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专题训练十二　特殊平行四边形中的动态问题
类型1矩形中的动态问题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，AD＝5 cm，动点M从点A出发，沿射线AB以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求矩形的对角线AC的长．
(2)当△ACM为直角三角形时，求t的值．
2．如图1，将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6 cm，AC＝DF＝8 cm，将图1中的纸片DEF以每秒1 cm的速度沿AC方向平移，连结AE、BD(如图2)，当点F与点C重合时，停止平移．
(1)纸片DEF运动的过程中，四边形ABDE一定是平行四边形吗？请说明理由．
(2)当四边形ABDE为矩形时，求纸片DEF运动的时间．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1 cm/s，连结PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t s.
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？此时菱形的面积是多少？
(3)当t为何值时，△AQP是以AQ为一条腰的等腰三角形？
类型2 菱形中的动态问题
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t s△DEF为等边三角形，求t的值．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12 cm，AB＝18 cm，CD＝23 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿折线B—C—D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的式子表示PB.
(2)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
类型3 正方形中的动态问题
6．如图，正方形ABCD的边长为6 cm，点E在AB边上，且AE＝2 cm，动点M从点C开始，以2 cm/s的速度沿折线C—B—E移动，动点N同时从点D开始，以1 cm/s的速度沿边DC移动，经过几秒钟后四边形EMND是平行四边形？
7．综合与实践
问题情境：
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.
猜想证明：
(1)求证：四边形DEFG是正方形．
解决问题：
(2)求∠DCG的度数．
(3)已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．
【详解答案】
1．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝5 cm，
在Rt△ABC中，AB＝12 cm，BC＝5 cm，
∴AC＝＝＝13(cm).
∴矩形的对角线AC的长为13 cm.
(2)由题意知AM＝2t cm.
当∠AMC＝90°时，点M与点B重合，如图1：
则AM＝AB＝12 cm.
∴2t＝12，解得t＝6.
当∠ACM＝90°时，如图2：
∵AM＝2t cm，
∴BM＝AM－AB＝(2t－12) cm.
在Rt△ACM中，AC2＋CM2＝AM2，
∴132＋CM2＝(2t)2①，
在Rt△BCM中，BC2＋BM2＝CM2，
∴52＋(2t－12)2＝CM2②，
联立等式①②，消去CM，
得(2t)2－132＝52＋(2t－12)2，
解得t＝.
综上所述，当△ACM为直角三角形时，t的值为6或.
2．解：(1)四边形ABDE一定是平行四边形．理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
(2)如图，连结BE交AD于点O，
当四边形ABDE为矩形时，OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x cm，则OA＝OE＝(x＋8) cm，
∴OF＝OA－AF＝ cm，
在Rt△OFE中，OF2＋EF2＝OE2，
∴＋62＝ (x＋8)2，
解得x＝，
∴AF＝ cm，
∵＝ (s)，
∴纸片DEF运动的时间为 s.
3．解：(1)由题意得BQ＝t cm，DP＝t cm，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4 cm，BC＝8 cm，
∴CD＝AB＝4 cm，AD＝BC＝8 cm，
∴AP＝(8－t) cm，
当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，
∴t＝8－t，解得t＝4，
∴当t＝4时，四边形ABQP是矩形．
(2)∵AB＝4 cm，BQ＝t cm，∠B＝90°，
∴AQ＝＝ cm，
当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ，
∴8－t＝，解得t＝3，
当t＝3时，BQ＝3 cm，
∴CQ＝BC－BQ＝5 cm，
∴菱形AQCP的面积为CQ·AB＝5×4＝20(cm2).
∴当t为3时，四边形AQCP是菱形，此时菱形的面积为20 cm2.
(3)当AQ＝AP时，四边形AQCP为菱形，由(2)知t＝3；
当AQ＝PQ时，过点Q作QH⊥AD于点H，如图：
则QH＝AB＝4 cm，AH＝BQ，
∵AQ＝PQ，
∴AP＝2AH＝2BQ，
∴8－t＝2t，解得t＝.
综上所述，当t为3或时，△AQP是以AQ为一条腰的等腰三角形．
4．解：连结BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝AB，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°，DE＝DF，
∴∠ADB－∠EDB＝∠EDF－∠EDB，
即∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE＝BF，
∵点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，
∴AE＝t cm，CF＝2t cm，
则BF＝BC－CF＝(4－2t)cm，
∴t＝4－2t，
解得t＝.
5．解：(1)∵动点P从点A以1 cm/s的速度向点B运动，
∴t s时，AP＝t×1＝t cm，
∵AB＝18 cm，
∴PB＝AB－AP＝(18－t) cm.
(2)过点B作BN⊥CD于点N，如图：
∵AB∥CD，∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠BND＝90°，
∴四边形ADNB是矩形，
∴BN＝AD＝12 cm，AB＝DN＝18 cm，
∵CD＝23 cm，
∴CN＝CD－DN＝5 cm，
∴在Rt△BNC中，根据勾股定理可得
BC＝＝＝13(cm)，
则点Q在BC上的运动时间为13÷2＝6.5(s)，
∵BC＋CD＝13＋23＝36(cm)，
∴点Q的运动时间最长为36÷2＝18(s)，
∴6.5≤t≤18时，点Q在CD边上，
当直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况：
①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：
∵AB∥CD，即PB∥CQ，
∴只需PB＝CQ即可，由(1)知PB＝(18－t) cm，
∵点Q以2 cm/s的速度沿折线B—C—D向终点D运动，
∴运动时间为t s时，CQ＝2t－BC＝(2t－13) cm，
∴18－t＝2t－13，
解得t＝；
②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：
∵AP∥DQ，
∴只需AP＝DQ即可，
由(1)知AP＝t cm，
DQ＝CD＋CB－2t＝(36－2t) cm，
∴t＝36－2t，
解得t＝12，
综上所述，当t＝或12时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．
(3)设点Q的速度为x cm/s，由(2)可知Q在CD边上时，四边形PBCQ可为菱形，
∵PB∥CQ，
∴只需PB＝BC＝CQ即可，
由(1)知PB＝(18－t) cm，BC＝13 cm，
由(2)知CQ＝(xt－13) cm，
∴18－t＝13，xt－13＝13，
解得t＝5，x＝5.2，
∴当点Q的速度为5.2 cm/s时，可使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形．
6．解：由题意得当EMDN时，四边形EMND为平行四边形，
点M必须移动到线段BE上，EM才能平行于DN，
设经过x s(x≥3)后，EM＝DN，此时M在EB上，N在DC上，则DN＝x cm，EM＝6＋6－2－2x＝(10－2x) cm，
∴10－2x＝x，
解得x＝，
∴经过 s后，四边形EMND是平行四边形．
7．解：(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，∠NEM＝90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED＝EF，
∴四边形DEFG为正方形．
(2)∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴∠DCG＝∠DAE＝45°.
(3)CG＝或3.
解析：①当点F在边BC上时，
∵四边形ABCD、EMCN是正方形，
∴BC＝DC，MC＝NC，
∴BC－MC＝DC－NC，
即BM＝DN，
∵△DEN≌△FEM，
∴FM＝DN，
∴BM＝FM＝＝＝1，
∴MC＝MF＋FC＝1＋2＝3，
∴EC＝MC＝3，AC＝BC＝4，
∵△ADE≌△CDG，
∴CG＝AE＝AC－EC＝4－3＝；
②当点F在BC的延长线上时，如图：
同理可得△FEM≌△DEN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG，
∴BM＝FM＝＝＝3，
∴CM＝BC－BM＝4－3＝1，
∴CE＝CM＝，
∴CG＝AE＝AC－CE＝4－＝3.
综上所述，CG＝或3.第2课时　矩形性质的运用
知识点　矩形性质的运用
1．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一动点，连结AE、DE，以AE、DE为边作 AEDF，在点E从点B运动到点C的过程中， AEDF的面积(　　)
A．先变小后变大 B．先变大后变小
C．保持不变 D．一直变大
2．如图，在矩形ABCD中，连结AC，E是AD上一点，连结CE，CA平分∠BCE.若CD＝4，AE＝5，则线段AC的长度为(　　)
A．6 B． C．8 D．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F.若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
4．(跨物理学科)光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．如图，矩形ABCD为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得∠NQO＝55°，∠COQ＝19°，若P、O、C三点在同一条直线上，则∠AOP的度数为(　　)
A．36° B．26°
C．46° D．74°
5．如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图(矩形)，杯中水面CD与桌面AB平行，若∠1＝32°，则∠2的度数为(　　)
A．62° B．58°
C．32° D．28°
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OA＝，AB＝3，则BC的长为________．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，AE∥CF.
(1)求证：BE＝DF.
(2)若AB＝4，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
1．如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD、BC、BD于点E、F、O，下列条件中，不能判定△BOF≌△DOE的是(　　)
A．O为矩形ABCD两条对角线的交点
B．EO＝FO
C．AE＝CF
D．EF⊥BD
2．(教材变式)如图，四边形ABCD是矩形，AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若OD＝4，则AE＝(　　)
A．3 B． C．4 D．
3.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝10 cm，BC＝8 cm，点E在边AB上，AE＝4 cm，点P从点B出发在线段BC上以2 cm/s的速度向点C运动，同时，点Q在线段CD上从点C以2 cm/s的速度向点D运动，则能够使△BPE与△CQP全等的时间为(　　)
A．1 s B．2 s C．3 s D．4 s
4．如图，将长为6、宽为4的矩形ABCD先向右平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，得到矩形A′B′C′D′，若重合部分的面积为矩形ABCD面积的一半，则m的值为________．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若CE⊥CA，∠EOC＝60°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由．
6．(推理能力)如图，某研究性学习小组在探究矩形时，将一块三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB(1)该学习小组中的一名成员意外地发现：在图1(三角板的一直角边与OD重合)中，BN2＝CD2＋CN2；在图3(三角板的一直角边与OC重合)中，CN2＝BN2＋CD2.请你对这名成员在图1和图3中发现的结论选择其一说明理由．
(2)试探究图2中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
【详解答案】
基础达标
1．C　2.D　3.A　4.A　5.B　6.4
7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE∥CF，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，∴OB－OE＝OD－OF，
即BE＝DF.
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD.
∠ABC＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
∴AC＝2×4＝8，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝，
∴矩形ABCD的面积＝BC·AB＝×4＝4.
能力提升
1．D　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，∠OFB＝∠OED.A.∵O为矩形ABCD两条对角线的交点，∴OB＝OD，在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE(AAS)，故A不符合题意；B.在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE(AAS)，故B不符合题意；C.∵AE＝CF，∴BC－CF＝AD－AE，即BF＝DE，在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE(ASA)，故C不符合题意；D.∵EF⊥BD，∴∠BOF＝∠DOE＝90°，不能判定△BOF≌△DOE，故D符合题意．故选D.
2．B　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO＝4，AE⊥OB，OE＝OB＝2，∴AE＝＝.故选B.
3．A　解析：∵AB＝10 cm，AE＝4 cm，∴BE＝AB－AE＝6 cm，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°，设能够使△BPE与△CQP全等的时间为x s，则BP＝2x cm，CP＝BC－BP＝(8－2x) cm，CQ＝2x cm，分两种情况考虑：①△BPE≌△CQP时，∴CP＝BE，即8－2x＝6，解得x＝1，此时BP＝CQ＝2 cm，∴1 s时能够使△BPE与△CQP全等；②△BPE≌△CPQ时，∴CQ＝BE，即2x＝6，解得x＝3，此时BP＝6 cm，CP＝8－2x＝2 cm，即BP≠CP，与△BPE≌△CPQ矛盾(不符合题意，舍去).综上所述，能够使△BPE与△CQP全等的时间为1 s．故选A.
4．1　解析：∵矩形ABCD的长为6，宽为4，∴矩形ABCD的面积为6×4＝24.∵矩形ABCD向右平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，∴重合部分是一个矩形，它的长为6－2＝4，宽为4－m，∴重合部分的面积为4×(4－m).∵重合部分的面积为矩形ABCD面积的一半，∴重合部分的面积为×24＝12，∴4×(4－m)＝12，解得m＝1.
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BF＝DE，∴OB＋BF＝OD＋DE，
即OF＝OE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)BD＝EF.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
∵∠EOC＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，OD＝CD，
∵CE⊥CA，∴∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠OCD＝30°，
∠OEC＝90°－∠EOC＝30°，
∴∠DCE＝∠OEC，∴CD＝DE，
∴OD＝DE＝OB＝BF，
∴BD＝EF.
6．解：(1)选择不唯一，如选题图1.
理由：如图1，连结DN.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，∠BCD＝90°.
又∵∠DON＝90°，
即ON⊥BD，∴BN＝DN.
∵∠BCD＝90°，∴DN2＝CD2＋CN2，
∴BN2＝CD2＋CN2.
　
(2)BN2＋DM2＝CM2＋CN2.
理由：如图2，延长NO交AD于点P，
连结PM、MN.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO.
在△BON和△DOP中，
∴△BON≌△DOP(AAS)，
∴ON＝OP，BN＝DP.
又∵∠MON＝90°，
即OM⊥PN，
∴PM＝MN.
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴PM2＝DP2＋DM2，MN2＝CM2＋CN2，
∴DP2＋DM2＝CM2＋CN2，
∴BN2＋DM2＝CM2＋CN2.第2课时　菱形性质的运用
知识点 菱形性质的运用
1.如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，则小路BD的长为(　　)
A．40 m B．4 m
C．20 m D．2 m
2．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠ABC＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠AOE的度数为(　　)
A．15° B．30° C．25° D．20°
3．(2025云南中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是________．
4.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，C村庄的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B、D.已知四边形OBCD是菱形，C村庄到公路l1的距离为4 km，则C村庄到公路l2的距离是________ km.
5．如图1是一种彭罗斯瓷砖的图案，它是由两种不同的菱形非周期性拼接而成(不重叠、无缝隙)，图2是其中一部分抽象出的几何图形，图中的∠α＝________°.
6．如图，菱形ABCD的边长为5，以菱形ABCD的对称中心为原点O，平行于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，已知A(－1，2)，点D在双曲线y＝上．
(1)写出点B、D的坐标，并求双曲线的表达式．
(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由．
7．(教材变式)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P、Q分别是边BC、线段OD上的点，连结AP、QP，AP与OB相交于点E.
(1)如图1，连结QA，当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由．
(2)如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，求证：PB＝PC.
1．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是BC、OB、OC的中点，则四边形EFOG的面积为(　　)
A．S B．S C．S D．S
2．如图，在菱形ABCD中，正三角形AEF的两个顶点分别在边BC、CD上，且AB＝AE，则∠B＝(　　)
A．85° B．80° C．75° D．70°
3．(传统文化)如图，以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为16 cm、12 cm，则它的两条对边间的距离为(　　)
A．9.6 cm B．10.8 cm
C．12 cm D．4.8 cm
4．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，O为其对称中心，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若∠ABC＝60°，则阴影部分的面积为________．
5．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD，伞骨连结点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着伞柄AP滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨连结点B、D的距离都等于AP的一半，若夹角∠BAD＝2∠BOD，求∠BCD的度数．
6．(几何直观)如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交BC于点E，交直线DC于点F，下面是两位同学的对话．
(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明．
(2)在(1)的条件下，如图2，若∠BAD＝60°，四边形CEGF是菱形，分别连结DB、DG，求∠BDG的度数．
【详解答案】
基础达标
1．D　2.D　3.15　4.4　5.36
6．解：(1)由题意可得B(－4，－2)，
D(4，2).
把D(4，2)代入y＝得2＝，
解得k＝8，
所以双曲线的表达式为y＝.
(2)点B在双曲线上．
理由：把x＝－4代入双曲线表达式得y＝＝－2，
所以B(－4，－2)在双曲线上．
7．解：(1)点Q在线段PC的垂直平分线上．
理由：如图，连结QC.
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∴QA＝QC，
∵QA＝QP，
∴QC＝QP，
∴点Q在线段PC的垂直平分线上．
(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB.
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD.
∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP＋∠ABP＝90°，∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵∠APB＝90°，
∴PB＝PC.
能力提升
1．B　解析：如图所示，连结OE，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，又∵E是BC的中点，∴OE＝BE＝CE，又∵F、G分别是BO、CO的中点，∴EF∥OC，EG∥OB，∴EF⊥OB，EG⊥OC，∴∠EFO＝∠FOG＝∠EGO＝90°，∴四边形EFOG是矩形，∵菱形ABCD的面积为S，∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S.故选B.
2．B　解析：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B，AB＝AD，AD∥BC，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，∴AD＝AF，∴∠D＝∠AFD，∴∠B＝∠AEB＝∠D＝∠AFD，∴∠BAE＝∠DAF，设∠B＝x，则∠DAF＝∠BAE＝180°－2x，∴∠DAE＝60°＋180°－2x＝240°－2x，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，∴x＝240°－2x，解得x＝80°，∴∠B＝80°.故选B.
3．A　解析：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，AC＝16 cm，BD＝12 cm，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC＝8 cm，BE＝DE＝BD＝6 cm，∴∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝10(cm)，设菱形ABCD两条对边间的距离为h cm，∵S菱形ABCD＝AB·h＝AC·BD，∴10h＝×16×12，解得h＝9.6，∴它的两条对边间的距离为9.6 cm.故选A.
4．2　解析：如图，连结AC、BD.
∵O是菱形ABCD的对称中心，∴O是AC、BD的交点，且AC⊥BD，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠ABO＝∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝4，∴OA＝OC＝AC＝2，OB＝＝，∴S△CBD＝×2OB×OC＝×2×2＝2，设过点O的三条直线与菱形ABCD的各边分别交于点E、F、G、H、P、Q，∵AB∥CD，∴∠OBE＝∠ODH，∠OEB＝∠OHD，∵OB＝OD，∴△OBE≌△ODH(AAS)，∴S△OBE＝S△ODH，∵AD∥BC，∴∠OAQ＝∠OCG，∠OQA＝∠OGC，∵OA＝OC，∴△OAQ≌△OCG(AAS)，∴OQ＝OG，∵AD∥BC，∴∠OPQ＝∠OFG，∠OQP＝∠OGF，∴△OPQ≌△OFG(AAS)，∴S△OPQ＝S△OFG，∴S阴影＝S△OBE＋S△OBF＋S△OPQ＋S四边形OGCH＝S△ODH＋S△OBF＋S△OFG＋S四边形OGCH＝S△CBD＝2.
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAO＝∠DAO，∠BCD＝∠BAD，
∵O是AP的中点，
∴OA＝PA，
∵OB＝OD＝AP，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠OBA＝∠OAB，∠ODA＝∠OAD，
∵∠BAD＝2∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAO，
∵∠BAD＋∠OBA＋∠BOD＋∠ODA＝360°，
∴5∠OAB＝360°，
∴∠OAB＝72°，
∴∠BAD＝2∠OAB＝144°，
∴∠BCD＝144°.
6．解：(1)选小丽．
证明：∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
选小杭．
证明：∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(答案不唯一，任选其一即可)
(2)如图，分别连结GB、GC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，AD∥BC，
∴∠ECF＝120°，∠ABC＝180°－∠BAD＝120°，
∵AB＝BE，
∴DC＝BE，∠BAE＝∠BEA＝30°，
∵四边形CEGF是菱形，
∴CE＝CF＝EG，CF∥EG，
∴∠CEF＝∠BEA＝∠CFE＝30°，∠CEG＝∠BCD＝60°，
∴△ECG为等边三角形，
∴∠EGC＝∠ECG＝60°，EG＝CG，
∴∠DCG＝∠BCD＋∠ECG＝120°，
∵∠CEG＝60°，四边形CEGF是菱形，
∴∠GEF＝∠CEG＝30°，
∴∠BEG＝180°－∠AEB－∠GEF＝120°，
∴∠BEG＝∠DCG，
在△BEG和△DCG中，
∴△BEG≌△DCG(SAS)，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠BGE＋∠DGE＝∠DGC＋∠DGE＝∠EGC＝60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°.18.3　正方形
　正方形的性质
1．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连结DE、EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是(　　)
A． B．2＋ C．4－ D．
2．如图，已知AB、BC、CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n的值为(　　)
A．12 B．10 C．8 D．6
3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连结OE.若AB＝2，则OE的长为________．
4．(长沙中考)如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形．
(2)连结EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．
　正方形的判定
5．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(　　)
A．(1)处可填∠A＝90°
B．(2)处可填AD＝AB
C．(3)处可填DC＝CB
D．(4)处可填∠B＝∠D
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，请添加一个条件：________，使得菱形ABCD为正方形．
7．如图，菱形BDEF的对角线BE、DF相交于点A，过点B作BC∥DF，过点D作CD∥BE，BC、CD相交于点C.
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)当∠DEF＝90°时，求证：四边形ABCD是正方形．
1．(教材变式)如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是AD的中点，连结CE，CE的垂线分别交AB、CD于点P、Q，则PQ的长是(　　)
A． B． C．10 D．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，不能确定平行四边形ABCD为正方形的是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF，若EF＝，则正方形ABCD的边长为________.
4．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．
5．(浙江中考)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
6．(几何直观)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，CD＝AD，CD⊥AD，AB＝6，点E、F分别在AB、AD上．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)若CE＝3，且∠ECF＝45°，求CF的长．
【详解答案】
基础达标
1．A　2.A　3.1
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝DF，
∴AB－BE＝CD－DF，
即AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：
∴∠EHC＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，
∴四边形EBCH是矩形，
∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，
∴DH＝CD－CH＝12－5＝7，
∵BE＝DF＝5，
∴HF＝DH－DF＝7－5＝2，
在Rt△EFH中，由勾股定理得EF＝＝＝.
5．D　6.AC＝BD(答案不唯一)
7．证明：(1)∵菱形BDEF的对角线BE、DF交于点A，BC∥DF，CD∥BE，
∴DF⊥BE，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)∵四边形BDEF是菱形，∠DEF＝90°，∴四边形BDEF是正方形，
∴AD＝DF，AB＝BE，DF＝BE，
∴AB＝AD，
由(1)知四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
能力提升
1．D　解析：过点P作PF⊥CD于点F，如图：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝CD＝AD＝8，∵PF⊥CD，∴∠PFC＝90°，∴四边形PBCF是矩形，∴PF＝BC＝CD，∠PFQ＝90°＝∠D，∵CE⊥PQ，∴∠DCE＝90°－∠PQF＝∠QPF，在△FPQ和△DCE中，
∴△FPQ≌△DCE(ASA)，∴PQ＝CE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝，∴PQ＝CE＝.故选D.
2．B　解析：A.由①得平行四边形ABCD是菱形，由②得平行四边形ABCD是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；B.由②得平行四边形ABCD是矩形，由③得平行四边形ABCD是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故本选项符合题意；C.由①得平行四边形ABCD是菱形，由③得平行四边形ABCD是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；D.由②得平行四边形ABCD是矩形，由④得平行四边形ABCD是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意．故选B.
3．2　解析：∵E为AB的中点，∴设AE＝BE＝a，则AB＝2a，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB＝2a，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，∵DF⊥DE交BC的延长线于点F，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∠A＝∠DCF＝90°，∴∠ADC－∠EDC＝∠EDF－∠EDC，即∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF＝a，∴BF＝BC＋CF＝3a，在Rt△BEF中，EF＝，由勾股定理得EF＝＝＝a，∴＝a，∴a＝1，∴AB＝2a＝2，即正方形ABCD的边长为2.
4．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴OE⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)由(1)得∠AOE＝90°，
∴∠AEB＋∠EAO＝90°.
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO＝60°，
∴∠AEB＝30°.
∵∠AEB＝2∠EAB，
∴∠EAB＝15°，
∴∠BAO＝∠EAO－∠EAB＝60°－15°＝45°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠BAO＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
6．解：(1)证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵CD＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
(2)∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴CB＝CD＝AD＝AB＝6，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵CE＝3，
∴BE＝＝
＝3，
∴AE＝AB－BE＝6－3＝3，
如图，将△CDF绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连结EF，则BH＝DF，CH＝CF，∠BCH＝∠DCF，
∵点E、F分别在AB、AD上，∠ECF＝45°，
∴∠ECH＝∠BCE＋∠BCH＝∠BCE＋∠DCF＝∠BCD－∠ECF＝45°，
∴∠ECH＝∠ECF，
∵∠CBH＝∠D＝90°，
∴∠ABC＋∠CBH＝180°，
∴E、B、H三点在同一条直线上，
在△ECH和△ECF中，
∴△ECH≌△ECF(SAS)，
∴EH＝EF，
∵EH＝BH＋BE＝DF＋BE，
∴EF＝DF＋3，
∵AE2＋AF2＝EF2，且AF＝6－DF，
∴32＋(6－DF)2＝(DF＋3)2，
解得DF＝2，
∴CF＝＝＝，
∴CF的长为.第2课时　菱形的判定(二)
判定定理2：对角线互相垂直的平行,四边形是菱形
1．下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是(　　)
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C
C．AC＝BD D．AC⊥BD
2．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
3.(开放题)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，BO＝DO，请你添加一个条件：________，使四边形ABCD是菱形．
4．(教材变式)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.
求证：四边形AECF是菱形．
1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是(　　)
2．下列条件中，能判定四边形为菱形的是(　　)
A．对角线互相垂直
B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直且平分
D．对角线互相垂直且平分一组对角
3．如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连结点A、E、C、F.
(1)求证：四边形AECF是菱形．
(2)若EA＝2，∠EAC＝30°，求四边形AECF的面积．
4．(几何直观)在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形AOB，其中∠AOB＝90°；
②延长AO至点C，使CO＝AO，延长BO至点D，使DO＝BO；
③连结BC、CD、AD，形成四边形ABCD.
请根据上述步骤，解答以下问题：
(1)判断四边形ABCD是否为菱形，并说明理由．
(2)若AC＝8，AB＝5，求点C到AB的距离．
【详解答案】
基础达标
1．D　2.B　3.AC⊥BD(答案不唯一)
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝BF，∴AD－DE＝BC－BF，
即AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．
能力提升
1．C　解析：A.32＋42＝52，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相垂直，四边形的对角线又互相平分，判定四边形是菱形，故A不符合题意；B.四边形的四条边相等，判定四边形是菱形，故B不符合题意；C.四边形的对角线互相平分，只能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是菱形，故C符合题意；D.由同旁内角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又相等，判定四边形是菱形，故D不符合题意．故选C.
2．C　解析：A.对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故不符合题意；B.对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，故不符合题意；C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故符合题意；D.对角线互相垂直且平分一组对角的四边形不一定是菱形，故不符合题意．故选C.
3．解：(1)证明：∵AB＝CB，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∵DE＝DF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
(2)由(1)得四边形AECF是菱形，
∴AE＝AF，DE＝DF，
∵∠EAC＝30°，
∴∠EAF＝2×30°＝60°，
∴△EAF为等边三角形，∴EF＝EA＝2，
∴DE＝EF＝1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得AD＝＝，
∴AC＝2，
∴四边形AECF的面积为×2×2＝2.
4．解：(1)四边形ABCD是菱形．理由如下：
根据题意得OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵AC＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵∠AOB＝90°，AB＝5，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得OB＝＝3，
∵OB＝OD，
∴BD＝2OB＝6，
设点C到AB的距离为h，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC·BD＝AB·h，
∴×8×6＝5×h.
解得h＝，
∴点C到AB的距离为.第2课时　矩形判定的运用
知识点 矩形判定的运用
1．工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．两点之间线段最短
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．两点确定一条直线
2．学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形(　　)
A．嘉嘉能，淇淇不能
B．淇淇能，嘉嘉不能
C．他俩都能
D．他俩都不能
3．(开放题)如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可判定四边形AEFD是矩形，这个条件可以是________．(写出一个即可)
4．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，E为线段CD的中点，延长BE与AD的延长线交于点F，连结CF，∠BDF＝90°.
求证：四边形CBDF是矩形．
1．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB、BC、CD的长分别为2、2、4，则∠BAD的度数为(　　)
A．120° B．135°
C．150° D．以上都不对
2．(开放题)如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是________．(写出一个即可)
3.如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，点E在边CD上，且CE＝5，过点E的面积等分线与平行四边形的另一边交于点F，那么线段EF的长为________．
4．(推理能力)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使AB＝BE，连结DB、DE和CE，且AD＝DE.
(1)求证：四边形BDCE是矩形．
(2)已知S△ADE＝12，DE＝5，求矩形BDCE的周长．
【详解答案】
基础达标
1．C　2.C　3.BE＝CF(答案不唯一)
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∵∠CEB＝∠DEF，
∴△BCE≌△FDE(AAS)，
∴EF＝EB，
∴四边形CBDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°，
∴四边形CBDF是矩形．
能力提升
1.
B　解析：过点A作AE⊥CD于点E，如图，∵AB⊥BC，AB∥DC，∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠AEC＝90°，∴四边形ABCE是矩形，
∴AB＝CE＝2，AE＝BC＝2，∠BAE＝90°，∵CD＝4，
∴DE＝2，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠D＝45°，∴∠BAD＝90°＋45°＝135°.故选B.
2．AC⊥BD(答案不唯一)　解析：原四边形ABCD需满足的条件是AC⊥BD，∵BD∥EF，BD∥GH，∴EF∥GH，同理EH∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥AC，∵EH∥AC，∴EF⊥EH，∴∠E＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
3.　解析：如图，过点D作DO⊥AB于点O，过点E作EG⊥AB于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝45°，∴AO＝DO＝2，CD＝AB＝6，AB∥DC，∴DE＝CD－CE＝6－5＝1，
∴×(1＋AF)×2＝×6×2，解得AF＝5，由作图及AB∥DC可知∠EDO＝∠DOG＝∠OGE＝90°，∴四边形DOGE是矩形，∴OG＝DE＝1，∴GF＝5－2－1＝2，在直角三角形GEF中，由勾股定理得EF＝＝.
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∴BE∥CD，
∵AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵AD＝DE，AD＝BC，
∴DE＝BC，
∴四边形BDCE是矩形．
(2)设AB＝BE＝a，BD＝b，
∴AE＝AB＋BE＝2a，
∴矩形BDCE的周长为2(BE＋BD)＝2(a＋b)，
∵S△ADE＝12，
∴AE·BD＝12，
∴×2ab＝12，
∴ab＝12，
∵四边形BDCE是矩形，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，DE＝5，
由勾股定理得BE2＋BD2＝DE2，
∴a2＋b2＝25，
∴a2＋b2＋2ab＝25＋2ab，
∴(a＋b)2＝25＋24＝49，
∴a＋b＝7或a＋b＝－7(不合题意，舍去)，
∴2(a＋b)＝14，
即矩形BDCE的周长是14.18.2　菱形
1．菱形的性质
第1课时　菱形的性质
　菱形的定义及对称性
1．如图，四边形ABCD是菱形(∠B≠90°)，直线l是菱形ABCD的一条对称轴，点E、F、G分别是边AB、CD、AD的中点，则点E关于直线l的对称点是(　　)
A．点C B．点D C．点F D．点G
2．(开放题)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，根据菱形的定义，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是______________．(写出一个即可)
　性质定理1：菱形的四条边都相等
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周长为________．
4．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，BE＝DF，连结EA、FA.
求证：EA＝FA.
　性质定理2：菱形的对角线互相垂直
5．将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数－2，点C表示数6.若BD的长为6，则该菱形的边长为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝ cm，BD＝2 cm，则AC的长为________cm.
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为边AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠DAB的度数．
(2)如果AC＝4，求菱形ABCD的面积．
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连结OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为(　　)
A．12 B．10 C．6 D．24
2．如图，菱形ABCD的周长为52，对角线AC的长为10，E是线段CD上一点，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，则线段EF的长为(　　)
A． B．8 C． D．10
3．若边长是6的菱形有一个内角为120°，则这个菱形的面积是________．
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，且DE∥AC，AE∥BD.
(1)试判断四边形ODEA的形状，并说明理由．
(2)连结OE，求OE的长．
5．如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，点M在BC上，点N在AC上，且MN＝BN.
(1)如图1，若AC、BD相交于点O，点N恰好与点O重合，求∠DMN的度数．
(2)如图2，当点N在AC上运动时，∠DMN的度数会发生变化吗？请说明理由．
微专题7 含60°角的菱形
由菱形的性质：“四条边都相等，对角线互相垂直”可以得到菱形的每一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，当菱形有一个内角为60°(或120°)时，菱形较短的对角线把菱形分成两个全等的等边三角形．
1.已知菱形ABCD的周长是8，∠A＝60°，则较短对角线的长为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
2．如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点E、F分别在边BC、CD上，连结EF、AE、AF.若∠EAF＝60°，AB＝12，AE＝11，则△ECF的周长为________．
　　
3．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB的中点，点F是AC上一动点，则EF＋BF的最小值为________．(提示：根据轴对称的性质)
【详解答案】
基础达标
1．D　2.AB＝AD(答案不唯一)　3.8
4．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴EA＝FA.
5．A　6.4
7．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵E为边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴BD＝AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°.
(2)∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝4，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD，
∴∠AOB＝90°，
∵AB＝BD＝2OB，
∴OA＝＝＝OB＝2，
∴OB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8.
能力提升
1．A　解析：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB于点H，OH＝2，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH＝4，∵OA＝3，∴AC＝2OA＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12.故选A.
2．A　解析：连结BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的周长为52，对角线AC的长为10，∴AB＝×52＝13，AB∥CD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB＝＝＝12，则BD＝2OB＝24，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴EF是菱形AB边上的高，∴S菱形ABCD＝BD·AC＝AB·EF，∴×24×10＝13EF，解得EF＝.故选A.
3．6　解析：如图，设这个菱形是菱形ABCD，∠BAD＝120°，
∴AD∥BC，AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝6，∠AOB＝90°，∴AO＝AC＝3，∴BO＝＝，∴BD＝2BO＝2，∴这个菱形的面积＝×6×2＝6.
4．解：(1)四边形ODEA是矩形．
理由如下：
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ODEA是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形ODEA是矩形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC，OD＝BD，
∵AC＝12，BD＝16，
∴AO＝6，OD＝8，
∵∠AOD＝90°，
∴AD＝＝10，
∵四边形ODEA是矩形，
∴OE＝AD＝10.
5．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，OB＝OD，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°，
∵MN＝BN，
∴△BMN是等边三角形，
∴∠BNM＝60°，
∴∠DNM＝180°－∠BNM＝120°，
又∵MN＝BN，BN＝DN，
∴DN＝MN，
∴∠DMN＝(180°－∠DNM)＝×(180°－120°)＝30°.
(2)当点N在AC上运动时，∠DMN的度数不发生变化，始终等于30°.
理由如下：
连结BD交AC于点O，连结DN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴BN＝DN，
∴设∠NBO＝∠NDO＝α，
由(1)可知△BCD是等边三角形，
∠DBC＝60°，
依题意有以下两种情况：
①当点N在线段OA上时，如图所示：
∴∠NBM＝∠DBC＋∠NBO＝60°＋α，
∵MN＝BN，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°＋α，
在△NBM中，∠BNM＋∠NMB＋∠NBM＝180°，
∴∠BNM＋60°＋α＋60°＋α＝180°，
∴∠BNM＝60°－2α，
∵AC⊥BD，∠NBO＝∠NDO＝α，
∴∠BNO＝∠DNO＝90°－α，
∴∠MNO＝∠BNO－∠BNM＝90°－α－(60°－2α)＝30°＋α，
∴∠MND＝∠MNO＋∠DNO＝30°＋α＋90°－α＝120°，
∵BN＝DN，MN＝BN，
∴MN＝DN，
∴∠DMN＝(180°－∠MND)＝×(180°－120°)＝30°；
②当点N在线段OC上时，如图所示：
∴∠NBM＝∠DBC－∠NBO＝60°－α，
∵MN＝BN，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°－α，
在△NBM中，∠BNM＋∠NMB＋∠NBM＝180°，
∴∠BNM＋60°－α＋60°－α＝180°，
∴∠BNM＝60°＋2α，
∵AC⊥BD，∠NBO＝∠NDO＝α，
∴∠BNO＝∠DNO＝90°－α，
∴∠MNC＝180°－(∠BNO＋∠BNM)＝180°－(90°－α＋60°＋2α)＝30°－α，
∵∠CND＝180°－∠DNO＝180°－(90°－α)＝90°＋α，
∴∠MND＝∠MNC＋∠CND＝30°－α＋90°＋α＝120°，
∵BN＝DN，MN＝BN，
∴MN＝DN，
∴∠DMN＝(180°－∠MND)＝×(180°－120°)＝30°.
综上所述，当点N在AC上运动时，∠DMN的度数不发生变化，始终等于30°.
微专题7
1.
C　解析：如图，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝＝2，∴较短对角线的长为2.故选C.
2．23　解析：连结AC，如图．
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝12，∴∠D＋∠BCD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠D＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠DAC＝∠ACD＝60°，AC＝AD，∵∠EAF＝60°，∴∠DAC＝∠EAF，∴∠DAF＝∠CAE，∵∠ACE＝∠BCD－∠ACD＝60°，∴∠D＝∠ACE，∴△ADF≌△ACE(ASA)，∴AF＝AE，DF＝CE，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF＝AE＝11，∴△ECF的周长＝CE＋CF＋EF＝DF＋CF＋EF＝CD＋EF＝12＋11＝23.
3.　解析：如图，连结DB、DE，设DE交AC于点M，连结MB、DF，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC、BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为点D，∴FD＝FB，∴FE＋FB＝FE＋FD≥DE，只有当点F运动到点M时，取等号(两点之间线段最短)，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，AE＝AB＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＋BF的最小值为.专题训练十　与正方形有关的几个常考模型
模型1 正方形中相交垂线段问题
1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、AB的中点，连结BE、CF，BE与CF相交于点O.
(1)如图1，求证：CF⊥BE.
(2)如图2，已知G、H分别是BE、CF的中点，AB＝4，求GH的长．
2．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、DC上，BE⊥AF于点G，已知GC＝CB.
(1)求证：F为CD的中点．
(2)连结DG，求证：DG平分∠EGF.
模型2 正方形中过对角线交点的直角问题
3．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E、F分别在AB、BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE与DA的延长线交于点M，OF与AB的延长线交于点N，连结MN.
(1)求证：AM＝BN.
(2)若正方形ABCD的边长为2，E为OM的中点，求MN的长．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线BD的中点，点E为AD边上的动点，点F在CD边上，连结OE、OF，OE⊥OF.
(1)求证：OE＝OF.
(2)当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由．
模型3正方形中的“角平分线＋垂直”模型
5．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，连结DE，过点E作DE的垂线，交正方形外角的平分线于点F.
求证：(1)∠FEB＝∠EDC.
(2)EF＝DE.
6．阅读下面的例题及点拨，并解决问题．
例题：如图1，在等边三角形ABC中，M是BC边上一点(不含端点B、C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN.求证：∠AMN＝60°.
(1)点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边三角形BEC，连结EM.易证△ABM≌△EBM(SAS)，请完成剩余证明过程．
(2)拓展：如图3，在正方形ABCD中，M是BC边上一点(不含端点B、C)，N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，且AM＝MN.求证：∠AMN＝90°.
模型4 正方形中的半角模型
7．如图，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，点E在CB的延长线上，连结AE，BE＝DN.
(1)求证：AE＝AN.
(2)若CM＝3，CN＝4，求EM的长．
8．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D.
小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为点E、F，延长EB、FC相交于点G.
请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
(1)求证：四边形AEGF是正方形．
(2)若AD＝6，BD＝2，求CD的长．
【详解答案】
1．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠EAB＝∠FBC＝∠BCD＝∠D＝90°.
∵E、F分别是边AD、AB的中点，
∴AE＝BF.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠ABE＋∠OBC＝90°，
∴∠OBC＋∠BCF＝90°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠BCF)＝90°，
∴CF⊥BE.
(2)连结BH并延长交CD于点P，连结EP，如图：
∵在Rt△CBF中，H是CF的中点，
∴BH＝CH＝HF，
∴∠BCF＝∠CBP，
∵BC＝CB，∠FBC＝∠PCB＝90°，
∴△FBC≌△PCB(ASA)，
∴CF＝BP，CP＝BF＝AB＝CD＝DP＝2，
∴H是BP的中点，
∵G、H分别是BE、BP的中点，
∴GH是△BEP的中位线，
∴GH＝EP.
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴EP＝＝
＝4，
∴GH＝EP＝×4＝2.
2．证明：(1)如图，延长AF与BC的延长线相交于点H.
∵GC＝CB，
∴∠1＝∠2，
∵BE⊥AF，
∴∠BGH＝90°，
∴∠2＋∠H＝90°，∠1＋∠CGH＝90°，
∴∠CGH＝∠H，
∴CH＝CG，
∴CH＝CB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF＝∠HCF＝90°，
∵∠AFD＝∠HFC，
∴△ADF≌△HCF(AAS)，
∴CF＝DF，
∴F为CD的中点．
(2)如图，过点D作DM⊥AF于点M，作DN⊥BE于点N，
∴∠DNE＝∠DMF＝90°，
∵BE⊥AF，
∴∠BGA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∴∠ABG＝90°－∠BAG＝∠DAF，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴AE＝DF，
∵AD＝CD，
∴DE＝CF，
∴DE＝DF，
∵AD∥BC，
∴∠EAG＝∠H，
∵∠AGE＝∠FCH＝90°，
∴∠AEG＝∠CFH，
∴∠NED＝∠DFM，
∴△DEN≌△DFM(AAS)，
∴DN＝DM.
∴DG平分∠EGF.
3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠MAB＝∠NBC＝90°，
∴∠OAM＝∠MAB＋∠OAB＝135°，∠OBN＝∠NBC＋∠OBC＝135°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠AOB－∠EOB＝∠EOF－∠EOB，
即∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON(ASA)，
∴AM＝BN.
(2)过点O作OH⊥AB于点H，作OK⊥AD于点K，如图所示：
∴∠OHA＝∠OKA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴AB＝AD＝2，OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴△OAB和△OAD都是等腰直角三角形，
∴OH＝AH＝BH＝AB＝1，OK＝AK＝DK＝AD＝1，
∴OH＝AH＝AK＝OK＝1，
∵E为OM的中点，
∴OE＝ME，
在△OHE和△MAE中，
∴△OHE≌△MAE(AAS).
∴AM＝OH＝1，
∴MK＝AM＋AK＝2，
在Rt△OKM中，由勾股定理得OM＝＝＝，
由(1)可知△AOM≌△BON，
∴OM＝ON＝，
在Rt△MON中，由勾股定理得MN＝＝＝.
4．解：(1)证明：过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥CD于点N，如图所示：
∴∠OMD＝∠OME＝∠ONF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ADB＝45°，∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠OMD＝∠ADC＝∠ONF＝90°，
∴四边形OMDN是矩形，
∵∠OMD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△OMD是等腰直角三角形，
∴OM＝DM，
∴四边形OMDN是正方形，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝∠MON＝90°，
∴∠EOF－∠MOF＝∠MON－∠MOF，
即∠EOM＝∠FON，
在△EOM和△FON中，
∴△EOM≌△FON(ASA)，
∴OE＝OF.
(2)当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积不会发生变化．
∵∠ONF＝∠C＝90°，
∴ON∥BC，
∵点O为对角线BD的中点，
∴ON是△DBC的中位线，
∴ON＝BC＝2，
∴正方形OMDN的面积为4，
由(1)可知△EOM≌△FON，
∴S△EOM＝S△FON，
∴S四边形OEDF＝S△EOM＋S四边形OMDF＝S△FON＋S四边形OMDF＝S正方形OMDN＝4.
5．证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ABC＝∠C＝90°，
在Rt△CDE中，∠EDC＋∠DEC＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠FEB＋∠DEC＝90°，
∴∠FEB＝∠EDC.
(2)在CD上截取CH＝CE，连结EH，如图所示：
∵∠C＝90°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠CHE＝45°，
∴∠DHE＝180°－∠CHE＝135°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP＝90°.
∵BF是正方形外角∠ABP的平分线，
∴∠ABF＝∠ABP＝45°，
∴∠EBF＝∠ABC＋∠ABF＝135°，
∴∠EBF＝∠DHE＝135°，
∵BC＝DC，CH＝CE，
∴BC－CE＝DC－CH，
即BE＝HD，
在△BEF和△HDE中，
∴△BEF≌△HDE(ASA)，
∴EF＝DE.
6．证明：(1)点拨：易证△ABM≌△EBM(SAS)，
∴AM＝EM，∠1＝∠2，
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4，
∵N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，∴∠NCH＝60°，
∵∠3＋∠1＝60°，∠4＋∠5＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠5.
∵∠2＋∠6＝180°－∠ABC＝120°，
∴∠5＋∠6＝120°，
∴∠AMN＝180°－(∠5＋∠6)＝60°.
(2)拓展：延长AB至点E，使EB＝AB，连结EM、EC，如图所示：
则EB＝BC，∠EBM＝90°＝∠ABM，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°，
∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，
∴∠MCN＝90°＋45°＝135°，
∴∠BCE＋∠MCN＝180°，
∴E、C、N三点在同一条直线上，
在△ABM和△EBM中，
∴△ABM≌△EBM(SAS)，
∴AM＝EM，∠1＝∠2，
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4，
∵∠2＋∠3＝45°，∠4＋∠5＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠5，
∵∠1＋∠6＝180°－∠ABC＝90°，
∴∠5＋∠6＝90°，
∴∠AMN＝180°－(∠5＋∠6)＝90°.
7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°，
在△ABE与△ADN中，
∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE＝AN.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
∵CM＝3，CN＝4，
∴MN＝＝5，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＋∠DAN＝45°，
∵△ABE≌△ADN，
∴∠BAE＝∠DAN，
∴∠BAM＋∠BAE＝∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△EAM与△NAM中，
∴△EAM≌△NAM(SAS)，
∴EM＝MN＝5.
8．解：(1)证明：根据题意得△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝∠DAB＋∠DAC＋∠EAB＋∠FAC＝2∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AD＝AE，AD＝AF，
∴AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形．
(2)设CD＝x，则BC＝x＋2.
∵AD＝6，BD＝2，四边形AEGF是正方形，
∴EG＝FG＝AE＝AD＝6，∠BGC＝90°，
∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴BD＝BE＝2，CD＝CF＝x，
∴BG＝6－2＝4，CG＝6－x，
在Rt△BGC中，根据勾股定理得BG2＋CG2＝BC2，
∴42＋(6－x)2＝(x＋2)2，
解得x＝3，
∴CD＝3.滚动练习四(18.1～18.2)
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O.若OC＝5，则BD的长为(　　)
A．2.5 B．5 C．10 D．12.5
2．已知下列四边形都是平行四边形，根据各四边形中所标识的数据，能判定该四边形是菱形的是(　　)
3．(德阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连结CD，若CD＝1，则GE＝(　　)
A．3 B．2 C．1 D．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E.若AB＝OB＝2，则EC的长为(　　)
A． B．2
C．－2 D．－1
5．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　)
A．12 B．14 C．16 D．18
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t s，下列结论：①当t＝4时，四边形ABMP为矩形；②当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形；③当CD＝PM时，t＝4或5；④当CD＝PM时，t＝4或6.其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是________．
8．(福建中考)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E、F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为________．
9．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，然后将橡皮筋两端分别固定在点A、B处，拉动橡皮筋上到点C处．当四边形OACB是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的2倍，则∠AOB＝________°.
10．如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若AC＝2BE，∠ACB＝65°，则∠E＝________．
11．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，连结BE.添加一个条件，使四边形ABEC是矩形．下列四个条件：①∠DAC＝∠EAC；②AD＝AE；③∠AFC＝2∠ABC；④AB＝AD.你认为可选择的是________．(填上所有满足条件的序号)
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O是边AB的中点，点D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，作DF⊥BC，交BC于点F，连结EF，点G是EF的中点，若AB＝12.
(1)EF的最小值为________．
(2)连结OG，当OG＝OD时，EF的长为________．
三、解答题
13．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：
①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形．
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．
14．如图，四边形ABCD和EFBG均为菱形，G为AB的中点，点F在CB的延长线上，连结DE，P为DE的中点，连结BP.AB＝2，∠C＝120°，求BP的长．
15．(贵州中考)如图，在 ABCD中，E为对角线AC上的中点，连结BE，且BE⊥AC，垂足为点E.延长BC至点F，使CF＝CE，连结EF、FD，且EF交CD于点G.
(1)求证： ABCD是菱形．
(2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积．
【详解答案】
1．C　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2OC＝2×5＝10，即BD的长为10.故选C.
2．B　解析：A.根据内错角相等，只能判定平行四边形的一组对边平行，故不符合题意；B.根据三角形的内角和定理得到另一个角等于55°，故能得到平行四边形的一组邻边相等，于是得到平行四边形是菱形，故符合题意；C.根据平行四边形的一条边等于对角线的一半，不能判定平行四边形是菱形，故不符合题意；D.平行四边形的对角线互相平分，故不能判定平行四边形是菱形，故不符合题意．故选B.
3．B　解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AB＝2CD，∵CD＝1，∴AB＝2，由平移得GE＝AB＝2.故选B.
4．C　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∵AB＝OB＝2，∴OA＝OB＝AB＝2，∴△OAB是等边三角形，∴AC＝4，∵∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，∴∠BEA＝∠BAE＝45°，∴BE＝AB＝2，∴EC＝BC－BE＝－2.故选C.
5．C　解析：设AE与BF相交于点O，连结EF，如图：
由作图可知AF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，∴∠FAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF＝AB，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB＝BF，AE＝2OA，∴∠AOB＝90°，∵BF＝12，AB＝10，∴OB＝6，∴在Rt△AOB中，OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16.故选C.
6．A　解析：根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm，∵AD＝10 cm，BC＝8 cm，∴AP＝(10－t) cm，CM＝(8－t) cm，当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即10－t＝t，解得t＝5，故①不正确；当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM，即t＝8－t，解得t＝4，故②不正确；当CD＝PM时，分两种情况：当四边形CDPM是平行四边形时，由②得t＝4，当四边形CDPM是等腰梯形时，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：
则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵MP＝CD，GM＝HC，∴Rt△MGP≌Rt△CHD(HL)，∴GP＝HD，∴AG＝AP＋GP＝cm，又∠A＝∠B＝90°，MG⊥AD，∴四边形ABMG是矩形，∴AG＝BM＝t cm，即t＝10－t＋，解得t＝6，综上可得，当CD＝PM时，t＝4或t＝6，故③不正确，④正确．∴正确的结论有1个．故选A.
7．2m　解析：根据题意可得矩形的面积是2m.
8．1　解析：∵四边形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴△DOF的面积＝△BOE的面积，∴△AOE与△DOF的面积之和＝△AOB的面积＝×2×1＝1.
9．60　解析：∵当四边形OACB是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的2倍，∴AC＝BC＝OB＝OA，AC＋BC＝2AB，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∵四边形OACB为菱形，∴∠AOB＝∠C＝60°.
10．50°　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OB＝2OC，∴∠OBC＝∠OCB＝65°，∴∠BOE＝180°－∠OBC－∠OCB＝50°，∵AC＝2BE，∴OB＝BE，∴∠E＝∠BOE＝50°.
11．①②③　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∵CE＝CD，∴CE＝AB，∴四边形ABEC是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAC，∴∠ACF＝∠EAC，∴AF＝FC，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AF＝AE，CF＝BC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形，故①符合题意；∵AD＝AE，AD＝BC，∴AE＝BC，∵四边形ABEC是平行四边形，∴四边形ABEC是矩形，故②符合题意；∵∠AFC＝2∠ABC，∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴AF＝BF，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AF＝AE，BF＝BC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形，故③符合题意；由AB＝AD不能推出四边形ABEC是矩形，故④不符合题意．∴使四边形ABEC是矩形可以选择的是①②③.
12．(1)6　(2)2　解析：(1)连结CD、OC，如图所示：
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点O是边AB的中点，AB＝12，∴OC⊥AB，OC＝AB＝6，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD，∴当CD最小时，EF最小，∵点D是AB上的动点，∴根据“垂线段最短”得：当CD⊥AB时，CD最小，∴当点D与点O重合时，CD最小，最小值为线段OC的长，即CD的最小值为6，∴EF的最小值为6.(2)∵点G是EF的中点，四边形DECF是矩形，∴CD经过点G，EF＝CD，即点G是CD的中点，∵OC⊥AB，∴OG是Rt△OCD的斜边CD的中线，∴OG＝CG＝DG.当OG＝OD时，OG＝OD＝DG＝CG，∴CD＝2OD，在Rt△OCD中，由勾股定理得CD2－OD2＝OC2，∴4OD2－OD2＝36，∴OD＝，∴EF＝CD＝2.
13．解：(1)选择①.证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
选择②.证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(答案不唯一，任选其一即可)
(2)∵AB＝3，AC＝5，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝4，
∴四边形ABCD的面积＝AB·BC＝3×4＝12.
14．解：如图，连结BD、BE、AC，设AC交BD于点O，
∵四边形ABCD和EFBG均为菱形，
∴∠ABD＝∠ABC，∠ABE＝∠ABF，CD＝BC＝AB＝2，
∴∠DBE＝∠ABC＋∠ABF＝×180°＝90°.
∵∠C＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝2，∴CO＝AC＝1，
∴BO＝＝＝，
∴BD＝2BO＝2.
同理△BEG为等边三角形，∴BE＝BG，
∵G为AB的中点，
∴BE＝BG＝AB＝1，
∴DE＝＝，
∵P为DE的中点，
∴BP＝DE＝.
15．解：(1)证明：∵E为对角线AC上的中点，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AB＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形．
(2)∵BE＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∵CF＝CE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠BCE＝∠CEF＋∠CFE＝2∠CFE＝2∠EBF，
∵∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝30°，∠BCA＝60°，
∴∠BCD＝2∠BCA＝120°，
∴∠DCF＝180°－120°＝60°，
∴∠BCE＝∠DCF，
∵BC＝CD，CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∵AB＝BC，∠BCA＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BE⊥AC，∴BC＝AC＝2CE，
∴BE＝＝EC＝4，
∴S△BCE＝CE·BE＝×4×4＝8.
∴S△DCF＝S△BCE＝8.第3课时　直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线定理
1．如图，将直角三角形ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7(单位：cm)，则CD的长为(　　)
A．3 cm B．3.5 cm C．4 cm D．4.5 cm
2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，BC＝6，则AC的长是(　　)
A．8 B．10 C．12 D．13
3．(陕西中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
直角三角形斜边上的中线定理的逆定理
4．下列三角形中，不一定是直角三角形的是(　　)
A．三角形中有一边的中线等于这边的一半
B．三角形三内角度数之比是1∶2∶3
C．三角形有一内角是30°，且有一边是另一边的一半
D．三角形三边分别是m2－n2，2mn，m2＋n2(m＞n＞0)
5．“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”这一命题是________(填“真”或“假”)命题．
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连结BE、BF、EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为(　　)
A．14° B．16° C．18° D．20°
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是(　　)
A．∠ACD＝∠ABC B．∠ACD＝∠BCE
C．∠BEC＝2∠ACE D．∠BCD＝∠DCE
3．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是________．
4．(推理能力)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为斜边在左侧作直角三角形ADC，使∠ADC＝90°，连结BD，取AC、BD的中点分别为E、F，连结EF，若AC＝10，BD＝8.
(1)求证：EF⊥BD.
(2)求EF的长．
【详解答案】
基础达标
1．A　2.A　3.C　4.C　5.真
能力提升
1．B　解析：∵∠ABC＝90°，点E为AC的中点，∴EB＝EC＝AC，∴∠ECB＝∠EBC＝50°，∵∠AEB是△EBC的一个外角，∴∠AEB＝∠EBC＋∠ECB＝100°，∵∠AFC＝90°，点E为AC的中点，∴EF＝EC＝AC，∴∠EFC＝∠ECF＝24°，∵∠AEF是△ECF的一个外角，∴∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝48°，∴∠BEF＝∠AEB＋∠AEF＝148°，∵BE＝AC，EF＝AC，∴BE＝EF，∴∠EFB＝∠EBF＝＝16°.故选B.
2．D　解析：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，故A选项一定成立，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，∴CE＝BE＝AE＝AB，∴∠ABC＝∠BCE，由A选项可知∠ACD＝∠ABC，∴∠ACD＝∠BCE，故B选项一定成立，不符合题意；∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC＝∠A＋∠ACE，由B选项可知AE＝EC，∴∠A＝∠ACE，∴∠BEC＝2∠ACE，故C选项一定成立，不符合题意；当∠ABC＝60°时，△BCE是等边三角形，∵CD⊥BE，∴CD平分∠BCE，则有∠BCD＝∠DCE，若∠ABC≠60°，则∠BCD＝∠DCE不成立，故D选项不一定成立，符合题意．故选D.
3．30　解析：∵直角三角形斜边上的中线是6，∴斜边长为2×6＝12，∴它的面积＝×12×5＝30.
4．解：(1)证明：连结BE、DE，如图：
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE，
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD.
(2)∵点E是AC的中点，点F是BD的中点，AC＝10，BD＝8，
∴BE＝AC＝5，BF＝BD＝4，
在Rt△BEF中，EF＝＝＝3.专题训练十一　“等面积法”在特殊四边形中的应用
类型1平行四边形中的“等面积法”
1．如图，平行四边形ABCD的边CD长4 cm，CD边上的高AF长为4 cm，边BC长5 cm，那么高AH长________cm.
2．若平行四边形的两邻边长分别4和5，两条较短边之间的距离为3，则两条较长边之间的距离为________．
3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若图中阴影部分的面积为3 cm2，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为________ cm.
类型2矩形中的“等面积法”
4．如图，矩形ABCD的面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E、F.若AC＝10，则PE＋PF＝(　　)
A．4 B．2.5 C．5 D．10
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为点E，设DP＝x，AE＝y，则y与x之间的函数关系式是________．
类型3菱形中的“等面积法”
6．如图，在菱形ABCD中，AC＝6 cm，BD＝8 cm，AE为BC边上的高，则AE的长为(　　)
A． cm B．6 cm
C．3 cm D．5 cm
7．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是点F和E.若菱形ABCD的周长是24 cm，面积是12 cm2，则PE＋PF的值是________ cm.
类型4正方形中的“等面积法”
8．如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点，两个正方形的边长相等，若正方形ABCD的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为(　　)
A．16 B．8 C．4 D．1
9．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连结AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的点G，并使折痕经过点B，折痕BF与AE相交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为________．
【详解答案】
1.　解析：∵AF⊥DC，∴ ABCD的面积＝DC·AF＝16 cm2，又∵AH⊥BC，∴ ABCD的面积＝BC·AH＝16 cm2，∵BC＝5 cm，∴AH＝ cm.
2.　解析：如图，在平行四边形ABCD中，AF⊥BC于点F，AE⊥CD于点E.由题意得CD＝4，BC＝5，AE＝3，
则S平行四边形ABCD＝BC×AF＝CD×AE，即5×AF＝4×3，解得AF＝.即两条较长边之间的距离为.
3．3　解析：设AD与BC之间的距离为h cm.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，∴S△BOF＝S△DOE，∴S阴影＝S△BOF＋S△COF＝S△BOC＝S平行四边形ABCD，∵题图中阴影部分的面积为3 cm2，∴S平行四边形ABCD＝12 cm2，∴4h＝12，解得h＝3.
4．A　解析：如图，连结OP.
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝5，∵矩形ABCD的面积为40，∴S△COD＝S矩形ABCD＝10，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴S△COD＝S△POC＋S△POD＝OC·PE＋OD·PF＝×5×(PE＋PF)，∴×5×(PE＋PF)＝10，∴PE＋PF＝4.故选A.
5．y＝　解析：如图，连结AP，∵S△APD＝PD×AE＝AD×AB，∴xy＝4×3，∴xy＝12，∴y＝.
6．A　解析：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6 cm，BD＝8 cm，∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝3 cm，OB＝OD＝BD＝4 cm，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5(cm)，∵S菱形ABCD＝BC·AE＝AC·BD，∴5AE＝×6×8，解得AE＝ cm，∴AE的长为 cm.故选A.
7．2　解析：如图，连结BP，∵S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝AB·PF＋BC·PE＝S菱形ABCD＝6 cm2，AB＝BC＝×24＝6(cm)，∴×6×PE＋×6×PF＝6，∴PE＋PF＝2 cm.
8．C　解析：如图，过点O作OM⊥BC，作ON⊥AB，垂足分别为点M、N，设AB和OA′的交点为F，BC和OC′的交点为E，
∴∠OME＝∠ONF＝90°，∵四边形ABCD和A′B′C′O是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，OB＝OC，∠A′OC′＝∠ABC＝90°，∴四边形BMON是矩形，∵∠ABD＝∠CBD＝45°，OB＝OC，OM⊥BC，ON⊥AB，∴OM＝ON，BM＝BC＝2，∴四边形BMON是正方形，∴S正方形BMON＝BM2＝4，∠MON＝90°，∴∠MON－∠C′ON＝∠A′OC′－∠C′ON，即∠EOM＝∠FON，在△FON和△EOM中，
∴△FON≌△EOM(ASA)，∴S△FON＝S△EOM，∴两个正方形重叠部分的面积＝S△FON＋S四边形BEON＝S△EOM＋S四边形BEON＝S正方形BMON＝4.故选C.
9.　解析：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH＋∠ABH＝90°，又∵∠FAH＋∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE(ASA)，∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，∵S△ABF＝AB·AF＝BF·AH，∴12×5＝13AH，∴AH＝.2.菱形的判定
第1课时　菱形的判定(一)
定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．(开放题)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个菱形，只需添加的一个条件是________．
判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形)
2. 如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①作∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长度为半径作弧，分别交AM、AN于点B、D；③分别以点B、D为圆心，1个单位长度为半径作弧，两弧交于点C；④连结BC、CD、BD.若∠A＝44°，则∠CBD的大小是(　　)
A．64° B．66° C．68° D．70°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC＝∠ACD.
(1)求证：△ABC≌△CAD.
(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
1．在如图的方格纸中有一个四边形ABCD(A、B、C、D四点均为格点)，若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下结论中，错误的是(　　)
A．四边形ABCD是菱形
B．AB＝BC＝CD＝DA＝
C．四边形ABCD的面积是12
D．∠ABC＝∠ADC＝60°
2．如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，连结AC，则∠ACB的度数为________．
3．(几何直观)在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B′，B′E与AC相交于点F.
(1)如图1，连结CD、B′C，若DB′∥BC，
①求证：四边形BDB′E为菱形；
②△B′FC的形状为________．
(2)如图2，若DB′与BC不平行，则△CEF的周长为________．
【详解答案】
基础达标
1．AB＝BC(答案不唯一)　2.C
3．证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠CAF＝∠ABC＋∠ACB，
AD是△ABC外角的平分线，
∴∠CAD＝∠CAF＝∠ABC.
在△ABC和△CAD中，
∴△ABC≌△CAD(ASA).
(2)∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC.
∵△ABC≌△CAD，
∴△ACD为等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
能力提升
1．D　解析：∵方格纸中每个小正方形的边长都为1，∴由勾股定理得AB＝BC＝CD＝DA＝＝，故B正确，不符合题意；∴四边形ABCD是菱形，故A正确，不符合题意；∵AC＝4，BD＝6，∴S四边形ABCD＝AC·BD＝×4×6＝12，故C正确，不符合题意；∵AB＝BC≠AC，∴△ABC不是等边三角形，∴∠ABC＝∠ADC≠60°，故D错误，符合题意．故选D.
2．60°　解析：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，设两张纸条的宽度都是h，∴S四边形ABCD＝AB×h＝BC×h，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
3．解：(1)①证明：由折叠得B′D＝BD，B′E＝BE，∠B′DE＝∠BDE，
∵DB′∥BC，
∴∠B′DE＝∠BED，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴B′D＝B′E＝BD＝BE，
∴四边形BDB′E为菱形．
②等腰三角形
解析：∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，CD＝BD＝AD＝AB，∴∠B＝∠A＝45°，∠DCA＝∠DCB＝∠ACB＝45°，∵B′D＝BD，∠DB′E＝∠B＝45°，∴CD＝B′D，∠DCA＝∠DB′E，∴∠DCB′＝∠DB′C，
∴∠DCB′－∠DCA＝∠DB′C－∠DB′E，即∠FCB′＝∠FB′C，∴CF＝B′F，∴△B′FC是等腰三角形．
(2)
解析：如图，连结CD、B′C，
∵CD＝BD＝B′D，
∴∠DCB′＝∠DB′C，
∵∠DCA＝∠DB′E＝45°，
∴∠DCB′－∠DCA＝∠DB′C－∠DB′E，
即∠FCB′＝∠FB′C，
∴CF＝B′F，
∴CF＋EF＝B′F＋EF＝B′E＝BE，
∴CF＋EF＋CE＝BE＋CE＝BC，
∵AB＝10，∴CD＝BD＝AB＝5，
∴BC＝＝，
∴CF＋EF＋CE＝，
∴△CEF的周长为.专题训练九　矩形的折叠问题
类型1　沿矩形对角线所在直线折叠
1．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝40°，则∠BDC的度数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．25° B．40° C．50° D．65°
2．如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分(△BFD)为等腰三角形，请你写出证明过程．
类型2 沿仅过矩形一个顶点的直线折叠
4．数学老师要求学生用一张矩形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是(　　)
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B′处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE、AF折叠，使B、D两点分别落在点B′、D′处，且AB′与AD′在同一直线上，∠EAF即为所求．
A．甲和乙的折法都正确
B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确
D．甲和乙的折法都不正确
5．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为边DC上的动点(点P不与点D、C重合)，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为________．
6．在矩形纸片OABC中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，把这张矩形纸片OABC如图放置在平面直角坐标系中，在边OA上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在边OC上的点F处．
(1)点E的坐标是________，点F的坐标是________．
(2)在AB上找一点P，使EP＋PF最小，求点P的坐标．
类型3 沿矩形对角线的垂直平分线折叠
7．如图，在矩形ABCD中，BC＝40 cm，CD＝30 cm，若将矩形折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长是________ cm.
8．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使点A、C重合，AC与EF相交于点H.
(1)求证：△ABE≌△AGF.
(2)若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积．
类型4 沿其他直线折叠
9．将一张矩形纸片按如图所示的方式折叠，EN、EM为折痕，折叠后点A′、B′、E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，则∠EMB′的度数为(　　)
A．58° B．32° C．35° D．45°
10．如图，把矩形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是点B′、D′，并且使HD′与B′F在同一直线上，已知矩形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、HG也相互平行．
11．将矩形纸片EGHF按如图所示的方式折叠(BD⊥CD).
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)若矩形纸片的宽为2，求平行四边形ABCD的面积．
【详解答案】
1．D　解析：由折叠的性质，得∠BDC＝∠BDC′，则∠ADB＝∠BDC′－∠ADC′＝∠BDC－40°，∵∠ADB＋∠BDC＝90°，∴∠BDC－40°＋∠BDC＝90°，解得∠BDC＝65°.故选D.
2．D　解析：由折叠知△BDC′≌△BDC，∴∠C′BD＝∠CBD＝22.5°，∠C′＝∠C＝90°，∴∠C′BC＝45°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝45°，易得∠AEB＝45°，∠C′ED＝45°，∠C′DE＝45°.综上所述，共有5个角为45°.故选D.
3．证明：由折叠的性质，得∠FBD＝∠DBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB＝∠CBD，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴FB＝FD，
∴重合部分(△BFD)为等腰三角形．
4．A　解析：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B′处，得到∠EAB＝∠BAD＝45°；乙：将纸片沿折痕AE、AF折叠，使B、D两点分别落在点B′、D′处，得到∠EAF＝∠EAB′＋∠FAD′＝(∠BAB′＋∠DAD′)＝×90°＝45°.故选A.
5．8　解析：连结AC，如图，当点D′在AC上时，CD′有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝13，由折叠的性质得AD＝AD′＝5，∠AD′P＝∠D＝90°，∴CD′的最小值＝AC－AD′＝13－5＝8.
6．解：(1)(0，3)　(－4，0)
解析：由折叠可得BF＝AB＝10 cm，FE＝AE，∵四边形OABC是矩形，∴∠C＝∠EOF＝90°，OC＝AB＝10 cm，OA＝BC＝8 cm，∴CF＝＝＝6(cm)，∴OF＝10－6＝4(cm)，∴点F的坐标是(－4，0)，设FE＝AE＝x cm，则OE＝(8－x) cm，在Rt△EOF中，OF2＋OE2＝EF2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴OE＝8－5＝3(cm)，∴点E的坐标是(0，3).
(2)如图，作点F关于AB的对称点F′，连结EF′，交AB于点P，连结PF，则PF＝PF′，
∴EP＋PF＝EP＋PF′，由两点之间线段最短，可得EP＋PF′≥EF′，∴点P在EF′上时EP＋PF最小，
∵点F和点F′关于AB对称，
∴点F′(－4，16)，
设直线EF′所对应的函数的表达式为y＝kx＋b，把E(0，3)、F′(－4，16)代入得解得
∴直线EF′所对应的函数的表达式为y＝－x＋3，
把y＝8代入得8＝－x＋3，
解得x＝－，
∴点P的坐标为.
7.　解析：若将矩形折叠，使点A与点C重合，则EF垂直平分AC，如图，设AC交EF于点O，∵BC＝40 cm，CD＝30 cm，∴AC＝50 cm，∴OC＝25 cm.连结CF、AE，易证△COF≌△COE，△ABE≌△CDF，∴OE＝OF，CE＝CF，DF＝BE.在直角三角形CDF中，利用勾股定理可得DF2＋302＝(40－DF)2，解得DF＝ cm.∴CF＝ cm.在直角三角形COF中，利用勾股定理可得OF＝＝ cm，∴EF＝2OF＝ cm.
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝∠B＝∠D＝90°，
由折叠的性质得AG＝CD，
∠EAG＝∠BCD，∠G＝∠D，
∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，∠B＝∠G，
∴∠BAD－∠EAD＝∠EAG－∠EAD，
即∠BAE＝∠GAF，
在△ABE和△AGF中，
∴△ABE≌△AGF(ASA).
(2)根据折叠的性质可得AE＝EC，
设BE＝x，则AE＝EC＝8－x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62＋x2＝(8－x)2，
解得x＝，
∴S△ABE＝AB·BE＝×6×＝.
9．B　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°，∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM，∵点A′、B′、E在同一直线上，∴∠AEA′＋∠BEB′＝180°，∴64°＋2∠B′EM＝180°，∴∠B′EM＝58°，∴∠EMB′＝90°－∠B′EM＝90°－58°＝32°.故选B.
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DHF＝∠BFH，
由折叠知∠FHG＝∠DHG＝∠DHF，
∠HFE＝∠BFE＝∠BFH，
∴∠FHG＝∠HFE，
∴EF∥HG.
11．解：(1)证明：∵四边形EGHF是矩形，
∴EF∥GH，
又∵BD⊥CD，
∴∠EDB＝∠DBH＝90°，
由折叠可得∠EDA＝∠ADB＝45°，∠DBC＝∠CBH＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵DB⊥AB，∠ADB＝45°，
∴AB＝DB＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝2×2＝4.2.矩形的判定
第1课时　矩形的判定
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形．
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD.
求证：四边形ADCE是矩形．
判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
3．已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若从下列选项中再添加一个条件，则能使得四边形ABCD是矩形的是(　　)
A．∠BAD＝∠BCD B．OA＝OC
C．AC⊥BD D．AC＝BD
4．某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的长分别为2 cm，3 cm，则该四边形的面积为________ cm2.
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D、E，连结DE，则DE的最小值是(　　)
A． B． C． D．
2．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　)
3．在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD∥BC；③AC＝BD；④∠ADC＝90°.若从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形，则这样的选择共有________种．
4．(推理能力)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.将△ABC沿BC向右平移，使平移的距离等于线段BE的长，得到△DEF.连结AF、CD、AD、CE，其中AF与CD相交于点O.
(1)求证：四边形ACFD为矩形．
(2)若AB＝3，OC＝2，BF＝5，求线段EF的长．
【详解答案】
基础达标
1．证明：∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC(ASA)，
∴DA＝CB，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
2．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
3．D　4.6
能力提升
1．B　解析：如图，连结CP，过点C作CQ⊥AB于点Q，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∴S△ABC＝×13CQ＝×12×5，∴CQ＝，∵PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D、E，∴∠PDC＝∠PEC＝∠DCE＝90°，∴四边形PECD是矩形，∴CP＝DE，∵CP≥CQ，∴DE≥，∴DE的最小值为.故选B.
2．A　解析：A.∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∴四边形ABCD是平行四边形，不一定为矩形，故选项A符合题意；B.∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C.∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC，∵AD＝BC＝4，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D.∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝5，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意．故选A.
3．4　解析：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，当∠ADC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，∴①②③可以判定四边形ABCD为矩形，①②④可以判定四边形ABCD为矩形．如图，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∴∠BAD＝90°，∵AD＝DA，DB＝AC，∴Rt△ABD≌Rt△DCA(HL)，∴AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴①③④可以判定四边形ABCD为矩形；同理②③④可以判定四边形ABCD为矩形．综上，可以判定四边形ABCD为矩形的选择共有4种．
4．解：(1)证明：∵将△ABC沿BC向右平移，使平移的距离等于线段BE的长，得到△DEF，
∴AD∥BE，AD＝BE＝CF，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∵∠DFE＝∠ACB＝90°，
∴四边形ACFD为矩形．
(2)∵四边形ACFD为矩形，
∴CD＝2OC＝4，AF＝CD，
∴AF＝4，
∵∠ACB＝∠ACF＝90°，
∴AB2－BC2＝AF2－CF2，
∴32－BC2＝42－(5－BC)2，
解得BC＝，
∴EF＝BC＝.第18章　矩形、菱形与正方形
18.1矩形
1.矩形的性质
第1课时　矩形的性质
矩形的定义及对称性
1.如图，矩形ABCD的长是6 cm，宽是4 cm，O是对称中心，过点O任意画一条直线l，则图中阴影部分的面积是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．12 cm2 B．24 cm2
C．48 cm2 D．6 cm2
2.(开放题)已知四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：________，可使它成为矩形．
性质定理1：矩形的四个角都是直角
3.如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为(　　)
A．41° B．51°
C．49° D．59°
4.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，BD＝5，＝，则线段CE的长为________．
5.(教材变式)如图，在矩形ABCD中，点E、F在边BC上，连结AE、DF，∠BAE＝∠CDF.
(1)求证：△ABE≌△DCF.
(2)当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
性质定理2：矩形的对角线相等
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠ACB＝∠ACD
7.如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连结DE.
求证：(1)四边形ACED是平行四边形．
(2)BD＝DE.
1.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是(　　)
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是(　　)
A．AB＝BE
B．OB＝CE
C．△ACE是等腰三角形
D．BC＝AE
3．如图，在矩形ABCD中，CE平分∠DCB交AD于点E，点F为DE的中点，过点F作FG⊥CE交BC于点G，若AE＝3，BG＝1，则矩形ABCD的面积是(　　)
A．28 B．30 C．32 D．34
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE.若∠ADB＝40°，则∠E的度数为________．
5．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母).
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
微专题6 对角线所夹锐角为60°的矩形
矩形的对角线相等且互相平分，当对角线所夹的锐角为60°时，会出现等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质计算相关的角与边．
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．6 B．5 C．4 D．3
2．一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是(　　)
A．25 B．5
C．100 D．10
【详解答案】
基础达标
1．A　2.∠A＝90°(答案不唯一)
3．C　4.
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(ASA).
(2)由(1)知△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE＝＝5.
6．C
7．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥CE，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE，
∴BD＝DE.
能力提升
1．C　解析：A.因为矩形框架ABCD向左扭动，AD＝BC，AB＝DC，但∠CBA不再为直角，所以四边形ABCD变成平行四边形，故A正确，不符合题意；B.向左扭动框架，BD的长度减小，故B正确，不符合题意；C.因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边长不变，所以面积变小了，故C错误，符合题意；D.因为四边形ABCD的每条边的长度不变，所以周长不变，故D正确，不符合题意．故选C.
2．D　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC＝AB，AC＝BD，BO＝DO＝BD，∵CE∥BD，DC∥BE，∴四边形DBEC是平行四边形，∴CE＝BD＝AC，BE＝DC，∴AB＝BE，OB＝CE，△ACE是等腰三角形．故选D.
3．A　解析：如图，过点G作GH⊥AD于点H，
由条件可知AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∠D＝∠A＝∠B＝90°，由矩形的定义可得四边形ABGH是矩形，∴AB＝GH＝CD，BG＝AH，∵AE＝3，BG＝1，∴BG＝AH＝1，EH＝AE－AH＝3－1＝2，由条件可知∠DCE＝∠GCE＝45°，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠GCE＝45°，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴DE＝CD，∵FG⊥CE，∴∠DEC＝∠DCE＝∠GFH＝∠HGF＝45°，∴GH＝FH，∴GH＝FH＝AB＝DE＝CD，∴DE＝DF＋FE＝EH＋EF＝FH，∴DF＝EH＝2，由条件可知DF＝EF＝2，∴GH＝FH＝AB＝DE＝CD＝DF＋EF＝4，∴AD＝DE＋AE＝7，∴矩形ABCD的面积是CD·AD＝4×7＝28.故选A.
4．20°　解析：连结AC，交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴∠E＝∠DAE，OA＝OD，∵∠ADB＝40°，∴∠ADB＝∠CAD＝40°，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，∴∠E＋∠E＝40°，即∠E＝20°.
5．解：(1)如图．
(2)AE＝CF.证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵EF为AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴AE＝CF.
微专题6
1．C　解析：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵∠ABD＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴OC＝OA＝2，∴AC＝OA＋OC＝4.故选C.
2．B　解析：如图，设这个矩形为矩形ABCD，AC＝10，∠AOB＝60°，∴OA＝OB＝×10＝5，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5，由勾股定理得BC＝＝＝，∴矩形ABCD的面积＝BC·AB＝5.故选B.

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