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广东省深圳市2026年3月高三年级第一次调研考试数学试题
2026.3
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，留存试卷，交回答题卡。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 样本数据 4,6,10,16 的平均数为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2. 复数z=sin1+icos1, 则|z|=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知抛物线 上的一点M 的横坐标为1，则点M到焦点的距离为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.函数 （＞0）的最小正周期为π，其图象的对称中心可以为
A. B. C. D. (,0)
5. 设f(x)是定义在R上的奇函数, f(2+x)=f(-x), f(-1)=1, 则f(9)=
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2
6.已知 则
A. B. C. D.
7. 已知向量a=(2,4), a·b=10, 则向量b在向量a上的投影向量为
A. (4,2) B. (2,4) C. D.(1,2)
8. 若实数x,y,z 满足 则x，y，z的大小关系不可能是
A. z＞x＞y B. z＞y＞x C. y＞x＞z D. y＞z＞x
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在正三棱台 中，D为BC的中点，则
A. A D∥AB B. AD∥平面A B C
C. D. BC⊥平面AA D
10.设双曲线 的左、右焦点分别为F ，F .过F 的直线l与Γ的两条渐近线的交点分别为A、B，A为F B的中点，O为坐标原点.则
A. △AOB 是直角三角形 B. △BOF 是等腰直角三角形
D.直线l的斜率为
11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷n次，定义随机变量 Xn为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定. 例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2，故. 则
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在△ABC中, 已知. 则c= .
13.已知等差数列{an}的前n项和为 Sn，且 则
14. 已知 是8个正整数，记 其中 若S={82,83,84,85,86,87,89}, 则这8个正整数中的最大数与最小数的和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知数列{an}是等比数列， 数列{bn}满足;
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和
16. (15分)
某智能系统用于处理判断题(答案只有“对”和“错”)，系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为p (0＜p＜1)，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立.
(1)当p=0.85时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率；
(2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求p的最小值.
17. (15分)
已知球O的半径为1，在球O的内接八面体PABCDQ中，顶点P，Q分别在平面ABCD两侧，且四棱锥P-ABCD与Q-ABCD 都是正四棱锥.
(1)如图1，若点O在平面ABCD上，求证： PA∥平面QBC；
(2)如图2，若二面角P-AB-Q的正切值为-3，求该内接八面体的体积.
18.(17分)
已知函数
(1)当 时，求f(x)的单调区间；
(2) 若f(x)有两个零点.
(i)求a的取值范围；
(ii) 证明:
19.(17分)
已知A ，A 为椭圆 的左，右顶点，M为 上的一点，N为双曲线 上的一点(M，N两点不同于 两点)，设直线 的斜率分别为 且
(1)设O为坐标原点，证明：O，M，N三点共线；
(2)设 的右焦点分别为 M、N均在第一象限，直线. 与直线 相交于点P,
(i) 证明:
(ii) 证明:
2026年深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B A A B D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BD ABD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14 14. 23
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
【参考答案】
解：
(1)设等比数列{an}的公比为q，则 所以an=2", n∈N',
因为
当n≥2时,
两式相减得
则n≥2时, 当n=1时, b =2符合该式;
所以bn=n+1, n∈N°。
(2) 由于
所以
16.解：
(1)不妨设事件A=“模型甲回答正确”，事件B=“模型乙回答正确”，则 模型甲回答错误”，B=“模型乙回答错误”，
由于A与B相互独立, A与B, A与B, A与B都相互独立，
由题意可得， 5,
分析可得， “在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为 且 与AB互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得
F 5,
故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325.
(2)系统最终输出正确答案可分为第一次输出正确答案和第二次输出正确答案，系统第一次输出正确答案的概率为：P(AB)=0.75p，
由(1)可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为：
王 ,系统第二次输出正确答案的概率为： P(AB∪AB)P(A)=(0.75-0.5p)-p=-0.5p +0.75p,设系统最终输出正确答案的概率为P'，则 于是P'≥0.88, 解得0.8≤p≤2.2, 又由p∈(0,1), 于是(0.8≤p＜1,则p的最小值为0.8.
17.解：
(1) 如图, 连接AC , 则AC必过点O,在四边形PAOC 中，由于对角线AC ，PO互相平分，则四边形PAOC 为平行四边形,故PA∥QC,由于PA 平面QBC且QC 平面QBC,所以PA∥平面QBC.
(2)如图,记正方形ABCD的中心为N,取AB中点M,连接PM, QM , NA, NB,
由于PA=PB, 则PM⊥AB, 同理可证QM⊥AB, 则
∠PMQ 为二面角P-AB-Q的平面角,
又NA=NB, 则NM⊥AB,
则∠PMN 为二面角P-AB=N的平面角,
∠QMN为二面角Q-AB-N 的平面角,
不妨设点O在N的下方，
设ON=x (0＜x＜1) ,
则
于是
于是
由于 则 解得
则 则 四边形 即内接八面体的体积为
18.解：
(1) 由于
令f'(x)=0, x=2,
令f'(x)＞0, x∈(0,2), f(x)在(0,2)上单调递增;
令f'(x)＜0, x∈(2,+∞), f(x)在(2,+∞)上单调递减;
所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，+∞).
(2) 由于
若 于是f(x)在(0，+∞)上单调递增，至多与x轴只有一个交点，矛盾，所以a＞0，
令f'(x)=0, 则等价于
易得 因为x＞0, 则
令 则f(x)在(0,x )上单调递增, 在( 上单调递减，
则 因为 即
所以
显然 不符合题意，故. 即
令 则
则h(x)在(0,+∞)上单调递增, 且h(1)=0,
由于 所以x ＞1,
由于令 在(0，1)上单调递增，则
由于
由零点存在性定理，存在 使得.f(x )=0,
当x＞0时, 易证lnx≤x-1, 则 即
由于
取 且 则
由零点存在性定理，存在 使得f(x )=0,
所以当 时, f(x)在(0,+∞)上有两个零点.
(3) 由(2)可知,
其中 则
下证： 即证：
设
令m'(x)=0, x=2, 于是m(x)在(1,2)上单调递增, 在(2,+∞)上单调递减,
则m(x)≤m(2)=ln2-1＜0,即证.
19.解：
(1) 设M(x ,y ),N(x ,y ),则
因为 可知：
则
因为
可知：
贝
由 可知：
可知： 因此,O ,M,N三点共线.
(2) (i) 由 可得：
由(1) 可知: 则
又 则
因为M，N都在第一象限，所以
所以 结合 可知：
则
又
则x ,
由此可知：
（ⅱ）由(i)可知
直线 直线 设点 于是 则 即 则点P的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，则 又直线F N与直线 垂直，则 于是 所以

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