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广东省汕头市潮南区龙岭中英文学校2025--2026学年八年级数学上学期期末考试数学卷
1．（2026八上·潮南期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·潮南期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026八上·潮南期末）微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为， 数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·潮南期末）一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·潮南期末）若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·潮南期末）如果P点的坐标为，它关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，已知的坐标为，将点P向左平移4个单位后的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026八上·潮南期末）若常数M，N满足，则（　　）
A． B． C．2 D．3
8．（2026八上·潮南期末）如图，在等腰直角三角形中，，点，其中，则a，b之间的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026八上·潮南期末）如图，中，是角平分线，是的中线．若的面积是，，，则的面积是（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
10．（2026八上·潮南期末）如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2026八上·潮南期末）如图，　 　．
12．（2026八上·潮南期末）如图，，在边上，，，则的度数为　 　．
13．（2026八上·潮南期末）若，则的值　 　；
14．（2026八上·潮南期末）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为，则a的值为　 　；
15．（2026八上·潮南期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为　 　．
16．（2026八上·潮南期末）分解因式：
17．（2026八上·潮南期末）已知，．若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围．
18．（2026八上·潮南期末）如图，点B、C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，已知，且．求证：．
19．（2026八上·潮南期末）如图，在中，，，平分，交于点．
（1）求作的垂直平分线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若交于点，连接．求证：．
20．（2026八上·潮南期末）综合实践
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架．
问题解决
任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
21．（2026八上·潮南期末）阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得．
得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
22．（2026八上·潮南期末）在平面直角坐标系，中，，其中．
（1）若点在第一象限，，求的值；
（2）点为轴正半轴一个动点，．点的坐标为，若，则在点运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变．请求出的度数；若变化．请说明的大小变化过程．
23．（2026八上·潮南期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．
（1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________；
（2）问题解决：如图2，求证：；
（3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故A错误．
B．，故B错误．
C．，故C正确．
D．，故D错误．
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵的第一个非零数字是9，其前面有7个零（包括小数点前的零），
∴，，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，含有因式，本选项符合题意；
B、无法分解，本选项不符合题意；
C、，不含有因式，本选项不符合题意；
D、，不含有因式，本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别对各个选项的因式进行分解，然后再对照题干中的式子，即可求解。
5．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；有理数的减法法则；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，，
，，
∴，
解得：，
．
故答案为：C．
【分析】先利用幂的乘方可得，，可得，求出m、n的值，最后将其代入计算即可.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： P点的坐标为，它关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，已知的坐标为，
，
将点P向左平移4个单位后的坐标为，
故答案为：A．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）和点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
，
∴，
解得，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用分式的加法计算方法和等量代换可得，求出M、N的值，最后将其代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；直角三角形全等的判定-HL；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】过点作轴，轴，则，再证出，利用全等三角形的性质可得，可得，最后求出即可.
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过点D作，，垂足分别为，
是角平分线，
，
设，
∵，
∴，
，
解得，，
，
是的中线，
，
故答案为：C．
【分析】过点D作，，垂足分别为，利用角平分线的性质可得，设，利用三角形的面积公式及割补法可得，列出方程求出，可得，最后利用三角形的中线平分三角形的面积可得.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图1中，作，使得，连接，．
是等边三角形，，，
，，
，
，，
，
，
，
，，共线时，的值最小，
如图2中，当，，共线时，
，
，
，
，
，
当的值最小时，，
故答案为：．
【分析】作，使得，连接，，先证出B，，共线时，的值最小，再结合，可得，再结合，最后利用角的运算求出即可.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理可知，．
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和求出的值即可.
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，，
，
是的外角，，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质求出即可.
13．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用可得，再将其代入计算即可.
14．【答案】5
【知识点】解分式方程；点的坐标；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得平分，
即点P在第一象限的角平分线上，
所以，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故答案为：．
【分析】利用第一象限角平分线上点坐标的特征可得，再求出a的值即可.
15．【答案】19
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，
根据题意可得：，
，
，
，
是得中点，
，
，，
．
故答案为：19．
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，结合图形可得，再求出，再利用三角形的面积公式及割补法求出即可．
16．【答案】解：

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】根据提公因式、平方差公式进行因式分解即可求出答案.
17．【答案】解：∵，
∴
，
∵解是非负数，
∴，
解得：；
又∵，，
∴，，
解得：，，；
综上的取值范围为：且，．
【知识点】分式的化简求值；分式方程的解及检验
【解析】【分析】将代数式代入可得，再求出，利用“的解是非负数 ”可得，求出，再利用分式有意义的条件求出，，，从而得解.
18．【答案】证明：∵∠1是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用角的运算和等量代换可得，，再利用“AAS”证出即可.
19．【答案】（1）解：以点A，B为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，过这两点作直线MN，则MN为所求，如图，
即为所求.
（2）证明：，且，，
，
是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点A，B为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，过这两点作直线MN，则MN为所求；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用垂直平分线的性质和角的运算求出，再利用三角形外角的性质求出，证出，最后利用等角对等边的性质可得DE=DB.
（1）解：以点A，B为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，过这两点作直线MN，则MN为所求，如图，
即为所求；
（2）证明：，且，，
，
是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
又是的一个外角，
，
，
．
20．【答案】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷由题意可得：
解得：
经检验：是原分式方程的根，
答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷．
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，
由题意可知：
解得：
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当，（万元）
此时B型无人机（台）．
答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，根据 A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，可列分式方程，求解即可；
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田 可得不等式：
，求出；并根据总费用= A型无人机 费用+B型无人机费用，可得：，根据一次函数的性质即可求解。
21．【答案】（1）解：
∴
∴
.
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先将原式变形为，再利用完全平方公式展开求出，最后求出即可；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可.
（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
22．【答案】（1）解：过点C作垂直x轴于点M．
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：.
（2）解：在点D运动的过程中，的大小不变，．
如图，过点E作垂直x轴，垂足为F，
∵点E的纵坐标为t，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
∴在点D运动的过程中，的大小不变，一直都是
【知识点】坐标与图形性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点C作垂直x轴于点M，先求出，，再根据，求出，最后求出m的值即可；
（2）过点E作垂直x轴，垂足为F，先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质证出，在中，求出即可.
（1）解：过点C作垂直x轴于点M．
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：；
（2）在点D运动的过程中，的大小不变，．
如图，过点E作垂直x轴，垂足为F，
∵点E的纵坐标为t，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
∴在点D运动的过程中，的大小不变，一直都是
23．【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）证明：如图，作于E，于F．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图，在上截取，连接．
∵在等腰中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等
【分析】（1）根据角平分线性质即可求出答案.
（2）作于E，于F，根据角平分线性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得∠KDC，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）证明：如图，作于E，于F．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图，在上截取，连接．
∵在等腰中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省汕头市潮南区龙岭中英文学校2025--2026学年八年级数学上学期期末考试数学卷
1．（2026八上·潮南期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．（2026八上·潮南期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故A错误．
B．，故B错误．
C．，故C正确．
D．，故D错误．
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
3．（2026八上·潮南期末）微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为， 数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵的第一个非零数字是9，其前面有7个零（包括小数点前的零），
∴，，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．（2026八上·潮南期末）一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，含有因式，本选项符合题意；
B、无法分解，本选项不符合题意；
C、，不含有因式，本选项不符合题意；
D、，不含有因式，本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别对各个选项的因式进行分解，然后再对照题干中的式子，即可求解。
5．（2026八上·潮南期末）若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；有理数的减法法则；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，，
，，
∴，
解得：，
．
故答案为：C．
【分析】先利用幂的乘方可得，，可得，求出m、n的值，最后将其代入计算即可.
6．（2026八上·潮南期末）如果P点的坐标为，它关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，已知的坐标为，将点P向左平移4个单位后的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： P点的坐标为，它关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，已知的坐标为，
，
将点P向左平移4个单位后的坐标为，
故答案为：A．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）和点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
7．（2026八上·潮南期末）若常数M，N满足，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
，
∴，
解得，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用分式的加法计算方法和等量代换可得，求出M、N的值，最后将其代入计算即可.
8．（2026八上·潮南期末）如图，在等腰直角三角形中，，点，其中，则a，b之间的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；直角三角形全等的判定-HL；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】过点作轴，轴，则，再证出，利用全等三角形的性质可得，可得，最后求出即可.
9．（2026八上·潮南期末）如图，中，是角平分线，是的中线．若的面积是，，，则的面积是（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过点D作，，垂足分别为，
是角平分线，
，
设，
∵，
∴，
，
解得，，
，
是的中线，
，
故答案为：C．
【分析】过点D作，，垂足分别为，利用角平分线的性质可得，设，利用三角形的面积公式及割补法可得，列出方程求出，可得，最后利用三角形的中线平分三角形的面积可得.
10．（2026八上·潮南期末）如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图1中，作，使得，连接，．
是等边三角形，，，
，，
，
，，
，
，
，
，，共线时，的值最小，
如图2中，当，，共线时，
，
，
，
，
，
当的值最小时，，
故答案为：．
【分析】作，使得，连接，，先证出B，，共线时，的值最小，再结合，可得，再结合，最后利用角的运算求出即可.
11．（2026八上·潮南期末）如图，　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理可知，．
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和求出的值即可.
12．（2026八上·潮南期末）如图，，在边上，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，，
，
是的外角，，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质求出即可.
13．（2026八上·潮南期末）若，则的值　 　；
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用可得，再将其代入计算即可.
14．（2026八上·潮南期末）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为，则a的值为　 　；
【答案】5
【知识点】解分式方程；点的坐标；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得平分，
即点P在第一象限的角平分线上，
所以，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故答案为：．
【分析】利用第一象限角平分线上点坐标的特征可得，再求出a的值即可.
15．（2026八上·潮南期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为　 　．
【答案】19
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，
根据题意可得：，
，
，
，
是得中点，
，
，，
．
故答案为：19．
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，结合图形可得，再求出，再利用三角形的面积公式及割补法求出即可．
16．（2026八上·潮南期末）分解因式：
【答案】解：

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】根据提公因式、平方差公式进行因式分解即可求出答案.
17．（2026八上·潮南期末）已知，．若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围．
【答案】解：∵，
∴
，
∵解是非负数，
∴，
解得：；
又∵，，
∴，，
解得：，，；
综上的取值范围为：且，．
【知识点】分式的化简求值；分式方程的解及检验
【解析】【分析】将代数式代入可得，再求出，利用“的解是非负数 ”可得，求出，再利用分式有意义的条件求出，，，从而得解.
18．（2026八上·潮南期末）如图，点B、C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，已知，且．求证：．
【答案】证明：∵∠1是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用角的运算和等量代换可得，，再利用“AAS”证出即可.
19．（2026八上·潮南期末）如图，在中，，，平分，交于点．
（1）求作的垂直平分线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若交于点，连接．求证：．
【答案】（1）解：以点A，B为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，过这两点作直线MN，则MN为所求，如图，
即为所求.
（2）证明：，且，，
，
是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点A，B为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，过这两点作直线MN，则MN为所求；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用垂直平分线的性质和角的运算求出，再利用三角形外角的性质求出，证出，最后利用等角对等边的性质可得DE=DB.
（1）解：以点A，B为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，过这两点作直线MN，则MN为所求，如图，
即为所求；
（2）证明：，且，，
，
是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
又是的一个外角，
，
，
．
20．（2026八上·潮南期末）综合实践
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架．
问题解决
任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
【答案】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷由题意可得：
解得：
经检验：是原分式方程的根，
答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷．
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，
由题意可知：
解得：
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当，（万元）
此时B型无人机（台）．
答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，根据 A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，可列分式方程，求解即可；
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田 可得不等式：
，求出；并根据总费用= A型无人机 费用+B型无人机费用，可得：，根据一次函数的性质即可求解。
21．（2026八上·潮南期末）阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得．
得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：
∴
∴
.
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先将原式变形为，再利用完全平方公式展开求出，最后求出即可；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可.
（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
22．（2026八上·潮南期末）在平面直角坐标系，中，，其中．
（1）若点在第一象限，，求的值；
（2）点为轴正半轴一个动点，．点的坐标为，若，则在点运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变．请求出的度数；若变化．请说明的大小变化过程．
【答案】（1）解：过点C作垂直x轴于点M．
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：.
（2）解：在点D运动的过程中，的大小不变，．
如图，过点E作垂直x轴，垂足为F，
∵点E的纵坐标为t，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
∴在点D运动的过程中，的大小不变，一直都是
【知识点】坐标与图形性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点C作垂直x轴于点M，先求出，，再根据，求出，最后求出m的值即可；
（2）过点E作垂直x轴，垂足为F，先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质证出，在中，求出即可.
（1）解：过点C作垂直x轴于点M．
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：；
（2）在点D运动的过程中，的大小不变，．
如图，过点E作垂直x轴，垂足为F，
∵点E的纵坐标为t，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
∴在点D运动的过程中，的大小不变，一直都是
23．（2026八上·潮南期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．
（1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________；
（2）问题解决：如图2，求证：；
（3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：．
【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）证明：如图，作于E，于F．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图，在上截取，连接．
∵在等腰中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等
【分析】（1）根据角平分线性质即可求出答案.
（2）作于E，于F，根据角平分线性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得∠KDC，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）证明：如图，作于E，于F．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图，在上截取，连接．
∵在等腰中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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