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高三数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1.已知复数z=6+i,则
A. 35 B. 37
C.35+12i D. 37+12i
2. 若集合 中只有1个元素,则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3.已知点 在抛物线 上，则点 到抛物线 的焦点的距离为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
4.已知非零向量a，b满足|a|=|2b|=2|a-2b|，则a，b夹角的余弦值为
A. B C. D.
5.已知函数 ,则
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
6. 已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名. 假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6. 现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为
A. B. C. D.
7. 已知 ,若函数 恰有1个零点,则
A. e B. 1
C D. 2
8. 已知双曲线 ，点 ，直线 交双曲线 于 两点，若 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，若 成等比数列，则
A. B. C. D.
10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为 ( 为参数),其中 为蜥蜴的体温(单位: )，t为太阳落山后的时间(单位:min).已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为 39°C，下列结论正确的是
A. 太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15°C
B. 太阳落山后的5 min内，蜥蜴的体温始终高于28°C
C.从t=5到t=15,蜥蜴的体温下降了6°C
D. 存在太阳落山后的a时刻，使得从t=a到t=a+5，蜥蜴的体温下降15°C
11.如图，该八面体的棱长均为2，且六边形ABCDEF 为正六边形，则
A. 平面GHI平面ABCDEF
B. 四边形 ABHG 是正方形
C. 该八面体的体积为
D. 该八面体外接球的体积为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ，则 _____▲_____.
13. 已知数列 满足 ，则其前8项和为_____▲_____.
14. 已知函数 的定义域为 当 时， (x-2). 若 ，则 的取值范围为_____▲_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
的内角 的对边分别为 .
(1)求角 ；
(2)若 , 边的中线长 ，求 的周长.
16.(15分)
近年来，我国在大力发展清洁能源来替代化石能源.天然气、水电、核电、风电等清洁能源消费量占能源消费总量的比重逐年增长.以下是2016~2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重数据：
19.5%, 20.3%, 22.1%, 23.3%, 24.3%, 25.5%, 26.0%, 26.4%, 28.6%.
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这9个数据中任选3个，求恰有2个数据在25.0%以上的概率；
(3)若2016~2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重 y关于年份x的经验回归方程为y=0.01x+b，年份x的平均数为2 020，预测2028年该地清洁能源消费量占能源消费总量的比重.
17.(15分)
如图，在几何体 中，CD⊥平面 ， ， _____ =60°, AB=5, DC=3, EF=1.
(1)证明: 是等边三角形.
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
(3)已知点M在直线 上，且 平面 ，求 的值.
18.(17分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求a 的取值范围.
(3)若 ，求a 的取值范围.
19.(17分)
已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ，且 .
(1)求椭圆C 的方程.
(2)已知点 在椭圆 上，直线 交直线 于点 ，直线 交直线x=-2于点 N.
①求|MN|的取值范围；
②当|MN|取最小值时，记以MN 为直径的圆为圆D，过点 Q 的直线l 与椭圆C 交于Q, P 两点,与圆D交于S, R 两点,若|QR||QS|>λ|PQ|,求λ的取值范围.
高三数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 B D B A B C C A ABD AC ABD 0 或 -2 36
1.B
2.D
. 若 中只有 1 个元素,则 .
3.B
点 到 的焦点的距离为 .
4.A
因为 ,所以 ,则
5.B
,是偶函数.
6. C 记“恰好命中 1 次”为事件 ，记“抽取的球员为主力球员”为事件 . 由题意得 ， ,则
7.C
由 ,得 或 . 令函数 ,则 ,所以 在 上单调递增. ,所以 必有 1 个零点. 因为 恰有 1 个零点,且 是 的零点, 所以 ,即 ,解得 .
8.A
设 ,因为 ,所以 解得 的方程并整理得
0 . 同理,由 ,得到 ,因此 是一元二次方程 的两根,则 .
9.ABD
因为 成等比数列,所以 ,即 ,化简得 , 正确. 正确. 若 ,则 ,若 ,则 错误, 正确.
10.AC
因为太阳刚落山时,蜥蜴的体温为 ,所以 ,解得 . 因为 , 所以 ,所以太阳落山后,蜥蜴的体温始终高于 正确. 函数 在 上单调递减， ，所以太阳落山后的 内，蜥蜴的体温始终高于 ，B错误. ， ，从 到 ，蜥蜴的体温下降了 ， 正确. 令 ，即 15，化简得 ，该方程的两个根为负数，所以不存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降 ，D 错误.
11.ABD
在该八面体中，点 共面. 因为该八面体的棱长均相等,所以四边形 是菱形,所以 平面 . 同理, 平面 . 因为 , 所以平面 平面 , A 正确.
如图，记正六边形 的中心为 ， ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ，则点 ， 在平面 上的投影 分别在直线 上,连接 ,则 . 在正六边形 中,直线 与直线 的夹角均为 ,即 ,所以 . 又因为 ,所以 平面 , ,所以四边形 是正方形, 正确.
连接 (图略), . 同理,可得 ,所以点 到该八面体的顶点的距离均为 2,即该八面体外接球的半径为 2,该八面体外接球的体积为 , D 正确.
记点 在平面 上的投影为 (图略). 该八面体可看成由 3 个与三棱柱 - 全等的三棱柱,3 个与三棱锥 全等的三棱锥,及三棱柱 构成. 其体积为 , C 错误.
12.0 或-2
,整理得 ,解得 或 .
13.36
由 ,可得 11, ,所以 ,所以 的前 8 项和为 .
的部分图象如图所示,当 时, ,结合 的图象可得 ,则 的取值范围是 .
15.解: (1) 因为 ,所以 .1 分
因为 ,所以 , 2 分
整理得 ,则 , 4 分即 . 5 分因为 ,所以 .
因为 ,所以 . 6 分
(2)在 中，由余弦定理得 ， 8 分
化简得 ,解得 . 9 分
因为 ,所以 为正三角形, 11 分
的周长为 . 13 分
16.解:(1)极差为 . 2 分
中位数为 24.3%. 4 分
(2)25.0%以上的数据共有 4 个， 5 分
,故恰有 2 个数据在 以上的概率为 . 9 分
(3)这组数据的平均数为
11 分
由直线 过点 , 12 分
则 , 13 分
所以经验回归方程为 . 14 分
当 时, .
故预测 2028 年该地清洁能源消费量占能源消费总量的比重为 . 15 分
17.
(1)证明:因为 平面 ，所以 .
在直角梯形 中, . 2 分同理, . 3 分
因为 ，所以 是等边三角形. 4 分
(2)解:记 的中点为 ，在等边三角形 中， .
因为 平面 平面 ,所以平面 平面 .
因为平面 平面 ,所以 平面 .
以 为原点, 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 5 分
则 .
6 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 取 ,得 , . 7 分
平面 的一个法向量为 . 8 分
故平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . 10 分
(3)解:设 ，则 . 12 分因为 平面 ,所以 , 13 分
即 ,解得 .
故 的值为 . 15 分
18.解: (1) 当 时, .
1 分
曲线 在点 处的切线方程为 . 3 分
(2) 4 分
因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立， 5 分
即 在 上恒成立. 6 分
令函数 , 7 分
在 上恒成立, 8 分
所以 在 上单调递增, , 9 分
所以 ,解得 ,所以 的取值范围为 . 10 分
(3) ，即 . 11 分
令函数 ,则 .
令函数 ,则 .
令函数 ,则 . 13 分
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 14 分
,即 ,所以 在 上单调递减. 15 分
因为 ,所以当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 16 分
,所以 .
故 的取值范围为 . 17 分
19.解:(1)由题意得 解得 2 分所以椭圆 的方程为 . 3 分
(2)① ，直线 的方程为 .
令 ,得 ,即 . 4 分
同理,直线 的方程为 . 5 分
6 分
因为点 在椭圆 上,所以 ,即 ,
则 . 7 分
因为 ,所以 ,当且仅当 时, 等号成立.
故 的取值范围为 . 8 分
②由①得，当 取最小值时， ， ， ，圆 的圆心 ,所以圆 的方程为 . 9 分
当直线 的斜率不存在时, .
因为 ,所以 ,解得 . 10 分当直线 的斜率存在时,设直线 . 由 得 ,
11 分
12 分
由 得 .
由 ,得 ,则 13 分
令 ,则 ,令 ,则 ,
则 . 14 分
因为 ,所以 ,则 , 15 分
因为 ,所以 ,所以 . 16 分
综上, 的取值范围为 . 17 分

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