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2026年人教版八年级数学下册二次根式单元测试卷（培优）
一、选择题（每题3分，共36分）
若式子 在实数范围内有意义，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
下列各式中，化简后能与 合并的是（ ）
A. B. C. D.
计算 的结果为（ ）
A. B. C. D.
已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A. B. C. D.
若 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
观察下列各式： ， ， ，……，按此规律，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
若一个等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A. B. C. 或 D.
已知 ， ，则代数式 的值为（ ）
A. B. C. D.
若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共12分）
已知 ， ，则 的值为______。
若 ，则 的平方根为______。
观察下列各式： ， ， ，……，利用上述规律计算： 的值为______。
已知实数 ， ， 满足 ，且 是 的整数部分，则 的值为______。
三、解答题
（10分）计算：
（1） ； （2） 。
（10分）先化简，再求值： ，其中 。
（8分）已知 ， ，求 的值。
（10分）阅读下列材料，解答问题：
材料：在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
。
这种化简的步骤叫做分母有理化。
问题：
（1）化简： ；
（2）计算： 。
（10分）已知 ， ，求代数式 的值。
（12分）探究题：
观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
按上述规律，解答下列问题：
（1）写出第 个等式： ______；
（2）计算： ；
（3）若 是满足 的整数，试比较 与 的大小，并说明理由。
（12分）综合与实践：
在数学活动课上，小明将两个边长为 的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，然后将它们拼成一个大的正方形。
（1）求拼成的大正方形的边长；
（2）若小明将 个边长为 的正方形按上述方法拼接，求拼成的大正方形的边长（用含 的式子表示）；
（3）若拼成的大正方形的边长为 ，求需要的小正方形的个数。
参考答案与解析
一、选择题
B
解析：要使式子有意义，需满足 ，即 。由于平方数非负，故 ，解得 。
D
解析： 。计算得 ， 。故原式 。（注：选项有误，正确答案应为 ）
A
解析：由题意得 且 ，解得 。代入得 。故 。
B
解析： ，能与 合并。
A
解析：原式 。
D
解析：由数轴可知 ， ，且 。故 ， ， 。原式 。
C
解析：由 ，代入得 ，即 ，解得 。
B
解析：规律为 。当 时，结果为 。
B
解析：先有理化得 ， 。则 ， 。故 。
C
解析： ， 。若腰为 ，底为 ，周长为 ；若腰为 ，底为 ，周长为 。但需验证三角形三边关系： ，成立； ，成立。故周长为 或 。
B
解析： 。故 。
B
解析：由 ，得 ，平方得 ，即 。代入原式： 。
二、填空题
10
解析： 。 。 。故结果为10。
解析：由定义域得 ， 。故 ，平方根为 。
44
解析：原式 。
8
解析：由 得 ，故 。 的整数部分 。故 。
三、解答题
解：
（1）原式 ；
（2）原式 。
解：
原式 ，当 时，原式 。
解：
先化简得 ， 。则 。
解：
（1） ；
（2）44。
解：
，故 。
解：
（1） ；
（2） ；
（3） ，理由：分子有理化后比较分母大小。
解：
（1）两个正方形面积和为2，故大正方形边长为 ；
（2） 个正方形面积和为 ，边长为 ；
（3）由 ，得 。

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