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北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 题型专练（参考答案）
【题型1】直角三角形的性质
【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠BAD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的平分线，则∠B的度数为（　　）
A.45° B.60° C.30° D.75°
【答案】C
【解析】∵∠BAC=2∠BAD，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵DE是∠ADB的平分线，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∴∠B=∠EAD，
∴∠CAD=∠EAD=∠B，
∵∠CAD+∠EAD+∠B=90°，
∴∠B=30°，
故选：C．
【强化训练1】如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　）
A.135° B.150° C.120 D.110°
【答案】A
【解析】∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA＝ (∠CAB+∠CBA)＝45°，
∴∠AFB=180°-45°=135°．
故选：A．
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【答案】B
【解析】∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=55°，
∴∠B=35°，
故选：B．
【强化训练3】直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为 ．
【答案】40°
【解析】因为直角三角形中一个锐角是50°，
所以另一个锐角是90°-50°=40°．
故答案为：40°．
【强化训练4】如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=35°．
求：（1）∠EBC的度数；
（2）∠BCD的度数．
【答案】解 （1）∵∠ACB=90°，∠A=35°（已知），
又∵∠EBC=∠ACB+∠A（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠EBC=90°+35°=125°（等量代换）．
（2）∵∠EBC=∠BDC+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠BCD=∠EBC-∠BDC（等式的性质）．
∵CD⊥AB（已知），
∴∠BDC=90°（垂直定义），
∴∠BCD=125°-90°=35°（等量代换）．
【题型2】勾股定理
【典例】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1＝2，S2＝8，S4＝3，则S3的值是（　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】B
【解析】连接AC，
在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即AC2＝S1+S2＝2+8＝10．
在直角△ADC中，AC2＝AD2+DC2，即AC2＝S4+S3＝S3+3．
所以S3+3＝10．
所以S3＝7．
故选：B．
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于D，E为AD上任一点，则CE2﹣BE2等于（　　）
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】D
【解析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDE和Rt△CDE中，
BE2＝BD2+ED2＝AB2﹣AD2+ED2，EC2＝CD2+ED2＝AC2﹣AD2+ED2，
∴EC2﹣EB2＝（AC2﹣AD2+ED2）﹣（AB2﹣AD2+ED2）
＝AC2﹣AB2
＝32﹣22
＝5．
故选：D．
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为　 　．
【答案】
【解析】∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10，
∴BD＝CD＝BC＝5，∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝12，
∵BE是AC边上的中线，
∴点G为△ABC的重心，
∴DG＝AD＝4，GE＝BG，
∴BG＝＝＝，
∴GE＝BG＝，
故答案为：．
【强化训练3】如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　．
【答案】7
【解析】由勾股定理可知OB＝，OC＝，OD＝
∴OD2＝7．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长．
【答案】解 ∵AD平分∠CAB，
又∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵BD＝5，
∴BE＝＝4．
【题型3】最短路径问题
【典例】小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【答案】C
【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，
∵AB＝12，BC＝18＝9，
∴装饰带的长度＝2AC＝2×＝30（cm），
故选：C．
【强化训练1】如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　）
A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm
【答案】C
【解析】将长方体展开，连接AB′，
则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．
故选：C．
【强化训练2】某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　）
A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm
【答案】B
【解析】∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm，
设扇形的圆心角为n度，
∴＝20π，
解得n＝120，
∴∠ABA′＝120°，
作BC⊥AA′于点C，
∴∠BAA′＝30°，
∴BC＝15cm，
∴AC＝15cm，
∴AA′＝2AC＝30cm，
∴这条彩带的最短长度是30cm．
故选：B．
【强化训练3】如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　 　cm．（杯壁厚度不计）
【答案】
【解析】如图，
将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离，
AC＝＝（cm）．
答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm．
故答案为：．
【强化训练4】一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　 　米．
【答案】13
【解析】如图所示，
∵AC＝12m，BC＝5m，
∴AB＝（m）
答：梯子最短需要13m．
故答案为13．
【强化训练5】如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．
（1）请问彩带的长度是多少？
（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？
（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）
【答案】解 （1）如图，
将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C，D，E，取AB的四等分点C′，D′，E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC，
则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短彩带长，
∵AC2＝AA′2+A′C2，AC＝＝13，
∴4AC＝52，
答：彩带的长度是52cm．
（2）如图，
将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程，
在直角△AMC′中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm，
由勾股定理得AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520，
则AC′＝2cm，
答：蚂蚁走的最短路程是2cm．
【强化训练6】如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3）
【答案】解 把圆柱体展开如图，
∵点B应为展开图长方形一边的中点，
∴AC为底面圆周长的一半，AC＝6cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
∴红线的长为10×2＝20（cm），
∴至少需红线20cm．
【题型4】勾股定理的逆定理
【典例】在△ABC中，BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm，点D是BC的中点，则AD等于（　　）cm．
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
【答案】A
【解析】∵BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BC＝cm，
故选：A．
【强化训练1】如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
【答案】A
【解析】∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝32+42＝25＝AB2，
∴∠C＝90°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝2，
∴BD=，
故选：A．
【强化训练2】如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，BC=，AD=，则DE＝　 　．
【答案】2
【解析】∵BD＝1，DC＝3，BC＝，
又∵12+32＝（）2，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
又∵E点为AC的中点，
∴DE＝AC＝2．
故答案为：2．
【强化训练3】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
【答案】解 ∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15，
∴AB2+AD2＝BD2，
BD2+BC2＝DC2．
∴△ABD，△BDC是直角三角形．
∴∠A＝90°，∠DBC＝90°．
故这个零件符合要求．
【题型5】勾股数
【典例】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A.2，3，4 B.4，5，6 C.7，8，9 D.6，8，10
【答案】D
【解析】A.22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B.42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C.72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D.82+62＝102，故是勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
【强化训练1】给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（　　）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】C
【解析】①由于0.32+0.42＝0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2，故③说法正确；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确．
故选：C．
【强化训练2】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…）
【答案】17
【解析】145=，
所以a＝17．
故答案为17．
【强化训练3】（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】解 （1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵k是正整数，
∴3k，4k，5k都是正整数，
∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，
∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数．
（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，
∴ak，bk，ck是三个正整数，
∵a2+b2＝c2，
∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．
【题型6】互逆命题与互逆定理
【典例】已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（　　）
A.如果a=b,那么|a|=|b|
B.如果|a|=|b|，那么a=b
C.如果a≠b,那么|a|≠|b|
D.如果|a|≠|b|，那么a≠b
【答案】B
【解析】已知本题中命题的题设是a=b,结论是|a|=|b|，
所以它的逆命题中的题设是|a|=|b|，结论是a=b,
所以本题中的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b.
故选：B．
【强化训练1】下列命题中：
（1）对顶角相等；
（2）相等的角是对顶角；
（3）同一个角的两个邻角是对顶角；
（4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角；
其中，互为逆命题的是（　　）
A.（1）和（2） B.（2）和（3） C.（1）和（3） D.（1）和（4）
【答案】A
【解析】对顶角相等与相等的角是对顶角互为逆命题．
故选：A．
【强化训练2】命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】如果3a=3b,那么a=b 真
【强化训练3】命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】命题“如a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b,
是假命题，
故答案为：假．
【强化训练4】已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件： ，结论： ．（填序号）
证明： ．
【答案】解 条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F，
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC，
∴∠AGF=∠F．
【题型7】用HL判定三角形全等
【典例】如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
【答案】C
【解析】①△ABC≌△DCB ∵AB∥EF∥DC ∴∠ABC=∠DCB
∵AB=DC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB；
②△ABE≌△CDE ∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，AB=DC，∴△ABE≌△CDE；
③△BFE≌△CFE，∵BE=EC，EF=EF，∠BEF=∠CEF，∴△BFE≌△CFE．
∴图中的全等三角形共有3对．
【强化训练1】如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45°
【答案】A
【解析】添加AB=AC，符合判定定理HL； 添加BD=DC，符合判定定理SAS； 添加∠B=∠C，符合判定定理AAS； 添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA； 选其中任何一个均可．故选A．
【强化训练2】如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【答案】AB=CD
【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等．
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
【答案】证明 在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
【强化训练4】如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
【答案】证明 ∵BF=EC，
∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
【题型8】用HL证明边或角相等
【典例】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【答案】B
【解析】∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE＝∠CFD＝45°，
∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝45°.
【强化训练1】如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【答案】C
【解析】用HL证明边或角相等.
∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，∴∠A=∠D=90°（A正确）．
又∵AC=DB，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB（B正确），
∴AB=CD．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴OA=OD（D正确）．
C中OD，OB不是对应边，不相等．故选C．
【强化训练2】如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2等于（　　）
A.40° B.50° C.60° D.75°
【答案】B
【解析】∵∠B=∠D=90°,
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）,
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选B．
【强化训练3】如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【答案】C
【解析】用HL证明边或角相等.
∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，∴∠A=∠D=90°（A正确）．
又∵AC=DB，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB（B正确），
∴AB=CD．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴OA=OD（D正确）．
C中OD，OB不是对应边，不相等．故选C．
【强化训练4】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【答案】B
【解析】∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE＝∠CFD＝45°，
∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝45°.
【强化训练5】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证：
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)点D在∠BAC的角平分线上．
【答案】证明 (1)∵D是BC边上的中点，
∴DB＝DC，
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF＝DE，
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴点D在∠BAC的角平分线上．
【强化训练6】如图，已知直线AM过△ABC的边BC的中点D，BE⊥AM于E，CF⊥AM于F．求证：DE=DF．
【答案】证明 ∵D是边BC的中点，
∴BD=DC．
又∵BE⊥AM于E，CF⊥AM于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵∠BDE=∠CDF．
∴△DBE≌△DCF．
∴DE=DF．
【题型9】HL的应用
【典例】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
则（1）AB=DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；
（3）∠ABC=∠DEF．故选 C．
【强化训练1】如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【答案】C
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF=∠ABC，
∵∠ABC=32°，
∴∠DFE=90°-32°=58°．故选C．
【强化训练2】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
则（1）AB=DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；
（3）∠ABC=∠DEF．故选 C．
【强化训练3】如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【答案】C
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF=∠ABC，
∵∠ABC=32°，
∴∠DFE=90°-32°=58°．故选C．
【强化训练4】小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C，D为垂足，用三角板作OA，OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．
【答案】解 小明的做法有道理．
理由如下：在Rt△OPC和Rt△OPD中，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP就是∠AOB的角平分线．
【强化训练5】如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）G点一定是AB的中点吗？说明理由；
（2）钉这两块木条的作用是什么？
【答案】解 （1）是，理由：在正方形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=BF，在Rt△AEG和Rt△BFG中，，
∴△AEG≌△BFG（HL），
∴AG=GB，
故G点一定是AB的中点；
（2）结合图形可知，利用三角形的稳定性，使窗架稳定．
【题型10】求高度或距离
【典例】如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．
A.10 B.12 C.13 D.14
【答案】C
【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得，x2+（）2＝（x+1）2，
解得x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
【强化训练1】如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　）
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
【答案】C
【解析】∵△ABC是直角三角形，BC＝3米，AB＝5米，
∴AC＝＝4（米），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，
故选：C．
【强化训练2】有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m，则AB的长为（　　）
A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.15m
【答案】B
【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m，
∴AB==1.5(m)，
故选：B．
【强化训练3】在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　 　寸．
【答案】101
【解析】设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得2r＝101．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：101．
【强化训练4】如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
则风筝的高度CE是 　 　米．
【答案】13.6
【解析】∵BD⊥CE，
∴∠BDC＝90°，
由勾股定理得，
CD＝＝＝12（米），
∵四边形BAED是矩形，
∴DE＝AB＝1.6（米），
∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米），
故答案为：13.6．
【强化训练5】学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【答案】解 设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AC2＝AE2+CE2，
∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，
∴x＝13．
答：旗杆AB的高度为13米．
【强化训练6】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴AC=（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴BC=（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，
答：此人需向右移动的距离为（）米．
（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收绳，
∴收绳时间，
答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
【题型11】水杯中的筷子问题
【典例】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）
A.4≤a≤5 B.3≤a≤4 C.2≤a≤3 D.1≤a≤2
【答案】B
【解析】设b是圆柱形的高，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12；
∴a＝16﹣12＝4，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b＝＝13，
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
【强化训练1】如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（　　）
A.5≤a≤12 B.12≤a≤3 C.12≤a≤4 D.12≤a≤13
【答案】D
【解析】最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，
由题意知，牛奶盒底面对角长为＝5，
当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，则吸管长度为＝13，
即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，
故选：D．
【强化训练2】如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（　　）
A.6cm B.5cm C.3cm D.2cm
【答案】C
【解析】根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．
故选：C．
【强化训练3】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）
A.4≤a≤5 B.3≤a≤4 C.2≤a≤3 D.1≤a≤2
【答案】B
【解析】设b是圆柱形的高，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12；
∴a＝16﹣12＝4，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b＝＝13，
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
【强化训练4】如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（　　）
A.6cm B.5cm C.3cm D.2cm
【答案】C
【解析】根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．
故选：C．
【题型12】与梯子滑落相关问题
【典例】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【答案】D
【解析】∵AB＝2.5米，AC＝0.7米，
∴BC＝＝2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE＝0.4米，
∴EC＝BC﹣0.4＝2（米），
∴DC＝＝1.5（米）．
∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：D．
【强化训练1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【答案】C
【解析】如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．
∵AB＝BE，
∴BE＝2.5（m），
∴BD＝＝＝1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
【强化训练2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【答案】C
【解析】如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．
∵AB＝BE，
∴BE＝2.5（m），
∴BD＝＝＝1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
【强化训练3】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【答案】D
【解析】∵AB＝2.5米，AC＝0.7米，
∴BC＝＝2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE＝0.4米，
∴EC＝BC﹣0.4＝2（米），
∴DC＝＝1.5（米）．
∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：D．北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 题型专练
【题型1】直角三角形的性质
【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠BAD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的平分线，则∠B的度数为（　　）
A.45° B.60° C.30° D.75°
【强化训练1】如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　）
A.135° B.150° C.120 D.110°
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【强化训练3】直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为 ．
【强化训练4】如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=35°．
求：（1）∠EBC的度数；
（2）∠BCD的度数．
【题型2】勾股定理
【典例】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1＝2，S2＝8，S4＝3，则S3的值是（　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于D，E为AD上任一点，则CE2﹣BE2等于（　　）
A.1 B.2 C.4 D.5
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为　 　．
【强化训练3】如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长．
【题型3】最短路径问题
【典例】小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【强化训练1】如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　）
A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm
【强化训练2】某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　）
A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm
【强化训练3】如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　 　cm．（杯壁厚度不计）
【强化训练4】一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　 　米．
【强化训练5】如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．
（1）请问彩带的长度是多少？
（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？
（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）
【强化训练6】如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3）
【题型4】勾股定理的逆定理
【典例】在△ABC中，BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm，点D是BC的中点，则AD等于（　　）cm．
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
【强化训练1】如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
【强化训练2】如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，BC=，AD=，则DE＝　 　．
【强化训练3】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
【题型5】勾股数
【典例】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A.2，3，4 B.4，5，6 C.7，8，9 D.6，8，10
【强化训练1】给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（　　）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【强化训练2】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…）
【强化训练3】（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【题型6】互逆命题与互逆定理
【典例】已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（　　）
A.如果a=b,那么|a|=|b|
B.如果|a|=|b|，那么a=b
C.如果a≠b,那么|a|≠|b|
D.如果|a|≠|b|，那么a≠b
【强化训练1】下列命题中：
（1）对顶角相等；
（2）相等的角是对顶角；
（3）同一个角的两个邻角是对顶角；
（4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角；
其中，互为逆命题的是（　　）
A.（1）和（2） B.（2）和（3） C.（1）和（3） D.（1）和（4）
【强化训练2】命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【强化训练3】命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
【强化训练4】已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件： ，结论： ．（填序号）
证明： ．
【题型7】用HL判定三角形全等
【典例】如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
【强化训练1】如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45°
【强化训练2】如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
【强化训练4】如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
【题型8】用HL证明边或角相等
【典例】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【强化训练1】如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【强化训练2】如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2等于（　　）
A.40° B.50° C.60° D.75°
【强化训练3】如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【强化训练4】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【强化训练5】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证：
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)点D在∠BAC的角平分线上．
【强化训练6】如图，已知直线AM过△ABC的边BC的中点D，BE⊥AM于E，CF⊥AM于F．求证：DE=DF．
【题型9】HL的应用
【典例】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【强化训练1】如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【强化训练2】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【强化训练3】如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【强化训练4】小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C，D为垂足，用三角板作OA，OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．
【强化训练5】如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）G点一定是AB的中点吗？说明理由；
（2）钉这两块木条的作用是什么？
【题型10】求高度或距离
【典例】如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．
A.10 B.12 C.13 D.14
【强化训练1】如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　）
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
【强化训练2】有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m，则AB的长为（　　）
A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.15m
【强化训练3】在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　 　寸．
【强化训练4】如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
则风筝的高度CE是 　 　米．
【强化训练5】学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【强化训练6】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【题型11】水杯中的筷子问题
【典例】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）
A.4≤a≤5 B.3≤a≤4 C.2≤a≤3 D.1≤a≤2
【强化训练1】如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（　　）
A.5≤a≤12 B.12≤a≤3 C.12≤a≤4 D.12≤a≤13
【强化训练2】如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（　　）
A.6cm B.5cm C.3cm D.2cm
【强化训练3】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）
A.4≤a≤5 B.3≤a≤4 C.2≤a≤3 D.1≤a≤2
【强化训练4】如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（　　）
A.6cm B.5cm C.3cm D.2cm
【题型12】与梯子滑落相关问题
【典例】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【强化训练1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【强化训练2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【强化训练3】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8

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