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广西百色市田阳区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（2025七下·田阳期中） 的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．±3 D．3
2．（2025七下·田阳期中）下列不等式运算不一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
3．（2025七下·田阳期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·田阳期中）我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米米，用科学记数法表示16纳米为多少米？（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·田阳期中）某环保活动中，要求每人每天回收废旧电池不少于5节．若小明一周（7天）回收的电池总数超过35节，则他平均每天至少回收的电池数为（　　）
A．5节 B．6节 C．7节 D．8节
6．（2025七下·田阳期中）已知，则的值是（　　）
A．94 B．64 C．38 D．34
7．（2025七下·田阳期中）如图，已知x2＝3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（　　）
A．P1 B．P4 C．P2或P3 D．P1或P4
8．（2025七下·田阳期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·田阳期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
10．（2025七下·田阳期中）在，，，，，3.14，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（　　）
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
11．（2025七下·田阳期中）设，则a，b，c，d按由小到大的顺序排列正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025七下·田阳期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A． B．a＜3 C．a＞3 D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·田阳期中）不等式的正整数解有　 　个．
14．（2025七下·田阳期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是　 　．
15．（2025七下·田阳期中）已知，，则　 　．
16．（2025七下·田阳期中）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·田阳期中）先化简、再求值：，其中，．
18．（2025七下·田阳期中）计算下列各式：
（1）
（2）
19．（2025七下·田阳期中）解不等式或不等式组：
（1）；
（2）．
20．（2025七下·田阳期中）对实数a、b，定义运算★如下： ，
例如.
计算
21．（2025七下·田阳期中）某公园有一块如图所示的长方形空地，计划修建东西、南北走向的两条小路（阴影部分），其余进行绿化，已知长方形空地的长为米，宽为米，道路宽都为米．
（1）求绿化部分的面积（用含，的式子表示）；
（2）当，时，求绿化部分的面积．
22．（2025七下·田阳期中）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，再次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
23．（2025七下·田阳期中）阅读材料，完成下列任务：
【问题情境】因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：∵，即，
∴．
∴的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
【问题解决】
（1）利用材料一中的方法，求的整数部分；
（2）利用材料一中的方法，求的小数部分；
（3）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵ =9，（±3）2=9，
而9的平方根是±3，
∴ 的平方根是±3．
故选：C．
【分析】根据平方根的定义，求得a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根。 =9，本题实质是求9的平方根，9的平方根是±3。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若，则，正确，不符合题意；
B．若，则，正确，不符合题意；
C．若，则，原推理不一定正确，符合题意；
D．若，，则，正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方法则，逐项进行计算判断即可.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意知：16纳米米；
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他平均每天回收的电池数为x节，
由题意得，，
解得，
∵x为正整数，
∴x的最小值为6，
∴他平均每天至少回收的电池数为6节，
故答案为：B．
【分析】设他平均每天回收的电池数为x节，利用“ 小明一周（7天）回收的电池总数超过35节 ”列出不等式，再求解即可.
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用完全平方公式及变形将代数式变形为，再将代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵x2=3，∴x=±，
∴对应的点为P1或P4．
故答案为：D．
【分析】先利用平方根的定义及计算方法求出x=±，再求出点表示的数即可.
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
，
，
解得：，
∴在数轴表示为：
，
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
9．【答案】C
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是完全平方式．
∴．
∴m＝±4．
当m＝4时，，
当m＝﹣4时，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式可得，求出m的值，最后将其代入计算即可.
10．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： ，，=-4，3.14，=3，是有理数，
，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5） ，是无理数，
∴ 共3个无理数；
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数及圆周率π都是无理数，据此判断即可.
11．【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴
即
故答案为：A．
【分析】先利用零指数幂、有理数的乘方、立方根的计算方法和负整数指数幂的性质化简，再比较大小即可.
12．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式组可得，
因为不等式组无解，
根据大大小小找不到的原则可知．
故答案为：D．
【分析】利用“不等式组无解”和“不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）”求出即可．
13．【答案】3
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
去括号得： ，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的正整数解为1，2，3，共3个正整数解，
故答案为：3．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
14．【答案】2
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴的算术平方根是2，
故答案为：2．
【分析】利用平方根的定义和性质可得，求出m的值，再求出，最后求出算术平方根即可.
15．【答案】
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
故答案是：
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
16．【答案】55
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加法法则；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：；
；
；
，…，
∴，
∴
．
故答案为：55．
【分析】根据题干中的定义及计算方法将原式变形为，再计算即可.
17．【答案】解：
．
当，时，
原式．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算的计算方法化简可得3ab，再将a、b的值代入计算即可.
18．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、立方根、0指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用单项式乘多项式的计算方法（先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加）化简，再计算即可.
（1）解：原式．
（2）解：原式．
19．【答案】（1）解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
20．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式，再利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
21．【答案】解：（1）由题意，得
，
所以绿化部分的面积是平方米．
（2）当，时，
原式，
所以绿化部分的面积为平方米．
【知识点】多项式乘多项式；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）利用平移的性质将绿化面积转换为长方形，再列出算式并利用整式的混合运算求解即可；
（2）将a、b的值代入（1）的代数式求解即可.
22．【答案】解：（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，
依题意得：．
解得．
答：小明原计划购买文具袋17个．
（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，
依题意得：．
解得．
即．
答：小明最多可购买钢笔100支．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，利用“打八折，花费比现在省17元”列出方程，再求解即可；
（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，利用“ 再次购买奖品总支出不超过400元 ”列出不等式求解即可.
23．【答案】（1）解：∵，即．
∴的整数部分是2．
（2）解：∵，即．
∴的小数部分是．
（3）解：∵面积是5的正方形的边长是，易知，
∴，
画出示意图．
由示意图面积计算，得，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，
解得，
即．
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）参照材料一中的计算方法估算无理数大小的方法求解即可；
（2）参照材料一中的计算方法估算无理数大小的方法求解即可；
（3）参照材料二中的计算方法先画出图形，再求解即可.
（1）解：∵，即．
∴的整数部分是2．
（2）∵，即．
∴的小数部分是．
（3）∵面积是5的正方形的边长是，易知，
∴，
画出示意图．
由示意图面积计算，得，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，
解得，
即．
1 / 1广西百色市田阳区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（2025七下·田阳期中） 的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．±3 D．3
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵ =9，（±3）2=9，
而9的平方根是±3，
∴ 的平方根是±3．
故选：C．
【分析】根据平方根的定义，求得a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根。 =9，本题实质是求9的平方根，9的平方根是±3。
2．（2025七下·田阳期中）下列不等式运算不一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若，则，正确，不符合题意；
B．若，则，正确，不符合题意；
C．若，则，原推理不一定正确，符合题意；
D．若，，则，正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．（2025七下·田阳期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方法则，逐项进行计算判断即可.
4．（2025七下·田阳期中）我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米米，用科学记数法表示16纳米为多少米？（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意知：16纳米米；
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．（2025七下·田阳期中）某环保活动中，要求每人每天回收废旧电池不少于5节．若小明一周（7天）回收的电池总数超过35节，则他平均每天至少回收的电池数为（　　）
A．5节 B．6节 C．7节 D．8节
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他平均每天回收的电池数为x节，
由题意得，，
解得，
∵x为正整数，
∴x的最小值为6，
∴他平均每天至少回收的电池数为6节，
故答案为：B．
【分析】设他平均每天回收的电池数为x节，利用“ 小明一周（7天）回收的电池总数超过35节 ”列出不等式，再求解即可.
6．（2025七下·田阳期中）已知，则的值是（　　）
A．94 B．64 C．38 D．34
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用完全平方公式及变形将代数式变形为，再将代入计算即可.
7．（2025七下·田阳期中）如图，已知x2＝3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（　　）
A．P1 B．P4 C．P2或P3 D．P1或P4
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵x2=3，∴x=±，
∴对应的点为P1或P4．
故答案为：D．
【分析】先利用平方根的定义及计算方法求出x=±，再求出点表示的数即可.
8．（2025七下·田阳期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
，
，
解得：，
∴在数轴表示为：
，
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
9．（2025七下·田阳期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
【答案】C
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是完全平方式．
∴．
∴m＝±4．
当m＝4时，，
当m＝﹣4时，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式可得，求出m的值，最后将其代入计算即可.
10．（2025七下·田阳期中）在，，，，，3.14，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（　　）
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： ，，=-4，3.14，=3，是有理数，
，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5） ，是无理数，
∴ 共3个无理数；
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数及圆周率π都是无理数，据此判断即可.
11．（2025七下·田阳期中）设，则a，b，c，d按由小到大的顺序排列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴
即
故答案为：A．
【分析】先利用零指数幂、有理数的乘方、立方根的计算方法和负整数指数幂的性质化简，再比较大小即可.
12．（2025七下·田阳期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A． B．a＜3 C．a＞3 D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式组可得，
因为不等式组无解，
根据大大小小找不到的原则可知．
故答案为：D．
【分析】利用“不等式组无解”和“不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）”求出即可．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·田阳期中）不等式的正整数解有　 　个．
【答案】3
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
去括号得： ，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的正整数解为1，2，3，共3个正整数解，
故答案为：3．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
14．（2025七下·田阳期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴的算术平方根是2，
故答案为：2．
【分析】利用平方根的定义和性质可得，求出m的值，再求出，最后求出算术平方根即可.
15．（2025七下·田阳期中）已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
故答案是：
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
16．（2025七下·田阳期中）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为　 　．
【答案】55
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加法法则；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：；
；
；
，…，
∴，
∴
．
故答案为：55．
【分析】根据题干中的定义及计算方法将原式变形为，再计算即可.
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·田阳期中）先化简、再求值：，其中，．
【答案】解：
．
当，时，
原式．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算的计算方法化简可得3ab，再将a、b的值代入计算即可.
18．（2025七下·田阳期中）计算下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、立方根、0指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用单项式乘多项式的计算方法（先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加）化简，再计算即可.
（1）解：原式．
（2）解：原式．
19．（2025七下·田阳期中）解不等式或不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
20．（2025七下·田阳期中）对实数a、b，定义运算★如下： ，
例如.
计算
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式，再利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
21．（2025七下·田阳期中）某公园有一块如图所示的长方形空地，计划修建东西、南北走向的两条小路（阴影部分），其余进行绿化，已知长方形空地的长为米，宽为米，道路宽都为米．
（1）求绿化部分的面积（用含，的式子表示）；
（2）当，时，求绿化部分的面积．
【答案】解：（1）由题意，得
，
所以绿化部分的面积是平方米．
（2）当，时，
原式，
所以绿化部分的面积为平方米．
【知识点】多项式乘多项式；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）利用平移的性质将绿化面积转换为长方形，再列出算式并利用整式的混合运算求解即可；
（2）将a、b的值代入（1）的代数式求解即可.
22．（2025七下·田阳期中）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，再次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
【答案】解：（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，
依题意得：．
解得．
答：小明原计划购买文具袋17个．
（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，
依题意得：．
解得．
即．
答：小明最多可购买钢笔100支．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，利用“打八折，花费比现在省17元”列出方程，再求解即可；
（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，利用“ 再次购买奖品总支出不超过400元 ”列出不等式求解即可.
23．（2025七下·田阳期中）阅读材料，完成下列任务：
【问题情境】因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：∵，即，
∴．
∴的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
【问题解决】
（1）利用材料一中的方法，求的整数部分；
（2）利用材料一中的方法，求的小数部分；
（3）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）解：∵，即．
∴的整数部分是2．
（2）解：∵，即．
∴的小数部分是．
（3）解：∵面积是5的正方形的边长是，易知，
∴，
画出示意图．
由示意图面积计算，得，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，
解得，
即．
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）参照材料一中的计算方法估算无理数大小的方法求解即可；
（2）参照材料一中的计算方法估算无理数大小的方法求解即可；
（3）参照材料二中的计算方法先画出图形，再求解即可.
（1）解：∵，即．
∴的整数部分是2．
（2）∵，即．
∴的小数部分是．
（3）∵面积是5的正方形的边长是，易知，
∴，
画出示意图．
由示意图面积计算，得，
∵，
∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，
解得，
即．
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