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第四章《三角形》---三角形中边与三线
一、单选题
1．已知 ABC的三边长分别为a，b，c，则化简的结果是（ ）
A． B． C．0 D．
2．如图， ABC中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．3 B．4.8 C．5 D．6
3．如图，在 ABC中，点，，，分别为，，的中点，S ABC =16，则S BFD 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．如图，在 ABC中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定
5．如图，对面积为1的 ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；……按此规律继续下去，可得到，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知a，b，c为三角形三边的长，化简： ．
7．如图，在 ABC中，，，、分别是 ABC的高、角平分线，，求的度数是 度．
8．在 ABC中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，则的度数是 ．

9．如图，在 ABC中，为的中点，连结，为的中点，连接，其中，分别为，的中点，连结，，若S ABC =16，则的面积为 ．
10．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则 ．
三、解答题
11．已知 ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若，，且c为整数，求 ABC周长的最大值及最小值．
12．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画出 ABC的高线．
(2)在图② ABC的边上找到一点E，连接，使平分 ABC的面积．
13．在锐角 ABC中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接．
(1)如图1，点P在边上，若，，求的长．
(2)猜想并证明线段，，之间的数量关系．
14．如图，AD是 ABC的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O．
(1)如图1，若BE是 ABC的中线，，则与的周长差为___________；
(2)如图2，若BE是 ABC的高，，则的度数为___________；
(3)如图3，若BE是 ABC的角平分线，，求的度数．
15．综合与实践
【探究课题】三角形重心的性质
【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知 ABC是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心．
【提出问题】探究图1中，的值是多少
为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务：
【知识技能】（1）任务1：如图2，在 ABC中，是 ABC的中线，请用直尺和圆规作出 ABC的重心；（不写作法，保留作图痕迹）
【解决问题】
（2）任务2：如图3，在 ABC中，点是 ABC的重心，若的面积为，则的面积为_____；
（3）任务3：在任务2的条件下，求的值；
【拓展应用】（4）如图4，在 ABC中，点是 ABC的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积．
16.如图，在 ABC中，分别为 ABC的中线和高，为的角平分线．
(1)若，求的大小；
(2)若 ABC的面积为48，，求的长．
17.在 ABC中，平分，为延长线上一点，于点．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，求证：．
18.如图，是 ABC的高，是的角平分线，是的中线．
(1)若，求的度数；
(2)若，试判断与的面积关系，并说明理由．
19.如图，是 ABC的高线，E为边上的一点，连接交于点F，∠BCD=10 ,∠AEB=75 ．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
(3)若是 ABC中上的中线，且，求与周长的差．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵ ABC的三边长分别为a，b，c，
∴，
∴
．
故选：C．
2．B
解：∵ ABC中，，，，
∴，
由垂线段最短可知，当时，线段的值最小，
∴此时有，
∴此时，
即线段的最小值为．
故选：B．
3．B
解：点为的中点，，
，
点为的中点，
，
是的中点，
，
故选：B．
4．B
解：连接，
，，，
，则，
则，
故选：B．
5．A
解：如图，连接，过点作于点，过点作，交延长线于点，
，，
，，
，，
，，
，
，
同理可得：，
，
同理可得，
依此类推：．
故选：A．
二、填空题
6．
解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴，，，
∴，，，
∴．
故答案为：．
7．
解：∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是 ABC的角平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
8．
解：∵是上的高，是上的高，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
9．
如图，连接．
点是的中点，
，
，
点是的中点，
，
，，
，
点是的中点，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
10．
解：∵G为的重心，
∴，，是的中线，即，，是，，的中线，
∴，，，，
∴，即，
同理，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：①∵ ABC的三边长分别为a，b，c，
∴，，，
∴
；
（2）∵，，
∴根据三角形三边关系可知，
∵c为整数，
∴当时， ABC的周长为最大，即为；
当时， ABC的周长为最小，即为；
综上所述， ABC周长的最大值是17，最小值是13．
12．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
13．（1）解：，，，
，
即．
，
．
∵AF=6,DP=2.5，
；
（2）解：或者．理由如下：
当点P在线段上时，
由（1）已证得；
当点P在线段的延长线上时，
如图，
，
即．
，
．
综上所述，或者．
14．（1）∵是 ABC的中线，
∴，
∴与的周长差为：
．
故答案为：3；
（2）∵是 ABC的高，
∴．
∵，
∴，
∵是 ABC的角平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∵是 ABC的角平分线，是 ABC的角平分线，
∴，
∴
．
15．解：（1）如图，作出边的中线，连接与，交点即为重心；
（2）∵点是 ABC的重心，
∴是边上的中线，
∴，，
∴，
∴；
（3）如图，连接，
∵点是 ABC的重心，的面积为，
∴是边上的中线，
∴，
∴
由（2）知，
∵和同高
∴；
（4）∵点G是△ABC的重心，
∴BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，
∴，
，
∵，
∴，
由（2）知，，
∴，
∵，，
∴．
16.（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵为高，
∴，
∴．
（2）∵为中线，，
∴，
∵ ABC的面积为48，，
∴．
17.（1）解：，
；
，
；
，
∵平分，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
平分，
∴∠BAC=2∠BAD，
．
18.（1）解：∵是 ABC的高，，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴．
（2）解：与的面积相等，
理由：由三角形面积公式可得，，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19.（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是 ABC的高线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∴．
（3）解：∵是 ABC中上的中线，
∴，
∵，
∴，即与周长的差为．

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