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第4章《三角形》--三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型
一、单选题
1．如图，在 ABC中，为延长线上一点，于，交于，若，，则的度数等于（　　）
A． B． C． D．
2．如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，点D，E分别是上两点，将 ABC沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知在 ABC中，，将一块直角三角板放在 ABC上，使三角板的两条直角边分别经过，，直角顶点落在的内部，（ ）度．
A．90 B．60 C．50 D．40
5．如图是可调节躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需要调整的大小，使，则图中应（ ）
A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20°
二、填空题
6．利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是
7．如图，点D在的延长线上，于点E，交于点F，若，，则的度数为 ．
8．如图，，则的度数为 ．
9．如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是 ．
10．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度．
三、解答题
11．如图，，，，求的度数．
12．如图，求的度数．
13.综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．
独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由；
深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由；
结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______；
14．如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”．
(1)求证：；
(2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数；
(3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由．
15.如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”．
(1)求证：；
(2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点．
以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个；
若，，求的度数；
若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由．
16.【问题背景】经历了第13章的学习，我们知道三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础．因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决一些几何问题．
小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中三个角度数及模具合格的要求如图1所示．
(1)【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程．
(2)【问题迁移】在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接，若为直线与之间的一动点，（点不在直线，上），且点在线段的左侧（如图2所示）与两个角的平分线交于点．若，．求的度数（用含、来表示）
17.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法．
方法一：如图②，连接AB．
在 ABC中，，即，
在中，，
方法二：如图③，连接并延长至点．
解答下列问题：
(1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程；
(2)如图①，当，，时，的度数为_________．
(3)拓展：如图④，，，求的度数．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
．
故选：C．
2．A
如图，设与交于点，与交于点，
，
．
．
，，
．
故选：
3．C
解：由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．D
解：在 ABC中，，
，
在中，，
，
，
故选：D．
5．A
延长，交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
图中，
，
增加；
故选．
二、填空题
6．
解：如图，延长交于点，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
7．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
8．
解：如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
9．
解：∵，
而，
∴①，
同理可得②，
得，
∵和的平分线和相交于P点，
∴，，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
10．43
解：如图：连接，
由题意可知，，
在中，，
∴，
又∵，，
∴，即，
在中，，
∴．
故答案为：43．
三、解答题
11．解：如图，连接并延长至点D，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
12．解：连接，
∵，
∴，
∴
．
13．解：（1），理由如下：
如图①，连接，
将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置，
．
，
，
即；
故答案为：；
（2），理由如下：
如图②，设与交于点F，
，
，
；
（3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，
，
．
，
．
故答案为：．
14．（1）证明：∵ AOB和的内角和都为，
∴，
∵，
∴．
（2）解：在 AOB中，，
在中，，
∴．
（3）解：，
理由：由（1）知，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴．
15．（1）证明：中，，中，，
∵，
∴；
（2）解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个；
以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个；
故答案为：，；
和中，，和中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，，
∴，，，，
在和中，，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
16.（1）解：方法1：李师傅制作的这一个模具不合格
如图延长交于点．
，
，
又
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
方法2：李师傅制作的这一个模具不合格．
如图，连接并延长至．
则，
．
又，，
，
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
方法3：李师傅制作的这一个模具不合格．
如图，连接．
在中，，且，
，
，，
，
在四边形中，，
，
所以，李师傅制作的这一个模具不合格．
（2）
又，
又与两个角的平分线交于点
，
．
17.（1）证明：是的外角，
，
是的外角，
，
，
；
（2）解：由可知，
，，，
，
，
故答案为：；
（3）解：如下图所示，连接，
在四边形中，，
在四边形中，，
，
，
即．

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