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2025学年第一学期期末试卷九年级数学
考生注意：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷的作答一律无效．
4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
选择题部分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选，均不得分．）
1. 盼盼在公园散步时看到了如图所示石凳，则该石凳的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 在同一平面内，已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆外 D. 不能确定
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，，则值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，P为外一点，分别与相切于点A，B，连接．若，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 是等边三角形
C. 垂直平分 D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 在第十五届全运会女子米跳台比赛中，一运动员完成某一跳后，其运动轨迹呈抛物线，重心相对于水面的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）之间的关系如下表所示：下列结论正确的是（ ）
A. 运动员的重心相对于水面的最大高度是
B. 抛物线的对称轴是直线
C. 当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高
D. 运动员的重心相对于水面的高度是时，水平距离仅为
9. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，其中点恰好在上，与交于点E，若，则的长为（ ）
A. B. 5 C. 6 D.
10. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 3或8 B. 6或8 C. 3或6 D. 5或6
非选择题部分
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．）
11. 已知线段，线段c是a，b的比例中项，那么c的值为___．
12. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线的函数表达式是___
13. 在同样条件下对一批新进草莓进行甜度检测，统计甜度达标的草莓数，获得如下频数表：
检测草莓数量n（颗） 100 200 300 500 800 1000
甜度达标频数m 92 188 279 455 728 910
甜度达标频率 0.92 0.94 093 0.91 0.91 0.91
根据表中数据，估计2000颗该种草莓中，甜度达标的草莓约为___颗．
14. 如图，已知为的直径，为上一点，平分．若，则的度数为______．
15. 已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，）
16. 如图，、是的直径，在上取点E使，过点B作的切线交的延长线于点G．连接交于点F，若， ，则的半径为___．
三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
17. （1）已知求代数式的值．
（2）计算：．
18. 如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到．
（1）画出．
（2）求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
19. 在不透明的袋子里装有2个红球，3个蓝球（除颜色外其余都相同）．
（1）从袋子中任意摸出一个球，求摸到红球的概率．
（2）从袋子中任意摸出两个球，求摸到一个红球一个蓝球的概率．
20. 如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分．
21. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且
（1）求的值．
（2）若的面积为9，求的面积．
22. 如图，某校数学实践小组计划测量一座古塔的高度．他们采用了如下步骤：
①在古塔正前方水平地面上的点处，用测角仪测得塔顶的仰角为；
②沿直线后退米到达点处（点，，在同一直线上），再次用测角仪测得塔顶的仰角为．
测角仪的高度忽略不计．根据以上信息解决下列问题：
（1）在图中标注出角，用关于，，的代数式表示角的正弦、正切．
（2）计算古塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
23. 对于一个函数，当时，函数有最大值与最小值，且最大值与最小值的和为0，则称这个函数为平衡函数．请结合上述定义，探究下列关于函数．的问题．
（1）当时，
①求该函数最值．
②判断该函数是不是平衡函数，并说明理由．
（2）若函数是平衡函数，求a的取值范围．
24. 图1是一个扫地机器人的俯视图，抽象为几何图形如图2（忽略刷子），传感器P在的弦上，．机器人扫地刷的安装线段关于所在的直线对称，且均与平行，扫地刷的固定端分别在线段上．当机器人停留在原地时，一个刷头旋转一周扫过的圆的半径为，且点P到所在直线的距离为．
（1）求传感器P到圆心O的距离．
（2）机器人沿射线方向清扫时，传感器P感应到在它南偏西方向处有一个障碍物M，若，试问机器人需不需要改变前进方向避开障碍物M，请说明理由．2025学年第一学期期末试卷九年级数学
考生注意：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷的作答一律无效．
4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
选择题部分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选，均不得分．）
1. 盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 在同一平面内，已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆外 D. 不能确定
【答案】A
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 如图，P为外一点，分别与相切于点A，B，连接．若，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 是等边三角形
C. 垂直平分 D.
【答案】D
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
8. 在第十五届全运会女子米跳台比赛中，一运动员完成某一跳后，其运动轨迹呈抛物线，重心相对于水面的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）之间的关系如下表所示：下列结论正确的是（ ）
A. 运动员的重心相对于水面的最大高度是
B. 抛物线的对称轴是直线
C. 当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高
D. 运动员的重心相对于水面的高度是时，水平距离仅为
【答案】B
9. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，其中点恰好在上，与交于点E，若，则的长为（ ）
A. B. 5 C. 6 D.
【答案】B
10. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 3或8 B. 6或8 C. 3或6 D. 5或6
【答案】C
非选择题部分
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．）
11. 已知线段，线段c是a，b的比例中项，那么c的值为___．
【答案】
12. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线的函数表达式是___
【答案】
13. 在同样条件下对一批新进草莓进行甜度检测，统计甜度达标的草莓数，获得如下频数表：
检测草莓数量n（颗） 100 200 300 500 800 1000
甜度达标频数m 92 188 279 455 728 910
甜度达标频率 0.92 0.94 0.93 0.91 0.91 0.91
根据表中数据，估计2000颗该种草莓中，甜度达标的草莓约为___颗．
【答案】1820
14. 如图，已知为的直径，为上一点，平分．若，则的度数为______．
【答案】##35度
15. 已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，）
【答案】
16. 如图，、是的直径，在上取点E使，过点B作的切线交的延长线于点G．连接交于点F，若， ，则的半径为___．
【答案】##
三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
17. （1）已知求代数式的值．
（2）计算：．
【答案】（1）
（2）
（1）解：∵，
∴；
（2）解：．
18. 如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到．
（1）画出．
（2）求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【答案】
【1】
解：如图所示：
【2】
解：由题意得，，
边扫过的图形面积=．
19. 在不透明的袋子里装有2个红球，3个蓝球（除颜色外其余都相同）．
（1）从袋子中任意摸出一个球，求摸到红球的概率．
（2）从袋子中任意摸出两个球，求摸到一个红球一个蓝球的概率．
【答案】
【1】
解：∵不透明袋子里装有2个红球，3个蓝球，
∴摸到红球的概率为．
【2】
解：从袋子中任意摸出两个球，所有可能的结果如下图，且各种结果的可能性相同．
红1 红2 蓝1 蓝2 蓝3
红1
红1，红2 红1，蓝1 红1，蓝2 红1，蓝3
红2 红2，红1
红2，蓝1 红2，蓝2 红2，蓝3
蓝1 蓝1，红1 蓝1，红2
蓝1，蓝2 蓝1，蓝3
蓝2 蓝2，红1 蓝2，红2 蓝2，蓝1
蓝2，蓝3
蓝3 蓝3，红1 蓝3，红2 蓝3，蓝1 蓝3，蓝2
所有可能的结果数为20，其中一个红球一个蓝球的结果数有12，
∴摸到一个红球一个蓝球的概率为．
20. 如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分．
【答案】
证明：四边形内接于，
．
又，
．
，
，
，
，
，即平分．
21. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且
（1）求的值．
（2）若的面积为9，求的面积．
【答案】
【1】
解：在平行四边形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【2
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴，即的面积为16．
22. 如图，某校数学实践小组计划测量一座古塔的高度．他们采用了如下步骤：
①在古塔正前方水平地面上的点处，用测角仪测得塔顶的仰角为；
②沿直线后退米到达点处（点，，在同一直线上），再次用测角仪测得塔顶的仰角为．
测角仪的高度忽略不计．根据以上信息解决下列问题：
（1）在图中标注出角，用关于，，的代数式表示角的正弦、正切．
（2）计算古塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
【答案】
【1】
解：如图．
由题意可知，，即．
在中，
【2】
解：在中，∵，
在中，∵，
设米，则
解得≈．
∴古塔的高度为米．
23. 对于一个函数，当时，函数有最大值与最小值，且最大值与最小值的和为0，则称这个函数为平衡函数．请结合上述定义，探究下列关于函数．的问题．
（1）当时，
①求该函数的最值．
②判断该函数是不是平衡函数，并说明理由．
（2）若函数是平衡函数，求a取值范围．
【答案】
【1】
解：①当时，
当时，函数y有最小值．
当时，函数y有最大值．
②由①可知函数图象的对称轴是直线，开口向上．
当时，y随着x的增大而减小，
∴当时，，当时，．
∴该函数是平衡函数．
【2】
解：，
∴函数图象的对称轴是直线，开口向上．
∵，
∴就a的范围可以分下列几种情况：
当时，y随着x的增大而增大．
∴y在处取最小，即在处取最大，即．．
∵，
∴满足题意．
当且，即当时，
y在处取最小，即y在处取最大．
∵该函数是平衡函数，
解得（不合题意，舍去）．
当且，即当时，
y在处取最小，即．y在处取最大，．
∵该函数是平衡函数，
解得（不合题意，舍去）
当时，y随着x的增大而减小．
y在处取最大，即在处取最小，．
∴满足题意．
综上所述，或．
24. 图1是一个扫地机器人的俯视图，抽象为几何图形如图2（忽略刷子），传感器P在的弦上，．机器人扫地刷的安装线段关于所在的直线对称，且均与平行，扫地刷的固定端分别在线段上．当机器人停留在原地时，一个刷头旋转一周扫过的圆的半径为，且点P到所在直线的距离为．
（1）求传感器P到圆心O的距离．
（2）机器人沿射线方向清扫时，传感器P感应到在它的南偏西方向处有一个障碍物M，若，试问机器人需不需要改变前进方向避开障碍物M，请说明理由．
【答案】
【1】
解：连接，
∵，
∴，即，
在中，，
∴传感器P到圆心O的距离为．
【2】
解：机器人需要改变前进方向避开障碍物M，理由如下：
如图，延长交直线于点G，
∵关于所在的直线对称，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵一个刷头旋转一周扫过的圆的半径为，
∴一个刷头旋转一周扫过的区域中的点到直线的最远距离为：，
根据题意作出点，连接，过作于点，则，
在中，，
∴，
∵，
∴机器人需要改变前进方向避开障碍物M．

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