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【提升版】湘教版数学八下2.1平面直角坐标系 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·德惠期末）某气象台为了预报台风，首先需要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心位置的是（　　）
A．北纬38° B．距气象台500海里
C．海南附近 D．北纬38°，东经136°
2．（2021八下·玉田期中）若点在y轴上，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025八下·射洪期中）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·福田月考）如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
5．（2022八下·来宾期末）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
6．（2024八下·栾城期中）如图，一艘中国无人战艇A在我国的南疆执行巡航任务．某一时刻，它与灯塔B相距90海里．若灯塔B相对于战艇A的位置用有序数对（北偏东15°，90海里）来描述，那么战艇A相对于灯塔B的位置可描述为（　　）
A．（南偏西75°，90海里） B．（南偏西15°，90海里）
C．（北偏东15°，90海里） D．（北偏东75°，90海里）
7．（2025八下·中山期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，的坐标为，的坐标为，点落在轴的正半轴上，点落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·潮南期末） 如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（　　）
A．-2 B． C． D．
二、填空题
9．（2025八下·衡阳期末） 点在第　 　象限．
10．（2024八下·扶沟期中）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为　 　．
11．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为　 　．
12．（2025八下·东坡期中）已知在第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是　 　．
13．（2023八下·桂林期中）海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是　 　．
14．（2025八下·南山开学考）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为　 　．
三、解答题
15．（2024八下·横州期中）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，．
（1）请分别写出点A，点B的坐标；
（2）求出该菱形的周长．
16．（2024八下·英德期中）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形．
（1）写出各顶点的坐标；
（2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，写出，的坐标．
17．（2024八下·崇义期中） 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：A、北纬38°不能确定台风中心的具体位置，故不符合题意；
B、距气象台500海里，范围太广，不能确定台风中心位置，故不符合题意；
C、海南附近，范围太广，不能确定台风中心位置，故不符合题意；
D、北纬38°，东经136°，表示具体坐标，能确定台风中心位置，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据确定地理位置的方法对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A在y轴上
∴n-1=0
解得：n=1
当n=1时，点B的坐标为(2，-2)
∴点B在第四象限
故答案为：D．
【分析】根据在y轴上的点横坐标为0可求得n，再求出点B，确定点B的象限。
3．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，
∴，解得：，
数轴表示如图：
故答案为：D．
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中象限内点的坐标特征以及一元一次不等式组的解法和在数轴上的表示，熟知平面直角坐标系中象限内点的坐标特征是解题关键.根据象限内点的坐标特征：第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、第三象限(-，-)、第四象限(+，-)，根据此特征可列出关于a的不等式组；一元一次不等式组的解法：分别求解每个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集；不等式组在数轴上的表示：大于向右，小于向左，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，根据a的取值范围-2＜a＜1，在数轴上准确表示即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（1-x，x-3）在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得1＜x＜3，
在数轴上表示为：
.
故答案为：D.
【分析】根据第三象限内的点，横坐标与纵坐标都是负数可列出不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：由题意，得z＝2 i可表示为Z（2， 1）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得： 任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示， 据此解答.
6．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置；钟面角、方位角；有序数对
【解析】【解答】根据题意可得：战艇A相对于灯塔B的位置可描述为（南偏西15°，90海里），
故答案为：B.
【分析】以点B为观测点，来描述点A的方向以及距离即可.
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由作图可知：DH平分∠ADC，
∴∠ADH=∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠CDH，
∴∠ADH=∠AHD，
∴AD=AH，
∵AD=，
∴AH=
∴点H的坐标是。
故答案为：A.
【分析】首先由作图可得出DH平分∠ADC，进而可证得AD=AH，根据勾股定理求得AH的长，进而得出点H的坐标。
8．【答案】B
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】
解：连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，如下图：
∵四边形OABC是边长为1的正方形
∴OC=OA=AB=BC=1，∠C=90°，∠COB=∠CBO=∠BOA=45°
∴
∵∠COD=15°
∴∠DOB=∠COB-∠COD=30°
∴
∵点B在第四象限
∴点B的纵坐标为
故答案为：B .
【分析】
本题考查勾股定理，直角三角形的性质，点的坐标和正方形的性质，熟知勾股定理和正方形的性质是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等，四个角都是90°，对角线平分对角可知：OC=OA=AB=BC=1，∠C=90°，∠COB=∠CBO=∠BOA=45°，根据勾股定理：在Rt△OBC中，，结合∠COD=15°，根据角的和差运算可知：∠DOB=∠COB-∠COD=30°，再根据直角三角形中，30°所对的直角边＝斜边的一半可知：，结合点B在第四象限，根据点的坐标的性质可知：点B的纵坐标为，由此可得出答案.
9．【答案】三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴.
又∵，
∴ 在第三象限.
故答案为：三.
【分析】先分析横坐标的正负性，然后结合纵坐标的正负性确定点所在象限.
10．【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标，
故答案为：．
【分析】作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，根据正方形性质可得OA＝OC，∠AOC＝90°，根据角之间的关系可得∠COE＝∠OAF，再根据全等三角形判定定理可得△COE≌△OAF，则CE＝OF，OE＝AF，再根据点的坐标即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵，轴，，
∴四边形是矩形，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴由轴对称变换可知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到是矩形，根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理求出的长即可解题．
12．【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】由题可得点的横纵坐标互为相反数，列方程解题即可解．
13．【答案】北偏东
【知识点】勾股定理的逆定理；方位角
【解析】【解答】解：如图，（海里），（海里）
∵海里，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴另一艘舰艇的航行方向是北偏东，
故答案为：北偏东．
【分析】先利用根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再求出的度数．
14．【答案】4
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：对于点，，，
其“水平底”，
根据题意得：的最小值为：1，
，，三点的“矩面积”的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】由题意得：，然后知的最小值是，可得“矩面积”的最小值．
15．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，且，
∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称，
∵点C、点D的坐标分别是，，
∴点，点.
（2）解∵点C、点D的坐标分别是，，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长．
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质；中心对称图形
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的对角线互相平分且垂直得到，，，然后点根据对称的性质求解即可；
（2）首先求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据菱形的周长=边长求解即可．
16．【答案】（1）如图1，过B作于C，
∵是等边三角形，且，
∴，
由勾股定理得：，
∴
（2）如图2，∵，
∴与B重合，
∴，
由旋转得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，由于点O为原点，所以O的坐标为(0，0)。由于点A在x轴上，且OA=2，所以A的坐标为(-2，0)。由于△OAB是边长为2的等边三角形，所以OB=AB=2。过点B作BC⊥OA于点C，由于△OAB是等边三角形，所以点C是AO的中点，即OC=OA=1。根据勾股定理，有BM=。因此，B的坐标为(-1，√3)；
（2）根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角。因此，旋转后点A’与点B重合，可以直接写出A’和B’的坐标。
17．【答案】（1）解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作于点D，
在中，千米，
∴千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：（千米），
∵160千米千米，
∴A城市会受到这次台风的影响．
（2）解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，
∴台风影响该市持续的路程为：（千米），
∴台风影响该市的持续时间（小时）．
【知识点】含30°角的直角三角形；方位角；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）A城市会受到这次台风的影响，理由：过点A作于点D，利用含30°直角三角形的性质可得千米，再求出受台风影响范围的半径，然后和160比较即可；
（2）以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，由勾股定理求出DE，根据垂径定理可得EF=2DE，再利用时间=路程÷速度即可求解.
1 / 1【提升版】湘教版数学八下2.1平面直角坐标系 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·德惠期末）某气象台为了预报台风，首先需要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心位置的是（　　）
A．北纬38° B．距气象台500海里
C．海南附近 D．北纬38°，东经136°
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：A、北纬38°不能确定台风中心的具体位置，故不符合题意；
B、距气象台500海里，范围太广，不能确定台风中心位置，故不符合题意；
C、海南附近，范围太广，不能确定台风中心位置，故不符合题意；
D、北纬38°，东经136°，表示具体坐标，能确定台风中心位置，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据确定地理位置的方法对每个选项一一判断即可。
2．（2021八下·玉田期中）若点在y轴上，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A在y轴上
∴n-1=0
解得：n=1
当n=1时，点B的坐标为(2，-2)
∴点B在第四象限
故答案为：D．
【分析】根据在y轴上的点横坐标为0可求得n，再求出点B，确定点B的象限。
3．（2025八下·射洪期中）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，
∴，解得：，
数轴表示如图：
故答案为：D．
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中象限内点的坐标特征以及一元一次不等式组的解法和在数轴上的表示，熟知平面直角坐标系中象限内点的坐标特征是解题关键.根据象限内点的坐标特征：第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、第三象限(-，-)、第四象限(+，-)，根据此特征可列出关于a的不等式组；一元一次不等式组的解法：分别求解每个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集；不等式组在数轴上的表示：大于向右，小于向左，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，根据a的取值范围-2＜a＜1，在数轴上准确表示即可得出答案.
4．（2024八下·福田月考）如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（1-x，x-3）在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得1＜x＜3，
在数轴上表示为：
.
故答案为：D.
【分析】根据第三象限内的点，横坐标与纵坐标都是负数可列出不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
5．（2022八下·来宾期末）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
【答案】B
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：由题意，得z＝2 i可表示为Z（2， 1）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得： 任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示， 据此解答.
6．（2024八下·栾城期中）如图，一艘中国无人战艇A在我国的南疆执行巡航任务．某一时刻，它与灯塔B相距90海里．若灯塔B相对于战艇A的位置用有序数对（北偏东15°，90海里）来描述，那么战艇A相对于灯塔B的位置可描述为（　　）
A．（南偏西75°，90海里） B．（南偏西15°，90海里）
C．（北偏东15°，90海里） D．（北偏东75°，90海里）
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置；钟面角、方位角；有序数对
【解析】【解答】根据题意可得：战艇A相对于灯塔B的位置可描述为（南偏西15°，90海里），
故答案为：B.
【分析】以点B为观测点，来描述点A的方向以及距离即可.
7．（2025八下·中山期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，的坐标为，的坐标为，点落在轴的正半轴上，点落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由作图可知：DH平分∠ADC，
∴∠ADH=∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠CDH，
∴∠ADH=∠AHD，
∴AD=AH，
∵AD=，
∴AH=
∴点H的坐标是。
故答案为：A.
【分析】首先由作图可得出DH平分∠ADC，进而可证得AD=AH，根据勾股定理求得AH的长，进而得出点H的坐标。
8．（2025八下·潮南期末） 如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（　　）
A．-2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】
解：连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，如下图：
∵四边形OABC是边长为1的正方形
∴OC=OA=AB=BC=1，∠C=90°，∠COB=∠CBO=∠BOA=45°
∴
∵∠COD=15°
∴∠DOB=∠COB-∠COD=30°
∴
∵点B在第四象限
∴点B的纵坐标为
故答案为：B .
【分析】
本题考查勾股定理，直角三角形的性质，点的坐标和正方形的性质，熟知勾股定理和正方形的性质是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等，四个角都是90°，对角线平分对角可知：OC=OA=AB=BC=1，∠C=90°，∠COB=∠CBO=∠BOA=45°，根据勾股定理：在Rt△OBC中，，结合∠COD=15°，根据角的和差运算可知：∠DOB=∠COB-∠COD=30°，再根据直角三角形中，30°所对的直角边＝斜边的一半可知：，结合点B在第四象限，根据点的坐标的性质可知：点B的纵坐标为，由此可得出答案.
二、填空题
9．（2025八下·衡阳期末） 点在第　 　象限．
【答案】三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴.
又∵，
∴ 在第三象限.
故答案为：三.
【分析】先分析横坐标的正负性，然后结合纵坐标的正负性确定点所在象限.
10．（2024八下·扶沟期中）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标，
故答案为：．
【分析】作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，根据正方形性质可得OA＝OC，∠AOC＝90°，根据角之间的关系可得∠COE＝∠OAF，再根据全等三角形判定定理可得△COE≌△OAF，则CE＝OF，OE＝AF，再根据点的坐标即可求出答案.
11．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵，轴，，
∴四边形是矩形，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴由轴对称变换可知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到是矩形，根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理求出的长即可解题．
12．（2025八下·东坡期中）已知在第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】由题可得点的横纵坐标互为相反数，列方程解题即可解．
13．（2023八下·桂林期中）海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是　 　．
【答案】北偏东
【知识点】勾股定理的逆定理；方位角
【解析】【解答】解：如图，（海里），（海里）
∵海里，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴另一艘舰艇的航行方向是北偏东，
故答案为：北偏东．
【分析】先利用根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再求出的度数．
14．（2025八下·南山开学考）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：对于点，，，
其“水平底”，
根据题意得：的最小值为：1，
，，三点的“矩面积”的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】由题意得：，然后知的最小值是，可得“矩面积”的最小值．
三、解答题
15．（2024八下·横州期中）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，．
（1）请分别写出点A，点B的坐标；
（2）求出该菱形的周长．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，且，
∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称，
∵点C、点D的坐标分别是，，
∴点，点.
（2）解∵点C、点D的坐标分别是，，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长．
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质；中心对称图形
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的对角线互相平分且垂直得到，，，然后点根据对称的性质求解即可；
（2）首先求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据菱形的周长=边长求解即可．
16．（2024八下·英德期中）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形．
（1）写出各顶点的坐标；
（2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，写出，的坐标．
【答案】（1）如图1，过B作于C，
∵是等边三角形，且，
∴，
由勾股定理得：，
∴
（2）如图2，∵，
∴与B重合，
∴，
由旋转得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，由于点O为原点，所以O的坐标为(0，0)。由于点A在x轴上，且OA=2，所以A的坐标为(-2，0)。由于△OAB是边长为2的等边三角形，所以OB=AB=2。过点B作BC⊥OA于点C，由于△OAB是等边三角形，所以点C是AO的中点，即OC=OA=1。根据勾股定理，有BM=。因此，B的坐标为(-1，√3)；
（2）根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角。因此，旋转后点A’与点B重合，可以直接写出A’和B’的坐标。
17．（2024八下·崇义期中） 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【答案】（1）解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作于点D，
在中，千米，
∴千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：（千米），
∵160千米千米，
∴A城市会受到这次台风的影响．
（2）解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，
∴台风影响该市持续的路程为：（千米），
∴台风影响该市的持续时间（小时）．
【知识点】含30°角的直角三角形；方位角；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）A城市会受到这次台风的影响，理由：过点A作于点D，利用含30°直角三角形的性质可得千米，再求出受台风影响范围的半径，然后和160比较即可；
（2）以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，由勾股定理求出DE，根据垂径定理可得EF=2DE，再利用时间=路程÷速度即可求解.
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