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21.3.3　正方形
第1课时　正方形的性质
正方形的定义及对称性
1.从一般到特殊是一种重要的数学思想,如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程,你认为“ ”处的图形名称是 (　　)
A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形
2.下列说法中,错误的是 (　　)
A.正方形的对称轴一定是其对角线所在的直线
B.正方形有四条对称轴
C.正方形的每一条对称轴都过对角线的交点
D.有一组邻边相等的矩形是正方形
正方形的边、角的性质
3.如图,四边形OABC是正方形,O,A两点的坐标分别是O(0,0),A(-4,0),点B在第二象限,则点B的坐标是 (　　)
A.(4,4) B.(4,-4) C.(-4,-4) D.(-4,4)
4.如图,在正方形ABCD的内侧,作等边三角形ADE,则∠CBE= (　　)
A.15° B.25° C.75° D.30°
正方形的对角线的性质
5.正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是 (　　)
A.对角相等 B.对角线互相垂直
C.对边平行且相等 D.对角线相等
6.已知正方形的对角线长为2,则此正方形的边长为 (　　)
A. B.2 C. D.
7.(2025浙江中考)【问题背景】如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.
1.(2025唐山路南区月考)如图,在正方形ABCD中,点G在BC边上,连接AG,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,若BF=4,DE=9,则EF的长为 (　　)
A.5 B.8 C.12 D.2
2.如图,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,S正方形AMEF=16,则S△ABC=(　　)
A.4 B.8
C.12 D.16
3.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长为　　　　.
4.小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形,做成班刊刊头(如图).若菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则这张菱形纸片的边长为　　　　 cm.
　　
5.将正方形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中,点D(0,-1),点C(3,0).
(1)AB=　　　　.
(2)点B的坐标是　　　　.
6.(2025定州期中)如图,在正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE分别交DC,BD于点F,G,H为EF的中点,连接BD,CG,CH.
(1)若∠DAG=20°,则∠DCG=　　　　°.
(2)求证:GC⊥CH.
微专题 中点四边形
平行四边形的中点四边形是平行四边形,矩形的中点四边形是菱形,菱形的中点四边形是矩形,正方形的中点四边形是正方形.
1.顺次连接矩形四边中点所得到的四边形是 (　　)
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.以上图形都不是
2.若顺次连接四边形各边的中点,所得到的四边形是菱形,则原四边形对角线的几何特征是 (　　)
A.对角线互相垂直平分 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
3.如图,在任意四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点,对于四边形MNPQ的形状,以下结论中,错误的是 (　　)
A.当∠ABC=90°时,四边形MNPQ为正方形
B.当AC=BD时,四边形MNPQ为菱形
C.当AC⊥BD时,四边形MNPQ为矩形
D.四边形MNPQ一定为平行四边形
【详解答案】
基础达标
1.C　2.A　3.D　4.A　5.B　6.A
7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD,
又∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,
∵DE=DA,
∴∠DAE=∠DEA,
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,
∴∠DAE=∠DEA=67.5°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
能力提升
1.A　解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠BAD=90°,∵DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,∴∠AFB=∠DEA=90°,∴∠BAF=90°-∠DAE=∠ADE,在△BAF和△ADE中,∴△BAF≌△ADE(AAS),∴BF=AE=4,AF=DE=9,∴EF=AF-AE=9-4=5.故选A.
2.B　解析:∵四边形AMEF是正方形,
S正方形AMEF=16,∴AM2=16,∴AM=4.在Rt△ABC中,M是斜边BC的中点,∴AM=BC,即BC=2AM=8.在Rt△ABC中,AB=4,∴AC==4.∴S△ABC=AB·AC=×4×4=8.故选B.
3.　解析:如图,连接CH并延长交AD于点P,连接PE,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=2,∵E,F分别是边AB,BC的中点,∴AE=CF=×2=1,∵AD∥BC,∴∠DPH=∠FCH,∵点H是DF的中点,∴DH=FH.又∵∠DHP=∠FHC,∴△PDH≌△CFH(AAS),∴PD=CF=1,PH=CH,∴点H是PC的中点.∴AP=AD-PD=1,∴PE=,∵点G,H分别是EC,PC的中点,∴GH=EP=.
4.
13　解析:如图,连接AC,BD,∵正方形AECF的面积为50 cm2,∴AC==10(cm),∵菱形ABCD的面积为120 cm2,∴BD=2×120÷10=24(cm),∴菱形ABCD的边长为=13(cm).
5.(1)　(2)(2,3)　解析:(1)∵点D(0,-1),点C(3,0),∴OD=1,OC=3,CD=,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD=.
(2)过点B作BE⊥x轴于点E,如图所示:
∵四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,BC=CD,∵∠CEB=∠COD=∠BCD=90°,∴∠BCE+∠DCO=∠BCE+∠CBE=90°,∴∠DCO=∠CBE,∴△BCE≌△CDO(AAS),∴BE=CO=3,CE=OD=1,∴OE=3-1=2,∴点B的坐标为(2,3).
6.解:(1)20
(2)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD∥BE,∠BCD=90°.
∴∠DAG=∠E.
由(1)知∠DAG=∠DCG,
∴∠E=∠DCG.
∵∠BCD=90°,
∴∠ECF=90°.
∵H为EF的中点,
∴CH=EF=HE.
∴∠HCE=∠E.
∴∠DCG=∠HCE.
又∵∠FCH+∠HCE=90°,
∴∠FCH+∠DCG=90°,
即∠GCH=90°.
∴GC⊥CH.
微专题5
1.B
2.
D　解析:如图,在四边形ABCD中,∵E,F分别为AD,AB的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF=BD,同理可得FG=AC,GH=BD,HE=AC,当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH为菱形,∴当中点四边形是菱形时,原四边形的对角线相等.故选D.
3.A　解析:如图,连接AC,BD交于点O,∵M,N,P,Q是各边中点,∴PQ∥AC,PQ=AC,MN∥AC,MN=AC,∴PQ∥MN,PQ=MN,∴四边形MNPQ一定为平行四边形,故D结论正确,不符合题意;当∠ABC=90°时,四边形MNPQ不一定为正方形,故A结论错误,符合题意;当AC=BD时,MN=MQ,∴四边形MNPQ为菱形,故B结论正确,不符合题意;当AC⊥BD时,∠MNP=90°,∴四边形MNPQ为矩形,故C结论正确,不符合题意.故选A.

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