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2026年中考数学二轮复习之代数式
一．选择题（共10小题）
1．（2026 大渡口区模拟）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，第图⑨的棋子数为（　　）
A．53 B．69 C．85 D．100
2．（2026 泸县校级一模）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3﹣x的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 罗湖区校级模拟）铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，铜钱外部的圆半径为a，方形边长为b，下列表示铜钱阴影部分的面积的式子是（　　）
A．2π（a﹣b） B．πa2﹣b2 C．π（b2﹣a2） D．2π（b﹣a）
4．（2025 扬州模拟）如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第 个图形小正方形的个数为（　　）
A．245 B．246 C．254 D．255
5．（2025 江西）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBn n的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 西藏）观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…
按此规律，第n个数是（　　）
A．2n﹣0.1n B．2n+1﹣0.1n C．2n﹣1+0.9n D．2n﹣1﹣0.1n
7．（2025 遵义模拟）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（　　）
A．元 B．元
C．（9m﹣n）元 D．（9n﹣m）元
8．（2025 新余校级模拟）如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的右上端剪去一个直径为1的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪去的半圆的半径）得到图形P3，P4，…，Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则Sn﹣Sn+1的值为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025 任丘市模拟）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速＝后齿轮齿数×后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（　　）
A．当x＝25时，y＝160
B．当y＝200时，x＝20
C．要增大y，应增大x
D．若x增大一倍，则y减少一半
10．（2025 怀化模拟）古典吉他的示意图如图所示，A0，B分别是上弦枕、下弦枕，Ai（i＝1，2， ，19）是第i品丝．记ai为Ai与Ai﹣1的距离，Li为Ai与A0的距离，且满足，i＝1，2， ，19，其中XL为弦长（A0与B的距离），M为大于1的常数，并规定L0＝0．若XL＝650mm，M＝18，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2026 西安一模）如图，是无人机按照一定规律摆出的图案，图①由6架无人机组成，图②由10架无人机组成，图③由14架无人机组成，…，按照这种规律继续摆下去，图⑦由　 　 架无人机组成．
12．（2025 琼中县校级模拟）用火柴棒按如图的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第7个图形需要火柴棒 　 　 根，第n个图形需要火柴棒 　 　 根．
13．（2025 长春）已知x2+2x＝4，则代数式7﹣x2﹣2x的值为 　 　 ．
14．（2025 滑县一模）请用代数式表示一个两位数，其中十位上的数字是a，个位上的数字是b：　 　 ．
15．（2025 甘肃）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　 　 个正方形．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 安徽三模）为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小组在探究过程中发现：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下：
当n＝1时，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；
当n＝2时，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；
当n＝3时，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；
当n＝4时，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；
…
（1）按照以上规律，填空：
①当n＝5时，（52+5+1）2＝（　 　 ）2＝（　 　 ）2；
②猜想：（n2+n+1）2＝（　 　 ）2．
（2）兴趣小组经过探究还发现：
12+22+（1×2）2＝9＝32
22+32+（2×3）2＝49＝72
32+42+（3×4）2＝169＝132
42+52+（4×5）2＝441＝212
……
综合以上探究，猜想：（n2+n+1）2＝（　 　 ）2+（　 　 ）2+（　 　 ）2，并给出推理证明．
17．（2025 杜集区校级二模）在数学活动课上，某活动小组用棋子摆出了下列图形：
（1）探索新知：
①第5个图形需要　 　 枚棋子；②第n个图形需要　 　 枚棋子．
（2）思维拓展：
小明说：“我要用360枚棋子摆出一个符合以上规律的图形”，你认为小明能摆出吗？如果能摆出，请问摆出的是第几个图形；如果不能，请说明理由．
18．（2025 包河区校级三模）设表示两位数，如：当a＝8时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律：
第1个等式，122＝20×（5+2）+4
第2个等式：222＝40×（10+2）+4
第3个等式：322＝60×（15+2）+4
第4个等式：422＝80×（20+2）+4
按照以上规律，完成下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　 ．
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　 （用含n的等式表示），并证明．
19．（2025 淮北校级三模）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“□”的个数为　 　 ．
（2）第1个图案中“▲”的个数可表示为2×1+2，第2个图案中“▲”的个数可表示为2×2+2，第3个图案中“▲”的个数可表示为2×3+2，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为　 　 ．
【规律应用】
（3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值．
20．（2025 淮南模拟）将1到2025之间的所有奇数按顺序排成如图：
记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17，即P23＝17．
（1）P43＝　 　 ；
（2）若Pmn＝2025，则m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由．
2026年中考数学二轮复习之代数式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 大渡口区模拟）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，第图⑨的棋子数为（　　）
A．53 B．69 C．85 D．100
规律型：图形的变化类．
规律型；运算能力．
【答案】C
分析出变化规律后求解即可．
【解答】解：探索图形规律可知：
①有5颗棋子，5＝4+12；
②有8颗棋子，8＝4+22；
③有13颗棋子，13＝4+32；
∴⑨有4+92＝4+81＝85颗棋子；
故选：C．
本题考查了图形规律探索，合理找出变化规律是解题的关键．
2．（2026 泸县校级一模）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3﹣x的值为（　　）
A． B． C． D．
代数式求值．
整式；运算能力．
【答案】B
利用“降次法”和多项式的乘法法则化简运算即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x4﹣2x3﹣x
＝（x2）2﹣2x2 x﹣x
＝（x+1）2﹣2（x+1）x﹣x
＝x2+2x+1﹣2x2﹣2x﹣x
＝﹣x2﹣x+1
＝﹣（x+1）﹣x+1
＝﹣2x．
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x，
∵x＞0，
∴x，
∴x4﹣2x3﹣x的值＝﹣2x＝﹣1．
故选：B．
本题主要考查了求代数式的值，一元二次方程的解，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
3．（2025 罗湖区校级模拟）铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，铜钱外部的圆半径为a，方形边长为b，下列表示铜钱阴影部分的面积的式子是（　　）
A．2π（a﹣b） B．πa2﹣b2 C．π（b2﹣a2） D．2π（b﹣a）
列代数式．
整式；符号意识．
【答案】B
用圆的面积减去正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：铜钱阴影部分的面积为πa2﹣b2，
故选：B．
本题主要考查列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
4．（2025 扬州模拟）如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第 个图形小正方形的个数为（　　）
A．245 B．246 C．254 D．255
规律型：图形的变化类．
猜想归纳；推理能力．
【答案】C
根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中小正方形的个数为：9＝1×5+4；
第②个图形中小正方形的个数为：14＝2×5+4；
第③个图形中小正方形的个数为：19＝3×5+4；
…，
所以第n个图形中小正方形的个数为（5n+4）个，
当n＝50时，
5n+4＝254（个），
即第 个图形中小正方形的个数为254个．
故选：C．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形的个数依次增加5是解题的关键．
5．（2025 江西）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBn n的面积为（　　）
A． B． C． D．
规律型：图形的变化类；有理数的乘方．
猜想归纳；推理能力．
【答案】C
根据所给变换方式，依次求出所得三角形的面积，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，
所以A1B1∥AB，B1C1∥AC，A1C1∥BC，，
所以△A1B1C1∽△BAC，
则．
又因为△ABC的面积为1，
所以△A1B1C1的面积为．
同理可得，△A2B2C2的面积为，△A3B3C3的面积为，…，
所以△AnBn n的面积可表示为．
故选：C．
本题主要考查了图形变化的规律及有理数的乘方，能根据题意发现所得三角形面积变化的规律是解题的关键．
6．（2025 西藏）观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…
按此规律，第n个数是（　　）
A．2n﹣0.1n B．2n+1﹣0.1n C．2n﹣1+0.9n D．2n﹣1﹣0.1n
规律型：数字的变化类．
规律型；运算能力．
【答案】A
先确定整数部分规律为2n﹣1，再确定小数部分规律为1﹣0.1n，最后确定这一组数的规律即可．
【解答】解：观察这组数据可知：整数部分为1，3，5，7，9，……，则第n个数的整数部分为2n﹣1，
小数部分0.9，0.99，0.999.0，9999，0.99999，……，则第n个数的小数部分为1﹣0.1n，
∴按此规律，第n个数是2n﹣0.1n．
故选：A．
本题考查了数字的变化规律，发现规律是关键．
7．（2025 遵义模拟）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（　　）
A．元 B．元
C．（9m﹣n）元 D．（9n﹣m）元
列代数式．
整式；运算能力．
【答案】B
根据题意可得打九折后手机的价格为元，故再让利n元后，手机的售价为元．
【解答】解：让利后手机的售价为：元．
故选：B．
本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是关键．
8．（2025 新余校级模拟）如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的右上端剪去一个直径为1的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪去的半圆的半径）得到图形P3，P4，…，Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则Sn﹣Sn+1的值为（　　）
A． B．
C． D．
规律型：图形的变化类．
规律型；推理能力．
【答案】C
根据题意可得S1π×12π，进而可得S2，发现规律可得Sn﹣Sn+1．
【解答】解：根据题意得，n≥2．
S1π×12π，
S2ππ×（）2，
…，
Snππ×（）2π×[（）2]2π×[（）n﹣1]2，
Sn+1ππ×（）2π×[（）2]2π×[（）n﹣1]2π×[（）n]2，
∴Sn﹣Sn+1π×（）2n＝（）2n+1π．
故选：C．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据圆的面积公式表示出Sn、Sn+1的面积的表达式．
9．（2025 任丘市模拟）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速＝后齿轮齿数×后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（　　）
A．当x＝25时，y＝160
B．当y＝200时，x＝20
C．要增大y，应增大x
D．若x增大一倍，则y减少一半
代数式求值；列代数式．
整式；运算能力．
【答案】C
根据前齿轮齿数×前齿轮转速＝后齿轮齿数×后齿轮转速，进行判断即可．
【解答】解：当x＝25时，y＝100×40÷25＝160，故A正确，不符合题意；
当y＝200时，y＝100×40÷200＝20，故B正确，不符合题意；
∵xy＝100×40，∴要增大y，应减小x，故C不正确，符合题意；
∵xy＝100×40，∴x增大一倍，则y减少一半，故D正确，符合题意，
故选：C．
本题考查了代数式求值和列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系式来解答．
10．（2025 怀化模拟）古典吉他的示意图如图所示，A0，B分别是上弦枕、下弦枕，Ai（i＝1，2， ，19）是第i品丝．记ai为Ai与Ai﹣1的距离，Li为Ai与A0的距离，且满足，i＝1，2， ，19，其中XL为弦长（A0与B的距离），M为大于1的常数，并规定L0＝0．若XL＝650mm，M＝18，则的值为（　　）
A． B． C． D．
规律型：数字的变化类．
实数；运算能力．
【答案】A
根据题意，充分理解ai为Ai与Ai﹣1的距离，Li为Ai与A0的距离，且满足，i＝1，2， ，19，则，分别代入数值到化简，得，，，再代入数值到，进行化简，即可作答．
【解答】解：A0，B分别是上弦枕、下弦枕，Ai（i＝1，2， ，19）是第i品丝．记ai为Ai与Ai﹣1的距离，
∵，规定L0＝0，XL＝650mm，M＝18，
∴，
∵记ai为Ai与Ai﹣1的距离，Li为Ai与A0的距离，
∴，
∴a2＝L2﹣L1＝L2﹣a1，
∴
∴，
则，
解得，，
则，
∴．
故选：A．
本题考查了数字规律，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2026 西安一模）如图，是无人机按照一定规律摆出的图案，图①由6架无人机组成，图②由10架无人机组成，图③由14架无人机组成，…，按照这种规律继续摆下去，图⑦由　30　 架无人机组成．
规律型：图形的变化类．
猜想归纳；推理能力．
【答案】30．
根据所给图形，依次求出图形中无人机的数量，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
图①中无人机的数量为：6＝1×4+2；
图②中无人机的数量为：10＝2×4+2；
图③中无人机的数量为：14＝3×4+2；
…，
所以图n中无人机的数量为4n+2．
当n＝7时，
4n+2＝4×7+2＝30，
即图⑦中无人机的数量为30．
故答案为：30．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出无人机的数量依次增加4是解题的关键．
12．（2025 琼中县校级模拟）用火柴棒按如图的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第7个图形需要火柴棒 　37　 根，第n个图形需要火柴棒 　（5n+2）　 根．
规律型：图形的变化类．
规律型；推理能力．
【答案】37，（5n+2）．
观察不难发现，后一个图形比前一个图形多5根火柴棒，根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数，从而可求解．
【解答】解：∵搭第1个图形需要7根火柴棒，7＝5+2，
搭第2个图形需要12根火柴棒，12＝5×2+2，
搭第3个图形需要17根火柴棒，17＝5×3+2，
…，
∴搭第n个图形需要的火柴棒的根数是5n+2，
∴第7个图形需要的火柴棒的根数是：5×7+2＝37（根），
故答案为：37，（5n+2）．
本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒是解题的关键．
13．（2025 长春）已知x2+2x＝4，则代数式7﹣x2﹣2x的值为 　3　 ．
代数式求值．
整式；运算能力．
【答案】3．
将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵x2+2x＝4，
∴7﹣x2﹣2x
＝7﹣（x2+2x）
＝7﹣4
＝3，
故答案为：3．
本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键．
14．（2025 滑县一模）请用代数式表示一个两位数，其中十位上的数字是a，个位上的数字是b：　10a+b ．
列代数式．
数与式；推理能力．
【答案】10a+b．
根据两位数的特点直接写出答案即可．
【解答】解：一个两位数，其中十位上的数字是a，个位上的数字是b，
∴这个两位数为：10a+b，
故答案为：10a+b．
本题考查了列代数式，熟记两位数的特点是解题的关键．
15．（2025 甘肃）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　31　 个正方形．
规律型：图形的变化类；勾股定理．
规律型；推理能力．
【答案】31．
观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21＝3个正方形，第3个图形有1+21+22＝7个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可．
【解答】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有1+21＝3个正方形，
第3个图形有1+21+22＝7个正方形，
∴第5个图形中共有1+21+22+23+24＝31个正方形，
故答案为：31．
本题考查图形类规律探究，正确找出规律是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 安徽三模）为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小组在探究过程中发现：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下：
当n＝1时，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；
当n＝2时，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；
当n＝3时，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；
当n＝4时，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；
…
（1）按照以上规律，填空：
①当n＝5时，（52+5+1）2＝（　5×6+1　 ）2＝（　31　 ）2；
②猜想：（n2+n+1）2＝（n（n+1）+1　 ）2．
（2）兴趣小组经过探究还发现：
12+22+（1×2）2＝9＝32
22+32+（2×3）2＝49＝72
32+42+（3×4）2＝169＝132
42+52+（4×5）2＝441＝212
……
综合以上探究，猜想：（n2+n+1）2＝（n ）2+（n+1　 ）2+（n（n+1）　 ）2，并给出推理证明．
规律型：数字的变化类；非负数的性质：偶次方．
规律型；创新意识．
【答案】（1）①5×6+1；②n（n+1）+1；
（2）n，n+1，n（n+1），
（n2+n+1）2，
＝[n（n+1）+1]2，
＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，
＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，
＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），
＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，
所以左边＝右边，猜想成立．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决①②．
（2）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可．
【解答】解：（1）①当n＝5时，（52+5+1）2＝（5×6+1）2＝312；
②猜想：（n2+n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
故答案为：①5×6+1，31；②n（n+1）+1；
（2）猜想：（n2+n+1）2＝n2+（n+1）2+[n（n+1）]2，
证明：（n2+n+1）2，
＝[n（n+1）+1]2，
＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，
＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，
＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），
＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，
所以左边＝右边，猜想成立．
本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键．
17．（2025 杜集区校级二模）在数学活动课上，某活动小组用棋子摆出了下列图形：
（1）探索新知：
①第5个图形需要　16　 枚棋子；②第n个图形需要　（1+3n）　 枚棋子．
（2）思维拓展：
小明说：“我要用360枚棋子摆出一个符合以上规律的图形”，你认为小明能摆出吗？如果能摆出，请问摆出的是第几个图形；如果不能，请说明理由．
规律型：图形的变化类；列代数式．
规律型；推理能力．
【答案】见试题解答内容
（1）①根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，从而可以发现棋子的变化规律写出第5个图形中棋子的个数；
②根据①中发现的规律可以写出第n个图形中需要多少枚棋子；
（2）先判断，然后利用②的公式即可解答本题．
【解答】解：（1）①由图可知，
第1个图形中棋子的个数为：1+3×1＝4，
第2个图形中棋子的个数为：1+3×2＝7，
第3个图形中棋子的个数为：1+3×3＝10，
第4个图形中棋子的个数为：1+3×4＝13，
故第5个图形中棋子的个数为：1+3×5＝16，
故答案为：16；
②第n个图形需要：（1+3n）枚棋子；
故答案为：（1+3n）；
（2）小明用360枚棋子不能摆出一个符合以上规律的图形，
理由：令1+3n＝360，得n＝119，
∵n为整数，
∴n＝119不符合实际，
∴小明用360枚棋子不能摆出一个符合以上规律的图形．
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现棋子个数的变化规律，写出相应图形的棋子数．
18．（2025 包河区校级三模）设表示两位数，如：当a＝8时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律：
第1个等式，122＝20×（5+2）+4
第2个等式：222＝40×（10+2）+4
第3个等式：322＝60×（15+2）+4
第4个等式：422＝80×（20+2）+4
按照以上规律，完成下列问题：
（1）写出第5个等式：　522＝100×（25+2）+4　 ．
（2）写出你猜想的第n个等式：　（10n+2）2＝20n（5n+2）+4　 （用含n的等式表示），并证明．
规律型：数字的变化类；列代数式．
猜想归纳；推理能力．
【答案】（1）522＝100×（25+2）+4；
（2）（10n+2）2＝20n（5n+2）+4，证明见解析过程．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化规律，发现规律即可解决问题．
（2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
因为122＝20×（5+2）+4，
222＝40×（10+2）+4，
322＝60×（15+2）+4，
422＝80×（20+2）+4，
…，
所以第n个等式可表示为：（10n+2）2＝20n（5n+2）+4．
当n＝5时，
第5个等式为：522＝100×（25+2）+4．
故答案为：522＝100×（25+2）+4．
（2）由（1）知，
第n个等式可表示为：（10n+2）2＝20n（5n+2）+4．
证明如下：
左边＝100n2+40n+4，
右边＝100n2+40n+4，
所以左边＝右边，
故此等式成立．
故答案为：（10n+2）2＝20n（5n+2）+4．
本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键．
19．（2025 淮北校级三模）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“□”的个数为n2 ．
（2）第1个图案中“▲”的个数可表示为2×1+2，第2个图案中“▲”的个数可表示为2×2+2，第3个图案中“▲”的个数可表示为2×3+2，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为　2n+2　 ．
【规律应用】
（3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值．
规律型：图形的变化类；列代数式．
规律型；运算能力．
【答案】（1）n2；
（2）2n+2；
（3）7．
（1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“□”的个数为n2，即可作答．
（2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“▲”的个数可表示为2n+2；
（3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列方程，即可作答．
【解答】解：（1）观察图形，得出
第1个图案中，“□”的个数为1；
第2个图案中，“□”的个数为4；
第3个图案中，“□”的个数为9；
……，
以此类推，得出第n个图案中，“□”的个数为n2；
（2）第1个图案中，“▲”的个数为4；
第2个图案中，“▲”的个数为6；
第3个图案中，“▲”的个数为8；
……，
以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为2n+2；
（3）∵第n个图案中“□”比“▲”多33个，
∴n2﹣2n﹣2＝33，
∴n2﹣2n﹣35＝0，
∴（n﹣7）（n+5）＝0，
解得：n1＝7，n2＝﹣5（不符合题意舍去），
∴正整数n＝7．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．（2025 淮南模拟）将1到2025之间的所有奇数按顺序排成如图：
记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17，即P23＝17．
（1）P43＝　41　 ；
（2）若Pmn＝2025，则m＝　169　 ，n＝　5　 ；
（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由．
规律型：数字的变化类；一元一次方程的应用．
规律型．
【答案】（1）41；
（2）169，5；
（3）不能，理由见解析．
（1）根据题意可知P43＝P33+12，然后即可计算出相应的值；
（2）根据规律可得2025是第1013个奇数，是第169行，第5个数，可得到m、n的值；
（3）设“T”字第一行中间数为x，由题意得（x﹣2）+x+（x+2）+（x+12）＝200，然后求解即可说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12，
由表格可得P33＝29，
∴P43＝P33+12＝29+12＝41，
故答案为：41；
（2）由表格可得发现规律：每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12，
∵（2025+1）÷2＝1013，
∴2025是第1013个奇数，
∵1013÷6＝168 5，
∴2025是第169行，第5个数，
∵Pmn＝2025，
∴m＝169，n＝5，
故答案为：169，5；
（3）所覆盖的4个数之和不能等于200，理由如下：
设“T”字第一行中间数为x，
由题意得（x﹣2）+x+（x+2）+（x+12）＝200，
解得x＝47，
∵47位于第4行最后一个数，所以不能与其他数构成“T”字状，
∴所覆盖的4个数之不和能等于200．
本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类，正确找出规律是解题的关键．

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