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广东省潮州市湘桥区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
1．（2024八上·湘桥期末）重庆今年夏天连续高温，9月7日是二十四节气中的“白露”，“白露”是反映自然界寒气增长的重要节气，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．（2024八上·湘桥期末）在式子：，，，中，分式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：在式子：，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
【分析】根据分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此即可求解.
3．（2024八上·湘桥期末）如图，在中，边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据高的定义：边上的高，垂足应在边上，或线段的延长线或反向延长线上，且经过顶点，
符合条件的是，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
4．（2024八上·湘桥期末）小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的另一条边的长度为，
由题意，得，则，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
5．（2024八上·湘桥期末）计算的结果为（　　）
A． B．
C． D．（D和C重复了）
【答案】A
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】
故选：A
【分析】本题考查积的乘方运算法则，即（n为正整数）。解题时按照积的乘方规则分步计算：先将2进行乘方，；再将进行乘方，根据幂的乘方法则，可得；最后将两个结果相乘，得到，因此答案为A。
6．（2024八上·湘桥期末）如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C
【分析】
根据全等三角形的性质，可得，再利用线段的和差计算即可求解．
7．（2024八上·湘桥期末）若一个多边形的内角和等于 ，这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是12边形．
故答案为：D．
【分析】利用多边形的内角和公式列出方程（n-2）×180=1800求解即可。
8．（2024八上·湘桥期末）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
∴，
故选：B．
【分析】过点B作，垂足为点F，根据线段中点可得，再根据角平分线性质即可求出答案.
9．（2024八上·湘桥期末）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），用不同的方法计算剩余阴影部分的面积，可以验证的公式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，也可以看作两个梯形的面积和，梯形的上底是b，下底是a，高为，因此阴影部分的面积为，所以有；
故选：A
【分析】本题考查平方差公式的几何意义，通过阴影部分面积的两种计算方法验证公式。解题时先计算第一种面积：阴影部分是大正方形减去小正方形，面积为；再计算第二种面积：将阴影部分沿对角线分割为两个全等的梯形，每个梯形的上底为b、下底为a、高为，单个梯形面积为，两个梯形面积和为；由于两种方法计算的是同一阴影部分的面积，因此，验证了平方差公式，答案为A。
10．（2024八上·湘桥期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（　　）
A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，
垂直平分，
，
，
，
，
故周长的最小值是，
故选：C．
【分析】本题考查垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和两点之间线段最短。解题时先连接PC，因为EF垂直平分BC，根据垂直平分线的性质，可得；的周长为，将替换为，则周长变为；根据两点之间线段最短，，当且仅当A、P、C三点共线时，取得最小值；此时的周长最小值为，代入、，计算得，答案为C。
11．（2024八上·湘桥期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算规则，零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1（即，）；负整数指数幂：任何非零数的次幂等于这个数n次幂的倒数（即，）。解题时先计算零指数幂，因为，所以，则；再计算负整数指数幂，；最后将两个结果相加，，得到最终结果。
12．（2024八上·湘桥期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可.
13．（2024八上·湘桥期末）如图，已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】本题考查三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。解题时先识别图形中的外角关系，是的一个外角，且与、存在外角关系，即；已知、，将已知角度代入关系式，变形可得；代入数值计算，得到的度数。
14．（2024八上·湘桥期末）如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，则　 　．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】利用角平分线的定义及等角对等边和等量代换可得性质可得，再利用线段的和差求出CE的长，最后求出即可.
15．（2024八上·湘桥期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∵，轴，轴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题查全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识．过点作轴于点，过点作轴于点，根据点A和点C的坐标可求出AD，CD，OC，利用角的运算可得：， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用线段的运算可求出，进而可求出点的坐标．
16．（2024八上·湘桥期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）原式
（2）原式
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；分式的乘除法；积的乘方运算
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项）和分式的乘法运算。
(1) 解题时先进行同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加，；再进行幂的乘方运算，根据幂的乘方，底数不变、指数相乘，；最后将两个结果合并同类项，。
(2) 解题时先按照分式乘法法则，分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，得到；再对分子分母进行约分，约去公共因式和，化简后得到。
（1）原式
（2）原式
17．（2024八上·湘桥期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算与代入求值，涉及分式的加减、除法运算以及因式分解。解题时先化简括号内的式子，注意到，因此，则括号内变为；再将除法转化为乘法，乘以除数的倒数，即；对进行因式分解，得到，代入后约分，约去和，化简结果为；最后将代入化简后的式子，计算，得到最终值。
18．（2024八上·湘桥期末）随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：如图，作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
19．（2024八上·湘桥期末）如图，与中，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）证明：在和中，，
∴．
（2）解：∵，，∴，
由（1）得，
∴，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题考查直角三角形全等的判定（HL）和角度计算，涉及直角三角形两锐角互余、全等三角形的性质。
(1) 证明时紧扣直角三角形全等的HL判定定理，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。在和中，斜边是两个三角形的公共边，满足，直角边，符合HL判定条件，因此可证明。
(2) 解题时先在中，根据直角三角形两锐角互余的性质，，，可得；由(1)中全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，因此；观察图形可知，代入数值计算，得到的度数。
（1）证明：在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴
20．（2024八上·湘桥期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元．
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器
【答案】（1）解：设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∴（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元．
（2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：．
解得：．
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∴（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元．
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：．
解得：．
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
21．（2024八上·湘桥期末）综合与实践
【阅读材料】
将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以．
又因为，，所以．
【探究实践】
（1）若，，求的值；
【拓展应用】
（2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积．
【答案】（1）因为，
所以，
因为，，
所以，
．
（2）设正方形、正方形的边长分别为a，b．
由题意得：，，
所以，
即，
得，
因为，又因为，
所以，
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用和几何图形面积的计算，结合完全平方公式与图形面积拆分。
(1) 解题时先利用完全平方公式的变形，由，移项可得；已知，，将数值代入变形公式，计算，因此。
(2) 解题时先设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意“面积和为”得，“边长和为20m”得；利用完全平方公式，代入、，得，解得；再由，结合得；将阴影部分面积拆分为和的面积和，分别表示为和，合并后得；代入、，计算得，即摆放花卉场地的面积为。
22．（2024八上·湘桥期末）【问题情境】在和中，，，．
（1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________；
（2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？
（3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）证明：如图1，
在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，，根据对顶角相等得到，求出，即可得出；
（2）先根据题意得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，，根据对顶角相等得到，求出，即可得出；
（3）过点C作，，垂足分别为M、N，根据全等三角形的对应边相等、面积相等得出，，根据三角形的面积公式可得出，推得平分，求出，根据对顶角相等得到．
（1）证明：如图1，
在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3），
如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
23．（2024八上·湘桥期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，．
（1）如图①，求证：是等边三角形；
（2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：；
（3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论．
【答案】（1）证明：，，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：由（1）知：是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：，证明如下：
如图2，在上截取，连接，
∴，即，
，
，
为的中点，
平分，即，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠AOB，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，，，则，再根据等边三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据边之间的关系可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得∠AEB，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：由（1）知：是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：，证明如下：
如图2，在上截取，连接，
∴，即，
，
，
为的中点，
平分，即，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
1 / 1广东省潮州市湘桥区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
1．（2024八上·湘桥期末）重庆今年夏天连续高温，9月7日是二十四节气中的“白露”，“白露”是反映自然界寒气增长的重要节气，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·湘桥期末）在式子：，，，中，分式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024八上·湘桥期末）如图，在中，边上的高为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·湘桥期末）小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·湘桥期末）计算的结果为（　　）
A． B．
C． D．（D和C重复了）
6．（2024八上·湘桥期末）如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·湘桥期末）若一个多边形的内角和等于 ，这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2024八上·湘桥期末）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·湘桥期末）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），用不同的方法计算剩余阴影部分的面积，可以验证的公式是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·湘桥期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（　　）
A．12 B．6 C．7 D．8
11．（2024八上·湘桥期末）计算：　 　．
12．（2024八上·湘桥期末）因式分解：　 　．
13．（2024八上·湘桥期末）如图，已知，，则　 　．
14．（2024八上·湘桥期末）如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，则　 　．
15．（2024八上·湘桥期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
16．（2024八上·湘桥期末）计算：
（1）
（2）
17．（2024八上·湘桥期末）先化简，再求值：，其中．
18．（2024八上·湘桥期末）随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
19．（2024八上·湘桥期末）如图，与中，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
20．（2024八上·湘桥期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元．
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器
21．（2024八上·湘桥期末）综合与实践
【阅读材料】
将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以．
又因为，，所以．
【探究实践】
（1）若，，求的值；
【拓展应用】
（2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积．
22．（2024八上·湘桥期末）【问题情境】在和中，，，．
（1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________；
（2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？
（3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由．
23．（2024八上·湘桥期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，．
（1）如图①，求证：是等边三角形；
（2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：；
（3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：在式子：，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
【分析】根据分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此即可求解.
3．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据高的定义：边上的高，垂足应在边上，或线段的延长线或反向延长线上，且经过顶点，
符合条件的是，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的另一条边的长度为，
由题意，得，则，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
5．【答案】A
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】
故选：A
【分析】本题考查积的乘方运算法则，即（n为正整数）。解题时按照积的乘方规则分步计算：先将2进行乘方，；再将进行乘方，根据幂的乘方法则，可得；最后将两个结果相乘，得到，因此答案为A。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C
【分析】
根据全等三角形的性质，可得，再利用线段的和差计算即可求解．
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是12边形．
故答案为：D．
【分析】利用多边形的内角和公式列出方程（n-2）×180=1800求解即可。
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
∴，
故选：B．
【分析】过点B作，垂足为点F，根据线段中点可得，再根据角平分线性质即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，也可以看作两个梯形的面积和，梯形的上底是b，下底是a，高为，因此阴影部分的面积为，所以有；
故选：A
【分析】本题考查平方差公式的几何意义，通过阴影部分面积的两种计算方法验证公式。解题时先计算第一种面积：阴影部分是大正方形减去小正方形，面积为；再计算第二种面积：将阴影部分沿对角线分割为两个全等的梯形，每个梯形的上底为b、下底为a、高为，单个梯形面积为，两个梯形面积和为；由于两种方法计算的是同一阴影部分的面积，因此，验证了平方差公式，答案为A。
10．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，
垂直平分，
，
，
，
，
故周长的最小值是，
故选：C．
【分析】本题考查垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和两点之间线段最短。解题时先连接PC，因为EF垂直平分BC，根据垂直平分线的性质，可得；的周长为，将替换为，则周长变为；根据两点之间线段最短，，当且仅当A、P、C三点共线时，取得最小值；此时的周长最小值为，代入、，计算得，答案为C。
11．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算规则，零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1（即，）；负整数指数幂：任何非零数的次幂等于这个数n次幂的倒数（即，）。解题时先计算零指数幂，因为，所以，则；再计算负整数指数幂，；最后将两个结果相加，，得到最终结果。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】本题考查三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。解题时先识别图形中的外角关系，是的一个外角，且与、存在外角关系，即；已知、，将已知角度代入关系式，变形可得；代入数值计算，得到的度数。
14．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】利用角平分线的定义及等角对等边和等量代换可得性质可得，再利用线段的和差求出CE的长，最后求出即可.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∵，轴，轴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题查全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识．过点作轴于点，过点作轴于点，根据点A和点C的坐标可求出AD，CD，OC，利用角的运算可得：， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用线段的运算可求出，进而可求出点的坐标．
16．【答案】（1）原式
（2）原式
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；分式的乘除法；积的乘方运算
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项）和分式的乘法运算。
(1) 解题时先进行同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加，；再进行幂的乘方运算，根据幂的乘方，底数不变、指数相乘，；最后将两个结果合并同类项，。
(2) 解题时先按照分式乘法法则，分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，得到；再对分子分母进行约分，约去公共因式和，化简后得到。
（1）原式
（2）原式
17．【答案】解：
；
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算与代入求值，涉及分式的加减、除法运算以及因式分解。解题时先化简括号内的式子，注意到，因此，则括号内变为；再将除法转化为乘法，乘以除数的倒数，即；对进行因式分解，得到，代入后约分，约去和，化简结果为；最后将代入化简后的式子，计算，得到最终值。
18．【答案】解：如图，作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
19．【答案】（1）证明：在和中，，
∴．
（2）解：∵，，∴，
由（1）得，
∴，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题考查直角三角形全等的判定（HL）和角度计算，涉及直角三角形两锐角互余、全等三角形的性质。
(1) 证明时紧扣直角三角形全等的HL判定定理，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。在和中，斜边是两个三角形的公共边，满足，直角边，符合HL判定条件，因此可证明。
(2) 解题时先在中，根据直角三角形两锐角互余的性质，，，可得；由(1)中全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，因此；观察图形可知，代入数值计算，得到的度数。
（1）证明：在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴
20．【答案】（1）解：设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∴（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元．
（2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：．
解得：．
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∴（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元．
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：．
解得：．
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
21．【答案】（1）因为，
所以，
因为，，
所以，
．
（2）设正方形、正方形的边长分别为a，b．
由题意得：，，
所以，
即，
得，
因为，又因为，
所以，
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用和几何图形面积的计算，结合完全平方公式与图形面积拆分。
(1) 解题时先利用完全平方公式的变形，由，移项可得；已知，，将数值代入变形公式，计算，因此。
(2) 解题时先设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意“面积和为”得，“边长和为20m”得；利用完全平方公式，代入、，得，解得；再由，结合得；将阴影部分面积拆分为和的面积和，分别表示为和，合并后得；代入、，计算得，即摆放花卉场地的面积为。
22．【答案】（1）；
（2）解：成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）证明：如图1，
在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，，根据对顶角相等得到，求出，即可得出；
（2）先根据题意得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，，根据对顶角相等得到，求出，即可得出；
（3）过点C作，，垂足分别为M、N，根据全等三角形的对应边相等、面积相等得出，，根据三角形的面积公式可得出，推得平分，求出，根据对顶角相等得到．
（1）证明：如图1，
在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3），
如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
23．【答案】（1）证明：，，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：由（1）知：是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：，证明如下：
如图2，在上截取，连接，
∴，即，
，
，
为的中点，
平分，即，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠AOB，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，，，则，再根据等边三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据边之间的关系可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得∠AEB，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：由（1）知：是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：，证明如下：
如图2，在上截取，连接，
∴，即，
，
，
为的中点，
平分，即，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
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