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2026年人教版八年级数学下册第十九章二次根式导学基础
一、知识点总结
1. 二次根式的定义
形如 （其中 ）的式子叫做二次根式。
被开方数 必须是非负数（即 ），否则在实数范围内无意义。
表示 的算术平方根，结果也非负。
注意： 有意义的条件是 。
2. 二次根式的性质
性质1： （ ）
说明：先开方再平方，结果等于原数。
性质2：
说明：先平方再开方，结果是原数的绝对值。
例如：
性质3： （ ）
乘法性质：积的算术平方根等于算术平方根的积。
性质4： （ ）
除法性质：商的算术平方根等于算术平方根的商。
3. 最简二次根式
一个二次根式满足以下两个条件时，称为最简二次根式：
①.被开方数不含分母；
②.被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
化简方法：步骤1：分解被开方数的因数（或因式）
将被开方数分解质因数（或因式），找出其中的完全平方数（如 4, 9, 16, 25, …）。
例如：√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
步骤2：把平方因子开方移出根号
若被开方数中有平方因子（如 a ），则可将其开方后移到根号外。
步骤3：若被开方数含分母，先化去根号中的分母
利用公式：
（a≥0, b>0），然后对分母进行有理化。
总结口诀（便于记忆）：
一拆平方，二移外面；
根号里面不含分母，
分母有根要有理）；
最简二次根式，干净又规范。
4. 二次根式的运算
（1）加减法
先将每个二次根式化为最简二次根式；
再合并同类二次根式（即被开方数相同的项）。
例如： ，但 不能合并。
（2）乘除法
乘法： （ ）
除法： （ ）
（3）混合运算
遵循先乘除、后加减的顺序；
有括号先算括号内；
结果必须化为最简形式。
5. 分母有理化
将分母中的根号去掉，常用方法：
单项根号：
两项根号（如 ）：乘以共轭式（平方差公式） ，得=
二、典型例题
【例题1】判断二次根式是否有意义
当 为何值时， 有意义？
解析：要使 有意义，需 ，要使 有意义，需
答案： 且
【例题2】化简二次根式
化简 和
解析：
答案： ，
【例题3】二次根式运算
计算
解析：按照步骤“一化二找三合并， ，
原式
答案：
【例题4】比较大小
比较 与 的大小。
解析：计算近似值： ， ， ，而
答案：
【例题5】分母有理化
化简
解析：乘以共轭式 ：
答案：
三、巩固练习
（一）基础练习
判断下列式子是否有意义（写出 的取值范围）：
(2)
化简下列二次根式：
(2)
计算：
(2)
比较大小：
与 (2) 与
化简：
（二）提高练习
已知 ，求代数式 的值。
化简：
若 ，求 的值。
计算：
观察下列式子：
猜想并验证：
参考答案
基础练习
(1) ；(2) 且
(1) ；(2)
(1) ；(2)
(1) ；(2) ， ，故
提高练习
原式
由非负性得 ， ，
设 ， ，原式
猜想： ，可通过平方验证。
五、学习提示
重点掌握：二次根式的性质、化简、运算顺序；
易错点：
忽略被开方数非负；
分母未有理化；
合并时误将不同类根式相加；
建议：每天练习5道计算题，熟记常见平方数（如 到 ），提升运算速度。
注：学好二次根式，是学好后续函数、勾股定理、代数运算的重要基础！坚持练习，必有突破！

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