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【培优版】湘教版数学八下2.1平面直角坐标系 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·新华期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意；
B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意；
C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意；
D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用方位角的定义逐项判断解题．
2．（2025八下·射洪期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：，，
，
由图中点的坐标规律可得，
，，
，
，即，
，即．
故答案为：B．
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中的规律探索，根据图形找到点的规律是解题的关键．通过观察点的坐标变化，找出下标与坐标之间的对应规律，进而利用规律求解特定点的坐标，根据，，可得：，再结合图中点坐标规律可得：，，，由，即可得到，由此可得出答案．
3．（2023八下·槐荫期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B作HB⊥y轴于点H，如图所示：
由题意得∠BHA=90°，∠HAB=60°，AO=BA=2，
∴∠HBA=30°，
∴HA=1，HO=3，
由勾股定理得，
∴，
∵，，
∴∠BOA=30°，
∴，
∴六次为一个循环，
∵2023=6×337+1，
∴第2023次旋转后点B的坐标为，
故答案为：C
【分析】过点B作HB⊥y轴于点H，由题意得∠BHA=90°，∠HAB=60°，AO=BA=2，进而得到∠HBA=30°，从而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到HA=1，HO=3，然后根据勾股定理得到HB的长，进而根据旋转的性质结合题意得到规律六次为一个循环，从而结合题意即可求解。
4．（2020八下·揭阳月考）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解： 点 、 ，
，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为： ，
，
△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
，
△2013的直角顶点的坐标为 ．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB=5，再找出规律，求出点的坐标即可。
5．（2025八下·紫金期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．一个电动玩具从原点O出发，按照与点依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形；探索数与式的规律；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵点，，的坐标分别为，，，一个电动玩具从原点O出发，按照与点，，依次成中心对称跳跃，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点，
∵第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第六次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第七次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
……
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同为．
故答案为：B．
【分析】先结合题干求出点，，，，，，，可得规律点P的坐标的变化规律是6次一个循环，再结合，从而可得点的坐标与相同为．
6．（2025八下·黄石期中）如图，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（为正数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；等腰三角形的概念
7．（2023八下·仙桃月考）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理
8．（2023八下·冷水滩月考）如图，已知，在轴上，点，，，…在射线轴上，点，，，…在射线OF上，，，，…均为等边三角形，若，则的横坐标为（　　）
A．512 B．768 C．1536 D．3072
【答案】C
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
二、填空题
9．（2024八下·柳南期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点C的坐标为，四边形是平行四边形，点D、E份别在边、上，且，．动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为　 　．
【答案】或或
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥OA于点H，如图所示：
∵点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为，
∴OA=9，OH=3，，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=CB=9
∵，CE=4，
∴OD=3，BE=5，DA=6，
∴点H与点D重合
由动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分：
①点P在OC上，点Q在BC上，如图所示：
∴点O与点P重合，
∴；
当DE为对角线时，如图所示：
则；
②点Q在OC上，点P在OA上，如图所示：
∴点C、Q重合，
∴；
③点Q在OA上，点P在AB上，如图所示：
∴点B、P重合，
∴；
综上所述：当动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为或或；
故答案为或或．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键．
过点C作CH⊥OA于点H，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：OA∥BC，OA=CB=9，点C到x轴的距离是点C的纵坐标也就是平行四边形OABC的高，即，再结合，CE=4，由线段的和差运算可知：OD=3，BE=5，DA=6，即点H与点D重合，然后分①点P在OC上，点Q在BC上，②点Q在OC上，点P在OA上，③点Q在OA上，点P在AB上，进而根据平行四边形的性质及面积计算公式进行求解即可．
10．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
11．（2020八下·汕尾期末）在平面直角坐标系 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是　 　；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=　 　（用含n的代数式表示．）
【答案】3或4；6n－3
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图：
当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），
（1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4．
当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，
∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12n－3，对角线AB上的整点个数总为3，
∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3．
故答案为：3或4；6n－3．
【分析】利用平面直角坐标系和点的坐标进行计算求解即可。
12．（2020八下·沈河期末）如图，点A（2，a）在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，若点C在△AOB的内部，到点O、B的距离相等且CA＝AB，则点C的坐标为　 　.
【答案】（1，2﹣ ）
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】如图，过C作CM⊥OB于M，作CP⊥AB于P，
∵点A（2，a）在直线y＝x上，
∴a＝2，
∴OB＝2，
设CM＝x，则PB＝x，AP＝2﹣x，
∵OC＝BC，CM⊥OB，
∴OM＝MB＝CP＝1，
Rt△ACP中，AC＝AB＝2，
由勾股定理得：AC2＝AP2+CP2，
∴22＝（2﹣x）2+12，
解得：x＝2﹣ 或2+ （舍），
∴C（1，2﹣ ）.
故答案为：（1，2﹣ ）.
【分析】作辅助线，构建直角三角形，设CM＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，可得结论.
13．（2019八下·卢龙期中）如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2016次，依次得到点P1，P2，P3，…，P2016，则点P2016的坐标是　 　．
【答案】(4031， )
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵边长为2的等边三角形，
∴P1（1， ），
而P1P2=P2P3=2，
∴P2（3， ），P3（5， ）；
依此类推，Pn（1+2n-2， ），即Pn（2n-1， ）；
当n=2016时，P2016（4031， ）．
故答案为（4031， ）．
【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1， ），在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2016的坐标．
14．（2019八下·甘南期末）在如图所示的平面直角坐标系内，四边形 是边长为 的正方形，分别取 边的中点 ，连结 ，得到第一个四边形 ；再分别取 边的中点 ，连结 得到第二个四边形 ；再分别取 边的中点 连结 ，得到第三个四边 ，……，按这种方法做下去，则第 个四边形 中的顶点 的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是边长为 的正方形，且 分别是 边的中点，
∴ ；
∵ 分别是 边的中点，
∴ ；
∵ 分别是 边的中点，
∴ ；
同理： ； ；
∴ ； ；
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质及线段的中点，分别求出、、、、······，据此结果找出规律，从而得出.
三、解答题
15．（2024八下·江阳期中）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
【答案】（1）3h
（2）C岛在A港的北偏西40°方向．
【知识点】勾股定理的逆定理；方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
16．（2025八下·北京市期中）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，．
（1）d（点，）=_______．
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点P，），直接写出点P坐标；
（3）已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W．
①当时，在图2中画出图形W，直接写出的值；
②若，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）①②或或．
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质
17．（2025八下·自贡期中）如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上．
（1）如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值；
（2）如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
1 / 1【培优版】湘教版数学八下2.1平面直角坐标系 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·新华期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·射洪期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八下·槐荫期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020八下·揭阳月考）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 （　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·紫金期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．一个电动玩具从原点O出发，按照与点依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·黄石期中）如图，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（为正数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023八下·仙桃月考）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023八下·冷水滩月考）如图，已知，在轴上，点，，，…在射线轴上，点，，，…在射线OF上，，，，…均为等边三角形，若，则的横坐标为（　　）
A．512 B．768 C．1536 D．3072
二、填空题
9．（2024八下·柳南期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点C的坐标为，四边形是平行四边形，点D、E份别在边、上，且，．动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为　 　．
10．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是　 　．
11．（2020八下·汕尾期末）在平面直角坐标系 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是　 　；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=　 　（用含n的代数式表示．）
12．（2020八下·沈河期末）如图，点A（2，a）在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，若点C在△AOB的内部，到点O、B的距离相等且CA＝AB，则点C的坐标为　 　.
13．（2019八下·卢龙期中）如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2016次，依次得到点P1，P2，P3，…，P2016，则点P2016的坐标是　 　．
14．（2019八下·甘南期末）在如图所示的平面直角坐标系内，四边形 是边长为 的正方形，分别取 边的中点 ，连结 ，得到第一个四边形 ；再分别取 边的中点 ，连结 得到第二个四边形 ；再分别取 边的中点 连结 ，得到第三个四边 ，……，按这种方法做下去，则第 个四边形 中的顶点 的坐标为　 　．
三、解答题
15．（2024八下·江阳期中）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
16．（2025八下·北京市期中）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，．
（1）d（点，）=_______．
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点P，），直接写出点P坐标；
（3）已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W．
①当时，在图2中画出图形W，直接写出的值；
②若，直接写出的取值范围．
17．（2025八下·自贡期中）如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上．
（1）如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值；
（2）如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意；
B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意；
C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意；
D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用方位角的定义逐项判断解题．
2．【答案】B
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：，，
，
由图中点的坐标规律可得，
，，
，
，即，
，即．
故答案为：B．
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中的规律探索，根据图形找到点的规律是解题的关键．通过观察点的坐标变化，找出下标与坐标之间的对应规律，进而利用规律求解特定点的坐标，根据，，可得：，再结合图中点坐标规律可得：，，，由，即可得到，由此可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B作HB⊥y轴于点H，如图所示：
由题意得∠BHA=90°，∠HAB=60°，AO=BA=2，
∴∠HBA=30°，
∴HA=1，HO=3，
由勾股定理得，
∴，
∵，，
∴∠BOA=30°，
∴，
∴六次为一个循环，
∵2023=6×337+1，
∴第2023次旋转后点B的坐标为，
故答案为：C
【分析】过点B作HB⊥y轴于点H，由题意得∠BHA=90°，∠HAB=60°，AO=BA=2，进而得到∠HBA=30°，从而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到HA=1，HO=3，然后根据勾股定理得到HB的长，进而根据旋转的性质结合题意得到规律六次为一个循环，从而结合题意即可求解。
4．【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解： 点 、 ，
，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为： ，
，
△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
，
△2013的直角顶点的坐标为 ．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB=5，再找出规律，求出点的坐标即可。
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形；探索数与式的规律；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵点，，的坐标分别为，，，一个电动玩具从原点O出发，按照与点，，依次成中心对称跳跃，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点，
∵第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第六次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第七次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
……
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同为．
故答案为：B．
【分析】先结合题干求出点，，，，，，，可得规律点P的坐标的变化规律是6次一个循环，再结合，从而可得点的坐标与相同为．
6．【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；等腰三角形的概念
7．【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
9．【答案】或或
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥OA于点H，如图所示：
∵点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为，
∴OA=9，OH=3，，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=CB=9
∵，CE=4，
∴OD=3，BE=5，DA=6，
∴点H与点D重合
由动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分：
①点P在OC上，点Q在BC上，如图所示：
∴点O与点P重合，
∴；
当DE为对角线时，如图所示：
则；
②点Q在OC上，点P在OA上，如图所示：
∴点C、Q重合，
∴；
③点Q在OA上，点P在AB上，如图所示：
∴点B、P重合，
∴；
综上所述：当动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为或或；
故答案为或或．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键．
过点C作CH⊥OA于点H，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：OA∥BC，OA=CB=9，点C到x轴的距离是点C的纵坐标也就是平行四边形OABC的高，即，再结合，CE=4，由线段的和差运算可知：OD=3，BE=5，DA=6，即点H与点D重合，然后分①点P在OC上，点Q在BC上，②点Q在OC上，点P在OA上，③点Q在OA上，点P在AB上，进而根据平行四边形的性质及面积计算公式进行求解即可．
10．【答案】
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
11．【答案】3或4；6n－3
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图：
当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），
（1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4．
当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，
∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12n－3，对角线AB上的整点个数总为3，
∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3．
故答案为：3或4；6n－3．
【分析】利用平面直角坐标系和点的坐标进行计算求解即可。
12．【答案】（1，2﹣ ）
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】如图，过C作CM⊥OB于M，作CP⊥AB于P，
∵点A（2，a）在直线y＝x上，
∴a＝2，
∴OB＝2，
设CM＝x，则PB＝x，AP＝2﹣x，
∵OC＝BC，CM⊥OB，
∴OM＝MB＝CP＝1，
Rt△ACP中，AC＝AB＝2，
由勾股定理得：AC2＝AP2+CP2，
∴22＝（2﹣x）2+12，
解得：x＝2﹣ 或2+ （舍），
∴C（1，2﹣ ）.
故答案为：（1，2﹣ ）.
【分析】作辅助线，构建直角三角形，设CM＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，可得结论.
13．【答案】(4031， )
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵边长为2的等边三角形，
∴P1（1， ），
而P1P2=P2P3=2，
∴P2（3， ），P3（5， ）；
依此类推，Pn（1+2n-2， ），即Pn（2n-1， ）；
当n=2016时，P2016（4031， ）．
故答案为（4031， ）．
【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1， ），在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2016的坐标．
14．【答案】
【知识点】点的坐标；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是边长为 的正方形，且 分别是 边的中点，
∴ ；
∵ 分别是 边的中点，
∴ ；
∵ 分别是 边的中点，
∴ ；
同理： ； ；
∴ ； ；
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质及线段的中点，分别求出、、、、······，据此结果找出规律，从而得出.
15．【答案】（1）3h
（2）C岛在A港的北偏西40°方向．
【知识点】勾股定理的逆定理；方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
16．【答案】（1）
（2）或
（3）①②或或．
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质
17．【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
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