BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵DE＝DF，
∴DE＝BC.
∴DE∥BC，且DE＝BC.第2课时　利用对角线判定平行四边形
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．(1)～(3)是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(　　)
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
2．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14 cm，则当OA＝________cm时，四边形ABCD是平行四边形．
3．(教材变式)如图，在四边形ABCD中，M、N是BD上两点，AM∥CN，AN∥CM，BM＝DN.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定综合
4．如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别在OD、OB上，连结CM、AN.
(1)给出以下条件：①OC＝OA；②∠CMO＝∠ANO；③OM＝ON.请你从中选取两个条件证明△CMO≌△ANO.
(2)在(1)中你所选条件的前提下，添加DM＝BN，则四边形ABCD是平行四边形吗？试加以证明．
1．根据所标数据，不能判定下列四边形是平行四边形的是(　　)
2．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连结BM并延长交AE于点D，连结CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3， ∠CAN＝∠1＋∠2， ∠1＝∠2， ∴①________． 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②________). ∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①②应分别为(　　)
A．∠1＝∠3，AAS
B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS
D．∠2＝∠3，ASA
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OB＝OD.添加下列条件中的一个后，可使四边形ABCD是平行四边形的有(　　)
①OA＝OC；②AB＝CD；③AD∥BC.
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.如果AO＝AC，BO＝BD，那么四边形ABCD是平行四边形．其判定的依据是________________________．
5．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连结DE并延长，交AB于点F，连结AD、CF.
求证：四边形AFCD是平行四边形．
6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O为AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
7．(推理能力)如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连结EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC.
(1)求证：O是线段AC的中点．
(2)连结AF、EC，求证：四边形AFCE是平行四边形．
【详解答案】
基础达标
1．C　2.7
3．证明：如图，连结AC交BD于点O，
∵AM∥CN，AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴OM＝ON，OA＝OC，
∵BM＝DN，
∴OM＋BM＝ON＋DN，
即OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．D
5．解：(1)选取①和②时：
证明：在△CMO和△ANO中，
∴△CMO≌△ANO(AAS).
选取①和③时：
证明：在△CMO和△ANO中，
∴△CMO≌△ANO(SAS).
选取②和③时：
证明：在△CMO和△ANO中，
∴△CMO≌△ANO(ASA).
(2)四边形ABCD是平行四边形．
选取①和②时：
证明：由(1)可知△CMO≌△ANO，
∴OM＝ON，
∵DM＝BN，
∴DM＋OM＝BN＋ON，即OD＝OB，
又∵OC＝OA，
∴四边形ABCD是平行四边形．
选取①和③时：
证明：∵OM＝ON，DM＝BN，
∴DM＋OM＝BN＋ON，即OD＝OB，
又∵OC＝OA，
∴四边形ABCD是平行四边形．
选取②和③时：
证明：由(1)可知△CMO≌△ANO，
∴OC＝OA，
∵OM＝ON，DM＝BN，
∴DM＋OM＝BN＋ON，即OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
能力提升
1．C　解析：A.根据对角线互相平分能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B.根据两组对边分别相等能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；C.根据题图可得，一组对边相等，另一组对边平行，不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；D.由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．故选C.
2．D　解析：∵AE平分∠CAN，∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵点M是AC的中点，∴MA＝MC，在△MAD和△MCB中，
∴△MAD≌△MCB(ASA)，∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形．∴①②分别为∠2＝∠3，ASA.故选D.
3．B　解析：添加①OA＝OC，∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；添加③AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，∵OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB(ASA)，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；添加②AB＝CD，无法判定四边形ABCD是平行四边形．故选B.
4．对角线互相平分的四边形是平行四边形
解析：∵AO＝AC，BO＝BD，
∴AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，其判定的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．证明：∵CD∥AB，
∴∠AFE＝∠CDE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
∴△AEF≌△CED(AAS)，
∴FE＝DE，
∴四边形AFCD是平行四边形．
6．证明：∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF，
即OE＝OF，
∵DF∥BE，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
7．证明：(1)∵∠E＝∠F，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
即O是线段AC的中点．
(2)∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA).
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．第3课时　平行四边形对角线的性质
知识点　性质定理3：平行四边形的对角线互相平分
1．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB＝BC B．AD＝BC
C．OA＝OB D．AC⊥BD
2．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中相等的线段至少有(　　)
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
3．(教材变式)如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．3 B．6 C．12 D．24
4．如图，在 ABCD中，BC＝6，对角线AC与BD相交于点O.若AC＋BD＝14，则△AOD的周长为________．
5．如图所示，已知 ABCD和 EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上．
求证：AE＝CF.
1．如图， ABCD中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是(　　)
A．点E B．点F C．点G D．点Q
2．如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若∠DEC＝80°，则∠ACB的度数为________．
3．(几何直观)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，对角线AC、OB相交于点D，点A的坐标为(1，2)，点C的坐标为(3，0).
(1)点B、点D的坐标分别为____________、____________．
(2)求平行四边形OABC的周长．
(3)若平面内有一点P(－1，3)，求经过点P且平分平行四边形OABC的面积的直线所对应的函数的表达式．
【详解答案】
基础达标
1．B　2.B　3.C　4.13
5．证明：连结BD交AC于点O(图略)，
∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OA－OE＝OC－OF，
即AE＝CF.
能力提升
1．B　解析：如图，连结AC、BD相交于点F，
故点F是平行四边形的中心．故选B.
2．40°　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∵OE⊥AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DEC＝∠EAC＋∠ECA＝80°，∴∠EAC＝∠ACB＝40°.
3．解：(1)(4，2)　(2，1)
(2)∵A(1，2)，O(0，0)，C(3，0)，
∴OA＝＝，OC＝3.
在平行四边形OABC中，OA＝BC，AB＝OC.
∴平行四边形OABC的周长＝OA＋BC＋AB＋OC＝2OA＋2OC＝2＋6.
(3)由题意得平分平行四边形OABC的面积的直线必过平行四边形的中心，即点D(2，1)，
设直线所对应的函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0).
将点D(2，1)，P(－1，3)代入y＝kx＋b得
解得
∴直线所对应的函数的表达式为y＝－x＋.第3课时　平行四边形性质与判定的综合运用
知识点　平行四边形性质与判定的综合运用
1．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是(　　)
A．CD＝CB B．OA＝OB
C．AD＝BC D．∠DAC＝∠DCA
2．如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A、C为圆心，BC、AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连结AD、CD，则∠ADC的度数为(　　)
A．41° B．49° C．51° D．59°
3．如图，在腰长为8的等腰三角形ABC中，AB＝AC，E、M、F分别是AB、BC、AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是(　　)
A．8 B．10 C．12 D．16
4．(跨物理学科)如图是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度α向液面l1发射一束细光，光束在液面l1的O1处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点S1.当液面上升至l2时，入射点就沿着入射光线的方向平移至O2处，反射光线也随之平移至O2S2处，O1S1交l2于点Q，在O1处的法线交l2于点N，O2处的法线为O2M，若S1S2＝4.6 cm，α＝45°，则液面从l1上升至l2的高度为________ cm.
5．如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF.
(2)连结EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形，并说明理由．
1．现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC、AD上分别找点M、N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是(　　)
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
2．(教材变式)如图，四边形ABCD是平行四边形，在对角线BD上取两点E、F，连结AE、CE、AF、CF.下列条件：①BE＝DF；②∠BAE＝∠DCF；③AE⊥BD，CF⊥BD；④AE＝CF；⑤AE∥CF.能得到四边形AECF是平行四边形的条件有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°.其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，点E为AD上一点，连结BE、CE.若AE＝DE＝BC＝，则BE2＋CE2＝________.
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，________．
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，补充在横线上，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形．
(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，延长DC到点E，使CE＝BD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连结AE、DF.
(1)求证：四边形ADFE是平行四边形．
(2)若∠BAE＝∠BCA，BD＝1，求AF的长．
微专题5 角平分线在平行四边形中的应用
(1)平行四边形中邻角的平分线互相垂直．(2)平行四边形对角的平分线互相平行或重合．(3)平行四边形一个内角的平分线与此角的一边及另一边的对边(或其延长线)构成的三角形是等腰三角形．
1.如图所示，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F.若EF＝2，则△CEF的周长为(　　)
A．8 B．9.5
C．10 D．11.5
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝2，AE＝3，则DE的长为(　　)
A．5 B．
C． D．2.5
3.如图， ABCD的四条内角平分线相交，如果能构成四边形EFGH，有下列结论：①∠FGH＝90°；②EF＝EH；③四边形EFGH是平行四边形；④若CE交AD边于点I，则DH垂直平分CI.其中正确结论的序号是________．
【详解答案】
基础达标
1．C　2.B　3.D　4.2.3
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.
∵AF＝CE，
∴AD－AF＝BC－CE，
即DF＝BE，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)如图，添加BE＝CE，理由如下：
∵AF＝CE，BE＝CE，
∴AF＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
(答案不唯一)
能力提升
1．C　解析：甲：由作图可知BM＝BA，DN＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，∴BM＝DN，∴CM＝AN，CM∥AN，∴四边形AMCN是平行四边形；乙：由作图可知AM平分∠BAD，CN平分∠BCD，∴∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN，∴∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN，∴AB＝BM，CD＝DN，∴BM＝DN，∴AN＝CM，AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形．故选C.
2．C　解析：如图，连结AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，∴∠ABE＝∠CDF，①由条件可得OE＝OF，结合OA＝OC，即可判定四边形AECF是平行四边形；②添加∠BAE＝∠DCF，结合AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，可得△ABE≌△CDF(ASA)，∴BE＝DF，继而可得OE＝OF，结合OA＝OC，可以判定四边形AECF是平行四边形；③由条件可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，结合∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，可得△ABE≌△CDF(AAS)，继而可得AE＝CF，可以判定四边形AECF是平行四边形；④无法判定△ABE≌△CDF，则无法判定四边形AECF是平行四边形；⑤由条件可得∠AEB＝∠CFD，结合∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，可得△ABE≌△CDF(AAS)，继而可得AE＝CF，可以判定四边形AECF是平行四边形．∴能得到四边形AECF是平行四边形的条件有4个．故选C.
3．C　解析：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝360°－60°－60°－90°＝150°，∵△ABD、△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误．∴正确的结论有2个．故选C.
4．25　解析：设AC、BD相交于点O，如图．∵AD∥BC，AE＝BC＝，∴四边形ABCE是平行四边形，∴CE＝AB，同理可得BE＝CD，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，∴OA2＋OB2＋OD2＋OC2＝AB2＋CD2，OA2＋OD2＋OB2＋OC2＝AD2＋BC2＝(2)2＋()2＝25，∴AB2＋CD2＝25，∴BE2＋CE2＝25.
5．解：(1)选择①，证明：∵∠B＝∠AED，
∴BC∥DE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
选择②，证明：∵AE＝BE，AE＝CD，
∴BE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
(2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
∴AE＝＝＝6，
即线段AE的长为6.
6．解：(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵CE＝BD，
∴CD＝CE，
∵EF∥AD，
∴∠DAC＝∠EFC，
又∵∠DCA＝∠ECF，
∴△ACD≌△FCE(AAS)，
∴AC＝CF.
∴四边形ADFE是平行四边形．
(2)∵BD＝1，
∴CD＝1，BE＝3，DE＝2.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA.
∵∠BAE＝∠BCA，
∴∠B＝∠BAE.
∴AE＝BE＝3，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2－DE2＝9－4＝5，
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝5＋1＝6.
∴AC＝，
∴AF＝2AC＝2.
微专题5
1．A　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝9，AD∥BC，AB∥DF，∴∠DAF＝∠BEA，∠BAF＝∠F，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF＝∠DAF，∵∠BEA＝∠CEF，∴∠BAF＝∠BEA＝∠CEF＝∠F，∴AB＝BE＝6，CE＝CF，∴CF＝CE＝BC－BE＝9－6＝3，∴△CEF的周长为3＋3＋2＝8.故选A.
2．B　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，∴AD＝BC，CD＝AB＝2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∠CED＝∠ADE，∠AEB＝∠DAE，∵∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∴∠AEB＝∠BAE，∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD＝2，AB＝BE＝2，∴AD＝BC＝BE＋CE＝4，∴∠DAE＋∠ADE＝ (∠BAD＋∠CDA)＝90°，∴∠AED＝180°－∠DAE－∠ADE＝90°，∵AE＝3，∴DE＝＝.故选B.
3. ①③④　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∵AG、DG分别是∠BAD、∠ADC的平分线，∴∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∠ADG＝∠CDG＝∠ADC，∴∠DAG＋∠ADG＝ (∠BAD＋∠ADC)＝90°，∴∠AGD＝90，故①结论正确；如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BNA，∠DIC＝∠ICB，∵AN、CI分别为∠BAD、∠BCD的平分线，∴∠DAN＝∠BAN，∠DCI＝∠ICB，∴∠BAN＝∠BNA，∠DIC＝∠DCI，∴AB＝BN，DI＝DC，∴BN＝DI，∴AD－DI＝BC－BN，即AI＝CN，又∵AI∥CN，∴四边形ANCI是平行四边形，∴FG∥EH，同理四边形KDMB是平行四边形，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF与EH无明显数量关系，∴EF与EH不一定相等，故②结论错误，③结论正确；∵∠AGD＝90°，AG∥IH，∴∠IHD＝90°，∴DH⊥IC，又∵DI＝DC，∴DH垂直平分CI，故④结论正确，综上所述，正确结论的序号是①③④.第4课时　平行四边形对角线性质的运用
知识点　平行四边形对角线性质的运用
1．如图，在面积为24的平行四边形ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AC＝6 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm.
3．(教材变式)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AD上一点，连结EO并延长，交BC于点F.若DE＝3，求BF的长．
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，S△AOE＝3，S△BOF＝7，则平行四边形ABCD的面积是(　　)
A．48 B．40 C．32 D．24
2．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹，不写画法)，并说明理由．
3．(推理能力)如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，使BE＝DF，连结CE、AF.
求证：AF＝CE.
【详解答案】
基础达标
1．C　2.
3．解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE(ASA)，
∴BF＝DE＝3.
能力提升
1．B　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴S△COF＝S△AOE＝3，∵S△BOF＝7，∴S△BOC＝10，∵△BOC的面积＝ ABCD的面积，∴ ABCD的面积＝4×10＝40.故选B.
2．解：如图，OP是∠AOB的平分线．
理由：∵四边形AEBF是平行四边形，P为AB、EF的交点，
∴AP＝BP.
又∵OA＝OB，
∴OP是等腰三角形OAB的底边AB上的中线，∴OP是∠AOB的平分线．
3．证明：连结AC交BD于点O，连结CF、AE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵BE＝DF，
∴OE＝OF.
又∵∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE(SAS)，
∴AF＝CE.第2课时　平行四边形边、角性质的运用
知识点　平行四边形边、角性质的运用
1．如图，在 ABCD中，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，点F在BC边上，AE＝CF，则∠1的度数为(　　)
A．55° B．45°
C．40° D．35°
2．如图，在 ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠2＝130°，则∠1的度数为(　　)
A．30° B．40°
C．45° D．50°
3.(教材变式)如图，在 ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F.若AB＝6，AD＝10，则EF的长为________．
1．如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC＝60°，以点A为圆心、AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，在 ABCD中，AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，若 ABCD的周长为22，且AM＝4，AN＝，则 ABCD的面积为(　　)
A．32 B．24 C．20 D．12
3．如图，在 ABCD中，点F是AD的中点，连结CF并延长交BA的延长线于点E.求证：AB＝AE.
4．(推理能力)如图，在 ABCD中，∠BAC＝90°，AD＝5，AC＝4，点E、F分别是线段BC、AC上的两动点，且BE＝CF，连结AE、BF，求AE＋BF的最小值．
【详解答案】
基础达标
1．D　2.B　3.2
能力提升
1．D　解析：∵AB＝AE，∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝5，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.故选D.
2．B　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∵ ABCD的周长为22，∴AD＋AB＋BC＋CD＝2BC＋2CD＝22，∴BC＋CD＝11，∵AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，且AM＝4，AN＝，∴S ABCD＝BC·AM＝CD·AN，∴4BC＝CD，∴BC＝CD，∴CD＋CD＝11，解得CD＝5，∴S ABCD＝CD·AN＝5×＝24.故选B.
3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠FAE＝∠D，∠E＝∠DCF，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∴△AEF≌△DCF(AAS)，
∴AE＝CD，
∴AB＝AE.
4．解：过点B作BN∥AC且使BN＝BC，连结EN、AN，如图．
∵BN∥AC，
∴∠CBN＝∠ACB，∠ABN＝180°－∠BAC＝90°，
在△BEN和△CFB中，
∴△BEN≌△CFB(SAS)，
∴EN＝BF，∴AE＋BF＝AE＋EN，
由两点之间线段最短可得AE＋EN≥AN，∴当点E在AN上时，AE＋EN有最小值，即AE＋BF的最小值为AN，
∵AD＝5，AC＝4，∴BC＝AD＝5，
∴AB＝＝＝3，
∴AN＝＝＝，∴AE＋BF的最小值为.专题训练八　平行四边形中的计算与证明
类型1　平行四边形中线段的关系
1.如图，在 ABCD中，点E是CD延长线上的一点，∠EAD＝∠DBC，连结BE交AD于点F.
求证：线段AD、BE互相平分．
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，P、Q是对角线BD上的两个点，且BP＝DQ.试判断线段AP与CQ的数量关系和位置关系，并说明理由．
类型2　平行四边形的折叠问题
3.如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE.
(1)求证：四边形BCED′是平行四边形．
(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.
4.如图，在 ABCD中，点E、F分别在边DC、AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B、C分别落在B′、C′处，线段EC′与线段AF相交于点G，连结DG、B′G.
求证：(1)∠1＝∠2.
(2)DG＝B′G.
5.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝1 cm，将纸片沿对角线AC对折，点B落在点B′处，B′C边与AD边相交于点E，此时△AB′E恰为等边三角形，求重叠部分(△AEC)的面积．
类型3　与平行四边形有关的动点问题
6.如图，在 ABCD中，已知AD＝15 cm，点P在AD上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4 cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时点Q也停止)，设运动时间为t s(t＞0).
(1)当点P运动t s时，线段PD的长度为________cm；
当点P运动2 s时，线段BQ的长度为________cm；
当点P运动5 s时，线段BQ的长度为________cm.
(2)若经过t s，以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求出所有t的值．
7.如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，∠B＝60°，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也停止运动，设运动时间为t s.
(1)PD＝________；CQ＝________；QE＝________．(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形？
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s.
(1)当t取何值时，四边形EFCD为平行四边形？
(2)M是BC上一点，且BM＝3 cm，当t取何值时，以点A、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？
【详解答案】
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠EAD＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠ADB，
∴AE∥BD，
∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴线段AD、BE互相平分．
2．解：AP＝CQ，AP∥CQ.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDQ，
∵BP＝DQ，
∴△ABP≌△CDQ(SAS)，
∴AP＝CQ，∠APB＝∠CQD，
∴∠APQ＝∠CQP，
∴AP∥CQ.
3．证明：(1)∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA＝∠EAD′，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，
∴AD∥D′E，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE＝AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC，
∴CED′B，
∴四边形BCED′是平行四边形．
(2)∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°，
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AB2＝AE2＋BE2.
4．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠2＝∠FEC，
由折叠得∠1＝∠FEC，
∴∠1＝∠2.
(2)∵∠1＝∠2，
∴EG＝GF，
∵AB∥DC，
∴∠DEG＝∠EGF，
由折叠得EC′∥B′F，
∴∠B′FG＝∠EGF，
∴∠DEG＝∠B′FG，
∵DE＝BF，由折叠得BF＝B′F，
∴DE＝B′F，
∴△DEG≌△B′FG(SAS)，
∴DG＝B′G.
5．解：∵△AB′E为等边三角形，
∴∠B′＝∠B′AE＝∠B′EA＝60°，
∵纸片ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠B′AE＝60°，∠B′CB＝∠B′EA＝60°，
∴∠B＝∠B′＝∠B′CB＝60°，
∴△BB′C为等边三角形，
∴B′C＝BB′，
由折叠得AB＝AB′＝1 cm，
∴AC⊥BB′，B′C＝BB′＝2AB′＝2 cm，
∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，
由折叠得∠ACB＝∠ACE，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴CE＝AE＝B′E，
在Rt△AB′C中，AC＝＝ cm，
∴S△AEC＝S△AB′C＝××1×＝ (cm2).
6．解：(1)(15－t)　7　5
(2)∵点P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即0＜t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，已有PD∥BQ，
∴还需满足DP＝BQ，
①当点Q的运动路线是C—B时，BQ＝(15－4t) cm，由题意得15－t＝15－4t，解得t＝0，不符合题意；
②当点Q的运动路线是C—B—C时，BQ＝(4t－15) cm，由题意得15－t＝4t－15，解得t＝6；
③当点Q的运动路线是C—B—C—B时，BQ＝(45－4t) cm，由题意得15－t＝45－4t，解得t＝10；
④当点Q的运动路线是C—B—C—B—C时，BQ＝(4t－45) cm，由题意得15－t＝4t－45，解得t＝12.
综上所述，t的值为6或10或12.
7．解：(1)6－t　2t　8－2t或2t－8
(2)∵AD∥BC，
∴以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝EQ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝8，
分两种情况：
①当点Q运动到点E和点C之间时，则8－2t＝6－t，
解得t＝2.
②当点Q运动到点E和点B之间时，则2t－8＝6－t，
解得t＝.
综上所述，当t的值为2或时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
8．解：(1)∵四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝FC，
∵DE＝(8－t) cm，CF＝(12－2t) cm，
∴8－t＝12－2t，
解得t＝4.
∴当t的值为4时，四边形EFCD为平行四边形．
(2)①当点F在点M左侧时，四边形AEMF是平行四边形，
∴AE＝MF，
∵AE＝t cm，BF＝2t cm，BM＝3 cm，
∴MF＝(3－2t) cm，
∴t＝3－2t，
解得t＝1；
②当点F在点M右侧时，四边形AEFM是平行四边形，
∴AE＝MF，
∵AE＝t cm，BF＝2t cm，BM＝3 cm，
∴MF＝(2t－3) cm，
∴t＝2t－3，
解得t＝3.
综上所述，当t的值为1或3时，以点A、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形．17.2　平行四边形的判定
第1课时　利用边判定平行四边形
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是(　　)
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．16
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3．依据所标数据，下列四边形一定是平行四边形的是(　　)
4. 如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A、B，连结AD，分别以点B、D为圆心，AD、AB长为半径作弧，两弧交于点C，连结CD、BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是______________________________．
判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A．AD＝BC B．AC＝BD
C．AB＝CD D．∠A＝∠B
6.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是____________________________________．
7．如图，AC∥DB，且AC＝2DB，E是AC的中点．
求证：四边形BDEC是平行四边形．
1．(安徽中考)在如图所示的 ABCD中，E、G分别为边AD、BC的中点，点F、H分别在边AB、CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　)
A.四边形EFGH的周长
B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积
D．线段FH的长
2．如图，这是嘉嘉同学在证明一四边形是平行四边形时的不完整推理过程，为了使嘉嘉的推理成立，需在括号中添加条件，下列添加的条件正确的是(　　)
如图，∵∠A＋∠D＝180°， ∴AB∥CD. 又∵(　　)， ∴四边形ABCD是平行四边形．
A．∠A＋∠C＝180° B．AD＝BC
C．∠C＝∠D D．AB＝CD
3．已知四边形的四条边长分别为a、b、c、d，其中a、c为一组对边的长，且满足a2＋c2＋＝2ac，则该四边形一定是(　　)
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．无法确定
4．小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
5．四边形ABCD的部分数据如图所示，在①或②处添加恰当的数据，使得四边形ABCD是平行四边形，两位同学给出了如下回答．
嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；
淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．
对于两位同学的回答，下列判断正确的是(　　)
A．只有嘉嘉的回答正确
B．只有淇淇的回答正确
C．两人的回答都正确
D．两人的回答都不正确
6．如图，在四边形ABCD中，BC＝20 cm，AD＝8 cm，AD∥BC.点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2 cm/s的速度沿射线AD运动，点Q以1 cm/s的速度由点C向点B运动，当点Q运动到点B时，两点均停止运动，设运动时间为t s，则当t＝________时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
7．如图，已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上，AC＝DF，AB＝DE.
求证：四边形ACDF是平行四边形．
8．(推理能力)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连结DF.
(1)求证：AC＝EF.
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
【详解答案】
基础达标
1．A　2.C　3.B
4．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5．C
6．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
7．证明：∵E是AC的中点，
∴AC＝2CE，
∵AC＝2DB，
∴CE＝DB，
∵AC∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
能力提升
1．C　解析：如图，连结EG，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E、G分别为边AD、BC的中点，∴AE＝DE＝BG＝CG，∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，∴S△EGF＝S AEGB，S△EHG＝S DEGC，∴S四边形EFGH＝S ABCD，∴四边形EFGH的面积是定值．故选C.
2．D　解析：∵∠A＋∠C＝180°，∠A＝80°，∴∠C＝100°，∵∠D＝100°，∴∠C＋∠D＝200°≠180°，∴AD与BC不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，故A不符合题意；∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，故B不符合题意；∵∠C＝∠D＝100°，∴∠C＋∠D＝200°≠180°，∴AD与BC不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，故C不符合题意；∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故D符合题意．故选D.
3．B　解析：∵a2＋c2＋＝2ac，∴(a2＋c2－2ac)＋＝0，∴(a－c)2＋＝0，∴a－c＝0，b－d＝0，∴a＝c，b＝d，∴该四边形为平行四边形．故选B.
4．D　解析：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长DG、BH交于点A，延长DF、BE交于点C，∵DG∥BE，DF∥BH，∴DA∥BC，DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴他带的两块碎玻璃编号是②④.故选D.
5．B　解析：∵∠ADB＝36°，∠CBD＝36°，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，当CD＝3＝AB时，无法判定四边形ABCD是平行四边形，当BC＝4＝AD时，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故只有淇淇的回答正确．故选B.
6.或8　解析：根据题意有AP＝2t cm，CQ＝t cm，PD＝|8－2t| cm，∵AD∥BC，∴当PD＝CQ时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，∴8－2t＝t或2t－8＝t，解得t＝或t＝8，∴当t＝或t＝8时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
7．证明：∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴BC＝EF，
∵点B、C、F、E在一条直线上，
∴BC＋CF＝EF＋CF，
即BF＝EC，
在△ABF和△DEC中，
∴△ABF≌△DEC(SAS)，
∴AF＝DC，
又∵AC＝DF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
8．证明：(1)在等边三角形ABE中，EF⊥AB，
∴∠AEF＝∠AEB＝30°，∠AFE＝90°，AE＝AB.
在△AFE和△BCA中，
∴△AFE≌△BCA(AAS)，∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD.
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．

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