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构造三角形中位线的常用方法 题型专练
方法一：连接两点构造三角形的中位线
方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线
方法三：利用倍长法构造三角形的中位线
方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线
方法一：连接两点构造三角形的中位线
1．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
【答案】D
【解答】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE是CMN的中位线，
∴DECM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB5，
∵S△ABC，
∴CM，
∴DE1.2，
故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一点，点E为AB边上的动点，点F，G分别为CD，DE的中点，则FG的最小值为（　　）
A．1 B．1.2 C．1.5 D．1.8
【答案】B
【解答】解：如图，连接CE，
∵点F，G分别为CD，DE的中点，
∴，
当CE⊥AB时，CE的值最小，此时FG的值也最小，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
【答案】C
【解答】解：如图，连接AR，
∵四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF，
由题意可知，线段AR的长度是定值，
∴线段EF的长度是定值，
∴线段EF的长不变，
故选：C．
4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，EF⊥AB．若EF＝6，AB＝5，则BC的长度为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【解答】解：在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，EF＝6，AB＝5，如图，连接AC，
∴EF是△ACD的中位线，
∴，即AC＝2EF＝12，
又∵EF⊥AB，
∴AC⊥AB，
则∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，D、E分别是边BC、AB上的动点，M、N分别是DE、AE的中点，则MN的最小值是　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接AD，
∵M、N分别是DE、AE的中点，
∴MN是△AED的中位线，
∴（三角形的中位线等于第三边的一半），
当CD最小时，MN最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，62+82＝102，
∴AB2+AC2＝BC2（勾股定理的逆定理），
∴∠BAC＝90°，
当AD⊥BC时，，
∴，
解得：，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，，若CF＝3，则EF的长为 　4　 ．
【答案】4
【解答】解：如图，连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB＝4，
∴DE是△ABC的中位线，BD＝2，
∴DEBC，DE∥BC，
∵CFBC，CF＝3，
∴DE＝CF，BC＝6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF＝CD，
∵CA＝CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴CD4，
∴EF＝4，
故答案为：4．
7．如图，在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，E，F分别是AC，BC的中点，延长AB到点D，使，连接DE，DF，DE交BF于点G．求证：BG＝FG．
【答案】见解答
【解答】证明：连接BE、FE，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EFAB．
又∵，
∴EF＝BD．
又∵EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形．
∴BF与DE互相平分，
∴BG＝FG．
方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线
8．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥CE，AB＝6，AC＝10，则DE的长为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠EAM＝∠EAC，
∵AE⊥CE，
∴∠AEM＝∠AEC＝90°，
∴∠M＝∠ACM，
∴AM＝AC＝10，
∴BM＝AM﹣AB＝10﹣6＝4，
∵AM＝AC，AE⊥CE，
∴ME＝CE，
∵D是CB的中点，
∴DE是△CMB的中位线，
∴DEMB＝2，
故答案为：2．
9．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2，
∵BD＝DH，BM＝MC，
∴DM是△BCH的中位线，
∴，
故选：D．
10．如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC＝10，AB＝18，则EF的长为（　　）
A．6 B．4.8 C．4 D．7
【答案】C
【解答】解：延长CE交AB于G，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠GAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝∠AEG＝90°，
在△AEC与△AEG中，
，
∴△AEC≌△AEG（ASA），
∴CE＝GE，AC＝AG＝10，
∴BG＝AB﹣AG＝18﹣10＝8，
∵F是BC的中点，
∴CF＝BF，
∴EFBG＝4，
故选：C．
11．如图，已知BD，CE分别是△ABC的内角平分线，过A点作AF⊥BD；AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，若AB＝4，AC＝6，BC＝7，则FG的长等于　　 ．
【答案】．
【解答】解：延长AF交BC于点M，延长AG交BC于点N，
∵BD，CE分别是△ABC的内角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°，
在△ABF和△MBF中，
，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴BM＝BA，AF＝FM，
同理，CN＝CA，NG＝GA，
∴GF是△AMN的中位线，
∴GFMN，
∵AB+AC＝MB+CN＝BN+MN+CM+MN，BC＝BN+MN+CM，
∴AB+AC﹣BC＝MN，
∴GFMN（AB+AC﹣BC）（4+6﹣7）．
故答案为：．
12．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】D
【解答】解：延长CF交AB与点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝∠AFG，
∵AF＝AF，
∴△AFC≌△AFG，
∴AG＝AC，GF＝CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴，
故选：D．
13．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长为（　　）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴∠AGB＝∠DGB＝90°，∠ABG＝∠DBG，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△DBG（ASA），
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴ACAF．
故选：B．
方法三：利用倍长法构造三角形的中位线
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝　3　 ．
【答案】3
【解答】解：连接CF并延长交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠FBG，
在△FDC和△FBG中，
，
∴△FDC≌△FBG（ASA）
∴BG＝DC＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，
∵CE＝EA，CF＝FG，
∴EFAG＝3，
故答案为：3．
15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE＝DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，
∴EFCK（DC﹣DK）（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，
∴EGBC，
又FG为△ACD的中位线，
∴FGAD，
∴EG+GF（AD+BC），
∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，
∴EG+GF＝6，FE＝3，
∴△EFG的周长是6+3＝9．
故选：B．
16．在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是 　8或12　 ．
【答案】8或12．
【解答】解：如图，延长AD交BC延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB＝∠FDB＝90°，
∴∠BAD＝∠BFD，
∴BF＝BA＝10，
∵BD⊥AF，
∴D是AF中点，
∵E是AC的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴CF＝2DE＝2×1＝2，
∴BC＝BF﹣CF＝10﹣2＝8．
如图，
同样求得CF＝2，DF＝AB＝10，
∴BC＝BF+FC＝12．
故答案为：8或12．
17．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
（1）如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且；
（2）如图2，四边形ABCD中，点M是边AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥BC，AD＝4，MN＝5，直接写出BC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：如图所示，延长DE到F，使得DE＝FE，连接CF．
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠FCE，AD＝CF，
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DF＝BC，
又∵DE＝FE，
∴，
∴DE∥BC，且；
（2）解：如图所示，连接AN并延长交BC延长线于E，
∵AD∥BC，
∴∠NAD＝∠NEC，∠NDA＝∠NCE，
∵点N是CD的中点，
∴DN＝CN，
在△ADN和△ECN中，
，
∴△ADN≌△ECN（AAS），
∴AD＝CE＝4，AN＝NE，即点N是AE的中点，
又∵点M是AB的中点，
∴由（1）的结论可知BE＝2MN＝10，
∴BC＝BE﹣CE＝10﹣4＝6．
方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线
18．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，EF＝10，则BD的长度是（　　）
A． B．20 C． D．16
【答案】D
【解答】解：取AB的中点H，连接EH交AC于点P，设AC交BD于点Q，
∵AC⊥BD，
∴∠AQB＝90°，
∵点E、F分别是边AD、BC的中点，AC＝12，
∴HE∥BD，且HEBD，HF∥AC，且HFAC＝6，
∴∠EHF＝∠APH＝∠AQB＝90°，
∵EF＝10，
∴HE8，
∴BD＝2HE＝16，
故选：D．
19．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED，
∵N为AB的中点，
∴AN＝BN，
∵∠AND＝∠BNF，
在△AND和△BNF中，
，
∴△AND≌△BNF（SAS），
∴AD＝BF，∠DAN＝∠FBN，
∴AD∥BC，
∴∠DAC+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠DAC＝60°，
∵AD＝BF，AE＝BF＝5，
∴AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD＝5，
∵M为EF的中点，ND＝NF，
∴MNDE，
故答案为：．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　　 ．
【答案】
【解答】解：连接CD，设CD的中点为F，连接FN，FM，如图所示：
在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，
∴AD⊥CE，
∵点M、N分别是AC、DE的中点，
∴FN是△CDE的中位线，FM是△ACD的中位线，
∴FN∥CD，FNCE，FM＝∥AD，FMAD＝2，
∴FM⊥FN，
∴△FMN是直角三角形，
在Rt△FMN中，由勾股定理得：MN，
∴MN的长度为．
故答案为：．
21．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，则EF的长是（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE是△ADB的中位线，
∴PE∥AB，且PEAB＝3，PF∥CD且PFCD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF，
即EF＝5；
故选：D．
22．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　）
A．1.5 B．3 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接AF，取AF的中点G，连接MG、NG，
在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵AC2+BC2＝9+16＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵M、G分别为EF、AF的中点，
∴MG是△AEF的中位线，
∴MGAE＝1，MG∥AE，
∴∠MGF＝∠CAF，
同理可得：NGBF＝1，NG∥BF，
∴∠ANG＝∠B，
∴∠MGN＝∠MGF+∠NGF＝∠CAF+∠FAB+∠B＝90°，
∴MN，
故选：D．
23．如图，在△ABC中，点E是AB边上的中点，点D在AC上，BD交CE于点F，且∠ADB＝2∠BFE，若BD＝5，AD＝3，则线段BF的长为　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：如图，取AD的中点G，连接EG，
则AG＝GDAD＝1.5，
∵点E是AB边上的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EGBD＝2.5，EG∥BD，
∴∠ADB＝∠AGE，∠CEG＝∠BFE，
∴∠AGE＝2∠CEG，
∵∠AGE＝∠CEG+∠GCE，
∴∠CEG＝∠GCE，
∴CG＝EG＝2.5，
∴CD＝CG﹣DG＝2.5﹣1.5＝1，
∵∠CFD＝∠CEG＝∠GCE，
∴DF＝CD＝1，
∴BF＝BD﹣DF＝5﹣1＝4，
故答案为：4．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN的长为　13　 ．
【答案】13．
【解答】解：如图，M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，
∴NF∥BE，MF∥AD，，，
∵∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵MF∥AD，
∴MF⊥BC，
∵NF∥BE，
∴NF⊥MF，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：，
故答案为：13．中小学教育资源及组卷应用平台
构造三角形中位线的常用方法 题型专练
方法一：连接两点构造三角形的中位线
方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线
方法三：利用倍长法构造三角形的中位线
方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线
方法一：连接两点构造三角形的中位线
1．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一点，点E为AB边上的动点，点F，G分别为CD，DE的中点，则FG的最小值为（　　）
A．1 B．1.2 C．1.5 D．1.8
3．如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，EF⊥AB．若EF＝6，AB＝5，则BC的长度为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．13
5．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，D、E分别是边BC、AB上的动点，M、N分别是DE、AE的中点，则MN的最小值是 　 ．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，，若CF＝3，则EF的长为 　 　 ．
7．如图，在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，E，F分别是AC，BC的中点，延长AB到点D，使，连接DE，DF，DE交BF于点G．求证：BG＝FG．
方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线
8．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥CE，AB＝6，AC＝10，则DE的长为　 　 ．
9．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC＝10，AB＝18，则EF的长为（　　）
A．6 B．4.8 C．4 D．7
11．如图，已知BD，CE分别是△ABC的内角平分线，过A点作AF⊥BD；AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，若AB＝4，AC＝6，BC＝7，则FG的长等于　 　 ．
12．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．2.5
13．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长为（　　）
A．10 B． C． D．
方法三：利用倍长法构造三角形的中位线
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝　 　 ．
15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
16．在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是 　 　 ．
17．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
（1）如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且；
（2）如图2，四边形ABCD中，点M是边AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥BC，AD＝4，MN＝5，直接写出BC的长．
方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线
18．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，EF＝10，则BD的长度是（　　）
A． B．20 C． D．16
19．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为 ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　 ．
21．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，则EF的长是（　　）
A． B．3 C．4 D．5
22．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　）
A．1.5 B．3 C． D．
23．如图，在△ABC中，点E是AB边上的中点，点D在AC上，BD交CE于点F，且∠ADB＝2∠BFE，若BD＝5，AD＝3，则线段BF的长为　 ．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN的长为　 　 ．

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