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四边形中的折叠问题 专题训练
类型一：普通四边形中的折叠问题
类型二：平行四边形中的折叠问题
类型三：矩形中的折叠问题
类型四：菱形中的折叠问题
类型五：正方形中的折叠问题
类型一：普通四边形中的折叠问题
1．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【解答】解：设图1中BC，FM交于点G，所以∠FGB＝∠CGM，
∴折叠，
∴图2中，∠CGM＝∠PGC，
∴∠FGB＝∠CGM＝∠PGC，
∵∠FGP＝2∠BGF，
∴∠FGP+∠BGF+∠PGC＝4∠PGC＝180°，
∴∠PGC＝45°．
故选：C．
2．如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD∥EF，∠1＝130°，那么∠2是（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【解答】解：
∵CD∥EF，
∴∠DAG＝∠1＝130°，
由题意得：∠GAB＝∠DAB，
∴∠DAB∠DAG＝65°，
∵∠2+∠DAB＝180°，
∴∠2＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
3．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，把四边形纸片ABCD按图中所示的方式折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕为CE．若∠A＝110°，∠B＝∠D＝90°，则∠DEC的度数是　55°　 ．
【答案】55°．
【解答】解：由折叠和题意可得∠EFC＝∠D＝∠B＝90°，∠DEC＝∠FEC，
∴AB∥EF，
∴∠DEF＝∠A＝110°，
∴∠DEC＝∠FEC∠DEF110°＝55°．
故答案为：55°．
4．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．若EG∥A′D′，∠A+∠DFE＝125°，则∠CFE的度数是 　130　 °．
【答案】130．
【解答】解：设∠GEF＝α，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF＝α，∠BEF＝2∠GEF＝2α，
∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣2α，
由折叠的性质得：∠A'EF＝∠AEF＝180°﹣2α，∠A＝∠A'，
∴∠A'EG＝∠A'EF﹣∠GEF＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α，
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BEF＝2α，
∵∠A+∠DFE＝125°，
∴∠A＝125°﹣∠DFE＝125°﹣2α，
∴∠A'＝∠A＝125°﹣2α，
∵EG∥A′D′，
∴∠A'+∠A'EG＝180°，
即125°﹣2α+180°﹣3α＝180°，
解得：α＝25°，
∴∠DFE＝2α＝50°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DFE＝130°．
故答案为：130．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为边AB上一点，将四边形ABCD沿CE折叠（CE为折痕），使点B与点F重合，EM平分∠AEF交AD于点M，过点M作MN⊥EM交CD于点N．
（1）试说明：MN∥CE．
（2）若∠MEF＝25°，求∠DNM的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）65°．
【解答】（1）证明：由折叠知．
∵EM平分∠AEF，
∴．
∵∠BEF+∠AEF＝180°．
∴，
∴∠CEM＝90°，
∵MN⊥EM，
∴∠NME＝90°，
∴∠NME+∠CEM＝180°，
∴MN∥CE；
（2）解：∵∠MEF＝25°，∠CEM＝90°，
∴∠CEF＝65°，
∴∠CEB＝∠CEF＝65°．
∵DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB＝65°
∵MN∥CE，
∴∠DNM＝∠DCE＝65°．
类型二：平行四边形中的折叠问题
6．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　）
A．66° B．104° C．114° D．124°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，
∴AE＝CEAC，
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，
∴B′E＝DE＝1，
∴B′D．
故选：B．
8．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 　24　 ．
【答案】24．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠A1DE＝∠AED，
∵△A1DE是由△ADE折叠得到，
∴∠ADE＝∠A1DE，∠AED＝∠A1ED，AD＝A1D，AE＝A1E，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AE＝A1D＝A1E，
∴A1C＝EB，A1E+A1C＝A1D+A1C＝DC＝12，
∴四边形A1EBC是平行四边形，
∴四边形A1EBC的周长为2（A1E+A1C）＝2CD＝24，
故答案为：24．
9．如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 　2或6　 ．
【答案】2或6．
【解答】解：如图1，当BF⊥AD时，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴BF⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠F＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AB＝4，
∴AM＝BM＝44，
∵BC＝AD＝10，
∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6；
如图2，当BF⊥AB时，
∵平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴BF⊥DC，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠EFB＝45°，
∴∠ABF＝90°，
此时F与点M重合，
∵AB＝BF＝4，
∴AF＝48，
∴DM＝10﹣8＝2．
综合以上可得DM的长为2或6．
故答案为：2或6．
10．综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
（1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长；
（2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【解答】解：（1）由折叠知EC＝EC'，
∴∠EC'C＝∠ECC'＝15°，
∴∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°，
∵EC'⊥AB，
∴∠EC'B＝90°，
∴BE＝2BC'．
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴BC'＝2，
∴；
（2）证明：由折叠知∠CEF＝∠C'EF，∠EFD＝∠EFD'．
由 ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B，
∴∠CEF+∠EFD＝180°．
∴∠C'EF+∠EFD'＝180°．，
∴CE∥DF．
∴∠BC'E＝∠D′＝∠D＝∠B．
∴BE＝C'E＝CE，
∴，
∵AD∥BC，点D在BA延长线上，
∴∠B＝∠DAF＝∠D'，
∴AF＝D'F＝DF，
∴，
∵AD＝BC，
∴C'E＝D'F．
又∵C'E∥D'F，
∴四边形EC'D'F是平行四边形．
类型三：矩形中的折叠问题
11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（　　）
A．58° B．32° C．35° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°，
∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM，
∵点A′，B′，E在同一直线上，
∴∠AEA′+∠BEB′＝180°，
∴64°+2∠B′EM＝180°，
∴∠B′EM＝58°，
∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32°，
故选：B．
12．如图a是长方形纸带，∠DEF＝22°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数是（　　）
A．123° B．120° C．117° D．114°
【答案】D
【解答】解：∵∠DEF＝22°，长方形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠EFB＝∠DEF＝22°，
由折叠，∠EFB处重叠了3层，
∴∠CFE＝180°﹣3∠EFB＝180°﹣3×22°＝114°．
故选：D．
13．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为　106°　 ．
【答案】106°．
【解答】解：延长HK，MN交于点T，
由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，
∵MN∥KP，
∴∠T＝∠HKP＝90°，
∴∠ENM＝∠T＝90°，
∴EN∥HK，
∵∠EFC＝37°，
∴∠AEF＝37°，
∴∠AEN＝74°，
∴∠AHK＝74°，
∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°．
故答案为：106°．
14．如图，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，他先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A'，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，使得点B'恰好在GD'上，测得∠EFB'＝62°，则∠DGH的度数为　17°　 ．
【答案】17°．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠B＝90°，BC∥AD．
由折叠得，∠DGH＝∠D'GH，∠B＝∠FB'G＝90°，∠EFB＝∠EFB'，
∴∠EFB＝∠EFB'＝62°，
∴∠CFB'＝180°﹣∠EFB﹣∠EFB'＝56°．
如图2，过点B′作B'K∥AD，交AB于点K．
∵BC∥AD，
∴BK∥BC，
∴∠CFB′＝∠KB′F，∠DGB′＝∠GB′K，
∴∠GB′F＝∠GB′K+∠FB′K＝∠DGB'+∠CFB'＝90°，
∴∠DGB'＝90°﹣∠CFB'＝90°﹣56°＝34°．
∵∠DGH＝∠D'GH，
∴∠DGH∠DGB'＝17°．
故答案为：17°．
15．如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．
（1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由；
（2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由；
②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠CGH＝∠DFE，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴CG∥DF，∵GH∥EF，
∴∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE，
∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH，∠DFE＝∠DFA+∠AFE，
∴∠CGH＝∠DFE；
（2）①GH平分∠AGE；
理由如下：
∵GH∥EF，
∴∠AGH＝∠AFE，∠HGE＝∠GEF，
∵CE∥DF，
∴∠1＝∠GEF，
∵∠1＝∠GFE，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴∠AGH＝∠EGH，
∴GH平分∠AGE；
②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，
∴∠EFG＝∠1，
∵∠DFG＝52°，
∴∠EFG＝64°，
∵GH∥EF，
∴∠AGH＝∠AFE＝64°，
∵∠EGF＝∠DFG＝52°，
∴∠HGE＝64°．
16．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．
【答案】．
【解答】解：连接DE，如图：
∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD＝45°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵DG为折痕，
∴∠DGE＝90°＝∠C，
而DE＝DE，
∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），
∴DC＝DG，
∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴ADDGCD，
∴矩形ABCD长与宽的比值为，
故答案为．
类型四：菱形中的折叠问题
17．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，
∵将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合，
∴BE＝EC＝2，AE⊥BC，
∴AE2，
故选：C．
18．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵DC′是AB的垂直平分线，
∴P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：D．
19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（　　）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解答】解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
故选：A．
20．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是　75°　 ．
【答案】75°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠FBC＝30°，
根据折叠可得AB＝BF，
∴FB＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
故答案为：75°．
21．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝　75　 °．
【答案】75
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠D＝120°，
∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣∠D）＝30°．
∵CD∥AB，
∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．
∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，
∴AD＝AD′，
∴AB＝AD′，
∴∠AD′B＝∠ABD′（180°﹣∠BAD′）＝75°．
故答案为75．
类型五：正方形中的折叠问题
22．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（　　）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【答案】B
【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，
∴∠BEF＝69+45＝114°，
由折叠的性质可知：∠BEA∠BEF＝57°，
∴∠BAE＝90﹣57＝33°，
∴∠EAC＝45﹣33＝12°．
故选：B．
23．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，
且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，
∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°
由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，
∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°
故选：B．
24．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作FN⊥BC，FM⊥DC，垂足分别为N，M，连接BF，交AE于K，
∵正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，
∴BE＝2，
∴AE＝2，
∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，
∴BF⊥AE，
∴AB×BE＝BK×AE，
∴KB＝KF，
设EN＝x，则22﹣x2＝（）2﹣（2+x）2，
解得：x，
故FN，
则DM＝6，FM＝NC＝6﹣2，
则DF．
25．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．
小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G．
请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）求证：四边形AEGF是正方形．
（2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　3　 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3．
【解答】解：（1）根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC＝∠BAC+∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AD＝AE，AD＝AF，
∴AE＝AF，
∴矩形AEGF是正方形；
（2）设CD＝x，则BC＝x+2
∵AD＝6，BD＝2，四边形AEGF是正方形，
∴EG＝FG＝AD＝6，∠BGC＝90°，
∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴BD＝BE＝2，CD＝CF＝x，
∴BG＝6﹣2＝4，CG＝6﹣x，
在Rt△BGC中，根据勾股定理得，BG2+CG2＝BC2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，
解得x＝3，
∴CD＝3，
故答案为：3．
26．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　∠B+∠D＝180°　 关系时，仍有EF＝BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；
如图，
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
（2）如图，
∵AB＝AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．
∠B＝∠ACG，
BD＝CG，
AD＝AG
∵△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°．
即∠ECG＝90°．
∴EC2+CG2＝EG2．
在△AEG与△AED中，
∠EAG＝∠EAC+∠CAG＝∠EAC+∠BAD＝90°﹣∠EAD＝45°＝∠EAD．
又∵AD＝AG，AE＝AE，
∴△AEG≌△AED．
∴DE＝EG．
又∵CG＝BD，
∴BD2+EC2＝DE2．
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
四边形中的折叠问题 专题训练
类型一：普通四边形中的折叠问题
类型二：平行四边形中的折叠问题
类型三：矩形中的折叠问题
类型四：菱形中的折叠问题
类型五：正方形中的折叠问题
类型一：普通四边形中的折叠问题
1．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD∥EF，∠1＝130°，那么∠2是（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
3．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，把四边形纸片ABCD按图中所示的方式折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕为CE．若∠A＝110°，∠B＝∠D＝90°，则∠DEC的度数是　 　 ．
4．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．若EG∥A′D′，∠A+∠DFE＝125°，则∠CFE的度数是 　 　 °．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为边AB上一点，将四边形ABCD沿CE折叠（CE为折痕），使点B与点F重合，EM平分∠AEF交AD于点M，过点M作MN⊥EM交CD于点N．
（1）试说明：MN∥CE．
（2）若∠MEF＝25°，求∠DNM的度数．
类型二：平行四边形中的折叠问题
6．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　）
A．66° B．104° C．114° D．124°
7．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 　 　 ．
9．如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 　 ．
10．综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
（1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长；
（2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
类型三：矩形中的折叠问题
11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（　　）
A．58° B．32° C．35° D．45°
12．如图a是长方形纸带，∠DEF＝22°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数是（　　）
A．123° B．120° C．117° D．114°
13．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为　 　 ．
14．如图，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，他先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A'，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，使得点B'恰好在GD'上，测得∠EFB'＝62°，则∠DGH的度数为　 　 ．
15．如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．
（1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由；
（2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由；
②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数．
16．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．
类型四：菱形中的折叠问题
17．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
18．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（　　）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
20．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是　 　 ．
21．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝　 　 °．
类型五：正方形中的折叠问题
22．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（　　）
A．10° B．12° C．14° D．15°
23．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
24．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？
25．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．
小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G．
请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）求证：四边形AEGF是正方形．
（2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　 　 ．
26．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　 　 关系时，仍有EF＝BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．

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