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7.3 定义、命题、定理
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 大田县期末）下列各命题中，是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．内错角相等
C．同旁内角相等 D．同位角相等
2．（2025秋 梅县区期末）在下列句子中，是定义的是（　　）
A．过一点画已知直线的垂线
B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
C．作一个角等于已知角
D．a，b两条直线平行吗
3．（2025秋 永康市期末）下列可以作为说明命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题的反例的是（　　）
A．a＝2，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝0，b＝2 D．a＝2，b＝﹣1
4．（2025秋 滨江区期末）下列句子中，是命题的是（　　）
A．正数大于一切负数吗？
B．两个锐角的和大于直角
C．作一条直线和已知直线垂直
D．在线段AB上任取一点
5．（2025秋 合江县期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角互补，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
6．（2025秋 三水区期末）下列语句中，是命题的是（　　）
A．你喜欢数学吗？
B．取线段AB的中点
C．美丽的天空
D．两直线平行，内错角相等
7．（2025秋 七里河区校级期末）下列命题中，真命题是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．有两个角互余的三角形是直角三角形
C．两点之间，直线最短
D．如果|a|＝a，则a＞0
8．（2025秋 晋江市期末）下列选项，能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例是（　　）
A．2k（k为常数） B．15
C．26 D．28
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 衢江区期末）能判断命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是　 　 ．
10．（2025秋 增城区期末）命题“等边对等角”是　 　 ，命题．（填“真”或“假”）
11．（2025秋 平顶山期末）将命题“内错角相等”，写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ．
12．（2025秋 下花园区期末）命题“是一个小于3的无理数”是　 　 命题（填“真”或“假”）．
13．（2025秋 宝鸡期末）下列命题中，是真命题的是　 　 ．（填序号）
①同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③两个锐角之和一定是钝角．
14．（2025秋 滨江区期末）“对于任何实数a，﹣a＜|a|”是一个　 　 （填“真”或“假”）命题．
15．（2025秋 黔江区期末）把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式是：　 　 ．
16．（2025秋 柯桥区期末）要判断命题“若x＜5，则x2＜25”是假命题，请举出一个反例，x的取值可以是　 　 ．
三、解答题（共5小题）
17．（2025秋 顺德区期末）如图，点E、F分别在线段AB、CD上（不含端点）．连接EC、BF，EC、BF分别交AD于点G、H．有四个信息：①∠A＝∠D，②∠B＝∠C，③AB∥CD，④EC∥BF．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题．
（1）你选择的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ；（填序号）
（2）证明你构造的命题是真命题．
18．（2025秋 海安市校级期中）判断下列四个命题哪些是真命题，并对其中一个真命题进行证明．
（1）如果|a|＝|b|，那么a＝b；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
（3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且ab﹣ac＝b2﹣bc，那么这个三角形一定是等边三角形．
19．（2025秋 襄都区期中）已知命题“如果a＝b，那么a2＝b2．”
（1）写出此命题的逆命题；
（2）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
20．（2025春 安阳县期末）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若命题“已知∠CDE＝ 　 　 ，则∠B＝40°”是真命题，请填空，并说明理由．
21．（2025秋 下花园区期末）完成下面证明过程．
已知：如图，点D，H在AB上，点G在AC上，点E在BC上，GH⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为H，D，∠2+∠3＝180°．
求证：∠1＝∠A．
证明：∵GH⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠AHG＝∠HDC＝90°（垂直的定义），
∴CD∥GH（　 　 ），
∴∠3+∠4＝180°（　 　 ）．
∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠2＝　 　 （同角的补角相等），
∴　 　 （内错角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠A（　 　 ）．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】A
根据对顶角的性质、平行线的性质、同旁内角的概念判断．
【解答】解：A、对顶角相等，本选项说法是真命题；
B、两直线平行，内错角相等，本选项说法是假命题；
C、同旁内角不一定相等，本选项说法是假命题；
D、两直线平行，同位角相等，本选项说法是假命题；
故选：A．
2．【答案】B
定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项B明确给出了直角三角形的定义，符合要求．
【解答】解：根据定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述可知：
选项B中有一个角是直角的三角形叫做直角三角形符合定义的特征；
∴选项B是定义，符合题意；
其他选项A、C为操作指令，选项D为疑问句，均不是定义．均不符合题意；
故选：B．
3．【答案】A
找到满足a＞b且不满足a2＞b2的一对a、b的值即可．
【解答】解：当a＝2，b＝﹣2时，
则a2＝22＝4，b2＝（﹣2）2＝4，
满足a＞b，但不满足a2＞b2，
故选：A．
4．【答案】B
根据命题的概念判断即可．
【解答】解：A、正数大于一切负数吗？不是命题，不符合题意；
B、两个锐角的和大于直角，是命题，符合题意；
C、作一条直线和已知直线垂直，不是命题，不符合题意；
D、在线段AB上任取一点，不是命题，不符合题意；
故选：B．
5．【答案】A
根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，说法正确，原命题是真命题，符合题意；
B、内错角应相等而非互补，原命题是假命题，不符合题意；
C、同旁内角应互补而非相等，原命题是假命题，不符合题意；
D、未指定“在同一平面内”，原命题是假命题，不符合题意．
故选：A．
6．【答案】D
判断一件事情的语句，叫做命题，由此即可判断．
【解答】解：A、B、C中的语句不是命题，故A、B、C不符合题意；
D中的语句是命题，故D符合题意．
故选：D．
7．【答案】B
根据直角三角形的判定，两点之间，线段最短，化简绝对值求解即可．
【解答】解：根据命题的真假，直角三角形的判定，两点之间，线段最短，化简绝对值等知识逐项分析判断如下：
A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），故为假命题；
B．有两个角互余的三角形是直角三角形，故为真命题；
C．两点之间，线段最短，故为假命题；
D．如果|a|＝a，则a≥0，故为假命题．
故选：B．
8．【答案】C
根据偶数的概念、数的整除以及假命题的概念解答．
【解答】解：A、当k时，2k＝1，不是偶数，
不能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题，不符合题意；
B、15不是偶数，
不能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题，不符合题意；
C、26是偶数，但不是4的整数倍，
说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题，符合题意；
D、28是偶数，是4的整数倍，
不能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】x＝﹣2（答案不唯一）．
通过举反例，当 x 取负值且满足x2＞1时，x 不一定大于1即可求解．
【解答】解：通过举反例可知：
取 x＝﹣2，则x2＝（﹣2）2＝4＞1，但 x＝﹣2＜1，不满足 x＞1，
∴命题不成立，
故答案为：x＝﹣2（答案不唯一）．
10．【答案】真．
根据等腰三角形的性质、真假命题的概念解答．
【解答】解：命题“等边对等角”是真命题，
故答案为：真．
11．【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等
根据命题的构成，题设是内错角，结论是这两个角相等写出即可．
【解答】解：“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
12．【答案】假．
由3，即可得到答案．
【解答】解：∵3，
∴命题“是一个小于3的无理数”是假命题，
故答案为：假．
13．【答案】②
逐一判断各命题的真假：①同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；②符合平行公理，正确；③两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角．
【解答】解：①同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题，不符合题意；
②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意；
③锐角定义是小于90°的角，两个锐角之和可能小于90°（如30°+40°＝70°）、等于90°（如45°+45°＝90°，为直角）或大于90°但小于180°（如60°+50°＝110°，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题，不符合题意，
故答案为：②．
14．【答案】假．
根据“对于任何实数a，﹣a＜|a|”成立的条件是a≠0即可得出答案．
【解答】解：当a＝0时，﹣a＝|a|，
所以“对于任何实数a，﹣a＜|a|”是一个假命题；
故答案为：假．
15．【答案】如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形
一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．
如果是条件，那么是结论．
【解答】解：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形．
16．【答案】﹣6（答案不唯一）．
根据实数的大小比较、实数的平方以及假命题的概念解答．
【解答】解：当x＝﹣6时，x2＝（﹣6）2＝36，
则x＜5，x2＞25，
说明命题“若x＜5，则x2＜25”是假命题，
故答案为：﹣6（答案不唯一）．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】（1）①②；④；
（2）证明：∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝∠C，
∴∠BFD＝∠C，
∴EC∥BF．
（1）根据题意即可得出答案；
（2）根据内错角相等可得两直线平行，再根据平行线的性质可得∠B＝∠BFD，进而得出∠BFD＝∠C，最后根据同位角相等即可得出答案．
【解答】解：（1）条件为①②，结论为④．
故答案为：①②；④．
（2）证明：∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝∠C，
∴∠BFD＝∠C，
∴EC∥BF．
18．【答案】（1）如果|a|＝|b|，那么a＝±b，原命题是假命题；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是真命题；
证明：当顶角为60°时，两底角均为，则等腰三角形是等边三角形；
当底角为60°时，顶角为180°﹣60°﹣60°＝60°，则等腰三角形是等边三角形；
（3）证明：设较小的奇数为2n﹣1，较大的奇数为2n+1（n为整数），
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∵n是整数，
∴两个连续奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）这个三角形一定是等腰三角形，原命题是假命题．
证明：∵ab﹣ac＝b2﹣bc，
∴ab﹣ac﹣b2+bc＝0，
∴a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝0，
∴（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a＝b或b＝c；
∴这个三角形一定是等腰三角形．
（1）根据绝对值的意义判断即可；
（2）根据等边三角形的判定方法判断即可；
（3）设较小的奇数为2n﹣1，较大的奇数为2n+1（n为整数），列式计算即可；
（4）利用因式分解法判断即可．
【解答】解：（1）如果|a|＝|b|，那么a＝±b，原命题是假命题；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是真命题；
证明：当顶角为60°时，两底角均为，则等腰三角形是等边三角形；
当底角为60°时，顶角为180°﹣60°﹣60°＝60°，则等腰三角形是等边三角形；
（3）原命题是真命题；
证明：设较小的奇数为2n﹣1，较大的奇数为2n+1（n为整数），
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∵n是整数，
∴两个连续奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）这个三角形一定是等腰三角形，原命题是假命题．
证明：∵ab﹣ac＝b2﹣bc，
∴ab﹣ac﹣b2+bc＝0，
∴a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝0，
∴（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a＝b或b＝c；
∴这个三角形一定是等腰三角形．
19．【答案】（1）如果a2＝b2，那么a＝b；
（2）假命题，反例如下：
a＝2，b＝﹣2时，22＝（﹣2）2＝4，而2≠﹣2．
（1）交换题目中命题的结论和题设的位置即可；
（2）举出反例即可．
【解答】解：（1）交换题目中命题的结论和题设的位置可得原命题的逆命题为：
如果a2＝b2，那么a＝b；
（2）是假命题；例如：
a＝2，b＝﹣2时，22＝（﹣2）2＝4，而2≠﹣2．
20．【答案】（1）证明见解析；
（2）140°．
（1）由对顶角相等得到∠BFD＝∠1，因此∠2＝∠BFD，推出BC∥DE；
（2）由平行线的性质推出∠C+∠CDE＝180°，∠B＝∠C，求出∠C＝40°，即可得到∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠BFD＝∠1，
∴∠2＝∠BFD，
∴BC∥DE；
（2）解：命题“已知∠CDE＝140°，则∠B＝40°”是真命题，理由如下：
由（1）知BC∥DE，
∴∠C+∠CDE＝180°，
∵∠CDE＝140°，
∴∠C＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝40°．
故答案为：140°．
21．【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠4；DE∥AC；两直线平行，同位角相等．
根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．
【解答】证明：∵GH⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠AHG＝∠HDC＝90°（垂直的定义），
∴CD∥GH（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠2＝∠4（同角的补角相等），
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠4；DE∥AC；两直线平行，同位角相等．

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