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广东省汕头市龙湖区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷
1．（2026九上·龙湖期末）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·龙湖期末）若函数的图象经过点和，则a的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
3．（2026九上·龙湖期末） 关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
4．（2026九上·龙湖期末）如图，在中，，且，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·龙湖期末）如图，是的直径，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026九上·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026九上·龙湖期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026九上·龙湖期末）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·龙湖期末）在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2026九上·龙湖期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2026九上·龙湖期末）已知点与点关于原点对称，则的坐标为　 　．
12．（2026九上·龙湖期末）抛物线y=-（x-2）2+2的顶点坐标是　 　
13．（2026九上·龙湖期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则　 　度．
14．（2026九上·龙湖期末）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是　 　．
15．（2026九上·龙湖期末）如图，已知的半径是4，点，在上，且，动点在上运动（不与，重合），点为线段的中点，连接，则线段长度的最大值是　 　．
16．（2026九上·龙湖期末）解方程时，小海同学解答如下：
解：原方程中，，，．第一步
．第二步
，第三步
即或．第四步
所以，原方程的根是，．第五步
（1）上述解题过程从第_____步开始出现错误？
（2）请写出完整的正确解题过程．
17．（2026九上·龙湖期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径，劣弧的度数为，求扇形的面积．（结果保留π）
18．（2026九上·龙湖期末）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
19．（2026九上·龙湖期末）如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点．
（1）的值为__________，的值为__________；
（2）对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________；
（3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上．
20．（2026九上·龙湖期末）根据以下销售情况，解决销售任务．
　 销售情况分析
　 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
21．（2026九上·龙湖期末）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
22．（2026九上·龙湖期末）综合与实践
如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点与的中点重合，，
观察发现
（1）①的长为___________；
②如图1，设与的交点为，则的长为___________．
类比迁移
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，连接．
①当旋转角为时，求的长；
②当时，请直接写出以为边的正方形的面积．
拓展应用
（3）如图3，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，当最大时，求以为边的正方形的面积．
23．（2026九上·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标；
（3）若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，存在一条竖直对称轴，但绕任意点旋转 180° 后无法与自身重合，A不是中心对称图形；B、是正八边形的内接图形，既存在多条对称轴，绕中心旋转 180° 后也能与自身完全重合，B同时满足轴对称和中心对称；
C、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但找不到一条直线能让它对折后完全重合，C不是轴对称图形；
D、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但不存在能使它对折后完全重合的直线，D不是轴对称图形；
故答案为：B。
【分析】先明确轴对称图形（沿直线对折后重合）和中心对称图形（绕点旋转 180° 后重合）的定义，再对每个选项逐一验证，找出同时满足两种对称性的图形。
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把点 代入 ，可得：；
计算得 ，因此该反比例函数的解析式为 。
把点 代入 ，可得：
两边同乘 得：，解得 。
故答案为：A。
【分析】先将点代入反比例函数求出，得到函数解析式；再将点代入该解析式，解方程求出。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=9-4=5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B .
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）当b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0，方程没有实数根，据此可作出判断.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：因为 ，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得 。
相似三角形的对应边成比例，因此 。
已知 ，，所以 。
将 、 代入比例式，可得：；
故答案为：C。
【分析】由 判定 ；根据相似三角形对应边成比例，得到 ；先计算 ，再代入已知线段长度求出比值。
5．【答案】B
【知识点】角的运算；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】
根据是的直径对的圆周角是直角得出，再根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解．
6．【答案】A
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：由可知，，
∵ 将绕点O逆时针旋转到，
∴，
∴，，
∴ 在第一象限的点B坐标为.
故选：A．
【分析】根据旋转的性质可得，进而推出，即可求解．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：如图，平移阴影部分可得，
∵小道的宽为，
∴种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故答案为：C．
【分析】利用平移的知识得到种植面积的形状，即把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
8．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，
∴，，
设拱门所在圆的半径为，
∴，而，
∴，
∴，
解得：，
∴拱门所在圆的半径为；
故答案为：B.
【分析】连接，得到，，根据勾股定理解答即可.
9．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】当 时：
一次函数 ：斜率，截距，所以图象经过一、二、三象限。
反比例函数 ：因为，所以图象分布在二、四象限。
A、反比例函数在一、三象限，不符合题意；
B、一次函数过一、三、四象限，不符合题意；
当 时：
一次函数 ：斜率，截距，所以图象经过一、二、四象限。
反比例函数 ：因为，所以图象分布在一、三象限。
C、一次函数过二、三、四象限，C不符合题意；
D、一次函数过一、二、四象限，反比例函数过一、三象限，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】分和两种情况，分别判断一次函数和反比例函数的图象所在象限，再匹配符合条件的选项。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①、由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.故①错误；
②、对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
而，
.故②错误；
③、当时，，
当时，函数取最大值，
∴对于任意实数有：
，
∴，故③正确；
④、，
.
当时，，
.
，即，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故答案为：B.
【分析】
根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点可得a，b，c的符号，可判断 ① ；根据函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质可判断 ② ；根据顶点坐标公式和二次函数的最值可判断③；根据对称轴的直线方程和与x轴的交点坐标可判断④；逐一判断即可解答.
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，列出方程和，解得、，从而得到点的坐标为。
12．【答案】（2，2）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（2，2），
故答案为（2，2）．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求出顶点坐标即可。
13．【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
故答案为80．
【分析】根据旋转性质，得到，旋转角，因此为等腰三角形，再利用等腰三角形底角相等的性质，计算。
14．【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆锥侧面积公式，把侧面积 15π、母线长 5 代入，得到 15π = 5πr，解得底面半径 r = 3。
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；确定圆的条件；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：如图1，取的中点E，连接，则，
∵D为线段的中点，
∴是的中位线，
∴．
∴，即D是以点E为圆心，2为半径的圆上的一点．
∴求线段长度的最大值即是求点A与上的点的最大距离．
如图2，当点D在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值。
∵，
∴．
∴线段长度的最大值为．
故答案为：．
【分析】
取的中点E，连接，根据中点的定义得到=2，再根据中位线定理得到DE=2，从而推导出D是以点E为圆心，2为半径的圆上的一点，观察图形得到当点D在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值，再由勾股定理计算可得最大值，解答即可．
16．【答案】（1）一
（2）解：原方程可变形为：，
方程中，，，，，
∴，
∴方程的解为，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，
∴上述解题过程从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
【分析】(1) 上述解题过程从第一步开始出现错误，因为原方程未整理为一元二次方程的一般形式 ，就直接错误确定了 、 的值。
(2) 正确解题思路：先将原方程化为一般形式 ，再确定系数 、、，计算判别式 ，最后代入求根公式得到方程的两个根。
（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，
∴上述解题过程从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
（2）解：原方程可变形为：，
方程中，，，，，
∴，
∴方程的解为，．
17．【答案】（1）解：如图点O即为所求，
（2）解：∵半径，劣弧的度数为，
∴．
【知识点】确定圆的条件；扇形面积的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1) 利用不在同一直线上的三点确定圆心的原理：作线段 AB、AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心 O。
(2) 根据扇形面积公式，代入半径R=6和圆心角120 ，计算得扇形 BOC 的面积为12π。
（1）解：如图点O即为所求，
（2）解：∵半径，劣弧的度数为，
∴．
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，
∴选中“乒乓球”的概率是，
故答案为：；
【分析】
（1） 在这4种体育活动中随机选择只有一种选择，再根据概率公式计算即可求解；
（2）先画出树状图得到一共有16种等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数有4种，最后依据概率计算公式求解即可解答．
（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，
∴选中“乒乓球”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是．
19．【答案】（1）2；6
（2）
（3）解：如图，过点A作轴，垂足为D，过点B作，垂足为E，
∴，
∵为正方形，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴，．
∵点A的坐标为，
∴，．
∴点B的坐标为．
∴当时，，
∴点B没有落到双曲线上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）将代入一次函数与反比例函数，
∴，，
∴，．
故答案为2；6
（2）将代入，
∴，
解得，
根据图象得到当时，的取值范围为．
故答案为：
【分析】
（1）根据待定系数法把A代入一次函数与反比例函数，求得、的值，解答即可；
（2）根据函数图象上点的特征，把代入，再根据的函数图象得到x的范围即可解答；
（3）过点A作轴，垂足为D，过点B作，垂足为E，根据正方形的性质得到，，再根据等角的余角相等得到，再判定得到，再由全等三角形的性质得到点A的坐标，点B的坐标，再将B的坐标代入检验，即可解答．
（1）解：将代入一次函数与反比例函数，
∴，，
∴，．
故答案为2；6
（2）解：将代入，
∴，
解得，
根据图象得到当时，的取值范围为．
故答案为
（3）解：如图，过点A作轴，垂足为D，
过点B作，垂足为E，
∴，
∵为正方形，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴，．
∵点A的坐标为，
∴，．
∴点B的坐标为．
∴当时，，
∴点B没有落到双曲线上．
20．【答案】任务1：件，件；
解：任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1，根据题意得：
甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件，
故答案为：件，件；
【分析】任务1，根据题意列代数式即可；
任务2，根据盈利＝每件盈利×销售量列式计算解题；
任务3，设每件衬衫下降元时，根据盈利＝每件盈利×销售量得到两家分店一天的盈利和为2244元，列一元二次方程解题即可．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意；
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先连接。根据几何性质可证得，而题目给出，因此可以推出，从而得出最终结论。
（2）通过角度关系证明和。结合已知条件以及，进一步推导出结论。
（3）连接后，可以证明。接着证明，从而得到比例关系。已知，代入计算即可得出最终结果。
（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意；
22．【答案】（1）①4， ②2，
（2）①连接，过点M作于点N，如图，
由题意可知，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
则；
②如图，过点D作交的于点F，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
则以为边的正方形的面积；
如图，过点D作交的延长线于点H，连接，
同理可得，，，
∴，
则以为边的正方形的面积；
故以为边的正方形的面积或；
（3）∵点为的中点，
∴，
由题意可知点P的轨迹为以点A为圆心长为半径的圆上运动，如图，
当点P、点A和点M三点共线时，最大，
如图，
此时，，，
∴，
则以为边的正方形的面积．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）①∵等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∵与的中点重合，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
故答案为：4；
②∵等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴；
故答案为：2；
【分析】（1）① 先由等腰直角△ABC 求出斜边 AB，再结合 D 是 AB 中点得到 AD，最后用等腰直角△ADE 的边长关系求出 DE。
② 利用角度关系判定△AEF 为等腰直角三角形，结合 AE 的长度求出 AF。
（2）① 旋转角为 60° 时，先证△ADM 为等边三角形，再结合等腰△DMB 的性质，用勾股定理求出 BD。
② 分 DE 在 AB 上方和下方两种情况，作 DF⊥AB（或 DH⊥AB），用勾股定理算出 BD2，即得到以 BD 为边的正方形面积。
（3）先确定点 P 的轨迹是以 A 为圆心、AP 为半径的圆，当 P、A、M 共线时 PM 最大；再结合此时的角度与边长，用勾股定理求出 BD2，得到正方形面积。
23．【答案】（1）解：∵，当时，；当时，，解得：，
∴，，
∵抛物线过A，B两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C的纵坐标为3，
，解得：或，
∴，
∴，
设点P坐标为且（），
∵轴，
∴D点坐标为，
∴，
∵，
，
∵四边形的面积为2，
，解得：，，
∵，
，
此时P点坐标为；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用；几何图形的面积计算-割补法；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
解：（3）如图所示，当直线在图示区间符合有四个交点．
翻折后的抛物线与原抛物线的形状大小一致，开口相反，
所以它们的二次项系数互为相反数，
所以翻折后的抛物线可设为，
∵，在抛物线上，
∴，解得，
∴翻折后的抛物线解析式为（），
当直线过点A时，，解得；
当直线于抛物线有唯一的公共点时，
方程有相等的实数解，
所以有相等的实数解，
所以，
解得：，
所以当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围为．
故答案为：
【分析】
（1）根据一次函数与坐标轴的交点可求出，，再根据待定系数法求函数解析式将两点坐标代入抛物线求得，写出函数解析式解答即可；
（2）根据轴点C的纵坐标为3，再代入抛物线解析式中求出，可表示出，再设点P坐标为且（），可根据轴，表示出D点坐标，表示出，再根据铅锤法求面积表示出，在建立方程计算可求得，从而可得此时P点坐标为，解答即可；
（3）先画出图形，当直线在图示区间符合有四个交点，根据翻折的性质求出翻折后的抛物线解析式为（0），考虑临界条件当直线过点A时求得，当直线于抛物线有唯一公共点时联立函数解析式求得，根据函数图象可写出当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围，解答即可．
（1）∵，当时，；
当时，，解得：，
∴，，
∵抛物线过A，B两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵轴，，
∴点C的纵坐标为3，
，解得：或，
∴，
∴，
设点P坐标为且（），
∵轴，
∴D点坐标为，
∴，
∵，
，
∵四边形的面积为2，
，解得：，，
∵，
，
此时P点坐标为；
（3）如图所示，当直线在图示区间符合有四个交点．
翻折后的抛物线与原抛物线的形状大小一致，开口相反，
所以它们的二次项系数互为相反数，
所以翻折后的抛物线可设为，
∵，在抛物线上，
∴，解得，
∴翻折后的抛物线解析式为（），
当直线过点A时，，解得；
当直线于抛物线有唯一一个公共点时，
方程有相等的实数解，
所以有相等的实数解，
所以，
解得：，
所以当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围为．
1 / 1广东省汕头市龙湖区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷
1．（2026九上·龙湖期末）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，存在一条竖直对称轴，但绕任意点旋转 180° 后无法与自身重合，A不是中心对称图形；B、是正八边形的内接图形，既存在多条对称轴，绕中心旋转 180° 后也能与自身完全重合，B同时满足轴对称和中心对称；
C、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但找不到一条直线能让它对折后完全重合，C不是轴对称图形；
D、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但不存在能使它对折后完全重合的直线，D不是轴对称图形；
故答案为：B。
【分析】先明确轴对称图形（沿直线对折后重合）和中心对称图形（绕点旋转 180° 后重合）的定义，再对每个选项逐一验证，找出同时满足两种对称性的图形。
2．（2026九上·龙湖期末）若函数的图象经过点和，则a的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把点 代入 ，可得：；
计算得 ，因此该反比例函数的解析式为 。
把点 代入 ，可得：
两边同乘 得：，解得 。
故答案为：A。
【分析】先将点代入反比例函数求出，得到函数解析式；再将点代入该解析式，解方程求出。
3．（2026九上·龙湖期末） 关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=9-4=5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B .
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）当b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0，方程没有实数根，据此可作出判断.
4．（2026九上·龙湖期末）如图，在中，，且，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：因为 ，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得 。
相似三角形的对应边成比例，因此 。
已知 ，，所以 。
将 、 代入比例式，可得：；
故答案为：C。
【分析】由 判定 ；根据相似三角形对应边成比例，得到 ；先计算 ，再代入已知线段长度求出比值。
5．（2026九上·龙湖期末）如图，是的直径，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】
根据是的直径对的圆周角是直角得出，再根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解．
6．（2026九上·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：由可知，，
∵ 将绕点O逆时针旋转到，
∴，
∴，，
∴ 在第一象限的点B坐标为.
故选：A．
【分析】根据旋转的性质可得，进而推出，即可求解．
7．（2026九上·龙湖期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：如图，平移阴影部分可得，
∵小道的宽为，
∴种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故答案为：C．
【分析】利用平移的知识得到种植面积的形状，即把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
8．（2026九上·龙湖期末）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，
∴，，
设拱门所在圆的半径为，
∴，而，
∴，
∴，
解得：，
∴拱门所在圆的半径为；
故答案为：B.
【分析】连接，得到，，根据勾股定理解答即可.
9．（2026九上·龙湖期末）在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】当 时：
一次函数 ：斜率，截距，所以图象经过一、二、三象限。
反比例函数 ：因为，所以图象分布在二、四象限。
A、反比例函数在一、三象限，不符合题意；
B、一次函数过一、三、四象限，不符合题意；
当 时：
一次函数 ：斜率，截距，所以图象经过一、二、四象限。
反比例函数 ：因为，所以图象分布在一、三象限。
C、一次函数过二、三、四象限，C不符合题意；
D、一次函数过一、二、四象限，反比例函数过一、三象限，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】分和两种情况，分别判断一次函数和反比例函数的图象所在象限，再匹配符合条件的选项。
10．（2026九上·龙湖期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①、由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.故①错误；
②、对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
而，
.故②错误；
③、当时，，
当时，函数取最大值，
∴对于任意实数有：
，
∴，故③正确；
④、，
.
当时，，
.
，即，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故答案为：B.
【分析】
根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点可得a，b，c的符号，可判断 ① ；根据函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质可判断 ② ；根据顶点坐标公式和二次函数的最值可判断③；根据对称轴的直线方程和与x轴的交点坐标可判断④；逐一判断即可解答.
11．（2026九上·龙湖期末）已知点与点关于原点对称，则的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，列出方程和，解得、，从而得到点的坐标为。
12．（2026九上·龙湖期末）抛物线y=-（x-2）2+2的顶点坐标是　 　
【答案】（2，2）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（2，2），
故答案为（2，2）．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求出顶点坐标即可。
13．（2026九上·龙湖期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则　 　度．
【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
故答案为80．
【分析】根据旋转性质，得到，旋转角，因此为等腰三角形，再利用等腰三角形底角相等的性质，计算。
14．（2026九上·龙湖期末）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是　 　．
【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆锥侧面积公式，把侧面积 15π、母线长 5 代入，得到 15π = 5πr，解得底面半径 r = 3。
15．（2026九上·龙湖期末）如图，已知的半径是4，点，在上，且，动点在上运动（不与，重合），点为线段的中点，连接，则线段长度的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；确定圆的条件；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：如图1，取的中点E，连接，则，
∵D为线段的中点，
∴是的中位线，
∴．
∴，即D是以点E为圆心，2为半径的圆上的一点．
∴求线段长度的最大值即是求点A与上的点的最大距离．
如图2，当点D在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值。
∵，
∴．
∴线段长度的最大值为．
故答案为：．
【分析】
取的中点E，连接，根据中点的定义得到=2，再根据中位线定理得到DE=2，从而推导出D是以点E为圆心，2为半径的圆上的一点，观察图形得到当点D在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值，再由勾股定理计算可得最大值，解答即可．
16．（2026九上·龙湖期末）解方程时，小海同学解答如下：
解：原方程中，，，．第一步
．第二步
，第三步
即或．第四步
所以，原方程的根是，．第五步
（1）上述解题过程从第_____步开始出现错误？
（2）请写出完整的正确解题过程．
【答案】（1）一
（2）解：原方程可变形为：，
方程中，，，，，
∴，
∴方程的解为，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，
∴上述解题过程从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
【分析】(1) 上述解题过程从第一步开始出现错误，因为原方程未整理为一元二次方程的一般形式 ，就直接错误确定了 、 的值。
(2) 正确解题思路：先将原方程化为一般形式 ，再确定系数 、、，计算判别式 ，最后代入求根公式得到方程的两个根。
（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，
∴上述解题过程从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
（2）解：原方程可变形为：，
方程中，，，，，
∴，
∴方程的解为，．
17．（2026九上·龙湖期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径，劣弧的度数为，求扇形的面积．（结果保留π）
【答案】（1）解：如图点O即为所求，
（2）解：∵半径，劣弧的度数为，
∴．
【知识点】确定圆的条件；扇形面积的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1) 利用不在同一直线上的三点确定圆心的原理：作线段 AB、AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心 O。
(2) 根据扇形面积公式，代入半径R=6和圆心角120 ，计算得扇形 BOC 的面积为12π。
（1）解：如图点O即为所求，
（2）解：∵半径，劣弧的度数为，
∴．
18．（2026九上·龙湖期末）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，
∴选中“乒乓球”的概率是，
故答案为：；
【分析】
（1） 在这4种体育活动中随机选择只有一种选择，再根据概率公式计算即可求解；
（2）先画出树状图得到一共有16种等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数有4种，最后依据概率计算公式求解即可解答．
（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，
∴选中“乒乓球”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是．
19．（2026九上·龙湖期末）如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点．
（1）的值为__________，的值为__________；
（2）对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________；
（3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上．
【答案】（1）2；6
（2）
（3）解：如图，过点A作轴，垂足为D，过点B作，垂足为E，
∴，
∵为正方形，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴，．
∵点A的坐标为，
∴，．
∴点B的坐标为．
∴当时，，
∴点B没有落到双曲线上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）将代入一次函数与反比例函数，
∴，，
∴，．
故答案为2；6
（2）将代入，
∴，
解得，
根据图象得到当时，的取值范围为．
故答案为：
【分析】
（1）根据待定系数法把A代入一次函数与反比例函数，求得、的值，解答即可；
（2）根据函数图象上点的特征，把代入，再根据的函数图象得到x的范围即可解答；
（3）过点A作轴，垂足为D，过点B作，垂足为E，根据正方形的性质得到，，再根据等角的余角相等得到，再判定得到，再由全等三角形的性质得到点A的坐标，点B的坐标，再将B的坐标代入检验，即可解答．
（1）解：将代入一次函数与反比例函数，
∴，，
∴，．
故答案为2；6
（2）解：将代入，
∴，
解得，
根据图象得到当时，的取值范围为．
故答案为
（3）解：如图，过点A作轴，垂足为D，
过点B作，垂足为E，
∴，
∵为正方形，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴，．
∵点A的坐标为，
∴，．
∴点B的坐标为．
∴当时，，
∴点B没有落到双曲线上．
20．（2026九上·龙湖期末）根据以下销售情况，解决销售任务．
　 销售情况分析
　 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
【答案】任务1：件，件；
解：任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1，根据题意得：
甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件，
故答案为：件，件；
【分析】任务1，根据题意列代数式即可；
任务2，根据盈利＝每件盈利×销售量列式计算解题；
任务3，设每件衬衫下降元时，根据盈利＝每件盈利×销售量得到两家分店一天的盈利和为2244元，列一元二次方程解题即可．
21．（2026九上·龙湖期末）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意；
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先连接。根据几何性质可证得，而题目给出，因此可以推出，从而得出最终结论。
（2）通过角度关系证明和。结合已知条件以及，进一步推导出结论。
（3）连接后，可以证明。接着证明，从而得到比例关系。已知，代入计算即可得出最终结果。
（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意；
22．（2026九上·龙湖期末）综合与实践
如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点与的中点重合，，
观察发现
（1）①的长为___________；
②如图1，设与的交点为，则的长为___________．
类比迁移
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，连接．
①当旋转角为时，求的长；
②当时，请直接写出以为边的正方形的面积．
拓展应用
（3）如图3，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，当最大时，求以为边的正方形的面积．
【答案】（1）①4， ②2，
（2）①连接，过点M作于点N，如图，
由题意可知，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
则；
②如图，过点D作交的于点F，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
则以为边的正方形的面积；
如图，过点D作交的延长线于点H，连接，
同理可得，，，
∴，
则以为边的正方形的面积；
故以为边的正方形的面积或；
（3）∵点为的中点，
∴，
由题意可知点P的轨迹为以点A为圆心长为半径的圆上运动，如图，
当点P、点A和点M三点共线时，最大，
如图，
此时，，，
∴，
则以为边的正方形的面积．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）①∵等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∵与的中点重合，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
故答案为：4；
②∵等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴；
故答案为：2；
【分析】（1）① 先由等腰直角△ABC 求出斜边 AB，再结合 D 是 AB 中点得到 AD，最后用等腰直角△ADE 的边长关系求出 DE。
② 利用角度关系判定△AEF 为等腰直角三角形，结合 AE 的长度求出 AF。
（2）① 旋转角为 60° 时，先证△ADM 为等边三角形，再结合等腰△DMB 的性质，用勾股定理求出 BD。
② 分 DE 在 AB 上方和下方两种情况，作 DF⊥AB（或 DH⊥AB），用勾股定理算出 BD2，即得到以 BD 为边的正方形面积。
（3）先确定点 P 的轨迹是以 A 为圆心、AP 为半径的圆，当 P、A、M 共线时 PM 最大；再结合此时的角度与边长，用勾股定理求出 BD2，得到正方形面积。
23．（2026九上·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标；
（3）若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵，当时，；当时，，解得：，
∴，，
∵抛物线过A，B两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C的纵坐标为3，
，解得：或，
∴，
∴，
设点P坐标为且（），
∵轴，
∴D点坐标为，
∴，
∵，
，
∵四边形的面积为2，
，解得：，，
∵，
，
此时P点坐标为；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用；几何图形的面积计算-割补法；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
解：（3）如图所示，当直线在图示区间符合有四个交点．
翻折后的抛物线与原抛物线的形状大小一致，开口相反，
所以它们的二次项系数互为相反数，
所以翻折后的抛物线可设为，
∵，在抛物线上，
∴，解得，
∴翻折后的抛物线解析式为（），
当直线过点A时，，解得；
当直线于抛物线有唯一的公共点时，
方程有相等的实数解，
所以有相等的实数解，
所以，
解得：，
所以当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围为．
故答案为：
【分析】
（1）根据一次函数与坐标轴的交点可求出，，再根据待定系数法求函数解析式将两点坐标代入抛物线求得，写出函数解析式解答即可；
（2）根据轴点C的纵坐标为3，再代入抛物线解析式中求出，可表示出，再设点P坐标为且（），可根据轴，表示出D点坐标，表示出，再根据铅锤法求面积表示出，在建立方程计算可求得，从而可得此时P点坐标为，解答即可；
（3）先画出图形，当直线在图示区间符合有四个交点，根据翻折的性质求出翻折后的抛物线解析式为（0），考虑临界条件当直线过点A时求得，当直线于抛物线有唯一公共点时联立函数解析式求得，根据函数图象可写出当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围，解答即可．
（1）∵，当时，；
当时，，解得：，
∴，，
∵抛物线过A，B两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵轴，，
∴点C的纵坐标为3，
，解得：或，
∴，
∴，
设点P坐标为且（），
∵轴，
∴D点坐标为，
∴，
∵，
，
∵四边形的面积为2，
，解得：，，
∵，
，
此时P点坐标为；
（3）如图所示，当直线在图示区间符合有四个交点．
翻折后的抛物线与原抛物线的形状大小一致，开口相反，
所以它们的二次项系数互为相反数，
所以翻折后的抛物线可设为，
∵，在抛物线上，
∴，解得，
∴翻折后的抛物线解析式为（），
当直线过点A时，，解得；
当直线于抛物线有唯一一个公共点时，
方程有相等的实数解，
所以有相等的实数解，
所以，
解得：，
所以当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围为．
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