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第2章《相交线与平行线》----平行线的判定与性质
一、单选题
1．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的一点P．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④
二、填空题
6．如图，交于点O，，若，则的度数是 度．
7．如图是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数是 ．
8．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ．
9．已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则 ；如图3，当点落在下方，且时，则 （用含n的代数式表示）．
10．如图，将一副三角板按照图示放置（有一条直角边重合），含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，当 时，两块三角板的斜边互相平行．
三、解答题
11．如图， ABC中，平分，交于点，，交于点，点在上，连接．
(1)若，求的大小；
(2)若，试判断和的大小关系并说明理由．
12．如图，在四边形中，是延长线的一点．连接交于点．若．
(1)求证：；
(2)若．求的度数．
13．如图，已知，点在线段上，，点在直线上，，点在直线上，．
(1)找出图中与相等的角，并说明理由（在不添加字母的情况下）．
(2)若，求的度数．
(3)在（2）的条件下，点（点不与两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变．求的度数．
14．如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于，
①求度数；
②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值．
15．已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，．
(1)在上述所拼图形中，的度数为_____________．
(2)在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒．
①在旋转过程中，请求出当时的值；
②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值．
16．【项目化学习】“玩转三角尺”．
【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务．
任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________
任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数．
任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数．
参考答案
一、单选题
1．A
解：根据题意知：，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
故选：A．
2．A
解：由题意可得：，
∴，
由对顶角相等可得：，
∴，
故选：A．
3．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4．D
解：如图，过点作
∵，
∴
∵，，
∴，
∵
∴
又∵射线平分，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
故选：D．
5．C
解：延长交于，
，
，，
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，故①错误；②正确；
，，
，故③正确；
平分，
，
，
，
，故④不一定正确．
其中正确结论的是②③，
故选：C．
二、填空题
6．127
解：∵，，
∴，，
∴；
故答案为：127
7．
解：如图，延长，交于点，
，
∵，，重力的方向，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
8．
解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
9．
解：答题空1：当点恰好落在线段上时，
，
∴，
∵长方形，
∴，，
∴，
∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置，
∴，
∵，
∴，，
在中，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
答题空2：当点落在下方，且时，
由折叠的性质，，
∵，
∴，
∵长方形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质，，
∴，
∵，
∴，
整理得，．
故答案为：，
10．或或
解：依题意，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，
∴时间（秒），
依题意，
∵两块三角板的斜边互相平行，
∴第一种情况，连接，如图所示：
∵，
∴
则
∴，
则，
∵，
∴，
∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，
∴，
解得，
∴第二种情况，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
依题意，
∵
∴
解得
∴第三种情况，连接，如图所示：
∵，
同理得 ，
则，
∵，
∴，
∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，
则
∵
∴，
解得，
综上：当或或，两块三角板的斜边互相平行．
故答案为：或或
三、解答题
11．（1）解：∵，
∴，
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴．
12．（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．（1）解：与相等的角为，
理由如下：
．
，
，
．
．
，
与相等的角为．
（2）解：
，
又
．
（3）解：如图①，当点在线段上时，点在延长线上，．
，
；
如图②，当点在延长线上时，点在线段上．
，，
，
综上所述，的度数为或．
14．（1）解：过点作，如图1所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得，
∵，，
∴，
整理得，
∵的平分线和的平分线交于点，
∴，，
∴，
过点作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当时，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当时，如图，此时，，
∴，
解得；
当时，交于点，如图，此时，，
∵，
∴，
解得；
当时，交直线于点，如图，此时，，
由（1）同理可得，
∵，，
∴，
解得；
综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30．
15．（1）解：由题意得，，，，
∴；
（2）解：①由题意得，，
∴，
由题意得，，，，，
∵，
∴当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得（舍去），
∴的值为或；
②当时，如图，
∴，
∴，
解得；
当时，如图：
∴，
∴，
解得；
当时，如图：记交点为点，过点作，
∴，
∴，
解得，
综上：当与三角尺的某一边平行时，满足条件的值为或或．
16．解：任务一：由平移得，，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
任务二：如图，过点作，交于点，
又，
，
，，
．
，
．
答：的度数为．
任务三：需分情况讨论：
当时，如图所示，
；
当时，如图所示，
过点作交于点，
则，
同理任务二可得，；
当，且在直线b的下方时，如图所示，
则，
；
综上，的度数为或或．

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