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第七章 二元一次方程组
问题解决策略：逐步确定
1.学会使用“逐步确定”的策略解决实际问题.
2.观察并描述生活中的数字现象，体会数学与生活的紧密联系.
《孙子算经》这部著作以算法程序化为核心，构建起中国古代数学独特的机械化算法体系.
其问题导向的数学思维模式，不仅推动了中国传统数学发展，更为世界数学史贡献了东方智慧. 书中展现的数理逻辑与实用主义的完美结合，至今仍是数学教育研究的重要范本.
(1)我们要找的物品数是一个既能被 3 除余 2，又能被 5 除余 3，还可以被 7 除余 2 的最小正整数；
(2)应同时满足以下条件：① 除以 3 余 2；② 除以 5 余 3；③ 除以 7 余 2.
问题1：从前有一位聪明的商人，他想考考身边的人，于是提出了这样一个谜题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”(选自《孙子算经》)。
(1)用通俗的语言解释一下这个问题；
(2)要明确物品的数量，应同时满足哪些条件？
(3)满足条件的物品数量最少是多少，如果让你来解答，你会怎么做？
符合条件 ① 的正整数有：2，5，8，11，14，17，20，23，…
同时符合条件 ①② 的数正整数有：8，23，38，…
同时符合条件 ①②③ 的数正整数有：23，…
所以满足条件的物品数量最少是 23.
问题1：从前有一位聪明的商人，他想考考身边的人，于是提出了这样一个谜题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”(选自《孙子算经》)。
(3)满足条件的物品数量最少是多少，如果让你来解答，你会怎么做？
问题2：结合上述问题，说说你对“逐步确定”的策略的认识？还有哪些问题也可以采用“逐步确定”的策略来解决？
采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程：
1. 根据题意找出问题的解需要满足的各个条件；
2. 按照某个顺序，逐步满足这些条件，最终确定问题的解.
分析：一个数能同时被 3、4、5 整除，需同时满足以下三个条件：
(1) 能被 5 整除：末位数字 (即 c) 必须是 0 或 5；
(2) 能被 4 整除：末两位组成的数 (即10b + c) 必须能被 4 整除 (4 的倍数是偶数，因此末两位需为偶数)；
(3) 能被 3 整除：各位数字之和 (即9 + a + b + c) 必须能被 3 整除；
例1：若四位数 9abc (a，b，c 各不相同) 能同时被 3，4 和 5 整除. 求满足条件的最大四位数.
解：(1) 锁定末位数字 c：结合“能被 5 整除”和“能被 4 整除”的条件，
若 c = 5，末两位为 b5 (奇数)，无法被 4 整除，因此 c 不能为 5；
所以 c = 0，四位数简化为 9ab0；
(2) 为使这个四位数最大，且 a、b、c 互不相同，可让千位数 a 取最大值 9；
根据能被 4 整除的数的特征，后两位数 b0 一定能被 4 整除；
又因为 a、b、c 互不相同，所以 b 可选 2、4、6，其中 6 最大；
经过验证，9960 能被 3 整除；因此，满足条件的最大四位数是9960.
例1：若四位数 9abc (a，b，c 各不相同) 能同时被 3，4 和 5 整除. 求满足条件的最大四位数.
1. 一个数除以4 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 3，求满足条件的最小正整数.
解：满足除以 7 余 3 的整数有 10，17，24，31，.....；
又满足除以 5 余 2 的整数有 17，.....；
经检验 17 满足除以 4 余 1，故满足条件的最小正整数为17.
2. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装 4 千克荔枝，每个小箱装 3 千克荔枝．该果农现采摘有 32 千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多少？
解：设可以装 x 箱大箱，y 箱小箱，根据题意得 4x + 3y = 32；
又因为 x，y 均为自然数，所以 x 最大值为 8；
当 x = 8 时 y = 0，当 x = 7 时 y 不为整数，......
经过尝试发现，只有 x = 8，y = 0；x = 5，y = 4；x = 2，y = 8 时，符合题意；
所以，最多只能装 10 箱.

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