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第4章《三角形》--三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型
一、单选题
1．如图，在 ABC中，，、的平分线相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．在 ABC中，是高，是角平分线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．在 ABC中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（ ）个．
①；②；③；④．
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，平分，平分．若，，则的度数为 ．
7．如图，在四边形中，E，F分别是两组对边延长线的交点，，分别平分，，已知，，则的度数为 ．
8．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ．
9．如图，在 ABC中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E．已知，则的度数为 ．
10．如图，已知，的平分线相交于点，过点且．
（1）若，，则 ；
（2）若，，则 ．
三、解答题
11．如图，已知，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值(用含的度数来表示)．
12．如图，在 ABC中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E．
(1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数；
(2)如图2，当 ABC是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数．
13.如图，在 ABC中，，于点D，平分，交于点E．
(1)当，时，求的度数；
(2)求证：．
14.已知在 ABC中，，平分，请根据题中所给的条件，解答下列问题：
(1)如图①所示，若，，求的度数；
(2)通过以上的计算你发现和之间有什么关系？
(3)在图②的 ABC中，，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？
15.如图1，平分，平分，且、交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，若、是 ABC两外角的平分线且交于点，则与的关系是_____．
(3)如图3，若、是和的平分线且交于点，则与的关系是_____．
16.在 ABC中，已知的等分线与的等分线相交于点，试猜想：与的数量关系．（且为整数）
(1)如图1，当时，探究与的数量关系；
(2)如图2，当时，与的数量关系：________；
(3)如图3，猜想与的数量关系：________．（用含的式子表示）
17.如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接．
(1)当时，求的度数；
(2)在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数．
18.（1）【探究发现】如图①，在 ABC中，点P是内角和外角的平分线的交点．
①若，求的度数：
②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）：
（2）【迁移拓展】如图②，在 ABC中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度．
19.如图1，在 ABC中，的平分线与 ABC的外角的平分线相交于点．
(1)判断与的数量关系，并加以证明；
(2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________
(3)如图2，若，，求的度数．
20.综合与实践
在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．
【结论发现】
三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半．
【结论证明】
（1）如图1，在 ABC中，E是 ABC内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】
（2）如图2，在 ABC中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数．
【变式拓展】
（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数．
21.【问题重现】
如图，在 ABC中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数．
受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧．
【问题变式】
如图1，将题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______；
【继续探究】
如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
【深度探究】
如图3，在 ABC中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系．
参考答案
一、单选题
1．C
解∶∵，
∵、的平分线相交于点，
∴
，
．
故选：C．
2．C
解：∵是高，，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴．
故选：C．
3．B
解：∵与的平分线交于点，
∴，，
由三角形外角的性质可得，，，
∴，
整理得：，
同理可得，
∴．
当时，．
故选：B．
4．C
解：∵，是高，
∴，即，
又是高，
∴，
∴，
∵，的平分线相交于点O，
∴，，
∴
，
∴，
故选：C．
5．D
解：由条件可知，
，，
，，
故③正确，符合题意；
由条件可知，，
，，
，
，
故④正确，符合题意；
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
故②正确，符合题意；
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
二、填空题
6．
解：设交于点F，
∵平分，平分，且，，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，
故答案为：．
7．
解：如图所示，连接，
∵，分别平分，，，，
∴
，
故答案为：．
8．
解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，
∵平分，平分，平分，
∴，，，
∵，
∴．
∵， ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
则与、的数量关系为．
故答案为：．
9．
解：∵平分，
，
∵为外角的平分线，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
10．
解：（1）和的平分线与相交于点，
所以，，
又，，
，，
，
故答案为：；
（2），
，
∵∠：∠2=3:2，
，，
，
，，
和的平分线与相交于点，
，．
．
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：，．
，即，
∴．
．
（2）由（1）可知，，
．
12．（1）解：，
，
，
AD平分，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，，，
∴，，
∵平分，
，
∴，
．
13.（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴∠AED=∠B+∠BAE=90 +∠B-∠C ，
∵，
∴，
∴
．
14.（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）由（1）中，，，
∴；
（3）（2）中的结论仍然成立，理由如下：
在 ABC中，
∵，平分，
∴，
∴，
又∵，
∴．
15.（1）证明：、是两内角的平分线且交于点，
，
，
即
（2）如图，
、是两外角的平分线，
，，
而，，
，．
，
，即．
，
．
（3）如图

∵∠ACD=∠A+∠ABC，
．
又，
．
平分，
，
，
．
16.（1）解：∵当时，，
∴；
（2）解：∵当时，，
∴；
故答案为：；
（3）解：由可知，．
故答案为：．
17.（1）解：点为三条内角平分线的交点，
，
，
，
；
（2）解：不变，理由如下：
点为三条内角平分线的交点，
，
；
（3）解：设，
是的平分线，
，
点为三条内角平分线的交点，
在中有一个角是另一个角的2倍，
若，则，解得，
；
若，则，解得，
；
若，则，解得，
若，则，解得（舍去）；
在中有一个角是另一个角的2倍时，为或．
18.解：（1）①∵P是 ABC内角和外角的平分线的交点，
∴，
∵是外角，是 ABC外角，
∴；
②∵P是 ABC内角和外角的平分线的交点，
∴，
∵是外角，是外角，
∴；
（2）．
证明：∵是外角，是 ABC外角，
∴；
（3）∵P是 ABC内角和外角的平分线的交点，
∴由（1）②得；
∵P是内角和外角的平分线的交点，
∴由（1）②得；
∴．
故答案为：．
19.（1）（1）；
证明：在 ABC中，，
在中，，
∵的平分线与的平分线相交于点，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）在中，，
在中，，
∵的平分线与的平分线相交于点，
，
，
即，
又
，
同理，，……
（3）解：由（2）知道，，
，
在 ABC，
，
，
答：的度数是．
20.解：（1）∵E是 ABC内角的平分线与外角的平分线的交点，
．
，
，
，
即．
（2），，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，
由（1）可知，，
，
．
（3）如图，延长，交于点G．
，，
，，
．
四边形的内角与外角的平分线交于点F，
．
21.解：问题变式：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
是的一个外角，
，
，
∴，
；
继续探究：的度数不变；理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
是的一个外角，
，
，
∴，
；
深度探究：在 ABC中，，，
，
是的平分线，
，
是的一个外角，
，
，
．

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