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第2章《相交线与平行线》----平行线中的拐点模型
一、单选题
1．如图，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，则、、、的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，两直线，平行，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，，若，则等于 ．
7．如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ．
8．如图，已知，和分别平分和，若，则 ．
9．如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ．
10．（1）如图①，已知，，，则的度数为 °．
（2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °．
三、解答题
11．如图，已知，于点，点在直线上，且位于直线的右侧．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的度数．
12．如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数．
13．如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”．
(1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数．
(2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系．
14．如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，求的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由；
（问题应用）
（3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）．
15．如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分；
(3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系．
16．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．
【建立模型】（1）如图①，已知，点在直线，之间，请写出与，之间的关系，并证明；
【解决问题】（2）如图②所示的是一盏可调节台灯，图③为其示意图．固定支撑杆于点，与是分别可绕点，旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，求的度数；
【拓展应用】（3）如图④，已知，和分别平分和．若，求的度数．
17．综合与探究
如图，，点P，Q为直线，上两定点，．
(1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ；
(2)若平分，平分，．
①如图2，点N在左侧时，求的角度；
②如图3，点N在右侧，求的角度；
(3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果）
18．综合探究．
已知，李想同学将 ABC放置在这两条平行线上展开探究，其中 ABC的三边与两条平行线分别交于点D，E，F，
(1)【特例探究】如图1，
① ；
②若与的平分线相交于点P，则 ；
(2)【一般探索】
如图2，，
①若，，求与的关系；
②若，（且n为整数，则与的关系为 ；
(3)【拓展应用】
如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果
参考答案
一、单选题
1．C
如图，过点作
，
．
故选：C．
2．A
解：过点作，
∵，，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
3．C
解：过E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4．A
解：过点作，过作，
∵，
∴
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
5．D
二、填空题
6．
解：过点作，如图：
，，
，
，
，
，
即．
而，
．
故答案为：．
7．
解：如图，过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
，
，
．
故答案为：．
8．
解：如图，过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
设，，
则，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
9．142
解：过点B作，过点C作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：142．
10． 40 150
解：（1）过点作的平行线，如图，
由题意易知，，
因为，
所以，
所以，
所以．
又因为，
所以，
故答案为：40．
（2）如图，过点作．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
故答案为：150．
三、解答题
11．（1）解：如图1，过点作，
，
，
．
，
．
，，
，
．
（2）解：如图2，过点作，过点作，
．
，
．
，，
，
．
，
．
根据（1）知，，，
，
．
12．（1）解：如图，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：设，，则，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
13．（1）解：过作，
，
，
，，
；
（2），
理由：过点作交于点，过点作
，
，，
由（）可得，
，
，
；
（3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作
，，
，
，，，
，
即；
当，，三点共线时，，
；
当，位于同侧时，
，，
，
同理可得，，，
，
即，
综上，或．
14．（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2），
理由如下：如图2，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，，
，
如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，，
．
15．（1）解：设，则，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴；
（2）证明：作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
由（1）知，
∴，即，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
当点在线段上时，作，
∴，，
∴即，
∴；
当点在射线上时，作，
∴，，
∴，即，
∴；
综上，或．
16．解：（1）如图①，过点作直线．
，
，
，，
，
即．
（2）如图②，延长，交于点，过点作．
，
，
，．
，，
，
．
，
，
，
．
（3）如图③，分别过点，作，，则．
，，．
．
同理可得，．
和分别平分和，
，．
，
，
，即．
故的度数为．
17．（1）解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，，
平分，平分，
，，
，
；
②如图，点在右侧时，过点作，则，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
；
（3）解：依题意由（2）②可知，，，
，
由（2）①可知，
；
同理可得，
……，
∴，
故答案为：．
18．（1）解：①过点作平行于，过点作平行于

∵，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
②∵与的角平分线相交于点，
∴，，
∴
故答案为：①，②；
（2）①
过点作平行于，过点作平行于

∵，
∴，，
∴，，，，
∴，，
即，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
②
同①可得，
∵，，
∴，
∴，即；
（3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，
∴，
∴由（2）得
∴．

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