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第2课时　正方形的判定
先判定是矩形再判定是菱形
1.已知在平行四边形ABCD中,∠A=90°,如果添加一个条件,可使该四边形是正方形,那么这个条件可以是 (　　)
A.∠D=90° B.AB=CD
C.AD=BC D.BC=CD
2.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F,AE=CE.
求证:四边形AECF是正方形.
先判定是菱形再判定是矩形
3.已知菱形ABCD的对角线为AC和BD,下列条件中,不能使菱形ABCD为正方形的是 (　　)
A.AC=BD B.AB⊥BC
C.∠ADB=45° D.AB=AC
4.(2025黄石期末)甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习,工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形,他们各自做了如下检测:
甲量得构件四边都相等;
乙量得构件的两条对角线相等;
丙量得构件的一组邻边相等;
丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等.
检测后,他们都说是正方形,你认为说得最有把握的是 (　　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
5.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.
(1)判定四边形AEDF的形状,并证明你的结论.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形 请说明理由.
1.学习了正方形之后,老师提出问题:要判断一个四边形是正方形,有哪些思路
甲同学说:先判定四边形是菱形,再确定这个菱形有一个角是直角;
乙同学说:先判定四边形是矩形,再确定这个矩形有一组邻边相等;
丙同学说:先判定四边形的对角线相等,再确定对角线互相垂直;
丁同学说:先判定四边形是平行四边形,再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等.
上述四名同学的说法中,正确的是 (　　)
A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丁
2.如图,在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中,①②③④表示需要添加的条件,则下列添加的条件错误的是 (　　)
A.①有一个角为直角
B.②有一组邻边相等
C.③对角线相等
D.④有一个角为直角
3.如图1,一张矩形纸片ABCD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落到AD边上点P处,折痕为DE,再将纸片沿过点E的直线折叠,使点B与点Q重合,折痕为EF,如图2,已知△DEP的面积与△EFQ的面积之和为,AF=,则AD的长为　　　　.
4.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:BM=DN.
(2)连接MQ,PN,判断四边形MPNQ的形状,并说明理由.
(3)矩形ABCD的边AB与AD满足什么数量关系时,四边形MPNQ是正方形 请说明理由.
5.(推理能力)问题解决:
如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形.
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
类比迁移:
(3)如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=
60°,AE=7,BF=2.求DE的长.
【详解答案】
1.D
2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AE⊥BC,CF⊥AD,
∴∠BCF=∠AFC=∠DAE=∠AEC=90°,
∴四边形AECF是矩形.
又∵AE=CE,
∴四边形AECF是正方形.
3.D　4.D
5.解:(1)四边形AEDF是菱形.
证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵DF∥AB,
∴∠BAD=∠ADF,
∴∠DAC=∠ADF,
∴FA=FD.
∴四边形AEDF是菱形.
(2)当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.
理由:∵四边形AEDF是菱形,∠BAC=90°,
∴菱形AEDF是正方形.
能力提升
1.D　解析:甲同学说:先判定四边形是菱形,再确定这个菱形有一个角是直角,故该同学说法正确;乙同学说:先判定四边形是矩形,再确定这个矩形有一组邻边相等,故该同学说法正确;丙同学的说法中,判定四边形的对角线相等且互相垂直后,还需判定对角线互相平分,故该同学说法错误;丁同学说:先判定四边形是平行四边形,再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等,故该同学说法正确.故选D.
2.C　解析:A.有一个角为直角的平行四边形是矩形,所以此选项正确,不符合题意;B.一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以此选项正确,不符合题意;C.对角线互相垂直的矩形是正方形,所以此选项不正确,符合题意;D.有一个角为直角的菱形是正方形,所以此选项正确,不符合题意.故选C.
3.　解析:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠ADC=∠C=∠B=90°,由折叠可知,∠C=∠DPE=90°,CD=PD,∠B=∠FQE=90°,BF=FQ,∴四边形PDCE是正方形,四边形BFQE是正方形,四边形AFQP是矩形,∴设AP=FQ=QE=a,PD=PE=AB=b,∴S△EFQ+S△DEP=a2+b2=,AF=b-a=,则a2+b2=,(b-a)2=a2+b2-2ab=,∴ab=,则(a+b)2=a2+b2+2ab=,∴a+b=(负值已舍去),则AD=AP+PD=a+b=.
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,
∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴AM=CN,
∴△MBA≌△NDC(SAS),
∴BM=DN.
(2)四边形MPNQ是菱形.理由如下:
如图,连接MN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,AB⊥AD,
∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴AM=BN=AD=BC,
∴四边形ABNM是平行四边形,
又∵AB⊥AM,
∴四边形ABNM是矩形,
∵P是BM的中点,
∴MP=PB=PN,
同理可得MQ=DQ=NQ,
∵BM=DN,
∴MP=PN=MQ=NQ,
∴四边形MPNQ是菱形.
(3)当AD=2AB时,四边形MPNQ是正方形.理由如下:
如图,连接PQ,AP.
由(2)可知四边形MPNQ是菱形,
∴PQ⊥MN,
∵AD⊥MN,
∴PQ∥AD,
∵P,Q分别是AN,DN的中点,
∴PQ为△ADN的中位线,
∴AD=2PQ,
∵AD=2AB,
∴PQ=AB,
∵在矩形ABNM中,MN=AB,
∴MN=PQ,
∴菱形MPNQ是正方形.
5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠ABC=90°.
∵DE⊥AF,
∴∠DAB=∠AGD=90°,
∴∠BAF+∠DAF=90°,
∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
在△ADE和△BAF中,
∴△ADE≌△BAF(AAS).
∴AD=AB.
又∵四边形ABCD是矩形,
∴四边形ABCD是正方形.
(2)△AHF是等腰三角形.理由如下:
由(1)知△ADE≌△BAF,
∴AE=BF.
∵BH=AE,
∴BH=BF.
∵∠ABH=90°,
∴AH=AF,
∴△AHF是等腰三角形.
(3)如图,延长CB到点H,使BH=AE=7,连接AH.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=DA.
∴∠ABH=∠DAE.
∵BH=AE,
∴△ABH≌△DAE(SAS).
∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°.
又∵DE=AF,
∴AH=AF.
∴△AHF是等边三角形.
∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=7+2=9.
∴DE=AH=9.

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