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广东省东莞市佳美实验学校、众美中学、莞美学校三校联考2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·东莞期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·东莞期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·东莞期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．2，3，5 B．6，8，10 C．6，6，6 D．5，12，11
4．（2025八下·东莞期中）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·东莞期中）如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·东莞期中）若，，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．7
7．（2025八下·东莞期中）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点C，那么点C表示的无理数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·东莞期中）已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是(　　)
A． B． C． D．
9．（2025八下·东莞期中）如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
10．（2025八下·东莞期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·东莞期中）化简：　 　．
12．（2025八下·东莞期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则　 　．
13．（2025八下·东莞期中）如图，四边形是矩形，且对角线相交于点，若，则　 　．
14．（2025八下·东莞期中）如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为　 　．
15．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2025八下·东莞期中）计算：．
17．（2025八下·东莞期中）如图，菱形的对角线长，周长是，求对角线的长．
18．（2025八下·东莞期中）如图，已知，，E为的中点．求证：．
19．（2025八下·东莞期中）如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业（起重臂AB的长度也可以伸缩）在某次起重作业中，学习兴趣小组测经过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图3，起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离米．求点A到地面的距离AF的长为多少米？
20．（2025八下·东莞期中）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：；
21．（2025八下·东莞期中）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；
（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
22．（2025八下·东莞期中）【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形；
（2）如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接，在点E移动过程中．
①求证：；
②四边形的面积是定值吗
23．（2025八下·东莞期中）如图1，在矩形中，是上的点，沿折叠，点的对应点是点，延长交直线于点．
（1）求证：；
（2）是上的点，，沿折叠，点的对应点是点，且在同一直线上．
①如图2，若互相重合，求的值；
②若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，故不是勾股数，不符合题意；
B、，故是勾股数，符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故不是勾股数，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】利用勾股数的定义（ 勾股数 是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数，满足a2 + b2 = c2的数学关系）逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，所以本选项不符合题意；
B、，所以本选项符合题意；
C、，所以本选项不符合题意；
D、，所以本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘法、二次根式的除法和二次根式的加法计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
．
故答案为：D．
【分析】先利用等边三角形的性质求出，再结合平行线的性质求出即可．
6．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将，代入，再利用平方差公式计算即可.
7．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
，
点C表示的无理数是．
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，可得，再求出点C表示的数即可.
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图1，，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
四边形是矩形，
故A不符合题意；
如图，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
故B不符合题意；
如图，
在和中，
，
，
，
，
四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，
不能保证四边形是矩形，
故C符合题意；
如图，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点，
∴，，．
∵，，
∴四边形的周长是．
故答案为：B．
【分析】先利用三角形中位线的性质可得，，，再利用四边形的周长公式及等量代换求出四边形EFGH的周长即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据正方形面积可得，结合图形建立方程，化简可得，则图2中小正方形的边长为3，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】利用二次根式的性质分析求解即可.
12．【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵同类二次根式的被开方数相同，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】利用同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在四边形是矩形，且对角线相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据矩形对角线互相平分且相等，证得，再根据等边对等角，证得，然后根据对顶角相等得到的度数，再由三角形内角和定理求解．
14．【答案】18
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
∴正方形的面积为18．
故答案为：18．
【分析】设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，利用勾股定理可得，再求出即可.
15．【答案】
【知识点】最简二次根式；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接．
∵点是边上的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴，
∴，
∴当、、三点在同一直线上时，最小，
在中，由勾股定理得，
∴
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，先证出四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，可得，再证出当、、三点在同一直线上时，最小，最后求出即可.
16．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的乘除法的计算方法及步骤（①先将除法转换为乘法；②再利用二次根式的乘法的计算方法计算）分析求解即可.
17．【答案】解：，菱形的周长为，
，．
∵四边形是菱形，
，，
在中，
．
．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】先利用菱形的性质可得，，再利用菱形的性质和勾股定理求出BO的长，最后求出BD的长即可.
18．【答案】证明：，，
，
为的中点，
，，
．
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先证出，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，，最后证出即可.
19．【答案】解：在中，由勾股定理得米
∵，，
∴
∵四边形BEFG是矩形
∴米
∴米
答：A到地面的距离AF的长为7.8米．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据勾股定理得出米，然后得到BEFG是矩形，即可得到米，然后根据计算即可．
20．【答案】（1）证明：∵平行四边形，
，
，
∴四边形是平行四边形.
（2）证明：∵平行四边形，
，，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得AD//BC，再结合AE//CF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用平行四边形的性质可得，，，再利用线段的和差及等量代换可得DF=BE，最后利用“SAS”证出即可.
（1）∵平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵平行四边形，
，，，
又∵四边形是平行四边形，
，
，
，
21．【答案】解：（1）∵第一组：，，；
第二组：，，；
第三组：，，；
第四组：，，；
，
∴第组：，，．
（2）直角三角形；
证明：为正整数，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列：，，，
∴，，．
，
．
，，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得规律第组：，，；
（2）利用二次根式的性质及计算方法分析求解即可；
（3）先求出这组数为第九列：，，，再利用勾股定理求出即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形.
（2）解：①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图：
由（1）知四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②解：四边形的面积是定值．
理由：∵，
∴，
∴四边形的面积
．
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证出四边形是矩形，再结合，即可证出四边形是正方形；
（2）①过E作于F点，过E作于G点，先证出四边形是正方形，可得，，再结合，，，利用“SAS”证出，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
②利用全等三角形的性质可得，再利用割补法及三角形的面积公式求出四边形的面积即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图：
由（1）知四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②解：四边形的面积是定值．
理由：∵，
∴，
∴四边形的面积
．
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，
，
.
（2）解：①当重合时，
由折叠得：，
，
，
由得：，
，
是等边三角形，
，
设，则，，，
；
②当点在点的上方时，如图，
设，则，
在中，，，，
，
（负值舍去），
；
当点在点的下方时，如图，
设，
同理可得，
解得或（舍去），
；
综上所述的长为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质和等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）①先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，设，则，，，最后求出即可；
②分类讨论：第一种情况：当点在点的上方时，第二种情况：当点在点的下方时，先分别画出图形，再利用勾股定理列出方程求解即可.
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，
，
；
（2）解：①当重合时，
由折叠得：，
，
，
由得：，
，
是等边三角形，
，
设，则，，，
；
②当点在点的上方时，如图，
设，则，
在中，，，，
，
（负值舍去），
；
当点在点的下方时，如图，
设，
同理可得，
解得或（舍去），
；
综上所述的长为或．
1 / 1广东省东莞市佳美实验学校、众美中学、莞美学校三校联考2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·东莞期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．（2025八下·东莞期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．（2025八下·东莞期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．2，3，5 B．6，8，10 C．6，6，6 D．5，12，11
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，故不是勾股数，不符合题意；
B、，故是勾股数，符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故不是勾股数，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】利用勾股数的定义（ 勾股数 是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数，满足a2 + b2 = c2的数学关系）逐项分析判断即可.
4．（2025八下·东莞期中）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，所以本选项不符合题意；
B、，所以本选项符合题意；
C、，所以本选项不符合题意；
D、，所以本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘法、二次根式的除法和二次根式的加法计算方法逐项分析判断即可.
5．（2025八下·东莞期中）如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
．
故答案为：D．
【分析】先利用等边三角形的性质求出，再结合平行线的性质求出即可．
6．（2025八下·东莞期中）若，，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．7
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将，代入，再利用平方差公式计算即可.
7．（2025八下·东莞期中）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点C，那么点C表示的无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
，
点C表示的无理数是．
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，可得，再求出点C表示的数即可.
8．（2025八下·东莞期中）已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图1，，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
四边形是矩形，
故A不符合题意；
如图，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
故B不符合题意；
如图，
在和中，
，
，
，
，
四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，
不能保证四边形是矩形，
故C符合题意；
如图，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
9．（2025八下·东莞期中）如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点，
∴，，．
∵，，
∴四边形的周长是．
故答案为：B．
【分析】先利用三角形中位线的性质可得，，，再利用四边形的周长公式及等量代换求出四边形EFGH的周长即可.
10．（2025八下·东莞期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据正方形面积可得，结合图形建立方程，化简可得，则图2中小正方形的边长为3，再根据勾股定理即可求出答案.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·东莞期中）化简：　 　．
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】利用二次根式的性质分析求解即可.
12．（2025八下·东莞期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则　 　．
【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵同类二次根式的被开方数相同，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】利用同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
13．（2025八下·东莞期中）如图，四边形是矩形，且对角线相交于点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在四边形是矩形，且对角线相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据矩形对角线互相平分且相等，证得，再根据等边对等角，证得，然后根据对顶角相等得到的度数，再由三角形内角和定理求解．
14．（2025八下·东莞期中）如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为　 　．
【答案】18
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
∴正方形的面积为18．
故答案为：18．
【分析】设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，利用勾股定理可得，再求出即可.
15．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接．
∵点是边上的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴，
∴，
∴当、、三点在同一直线上时，最小，
在中，由勾股定理得，
∴
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，先证出四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，可得，再证出当、、三点在同一直线上时，最小，最后求出即可.
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2025八下·东莞期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的乘除法的计算方法及步骤（①先将除法转换为乘法；②再利用二次根式的乘法的计算方法计算）分析求解即可.
17．（2025八下·东莞期中）如图，菱形的对角线长，周长是，求对角线的长．
【答案】解：，菱形的周长为，
，．
∵四边形是菱形，
，，
在中，
．
．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】先利用菱形的性质可得，，再利用菱形的性质和勾股定理求出BO的长，最后求出BD的长即可.
18．（2025八下·东莞期中）如图，已知，，E为的中点．求证：．
【答案】证明：，，
，
为的中点，
，，
．
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先证出，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，，最后证出即可.
19．（2025八下·东莞期中）如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业（起重臂AB的长度也可以伸缩）在某次起重作业中，学习兴趣小组测经过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图3，起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离米．求点A到地面的距离AF的长为多少米？
【答案】解：在中，由勾股定理得米
∵，，
∴
∵四边形BEFG是矩形
∴米
∴米
答：A到地面的距离AF的长为7.8米．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据勾股定理得出米，然后得到BEFG是矩形，即可得到米，然后根据计算即可．
20．（2025八下·东莞期中）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：；
【答案】（1）证明：∵平行四边形，
，
，
∴四边形是平行四边形.
（2）证明：∵平行四边形，
，，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得AD//BC，再结合AE//CF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用平行四边形的性质可得，，，再利用线段的和差及等量代换可得DF=BE，最后利用“SAS”证出即可.
（1）∵平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵平行四边形，
，，，
又∵四边形是平行四边形，
，
，
，
21．（2025八下·东莞期中）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；
（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
【答案】解：（1）∵第一组：，，；
第二组：，，；
第三组：，，；
第四组：，，；
，
∴第组：，，．
（2）直角三角形；
证明：为正整数，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列：，，，
∴，，．
，
．
，，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得规律第组：，，；
（2）利用二次根式的性质及计算方法分析求解即可；
（3）先求出这组数为第九列：，，，再利用勾股定理求出即可．
22．（2025八下·东莞期中）【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形；
（2）如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接，在点E移动过程中．
①求证：；
②四边形的面积是定值吗
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形.
（2）解：①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图：
由（1）知四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②解：四边形的面积是定值．
理由：∵，
∴，
∴四边形的面积
．
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证出四边形是矩形，再结合，即可证出四边形是正方形；
（2）①过E作于F点，过E作于G点，先证出四边形是正方形，可得，，再结合，，，利用“SAS”证出，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
②利用全等三角形的性质可得，再利用割补法及三角形的面积公式求出四边形的面积即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图：
由（1）知四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②解：四边形的面积是定值．
理由：∵，
∴，
∴四边形的面积
．
23．（2025八下·东莞期中）如图1，在矩形中，是上的点，沿折叠，点的对应点是点，延长交直线于点．
（1）求证：；
（2）是上的点，，沿折叠，点的对应点是点，且在同一直线上．
①如图2，若互相重合，求的值；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，
，
.
（2）解：①当重合时，
由折叠得：，
，
，
由得：，
，
是等边三角形，
，
设，则，，，
；
②当点在点的上方时，如图，
设，则，
在中，，，，
，
（负值舍去），
；
当点在点的下方时，如图，
设，
同理可得，
解得或（舍去），
；
综上所述的长为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质和等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）①先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，设，则，，，最后求出即可；
②分类讨论：第一种情况：当点在点的上方时，第二种情况：当点在点的下方时，先分别画出图形，再利用勾股定理列出方程求解即可.
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，
，
；
（2）解：①当重合时，
由折叠得：，
，
，
由得：，
，
是等边三角形，
，
设，则，，，
；
②当点在点的上方时，如图，
设，则，
在中，，，，
，
（负值舍去），
；
当点在点的下方时，如图，
设，
同理可得，
解得或（舍去），
；
综上所述的长为或．
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