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2026年中考数学二轮复习之整式
一．选择题（共10小题）
1．（2026 黄石一模）下列运算正确的是（　　）
A．m2 m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m5
2．（2026 大渡口区模拟）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+…+a1x+a0，其中an，n为正整数，an﹣1，an﹣2，…，a1，a0为自然数，若n+an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝5．
①满足条件的所有整式M中，次数最高的是5次；
②满足条件的所有整式M共有15个；
③满足条件的所有整式M的和为x4+5x3+11x2+15x+11．
下列说法中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2026 周至县一模）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（2a2）3＝6a6
C．a（2b﹣1）＝2ab﹣a D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
4．（2025 大连模拟）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．y2+y2＝2y4
C．（ab2）2＝ab4 D．（a3）2＝a6
5．（2025 驿城区三模）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b
6．（2025 滨州）下列运算正确的是（　　）
A．a4+a2＝a6 B．（2a）5＝2a5 C．a8÷a4＝a2 D．（a4）2＝a8
7．（2025 莆田模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a2）3﹣（a3）2＝0 D．a6÷a3＝a2
8．（2025 睢县一模）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
9．（2025 镇海区校级模拟）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
10．（2025 武威校级模拟）在长方形ABCD中放入3个正方形如图所示，若AI＝CJ，MN＝PQ，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　）
A．BF B．FH C．AB D．BC
二．填空题（共5小题）
11．（2026 大渡口区模拟）已知各位数字均不为零的四位自然数M，若满足a+d＝9，b+c＝9那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数1278，因为1+8＝9且2+7＝9，所以1278是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是　 　 ；若M是“和九数”，记F（M），且为整数，则满足条件的M的最大值为　 　 ．
12．（2026 哈尔滨模拟）定义新运算：a※b＝ab﹣2b2，则（2m）※m的运算结果是 　 　 ．
13．（2025 成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 　 　 （填一个即可）．
14．（2025 阎良区二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，若ab＝6，a+b＝5，则a2+b2的值为　 　 ．
15．（2025 南充校级模拟）化简：（x+2）（x﹣2）﹣x2的结果为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 开福区校级二模）先化简，再求值：（x+2）2+（x+2）（x﹣2）+2x（1﹣x），其中．
17．（2025 唐山校级二模）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式．
例：先去括号，再合并同类项：n（A）﹣6（B） 解：n（A）﹣6（B） ＝n2+6n﹣6n﹣6 ＝
（1）直接写出：①A＝　 　 ，B＝　 　 ；
②原式的运算结果为　 　 ；
（2）若n为任意正整数，试说明（A+B）2﹣4n2的值总能被7整除．
18．（2025 路北区校级二模）已知．
（1）计算2A﹣3B；
（2）若a、b满足|a﹣1|+（b+3）2＝0，求2A﹣3B的值．
19．（2025 日照校级模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①；（a+b+c）d＝ad+bd+cd；
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；
公式③；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
图1对应公式 　 　 ，图2对应公式 　 　 ，图3对应公式 　 　 ，图4对应公式 　 　 ．
（2）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则的值为 　 　 ；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
20．（2025 苏州模拟）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc﹣ad．例如：9×17﹣7×19＝20．完成下列各题：
（1）计算：3×11﹣1×13＝　 　 ；
（2）猜想：bc﹣ad＝　 　 ；
（3）验证，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；
（4）拓展；如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc﹣ad＝　 　 ．（用含n的式子表示）
2026年中考数学二轮复习之整式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 黄石一模）下列运算正确的是（　　）
A．m2 m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m5
整式的混合运算．
整式；运算能力．
【答案】A
根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可．
【解答】解：根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则逐项分析判断如下：
A、m2 m3＝m5，计算正确，符合题意；
B、m6÷m2＝m4，原选项错误，不符合题意；
C、2m与3n不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、（m2）3＝m6，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2026 大渡口区模拟）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+…+a1x+a0，其中an，n为正整数，an﹣1，an﹣2，…，a1，a0为自然数，若n+an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝5．
①满足条件的所有整式M中，次数最高的是5次；
②满足条件的所有整式M共有15个；
③满足条件的所有整式M的和为x4+5x3+11x2+15x+11．
下列说法中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
整式的加减；代数式求值；规律型：数字的变化类．
整式；运算能力．
【答案】C
根据已知条件n+an+an﹣1+an﹣2+ +a1+a0＝5，结合n，an为正整数，an﹣1，an﹣2， ，a1＝2，a0为自然数，分别分析整式的次数、个数和的情况．
【解答】解：整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+…+a1x+a0，其中an，n为正整数，an﹣1，an﹣2，…，a1，a0为自然数，若n+an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝5．由题意可得：
①分析整式M的次数；
因为n+an+an﹣1+an﹣2+ +a1+a0＝5，且n，an为正整数，an﹣1，an﹣2， ，a1＝2，a0为自然数．
要使整式M的次数n最大，那么an，an﹣1，an﹣2， ，a1＝2，a0应尽可能小．
当an＝1，an﹣1＝an﹣2＝ ＝a1＝a0＝0时，n最大，此时n＝5﹣1＝4，
M的次数最高是4次，故说法①错误；
②分析满足条件的整式M的个数：
当n＝4时，4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，即a4+a3+a2+a1+a0＝1．
因为a4为正整数，a3，a2，a1＝2，a0为自然数，所以只有a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0这一种情况，此时整式M为x4；
当n＝3时，3+a3+a2+a1+a0＝5，即a3+a2+a1+a0＝2．
因为a3为正整数，a2，a1＝2，a0为自然数，有以下几种情况：
a3＝2，a2＝a1＝a0＝0，整式M为2x3；
a3＝1，a2＝1，a1＝a0＝0，整式M为x3+x2；
a3＝1，a2＝0，a1＝1，a0＝0，整式M为x3+x；
a3＝1，a2＝0，a1＝0，a0＝1，整式M为x3+1；
共4种情况．
当n＝2时，2+a2+a1+a0＝5，即a2+a1+a0＝3．
因为a2为正整数，a1＝2，a0为自然数，有以下几种情况：
a2＝3，a1＝a0＝0，整式M为3x2；
a2＝2，a1＝1，a0＝0，整式M为2x2+x；
a2＝2，a1＝0，a0＝1，整式M为2x2+1；
a2＝1，a1＝2，a0＝0，整式M为x2+2x；
a2＝1，a1＝1，a0＝1，整式M为x2+x+1；
a2＝1，a1＝0，a0＝2，整式M为x2+2．
共6种情况．
当n＝1时，1+a1+a0＝5，即a1+a0＝4，
因为a1＝2为正整数，a0为自然数，有以下几种情况：
a1＝4，a0＝0，整式M为4x；
a1＝3，a0＝1，整式M为3x+1；
a1＝2，a0＝2，整式M为2x+2；
a1＝1，a0＝3，整式M为x+3．
所以满足条件的整式M共有1+4+6+4＝15（个），故②正确；
③M的和为：
x4+2x3+x3+x2+x3+x+x3+1+3x2+2x2+x+2x2+1+x2+2x+x2+x+1+x2+2+4x+3x+1+2x+2+x+3+5＝x4+（2+1+1+1）x3+（3+2+1+1+1+1）x2+（4+3+2+1）x+（5+1+1+2+1+2+3+5）
+x2+2+4x+3x+1+2x+2+x+3
＝x4+（2+1×3）x3+（3+2+2+1×4）x2+（4+2×2+1×4+3）x+（4×1+2×2+3）＝x4+5x3+11x2+15x+11，故③正确．
故选：C．
本题考查整式的相关概念，包括整式的次数、项数以及整式的和，正确进行计算是解题关键．
3．（2026 周至县一模）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（2a2）3＝6a6
C．a（2b﹣1）＝2ab﹣a D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
整式的混合运算．
整式；运算能力．
【答案】C
根据合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式逐项计算即可．
【解答】解：A．2a+3a＝5a，计算错误，不符合题意；
B．（2a2）3＝23×a2×3＝8a6，计算错误，不符合题意；
C．a（2b﹣1）＝2ab﹣a，计算正确，符合题意；
D．（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1，计算错误，不符合题意．
故选：C．
本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
4．（2025 大连模拟）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．y2+y2＝2y4
C．（ab2）2＝ab4 D．（a3）2＝a6
幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
整式；运算能力．
【答案】D
根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：A、a3 a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
B、y2+y2＝2y2，故该项不正确，不符合题意；
C、（ab2）2＝a2b4，故该项不正确，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，故该项正确，符合题意；
故选：D．
本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2025 驿城区三模）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
整式；运算能力．
【答案】A
由题意得：8×2a＝（2b）8，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8，
∴23×2a＝28b，
∴3+a＝8b，
故选：A．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．（2025 滨州）下列运算正确的是（　　）
A．a4+a2＝a6 B．（2a）5＝2a5 C．a8÷a4＝a2 D．（a4）2＝a8
整式的混合运算．
整式；运算能力．
【答案】D
利用同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则．逐项计算得结论．
【解答】解：a4和a2不能进行相加，故A选项不符合题意；
（2a）5＝32a5，故选项B不符合题意；
a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；
（a4）2＝a8，故选项D符合题意，
故选：D．
本题主要考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方法则是解决本题的关键．
7．（2025 莆田模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a2）3﹣（a3）2＝0 D．a6÷a3＝a2
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
整式；运算能力．
【答案】C
利用合并同类项的方法、同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a a2＝a3，故选项计算错误，不符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故选项计算错误，不符合题意；
C、（a2）3﹣（a3）2＝a6﹣a6＝0，故选项计算正确，符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（2025 睢县一模）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
平方差公式的几何背景．
整式；运算能力．
【答案】C
利用两种方法表示出图形的面积，即可得解．
【解答】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），
∴第一个图形中剩余的面积为：a2﹣b2，
由第一个图形可知，大平行四边形的高为：a﹣b，
∴第二个图形的大平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故选：C．
本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积是解答本题的关键．
9．（2025 镇海区校级模拟）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
完全平方公式．
计算题；解题思想；整体思想；数感；运算能力．
【答案】C
观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解．
【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，
解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．
故选：C．
本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案．
10．（2025 武威校级模拟）在长方形ABCD中放入3个正方形如图所示，若AI＝CJ，MN＝PQ，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　）
A．BF B．FH C．AB D．BC
整式的加减．
整式；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
表示出图中阴影部分的周长，根据题意进行整理即可解答．
【解答】解：图中阴影部分的周长＝2AD+AI﹣BI+DJ﹣CJ+2CJ+2FN+2GH+2EF+2MN
＝2AD+2CJ+2FN+2GH+2EF+2MN
＝2AD+2AB+2GH+2FN+2EF
∵AI＝CJ，MN＝PQ，
∴AB＝2（JC+PQ）＝2FN，
∴图中阴影部分的周长＝2AD+2AB+2GH+AB+2EF＝2AD+3AB+2GH+2EF，
∵EH＝FNAB，
∴GH+EFAB﹣FG，
∴图中阴影部分的周长＝2AD+3AB+2GH+2EF＝2AD+3AB+AB﹣2FG＝2AD+4AB﹣2FG，
∵BF＝BI，GC＝JC＝AI，
∴BF+JC＝AB，
∵AD＝BC＝BF+GC+FG，
∴AD＝AB+FG，
∴图中阴影部分的周长＝2AD+4AB﹣2FG＝2（AB+FG）+4AB﹣2FG＝6AB，
故选：C．
本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减．
二．填空题（共5小题）
11．（2026 大渡口区模拟）已知各位数字均不为零的四位自然数M，若满足a+d＝9，b+c＝9那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数1278，因为1+8＝9且2+7＝9，所以1278是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是　1188　 ；若M是“和九数”，记F（M），且为整数，则满足条件的M的最大值为　3816　 ．
整式的加减；数的整除．
整式；运算能力．
【答案】1188；3816．
最小的“和九数”需满足千位数字a最小，且各位数字非零，因此a＝1，d＝8，b＝1，c＝8，得M＝1188．
先求出和，根据为整数，推出，进而推出4a+9b+7能被13整除．解得a，b可能的值，即可求解．
【解答】解：已知各位数字均不为零的四位自然数M，若满足a+d＝9，b+c＝9那么称这个四位数为“和九数”．
∵最小的“和九数”需满足千位数字a最小，且各位数字非零，
∴a＝1，d＝8，b＝1，c＝8，得M＝1188．
由“和九数”定义，M＝1000a+100b+10c+d，且a+d＝9，b+c＝9，
故d＝9﹣a，c＝9﹣b，
M＝1000a+100b+10（9﹣b）+（9﹣a）＝999a+90b+99，
，
∵为整数，
∴4a+9b+7能被13整除．
当a＝1，b＝6时，4a+9b+7＝65能被13整除，∴M＝1638．
当a＝2，b＝7时，4a+9b+7＝78能被13整除，∴M＝2727．
当a＝3，b＝8时，4a+9b+7＝91能被13整除，∴M＝3816．
∴M的最大值为3816．
故填：1188和3816．
本题考查新定义，理解阅读材料是解题的关键．
12．（2026 哈尔滨模拟）定义新运算：a※b＝ab﹣2b2，则（2m）※m的运算结果是 　0　 ．
整式的混合运算；有理数的混合运算．
新定义；整式；运算能力．
【答案】0
运用计算定义进行代入、求解．
【解答】解：由题意得，
（2m）※m
＝2m m﹣2m2
＝2m2﹣2m2
＝0，
故答案为：0．
此题考查了整式混合运算新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行代入、求解．
13．（2025 成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 　4x（答案不唯一）　 （填一个即可）．
完全平方式；整式的加减．
整式；运算能力．
【答案】4x（答案不唯一）．
根据完全平方公式进行解答即可．
【解答】解：∵4x2+4x+1＝（2x+1）2，
∴加上的单项式是：4x，
故答案为：4x（答案不唯一）．
本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式．
14．（2025 阎良区二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，若ab＝6，a+b＝5，则a2+b2的值为　13　 ．
完全平方公式．
整式；运算能力．
【答案】13．
直接利用完全平方公式变形计算即可．
【解答】解：由条件可知（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2+b2+2×6＝25，
∴a2+b2＝13；
故答案为：13．
本题考查利用完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．（2025 南充校级模拟）化简：（x+2）（x﹣2）﹣x2的结果为　﹣4　 ．
整式的混合运算．
整式；运算能力．
【答案】﹣4．
先利用平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x2
＝x2﹣4﹣x2
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
本题考查整式的运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 开福区校级二模）先化简，再求值：（x+2）2+（x+2）（x﹣2）+2x（1﹣x），其中．
整式的混合运算—化简求值．
整式；运算能力．
【答案】6x，原式＝3．
先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（x+2）2+（x+2）（x﹣2）+2x（1﹣x）
＝x2+4x+4+x2﹣4+2x﹣2x2
＝6x，
当x时，
原式＝63．
本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（2025 唐山校级二模）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式．
例：先去括号，再合并同类项：n（A）﹣6（B） 解：n（A）﹣6（B） ＝n2+6n﹣6n﹣6 ＝
（1）直接写出：①A＝n+6　 ，B＝n+1　 ；
②原式的运算结果为n2﹣6　 ；
（2）若n为任意正整数，试说明（A+B）2﹣4n2的值总能被7整除．
整式的混合运算；数的整除．
整式；运算能力．
【答案】（1）①n+6，n+1；②n2﹣6；
（2）（A+B）2﹣4n2
＝[（n+6）+（n+1）]2﹣4n2
＝（2n+7）2﹣4n2
＝4n2+28n+49﹣4n2
＝28n+49
＝7（4n+7），
即n为任意正整数，（A+B）2﹣4n2的值总能被7整除．
（1）①根据去括号法则求解即可；②先去括号，再合并同类项即可；
（2）将多项式A、B代入，先根据完全平方公式展开，再合并同类项，即可证明结论．
【解答】解：（1）①n（A）﹣6B＝n2+6n﹣6n﹣6＝n（n+6）﹣6（n+1），
则A＝n+6，B＝n+1，
故答案为：n+6，n+1；
②n（A）﹣6B
＝n2+6n﹣6n﹣6
＝n2﹣6，
故答案为：n2﹣6；
（2）（A+B）2﹣4n2
＝[（n+6）+（n+1）]2﹣4n2
＝（2n+7）2﹣4n2
＝28n+49
＝7（4n+7），
即n为任意正整数，（A+B）2﹣4n2的值总能被7整除．
本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
18．（2025 路北区校级二模）已知．
（1）计算2A﹣3B；
（2）若a、b满足|a﹣1|+（b+3）2＝0，求2A﹣3B的值．
整式的加减—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
整式；运算能力．
【答案】（1）﹣4ab3+3a3b；
（2）99．
（1）原式去括号，合并同类项即可得到答案；
（2）根据非负数的性质求出a，b的值，再代入（1）中结果进行计算即可．
【解答】解：（1）由条件可得：2A﹣3B
＝2ab3+2a3b﹣6ab3+a3b
＝﹣4ab3+3a3b．
（2）由条件可知a﹣1＝0，b+3＝0．
解得：a＝1，b＝﹣3．
将a＝1，b＝﹣3代入，
原式＝﹣4ab3+3a3b＝﹣4×1×（﹣3）3+3×13×（﹣3）＝99．
本题主要考查整式的加减运算和非负数的性质以及代数式求值，正确运用去括号法则进行化简是解答本题的关键．
19．（2025 日照校级模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①；（a+b+c）d＝ad+bd+cd；
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；
公式③；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
图1对应公式 　①　 ，图2对应公式 　②　 ，图3对应公式 　③　 ，图4对应公式 　④　 ．
（2）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则的值为 　2　 ；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．
等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①，②，④，③；
（2）①2；
②E不为边AC的中点时①中的结论仍成立，证明见解答过程．
（1）观察图象可得图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；（2）由图可得S矩形AKLC＝AK AC＝a（a﹣b）＝BF BD＝S矩形DBFG，即可得S正方形BCEF＝a2＝S矩形AKHD+b2，从而有a2＝（a﹣b）（a+b）+b2，故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①设BD＝m，由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，求得AD＝BD＝CD＝m，根据线段中点的定义得到HE＝DGm＝AH，求得CG＝CD﹣DGm，BG＝FG＝BD+DGm，根据三角形的面积公式得到结论；
②设BD＝a，DG＝b，由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，根据矩形和等腰直角三角形的性质得到AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b，根据三角形的面积公式得到结论．
【解答】解：（1）观察图象可得：
图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）①设BD＝m，
由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝m，
∵E是AC中点，
∴HE＝DGm＝AH，
∴CG＝CD﹣DGm，BG＝FG＝BD+DGm，
∴S1＝S△BFG+S△CEGmmmmm2，
S2＝S△ABD+S△AEHm2mmm2，
∴2；
故答案为：2；
②E不为边AC的中点时①中的结论仍成立，证明如下：
设BD＝a，DG＝b，
由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b，
∴S1＝S△BFG+S△CEG（a+b）2（a﹣b）2＝a2+b2，
S2＝S△ABD+S△AEHa2b2（a2+b2），
∴2．
本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，涉及平方差、完全平方公式的推导及应用，解题的关键是数形结合思想的应用．
20．（2025 苏州模拟）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc﹣ad．例如：9×17﹣7×19＝20．完成下列各题：
（1）计算：3×11﹣1×13＝　20　 ；
（2）猜想：bc﹣ad＝　20　 ；
（3）验证，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；
（4）拓展；如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc﹣ad＝　4n ．（用含n的式子表示）
整式的混合运算；有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
实数；整式；运算能力．
【答案】（1）20；
（2）20；
（3）见解答；
（4）4n．
（1）先算乘法、再算减法即可；
（2）根据题目中的结果和（1）中的结果可以写出相应的猜想；
（3）根据表格中的数据，可以用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可；
（4）根据表2用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可．
【解答】解：（1）3×11﹣1×13
＝33﹣13
＝20，
故答案为：20；
（2）猜想：bc﹣ad＝20，
故答案为：20；
（3）由图可得，
b＝a+2，c＝a+10，d＝a+12，
∴bc﹣ad
＝（a+2）（a+10）﹣a（a+12）
＝a2+12a+20﹣a2﹣12a
＝20，
∴bc﹣ad＝20正确；
（4）由表2可得，
b＝a+2，c＝a+2n，d＝a+2n+2，
∴bc﹣ad
＝（a+2）（a+2n）﹣a（a+2n+2）
＝a2+（2+2n）a+4n﹣a2﹣（2n+2）a
＝4n，
故答案为：4n．
本题考查整式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．

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