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2026届中考数学二轮复习第三章函数：二次函数 强化训练
一、选择题
1.将抛物线y＝8x2向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（　　）
A.y＝8（x﹣3）2+5 B.y＝8（x+3）2﹣5 C.y＝8（x﹣3）2﹣5 D.y＝8（x+3）2+5
2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s=-1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A.10 s B.20 s C.30 s D.40 s
3.如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.下列函数中，y关于x的二次函数是（　　）
A.y＝ax2+bx+c B.y＝x（x﹣1） C. D.y＝（x﹣1）2﹣x2
5.抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0），且与y轴交于点（0，-5），则当x=2时，y的值为（　　）
A.-5 B.-3 C.-1 D.5
6.如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高h（m）与投掷距离x（m）之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（　　）
A.6m B.8m C.10m D.12m
7.下列函数中，y关于x的二次函数是（　　）
A.y=ax2+bx+c
B.y=x（x-1）
C.y=
D.y=（x-1）2-x2
8.如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　）
A. B. C. D.
9.定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.二次函数y＝ax2﹣x+c的部分x与y的值如下表所示．若m＜0，n＞0，则点P（a，c）在（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
12.已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则(　　)
A.y313.已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数y=x -bx+k-1的图象可能为(　　)
A.
B.
C.
D.
14.如图，抛物线L :y=ax +bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1，0)，与y轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移2个单位长度得抛物线L ，则图中两个阴影部分的面积和为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x=1对称.下列五个结论：
①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0.其中正确的有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
16.将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
二、填空题
17.若点P(m，n)在二次函数y=x +2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 .
18.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，那么水管的设计高度应为 　　．
19.已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
20.根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　　.（精确到0.01）
21.已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若抛物线经过点（0，3），（4，3），则抛物线的表达式为　 　；
（2）在（1）的条件下，抛物线经过点（m，k），（n，k），当1≤n﹣m＜8时，k的取值范围为　 　．
22.当x＝________时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．
三、解答题
23.［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
24.某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
25.已知抛物线．
(1)用配方法求顶点坐标，对称轴；
(2)x取何值时，y随x的增大而减小？
(3)计算说明x取何值时，？x取何值时，？
26.如图，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标.
27.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
28.某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．2026届中考数学二轮复习第三章函数：二次函数 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.将抛物线y＝8x2向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（　　）
A.y＝8（x﹣3）2+5 B.y＝8（x+3）2﹣5 C.y＝8（x﹣3）2﹣5 D.y＝8（x+3）2+5
【答案】B
【解析】将抛物线y＝8x2向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线为y＝8（x+3）2﹣5，
故选：B．
2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s=-1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A.10 s B.20 s C.30 s D.40 s
【答案】B
【解析】∵a=-1.5<0，
∴函数有最大值，
当t=-=-=20（s），
即飞机着陆后滑行20 s能停下来.
3.如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
由函数的图象可得：当时，，即，
即，故结论②错误；
∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B，
∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确；
综上，结论正确的有3个，
4.下列函数中，y关于x的二次函数是（　　）
A.y＝ax2+bx+c B.y＝x（x﹣1） C. D.y＝（x﹣1）2﹣x2
【答案】B
【解析】A、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数；
B、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数；
C、y不是二次函数；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1为一次函数．
故选：B．
5.抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0），且与y轴交于点（0，-5），则当x=2时，y的值为（　　）
A.-5 B.-3 C.-1 D.5
【答案】A
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0），且与y轴交于点（0，-5），
∴函数图象如图所示，
∵抛物线对称轴x==1，
∴点（0，-5）的对称点是（2，-5），
∴当x=2时，y的值为-5.
6.如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高h（m）与投掷距离x（m）之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（　　）
A.6m B.8m C.10m D.12m
【答案】C
【解析】
当h＝0时，，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝10，
该同学掷实心球的成绩是10m，
故选：C．
7.下列函数中，y关于x的二次函数是（　　）
A.y=ax2+bx+c
B.y=x（x-1）
C.y=
D.y=（x-1）2-x2
【答案】B
【解析】A项，当a=0时，y=bx+c不是二次函数；
B项，y=x（x-1）=x2-x是二次函数；
C项，y=不是二次函数；
D项，y=（x-1）2-x2=-2x+1为一次函数.
8.如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，
，互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
点，的横坐标分别为，，
，．
，，，
设，则，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
点，在轴的同侧，且点在点的右侧，
．
．
故选：B．
9.定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
即，
当时，函数的最小值为．
故选：B．
10.二次函数y＝ax2﹣x+c的部分x与y的值如下表所示．若m＜0，n＞0，则点P（a，c）在（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】由图表可知，m＝c，n＝a﹣1+c，
∵m＜0，n＞0，
∴c＜0，a﹣1+c＞0，
即c＜0，a＞0，
∴点P（a，c）在第四象限，
故选：D．
11.若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴.
故选：A．
12.已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则(　　)
A.y3【答案】B
【解析】方法一　距离法
由题意知，抛物线的对称轴为直线
x=-=-2，
∵a=-3<0，∴当x=-2时，函数值最大，
又∵-3到-2的距离比1到-2的距离小，
∴y3方法二　特值法
取m=0，则抛物线解析式为y=-3x2-12x，分别把x=-3，x=-2，x=1代入解析式，得y1=9，y2=12，y3=-15，∴y313.已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数y=x -bx+k-1的图象可能为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图所示，
设，则，根据图象可得，
将点代入，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∵抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，．
故选：A．
14.如图，抛物线L :y=ax +bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1，0)，与y轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移2个单位长度得抛物线L ，则图中两个阴影部分的面积和为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），
与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝1×2＝2．
故选：B．
15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x=1对称.下列五个结论：
①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0.其中正确的有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x=1对称，
∴-=1，
∵a>0，
∴b=-2a<0，
∵c<0，
∴abc>0，
故①正确；
∵b=-2a，
∴2a+b=0，
故②正确；
∵当x=0时，y<0，对称轴为直线x=1，
∴当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，
故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④错误；
∵当x=-1时，y>0，
∴a-b+c>0，
∵b=-2a，
∴3a+c>0，
故⑤正确.
16.将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
二、填空题
17.若点P(m，n)在二次函数y=x +2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 .
【答案】1≤n<10
【解析】点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：.
18.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，那么水管的设计高度应为 　　．
【答案】 m
【解析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+3，
当x＝0时，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，
∴水管的设计高度应为 m．
故答案为： m．
19.已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
解得：，
故答案为：；
20.根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　　.（精确到0.01）
【答案】1.65
【解析】根据题意得6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，
可见6.0225比5.9696更接近6，
当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65.
故答案为：1.65.
21.已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若抛物线经过点（0，3），（4，3），则抛物线的表达式为　 　；
（2）在（1）的条件下，抛物线经过点（m，k），（n，k），当1≤n﹣m＜8时，k的取值范围为　 　．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）﹣≤k＜15
【解析】（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c （b，c为常数）经过点（0，3），（4，3），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3；
（2）∵抛物线 y＝x2﹣4x+3 经过点（m，k），（n，k），
∴当 y＝k 时，m，n 是关于 x2﹣4x+3﹣k＝0 的两个不相等的实数根，
∴m+n＝4，mn＝3﹣k，
∴，
∵1≤n﹣m＜8，
∴．
∴1≤4+4k＜64，
解得：﹣≤k＜15．
22.当x＝________时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．
【答案】1　5
【解析】二次函数y＝x2－2x＋6，对称轴x=1，代入得ymin=5．
故答案为：1　5．
三、解答题
23.［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【答案】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，
设直线的解析式为，
，
，
扣杀球击球路线的函数表达式为；
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）对于，令，则，
，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
24.某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【答案】解：（1）∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为，
∵当时，；当时，；
∴，解得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由（1）知，，
∴日销售额，
∵玩具日销售额为300元，
∴令，即，
整理可得，
解得，，
∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
25.已知抛物线．
(1)用配方法求顶点坐标，对称轴；
(2)x取何值时，y随x的增大而减小？
(3)计算说明x取何值时，？x取何值时，？
【答案】（1）解： ，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：∵，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
（3）解：当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
又∵抛物线图象开口向下，
当时，；
当或时，．
26.如图，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标.
【答案】解　（1）∵抛物线y=ax2+bx-3经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
（2）如图，连接BC交抛物线的对称轴于点P，
∵y=x2-2x-3，
∴C（0，-3），
∵点A与点B关于直线x==1对称，
∴PA=PB，
∴AP+PC=CP+PB，
∴当点P，C，B在一条直线上时，AP+PC有最小值，
又∵AC为定值，
∴当点P，C，B在一条直线上时，△APC的周长最小.
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），代入B（3，0），C（0，-3），得
解得
∴直线BC的解析式为y=x-3，
将x=1代入y=x-3，得y=-2，
∴点P的坐标为（1，-2）.
27.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】
（1）解：，

与之间的函数解析式（）；
（2）解：当时，，
解得，，
，
∴不符合题意，舍去，
即该地摊销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
28.某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【答案】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．

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