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广西壮族自治区钦州市浦北县浦北中学2024-2025学年七年级下学期期中检测数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025七下·浦北期中）下列图案中，可以看作由“基本图形”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·浦北期中）下面四个数中，是无理数的为（　　）
A． B． C．0 D．﹣2
3．（2025七下·浦北期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·浦北期中）若，则的值为（　　）
A． B．0 C．4 D．
5．（2025七下·浦北期中）如图，若ab，∠1=58°，则∠2的度数是（　　）
A．58° B．112° C．122° D．142°
6．（2025七下·浦北期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．邻补角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同位角相等
7．（2025七下·浦北期中）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·浦北期中）如图，用方向和距离描述小刚相对于小明的位置最准确的是（　　）
A．小刚在小明的北偏东方向
B．小刚在小明的北偏东方向的处
C．小明在小刚的北偏东方向
D．小明在小刚的北偏东方向的处
9．（2025七下·浦北期中）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·浦北期中）方格纸上有两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·浦北期中）已知介于两个相邻的整数之间，那么代数式的值为（　　）
A．15 B．17 C．19 D．20
12．（2025七下·浦北期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025七下·浦北期中）的绝对值是　 　．
14．（2025七下·浦北期中）如图，直线，点在直线上，且，，那么的大小为　 　．
15．（2025七下·浦北期中）已知一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数是　 　．
16．（2025七下·浦北期中）已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·浦北期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·浦北期中）在每个小正方形的边长均为1个单位长度的正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上，已知点的坐标为．
（1）建立平面直角坐标系，并写出点的坐标；
（2）将三角形平移，点平移到点的位置，，平移后的对应点分别是，．请画出平移后的三角形，并求出三角形的面积．
19．（2025七下·浦北期中）已知的立方根是2，的平方根是．
（1）求a、b的值；
（2）求的算术平方根．
20．（2025七下·浦北期中）在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值；
（2）若线段∥轴，求线段的长度．
21．（2025七下·浦北期中）如图，已知，．
（1）请说明的理由；
（2）若平分，，求的度数．
22．（2025七下·浦北期中）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
（1）若m、n均为有理数，且，求的立方根；
（2）若m、n均为有理数，且，求和的值．
23．（2025七下·浦北期中）综合与实践．
筷子，古称箸，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具．现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合操作餐具礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
（1）图1为五指凌乱式的抓法及示意图，交于点，，则___________；
（2）图2为传统的筷子抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点，射线交于点．
①___________；
②若，求证；
（3）图3为丁字型抓法及示意图，，射线交于点，与交于点．射线交于点．
③若，，则___________；
④若，请写出的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的特点可知，四幅图中，只有D选项中的图是由基本图形平移得到的，
故答案为：D．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：观察各选项，是开方开不尽的数，是无理数，
故答案为：A．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，
∴四个点中只有点在第二象限，
故答案为：C．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵
∴．
故答案为：D．
【分析】利用平方根的定义及计算方法分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠3=180°，∠1=58°，
∴∠3=122°，
∵ab，
∴∠2=∠3=122°，
故答案为：C．
【分析】先利用邻补角求出∠3=122°，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=122°.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；邻补角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：选项A，邻补角互补但不一定相等，不是真命题；
选项B，对顶角相等，是真命题；
选项C，内错角相等必须有两直线平行的前提条件，不是真命题；
选项D，同位角相等必须有两直线平行的前提条件，不是真命题．
故选B．
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，，故A符合题意；
由，不能判定，故B不符合题意；
由，不能判定，故C不符合题意；
由，不能判定，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】方位角；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由题意得，小刚相对于小明的位置最准确的是小刚在小明的北偏东方向的处，
故答案为：B．
【分析】结合图形，再利用方位角的定义及角的运算求解即可.
9．【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】利用立方根的定义及计算方法分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，
∴点A向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度可到点B，
∴若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】先结合题干分析求出点A向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度可到点B，再利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
11．【答案】C
【知识点】无理数的估值；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵介于两个相邻的整数之间，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用估算无理数大小的方法可得，再结合“介于两个相邻的整数之间”最后求出a+b的值即可.
12．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接OB.
∵点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，
∴S四边形ABCO＝S△ABO＋S△BCO＝ 4 4＋ 2 3＝11.
故答案为：C.
【分析】连接OB，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形ABCO的面积即可.
13．【答案】
【知识点】实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：的绝对值是．
故答案为：．
【分析】利用实数绝对值的定义及计算方法求解即可.
14．【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解： 标记如下图所示：
∵，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得．
15．【答案】1
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：有题意可知：
∴这个正数的两个平方根分别是
∴这个正数是1
故答案为：1
【分析】根据平方根的含义，计算得到这个正数即可。
16．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：由题可得，，
解得：，，
∴
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）求出m、n的值，再将其代入计算即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的定义及计算方法化简，再计算即可；
（2）先去掉绝对值，再利用二次根式的加减法求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：建立坐标系如图所示，
则；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，
则．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用点B的坐标建立平面直角坐标系，再直接求出点A、C的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并利用三角形的面积公式和割补法求解即可.
（1）解：建立坐标系如图所示，则；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，则．
19．【答案】（1）解：的立方根是2，的平方根是，
，
解得：，.
（2）解：当，时，，
则36的算术平方根是6．
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）利用立方根和平方根的定义可得，再求出a、b的值即可；
（2）将a、b的值代入计算，再利用算术平方根的计算方法求解即可.
（1）解：的立方根是2，的平方根是，
，
解得：，；
（2）当，时，，
则36的算术平方根是6．
20．【答案】（1）解：∵在第一象限，点到轴的距离与到轴的距离相等，
∴，
解得：.
（2）解：∵线段∥轴，
∴点的纵坐标相等，
∴，
解得：，
∴，
∴线段的长度为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）利用点坐标的定义及“点到轴的距离与到轴的距离相等”可得，再求出m的值即可；
（2）利用“点的纵坐标相等”可得，求出m的值，可得点M的坐标，再利用两点之间的距离公式求出MN的长即可.
（1）解：∵在第一象限，点到轴的距离与到轴的距离相等，
∴，
解得；
（2）解：∵线段∥轴，
∴点的纵坐标相等，
即，
解得，
∴，
∴线段的长度为．
21．【答案】（1）解：，
理由如下：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：由（1）得，
∵（已知），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质和等量代换可得，从而可证出；
（2）先利用平行线的定义可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质求出即可．
（1）解：，理由如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）由（1）得，
∵（已知），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
22．【答案】（1）解：，其中，均为有理数，
，．
解得，，
则，1的立方根为1，
的立方根为1．
（2）解：将原式整理，得，即，
∵m、n均为有理数，
，．
解得，．
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用，可得，，求出m、n的值，再将其代入计算，最后利用立方根的定义及计算方法求解即可；
（2）先将原式变形为，利用待定系数法可得，，最后求出m、n的值即可.
（1）解：，其中，均为有理数，
，．
解得，，
则，1的立方根为1，
的立方根为1．
（2）解：将原式整理，得，即，
∵m、n均为有理数，
，．
解得，．
23．【答案】（1）60
（2）①；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①；
②，理由如下：
∵，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
（3）解：①∵，
∴
∵
∴
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用邻补角的定义及角的运算求解即可；
（2）①利用平行线的性质及角的运算求解即可；
②利用平行线的性质可得，，再利用等量代换可得；
（3）①利用平行线的性质及角的运算求出再利用三角形的内角和求解即可；
②利用平行线的性质和对顶角的定义及角的运算求出，再利用垂线的定义可得，最后利用平行线的性质和角的运算求出即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，
∴
∵
∴
∵，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
∵，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴．
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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025七下·浦北期中）下列图案中，可以看作由“基本图形”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的特点可知，四幅图中，只有D选项中的图是由基本图形平移得到的，
故答案为：D．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．（2025七下·浦北期中）下面四个数中，是无理数的为（　　）
A． B． C．0 D．﹣2
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：观察各选项，是开方开不尽的数，是无理数，
故答案为：A．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．（2025七下·浦北期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，
∴四个点中只有点在第二象限，
故答案为：C．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
4．（2025七下·浦北期中）若，则的值为（　　）
A． B．0 C．4 D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵
∴．
故答案为：D．
【分析】利用平方根的定义及计算方法分析求解即可.
5．（2025七下·浦北期中）如图，若ab，∠1=58°，则∠2的度数是（　　）
A．58° B．112° C．122° D．142°
【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠3=180°，∠1=58°，
∴∠3=122°，
∵ab，
∴∠2=∠3=122°，
故答案为：C．
【分析】先利用邻补角求出∠3=122°，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=122°.
6．（2025七下·浦北期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．邻补角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同位角相等
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；邻补角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：选项A，邻补角互补但不一定相等，不是真命题；
选项B，对顶角相等，是真命题；
选项C，内错角相等必须有两直线平行的前提条件，不是真命题；
选项D，同位角相等必须有两直线平行的前提条件，不是真命题．
故选B．
7．（2025七下·浦北期中）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，，故A符合题意；
由，不能判定，故B不符合题意；
由，不能判定，故C不符合题意；
由，不能判定，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
8．（2025七下·浦北期中）如图，用方向和距离描述小刚相对于小明的位置最准确的是（　　）
A．小刚在小明的北偏东方向
B．小刚在小明的北偏东方向的处
C．小明在小刚的北偏东方向
D．小明在小刚的北偏东方向的处
【答案】B
【知识点】方位角；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由题意得，小刚相对于小明的位置最准确的是小刚在小明的北偏东方向的处，
故答案为：B．
【分析】结合图形，再利用方位角的定义及角的运算求解即可.
9．（2025七下·浦北期中）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】利用立方根的定义及计算方法分析求解即可.
10．（2025七下·浦北期中）方格纸上有两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，
∴点A向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度可到点B，
∴若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】先结合题干分析求出点A向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度可到点B，再利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
11．（2025七下·浦北期中）已知介于两个相邻的整数之间，那么代数式的值为（　　）
A．15 B．17 C．19 D．20
【答案】C
【知识点】无理数的估值；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵介于两个相邻的整数之间，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用估算无理数大小的方法可得，再结合“介于两个相邻的整数之间”最后求出a+b的值即可.
12．（2025七下·浦北期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接OB.
∵点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，
∴S四边形ABCO＝S△ABO＋S△BCO＝ 4 4＋ 2 3＝11.
故答案为：C.
【分析】连接OB，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形ABCO的面积即可.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025七下·浦北期中）的绝对值是　 　．
【答案】
【知识点】实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：的绝对值是．
故答案为：．
【分析】利用实数绝对值的定义及计算方法求解即可.
14．（2025七下·浦北期中）如图，直线，点在直线上，且，，那么的大小为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解： 标记如下图所示：
∵，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得．
15．（2025七下·浦北期中）已知一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数是　 　．
【答案】1
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：有题意可知：
∴这个正数的两个平方根分别是
∴这个正数是1
故答案为：1
【分析】根据平方根的含义，计算得到这个正数即可。
16．（2025七下·浦北期中）已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：由题可得，，
解得：，，
∴
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）求出m、n的值，再将其代入计算即可.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·浦北期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的定义及计算方法化简，再计算即可；
（2）先去掉绝对值，再利用二次根式的加减法求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·浦北期中）在每个小正方形的边长均为1个单位长度的正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上，已知点的坐标为．
（1）建立平面直角坐标系，并写出点的坐标；
（2）将三角形平移，点平移到点的位置，，平移后的对应点分别是，．请画出平移后的三角形，并求出三角形的面积．
【答案】（1）解：建立坐标系如图所示，
则；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，
则．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用点B的坐标建立平面直角坐标系，再直接求出点A、C的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并利用三角形的面积公式和割补法求解即可.
（1）解：建立坐标系如图所示，则；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，则．
19．（2025七下·浦北期中）已知的立方根是2，的平方根是．
（1）求a、b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：的立方根是2，的平方根是，
，
解得：，.
（2）解：当，时，，
则36的算术平方根是6．
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）利用立方根和平方根的定义可得，再求出a、b的值即可；
（2）将a、b的值代入计算，再利用算术平方根的计算方法求解即可.
（1）解：的立方根是2，的平方根是，
，
解得：，；
（2）当，时，，
则36的算术平方根是6．
20．（2025七下·浦北期中）在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值；
（2）若线段∥轴，求线段的长度．
【答案】（1）解：∵在第一象限，点到轴的距离与到轴的距离相等，
∴，
解得：.
（2）解：∵线段∥轴，
∴点的纵坐标相等，
∴，
解得：，
∴，
∴线段的长度为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）利用点坐标的定义及“点到轴的距离与到轴的距离相等”可得，再求出m的值即可；
（2）利用“点的纵坐标相等”可得，求出m的值，可得点M的坐标，再利用两点之间的距离公式求出MN的长即可.
（1）解：∵在第一象限，点到轴的距离与到轴的距离相等，
∴，
解得；
（2）解：∵线段∥轴，
∴点的纵坐标相等，
即，
解得，
∴，
∴线段的长度为．
21．（2025七下·浦北期中）如图，已知，．
（1）请说明的理由；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）解：，
理由如下：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：由（1）得，
∵（已知），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质和等量代换可得，从而可证出；
（2）先利用平行线的定义可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质求出即可．
（1）解：，理由如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）由（1）得，
∵（已知），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
22．（2025七下·浦北期中）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
（1）若m、n均为有理数，且，求的立方根；
（2）若m、n均为有理数，且，求和的值．
【答案】（1）解：，其中，均为有理数，
，．
解得，，
则，1的立方根为1，
的立方根为1．
（2）解：将原式整理，得，即，
∵m、n均为有理数，
，．
解得，．
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用，可得，，求出m、n的值，再将其代入计算，最后利用立方根的定义及计算方法求解即可；
（2）先将原式变形为，利用待定系数法可得，，最后求出m、n的值即可.
（1）解：，其中，均为有理数，
，．
解得，，
则，1的立方根为1，
的立方根为1．
（2）解：将原式整理，得，即，
∵m、n均为有理数，
，．
解得，．
23．（2025七下·浦北期中）综合与实践．
筷子，古称箸，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具．现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合操作餐具礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
（1）图1为五指凌乱式的抓法及示意图，交于点，，则___________；
（2）图2为传统的筷子抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点，射线交于点．
①___________；
②若，求证；
（3）图3为丁字型抓法及示意图，，射线交于点，与交于点．射线交于点．
③若，，则___________；
④若，请写出的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）60
（2）①；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①；
②，理由如下：
∵，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
（3）解：①∵，
∴
∵
∴
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用邻补角的定义及角的运算求解即可；
（2）①利用平行线的性质及角的运算求解即可；
②利用平行线的性质可得，，再利用等量代换可得；
（3）①利用平行线的性质及角的运算求出再利用三角形的内角和求解即可；
②利用平行线的性质和对顶角的定义及角的运算求出，再利用垂线的定义可得，最后利用平行线的性质和角的运算求出即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，
∴
∵
∴
∵，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
∵，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴．
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