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四边形中的最值问题 专题训练
类型一：平行四边形中的最值问题
类型二：矩形中的最值问题
类型三：菱形中的最值问题
类型四：正方形中的最值问题
类型一：平行四边形中的最值问题
1．如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＞AB，H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝75°，P为AB边上的一动点，以PA、PC为邻边作 AQCP，则对角线PQ长度的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠B＝60°，E是对角线AC上的动点，连接DE，则DE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，BC＝4，点E在边AB上，连接ED，EC，以EC，ED为邻边作 EDFC，连接EF，则EF长的最小值为（　　）
A．4 B．2 C．2 D．4
6．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝4，平行四边形ABCD的面积为16，E，F分别为边AD，BC上的点，且AE＝CF，连接BE，AF，则AF+BE的最小值为（　　）
A．8 B． C．16 D．
7．如图， ABCD中，，BC＝8，∠ABC＝45°，点M为 ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝8，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　 ．
类型二：矩形中的最值问题
8．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（　　）
A． B．33 C．5 D．22
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　 ．
10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，F为边BC上一动点，FD⊥AB于E，FE⊥AC于F，连接DE，则DE的最小值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
12．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．8
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
类型三：菱形中的最值问题
14．如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为 　 ．
15．如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E，F为边AD，CD上的动点，且AE＝CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE的最小值为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°．将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
17．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，连接DE，EF，P，Q分别为DE，EF的中点，连接PQ．若∠B＝120°，BC＝2，则PQ的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
18．如图，E为菱形ABCD的对角线AC上的动点，以EA，EB为邻边作平行四边形AFBE，若AB＝10，AC＝12，则EF的最小值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
19．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点E，F分别是线段AM，GM的中点，则线段EF的最小值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 　 　 ．
类型四：正方形中的最值问题
21．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为边BC，CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若AB＝2，则EF的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．
22．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18，在边AC上依次取两点D，E，使DE＝4，以DE为边作正方形DEFG．当DE在边AC上滑动时，点B，F之间的距离最小值为 　 　 ．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，CD上运动，且AM＝CN，连接BN，过点M作MP⊥BN交BN于点P，连接CP，则线段CP长度的最小值为 　 ．
24．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在CD上且CE＝2，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连接BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为 　 ．
25．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，以BC为边作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段OA的最大值是 　 ．中小学教育资源及组卷应用平台
四边形中的最值问题 专题训练
类型一：平行四边形中的最值问题
类型二：矩形中的最值问题
类型三：菱形中的最值问题
类型四：正方形中的最值问题
类型一：平行四边形中的最值问题
1．如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＞AB，H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解答】解：连接AG，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EFAG，
∴当AG最小时，EF最小，当AG⊥BC时，AG最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠B＝60°，
∴当AG⊥BC时，∠AGB＝90°，
∴，
∴AG＝4，
∴EF的最小值42．
故选：D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝75°，P为AB边上的一动点，以PA、PC为邻边作 AQCP，则对角线PQ长度的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ADC＝90°，
∵AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠ACB＝∠B＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°×2＝30°，
∴CDAC＝1，
∵四边形AQCP为平行四边形，
∴CQ∥AB，
∴当PQ⊥AB时，对角线PQ长度的最小，最小值等于CD的长度，
∴对角线PQ长度的最小值为1，
故选：C．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠B＝60°，E是对角线AC上的动点，连接DE，则DE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：过点D作DH⊥AC于点H，过点C作CF⊥AD于点H，如图所示：
∵点E是对角线AC上的动点，
根据“垂线段最短”得：当DE⊥AC时，DE为最小，
∴当点E与点H重合时，DE为最小，最小值是线段DH的长，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝2，AD＝3，∠B＝60°，
∴CD＝AB＝2，∠ADC＝∠B＝60°，
∵CF⊥AD，
∴△CDF和△CFA都是直角三角形，
在Rt△CDF中，∠DCF＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴DFCD＝1，
由勾股定理得：CF，
在Rt△CFA中，AF＝AD﹣DF＝3﹣1＝2，
由勾股定理得：AC，
由三角形的面积公式得：S△ACDAC DHAD CF，
∴DH．
∴DE的最小值为．
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵S△ABC10BD6×8，
∴BD，
∵四边形PAQB是平行四边形，
∴EP＝EQPQ，EA＝EB，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴EFBD，
∵EP≥EF，
∴PQ，
∴PQ，
∴线段PQ的最小值是，
故选：A．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，BC＝4，点E在边AB上，连接ED，EC，以EC，ED为邻边作 EDFC，连接EF，则EF长的最小值为（　　）
A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：设EF与CD交于点O，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠A＝120°，CH⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BHBC＝2，CHBH＝2，
∵四边形ECFD是平行四边形，
∴EO＝OF，
∴EF＝2EO，
当EO⊥AB时，EO有最小值为2，
∴EF的最小值为4，
故选：D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝4，平行四边形ABCD的面积为16，E，F分别为边AD，BC上的点，且AE＝CF，连接BE，AF，则AF+BE的最小值为（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接EC，作点C关于AD的对称点H，连接BH，EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝EC，
∵点C，点H关于AD对称，
∴EH＝EC，CN＝HN，AD⊥CH，
∴EC＝AF＝EH，
∴AF+BE＝BE+EH，
∴当点B，点E，点H三点共线时，AF+BE的最小值为BH的长，
∵AD＝4，平行四边形ABCD的面积为16，AD⊥CH，
∴AD CN＝16，
∴CN＝4，
∴CH＝8，
∴BH4，
故选：D．
7．如图， ABCD中，，BC＝8，∠ABC＝45°，点M为 ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝8，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：取BC的中点N，连接MN，过D作DL⊥BC交BC的延长线于L，
∴BNBC，
∵H是BM的中点，
∴BHBM，
∵BC＝BM＝8，
∴BN＝BH，
∵∠MBN＝∠CBH，
∴△BMN≌△BCH（SAS），
∴MN＝CH．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB＝6，
∴∠DCL＝∠ABC＝45°，
∴△DCL是等腰直角三角形，
∴CL＝DLDC＝6，
∵CNBC＝4，
∴NL＝CN+CL＝10，
∴DN2，
∵DM+MN≥DN，
∴DM+CH≥2，
∴DM+CH的最小值为2．
故答案为：2．
类型二：矩形中的最值问题
8．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（　　）
A． B．33 C．5 D．22
【答案】D
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接OA，OC，AC，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
由勾股定理得：，
∵EF＝CD，O为EF的中点，∠BCD＝90°，
∴EF＝CD＝4，，
∴，
∵OQ⊥AD，OP⊥AB，
∴四边形APOQ是矩形，
∴OA＝PQ，
∴当点O在AC上时，最小，即最小，
故选：D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ．
【答案】
【解答】解：连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，
∴BC15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴EF的最小值为，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GFEF；
故答案为：．
10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【答案】A
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CPEF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积AB×CMAC×BC，
∴CM2.4，
∴CPEFCM＝1.2，
故选：A．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，F为边BC上一动点，FD⊥AB于E，FE⊥AC于F，连接DE，则DE的最小值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【答案】C
【解答】解：连接AF，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
由勾股定理得：BC5，
由三角形面积公式得：S△ABCBC AHAB AC，
∴AH2.4，
∵FD⊥AB于E，FE⊥AC于F，
∴∠FDA＝∠FEA＝∠BAC＝90°，
∴四边形FADE是矩形，
∴DE＝AF，
∴当AF为最小时，DE为最小，
∵点F是BC边上的一个动点，
根据“垂线段最短”得：当点F与点H重合时，AF为最小，最小值为线段AH的长，
此时DE为最小，最小值为线段AH的长，
∴DE的最小值为2.4．
故选：C．
12．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【解答】解：连接CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EF＝CP，
∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，
当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC，
∴AP+EF的最小值为，
故选：C．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：过点P作PM∥EF交AD于点M，
由条件可知EF是△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝6，PM＝2EF，
当PM取得最小值时，EF最小，
当PM⊥AD时，PM最小，此时PM＝AB＝6，
∴EF最小PM最小3．
故选：A．
类型三：菱形中的最值问题
14．如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD12＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB3，
∵AB OHOA OD＝S△AOB，
∴3OH3×6，
解得OH，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∴OP≥OH，
∴EF，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
15．如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E，F为边AD，CD上的动点，且AE＝CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE的最小值为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解答】解：作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于点H，连接AG，AE，EG，
则CG⊥AD，CH＝GH，CE＝EG，
∵AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∵S菱形ABCD＝AD CH＝60，AD＝8，
∴CH＝7.5，
∴CG＝2CH＝15，
∴，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF，
∴BF+CE＝BE+CE＝BE+EG≥BG，
∴当点E在线段BG上时，BE+CE取得最小值17．
故选：C．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°．将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形OBCD是菱形，∠BOD＝60°，OB＝OD＝2，
∴BC＝OB＝2，OD∥BC，
∴∠BOD＝∠CBE＝60°，
∵CE⊥OE，
∴，，
∴OE＝BE+OB＝3，
∴，
∴当点C1在y轴上时，点C1的纵坐标有最大值为2，
故选：A．
17．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，连接DE，EF，P，Q分别为DE，EF的中点，连接PQ．若∠B＝120°，BC＝2，则PQ的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解答】解：连接DF，
∵P，Q分别为DE，EF的中点，
∴DF＝2PQ，
∴当DF有最小值时，PQ有最小值，
当DF⊥BC时，根据垂线段最短，DF有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝120°，
∴120°+∠C＝180°，
解得：∠C＝60°，
∴∠CDF＝90°﹣∠C＝30°，
∵四边形ABCD是菱形，BC＝2，
∴CD＝BC＝2，
∴，
∴DF，
∴DF的最小值为，
∴PQ的最小值为．
故选：A．
18．如图，E为菱形ABCD的对角线AC上的动点，以EA，EB为邻边作平行四边形AFBE，若AB＝10，AC＝12，则EF的最小值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【解答】解：如图，连接EF，BD，AC与BD交于点O，
由题意得：AOAC＝6，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB8，
∵四边形AFBE是平行四边形，
∴AC∥BF，
∴当EF⊥AC，即EF＝OB时，EF最小，
此时，EF的最小值为8．
故选：C．
19．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点E，F分别是线段AM，GM的中点，则线段EF的最小值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【解答】解：连接AG、AC，AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AC⊥BD，，
又∵AB＝5，
∴，
∵点G是线段BD上的动点，AC⊥BD，
∴AGmin＝AO＝3，
∵点E，F分别是线段AM，GM的中点，即EF是△AMG的中位线，
∴，
∴，
故选：B．
10．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 　4.8　 ．
【答案】4.8．
【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD为菱形．
∴AD＝CD，AC垂直平分BD，
∴∠DAF＝∠DCE，DE＝BE，
在△DAF和△DCE中，
，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴DF＝DE，
∴DF＝BE，
当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，
∵四边形ABCD为菱形．AC＝8，BD＝6，
∴∠BOC＝90°，CO＝4，BO＝3，
∴CD＝BC，
∵BG2＝BC2﹣CG2＝BD2﹣DG2，
∴52﹣CG2＝62﹣（5﹣CG）2，
解得CG＝1.4，
∴BG，
∴EG+DF的最小值为4.8．
解法二：求BG时，利用面积法：CD BG AC BD，
∴BG4.8，
∴EG+DF的最小值为4.8．
故答案为：4.8．
类型四：正方形中的最值问题
21．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为边BC，CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若AB＝2，则EF的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解答】解：过点O作OH⊥BC于点H，如图所示：
∵△ABC是正方形，且AB＝2，
∴AB＝BC＝2，OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∠OCE＝∠ODF＝45°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OHBC＝1，
∵OE⊥OF，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠COD＝90°，
∴∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF，
∴∠EOC＝∠DOF，
在△OCE和△ODF中，
，
∴△OCE≌△ODF（ASA），
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：EFOE，
∴当OE为最小时，EF为最小，
∵点E在边BC上，
∴根据“垂线段最短”得：当OE⊥BC时为最小，
即点E于点H重合时，OE为最小，最小值为线段OH的长，
∴OE的最小值为1，
此时EF，
即EF的最小值为．
故选：D．
22．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18，在边AC上依次取两点D，E，使DE＝4，以DE为边作正方形DEFG．当DE在边AC上滑动时，点B，F之间的距离最小值为 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：过点B作BH⊥AB于点H，交直线GF于点P，如图所示：
∴△ABH和△CBH都是直角三角形，
在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18，
∴AH＝CHAC＝9，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH12，
∵四边形DEFG是正方形，且DE＝4，
∴EF＝DE＝4，GF∥DE，
∵点D，E都在边AC上，
∴GF∥BC，
∴GF到BC的距离为4，AH⊥GF，
∴PH＝EF＝4，
∴AP＝AH﹣PH＝12﹣4＝8，
当DE在边AC上滑动时，点F在到AB距离为4且与BC平行的直线GF上运动，
根据“垂线段最短”得：AF≤AP＝8，
∴当点P于点F重合时，BF为最小，最小值为8，
∴点B，F之间的距离最小值为8．
故答案为：8．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，CD上运动，且AM＝CN，连接BN，过点M作MP⊥BN交BN于点P，连接CP，则线段CP长度的最小值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AB＝CB＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，延长PM交BA的延长线于点E，连接AP，AC，
∴∠EAM＝180°﹣∠BAD＝90°，
∵MP⊥BN，
∴∠E+∠EBP＝90°，
又∵∠ABC＝∠NBC+∠EBP＝90°，
∴∠E＝∠NBC，
在△BCN和△EAM中，
，
∴△BCN≌△EAM（AAS），
∴AE＝CB，
∵AB＝CB＝4，
∴AB＝CB＝AE＝4，即点A为BE的中点，
在直角△PBE中，点A是斜边BE的中点，
∴AB＝AE＝AP＝4，
在直角△ABC中，由勾股定理得：，
∵，
∴当点A、P、C三点共线时，CP取到最小值．
故答案为：．
24．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在CD上且CE＝2，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连接BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：过点P作PN⊥BC于点N，过点E作EM⊥BE，过点P作PM∥EF，交EM于点M，设PF与BE相交于点P，如图所示：
∴∠PNB＝∠PNF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，
∴AB＝BC＝3，∠A＝ABC＝∠C＝90°，
∵点E在CD上且CE＝2，
∴△BCE是直角三角形，
由勾股定理得：BE，
∵∠A＝ABC＝∠PNB＝90°，
∴四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB＝BC＝6，
在△ANF中，∠PNF＝90°，
∴∠NPF+∠BFP＝90°，
∵PF⊥BE于点P，
∴△BPF是直角三角形，
∴∠CBE+∠BFP＝90°，
∴∠NPF＝∠CBE，
在△PNF和△BCE中，
，
∴△PNF≌△BCE（AAS），
∴PF＝BE，
∵EM⊥BE，PF⊥BE，
∴EM∥PF，∠BEM＝90°，
又∵PM∥EF，
∴四边形AFEM是平行四边形，
∴EM＝PF，PM＝EF，
∴EM＝BE，BP+EF＝BP+PM，
在△BEM中，∠BEM＝90°，EM＝PF，
∴△BEM是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BM，
∵BP+EF＝BP+PM，
∴当BP+PM为最小时，BP+EF为最小，
根据“两点之间线段最短”得：BP+PM≤BM，
∴当点B，P，M共线时，BP+PM为最小，最小值为线段BM的长为，
∴BP+EF的最小值为．
故答案为：．
25．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，以BC为边作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段OA的最大值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：过点O作OF⊥OA，且使OF＝OA，连接BF，AF，如图所示：
∴∠AOF＝90°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠AOF＝∠BOC＝90°，
∴∠AOF﹣∠AOB＝∠BOC﹣∠AOB，
∴∠FOB＝∠AOC，
在△FOB和△AOC中，
，
△FOB≌△AOC（SAS），
∴BF＝AC＝5，
在△AOF中，∠AOF＝90°，OF＝OA，
∴△AOF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AFOA，
∴OAAF，
∴当AF为最大时，OA为最大，
根据“两点之间线段最短”得：AF≤AB+BF＝3+5＝8，
∴当点A，B，F共线时，AF为最大，最大值为8，
∴当AF＝8时，OAAF，
∴线段OA的最大值是．
故答案为：．

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