资源简介

广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年八年级上学期期末练习
1．（2026八上·潮阳期末）代数式，，，中，属于分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2026八上·潮阳期末）下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．（2026八上·潮阳期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·潮阳期末）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2026八上·潮阳期末）如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·潮阳期末）有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
7．（2026八上·潮阳期末）世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026八上·潮阳期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2026八上·潮阳期末）如图，平分，在上取一点P，过P做，若，则P点到OA的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2026八上·潮阳期末）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2026八上·潮阳期末）若是一个完全平方式，那么　 　．
12．（2026八上·潮阳期末）如图，在和中，
，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的序号为　 　．
13．（2026八上·潮阳期末）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为　 　．
14．（2026八上·潮阳期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是　 　．
15．（2026八上·潮阳期末）在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系：　 　．
16．（2026八上·潮阳期末）先化简，再求值，，其中．
17．（2026八上·潮阳期末）若a、b、c为三角形的三边长，求证：的值一定为负数．
18．（2026八上·潮阳期末）关于x的方程的解大于，求m的取值范围．
19．（2026八上·潮阳期末）为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍．
（1）求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？
20．（2026八上·潮阳期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为．
（1）作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____．
（2）在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
（3）求四边形的面积．
21．（2026八上·潮阳期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题．
题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同．
解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量
（1）解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次．
（2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题．
（3）已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？
22．（2026八上·潮阳期末）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且．
（1）如图1，过F点作交于G点，求证：，；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点；
（3）如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值．
23．（2026八上·潮阳期末）如图，已知，，且，满足．
（1）求，两点的坐标．
（2）如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论．
（3）如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，线段是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义可得： ，属于分式，共有2个.
故答案为：B.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、≠ ，错误；B、≠ ，错误；
C、，故本选项正确；
D、≠ ，错误．
故答案为：C．
【分析】本题根据提公因式法计算并判断A选项，利用平方差公式计算平判断B选项，利用完全平方公式计算并判断CD选项。
3．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，能用平方差公式分解因式；
B、，能用平方差公式分解因式；
C、，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
D、，能用平方差公式分解因式；
故答案为：C．
【分析】平方差公式，即a2-b2=（a+b）（a-b）。A选项中，49可以写成72，此时即可利用平方差公式因式分解；B选项中，可以写成，x4可以写成，此时即可利用平方差公式因式分解；C选项中，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；D选项中，可以写成，9可以写成32，此时即可利用平方差公式因式分解。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：①因为，又，所以，解得，能确定是直角三角形；
②设，因为，所以，即，解得，则，能确定是直角三角形；
③由，可得，那么，能确定是直角三角形；
④因为，所以，则，所以是直角三角形；
⑤设，因为，所以，
由，可得，即，解得，则，不能确定是直角三角形．
综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④，共4个，
故选：C．
【分析】根据三角形内角和定理，结合直角三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：作，使得，连接，，如图1：
是等边三角形，，，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
当B、N、H共线时，有最小值，
如图2中，当B、N、H共线时，
，且，
，
，
，
，
故选C
【分析】作，使得，连接，，根据等边三角形性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当B、N、H共线时，有最小值，当B、N、H共线时，根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：原正方形面积，变化后长方形面积，
，
∴，
即面积变小了．
故答案为：C．
【分析】本题利用正方形面积公式，先分别列出原正方形面积和变化后长方形的面积，然后作差比较大小即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故：C．
【分析】科学记数法的形式为的形式，其中，为整数.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：为中线，
，
，，
，
又，
，
，故①正确；，
又，
，
，
，
由于与不一定相等，故②不正确；
由全等三角形的性质可得：，，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，结论中正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【分析】根据三角形中线性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可判断②；根据全等三角形性质可得，，再根据三角形面积之间的关系可判断③；根据边之间的关系可得，再根据三角形面积可判断④.
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P做于点M，
∵，，平分，
∴.
故答案为：D．
【分析】过点P做于点M，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可求解．
10．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1中，阴影面积为a2-b2，
图2中，阴影面积为(a+b)(a-b)，
∵图1中阴影面积=图2中阴影面积，
∴a2-b2=(a+b)(a-b)，
故选A.
【分析】根据图形，用a、b出阴影部分的面积，即可得答案.
11．【答案】9
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
；
故答案为：
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
12．【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，，
由三角形的外角性质得：，
∴，②正确；
作于，于，如图
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，平分，
假设，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【分析】根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形性质可得，，再根据三角形外角性质及角之间的关系可判断②；作于，于，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理可判断④；根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可判断③.
13．【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
设点O到AB，AC的距离为h，
则，解得h=5，
∴△ACO的面积=．
故答案为：15．
【分析】本题现根据角平分线的性质得出点O到AB，AC的距离相等，此时可以结合三角形面积计算公式以及△ABO的面积，计算求出h=5，然后再进行计算即可求出△ACO的面积。
14．【答案】14
【知识点】平方差公式的几何背景；公因式的概念；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
由于大正方形与小正方形的面积之差是28，即，
．
故答案为：14．
【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，则，
，
当三点共线，且时，此时为最短，
，平分，，
，，
，
，
在中，，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】作点关于的对称点，连接，则，根据边之间的关系可得，当三点共线，且时，此时为最短，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】解：；
∵，即，
解得或3，
当时，原式中的分母为0，舍去；
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；利用开平方求未知数；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题先根据分式混合运算法则以及完全平方公式的，先进行化简到最简结果x+1；然后再根据平方根定义求出x的两个值-1或3，此时需要注意原始中分式有意义的条件，即分母不为0，分析得出x只能取3，最后代入计算即可。
17．【答案】证明：
，
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴，，，，
∴，
故的值一定为负数．
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；有理数的乘法法则
【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式可得(a2+b2-c2)2-4a2b2=[(a+b)2-c2]·[(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)，由三角形的三边关系可得a+b+c>0、a+b-c>0、a-b+c>0、a-b-c<0，然后根据乘法法则进行解答.
18．【答案】解：∵，
∴，
则，
∵关于x的方程的解大于，
∴，
解得，
∵
∴
解得
∴m的取值范围为且．
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】去分母转换为整式方程，解方程可得，再根据题意建立不等式，解不等式，结合分式有意义的条件即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
；
∴“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元。
（2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套，由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴a的最小值为28，
即至少购进“乾坤圈”牌的服装28套．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量，即件，用750元购进“混天绫”牌服装数量，即件，而“2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍”，列出方程，求出x=100后进行检验，以免产生增根；最后再代入求出“混天绫”品牌服装每套进价即可；
（2）先分别列出“乾坤圈”牌服装的利润为（130-100）a元，“混天绫”牌服装的利润为（95-75）（2a+4）元，根据条件“ 总的获利不少于2000元 “，列式为，求出a的取值范围后，取最小整数即可得出答案。
（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
∴；
答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元；
（2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套，
由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴a的最小值为28，
答：至少购进“乾坤圈”牌的服装28套．
20．【答案】（1），；
（2）解：如下图，点P即为所求．
（3）解：
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：如下图四边形即为所求；：；：．
故答案为：（1）．
【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征，先分别找出A、B、C、D关于y轴对称的点A1、B1、C1、D1，然后连接这四个点即可；然后根据关于y轴对称的点的特征，即“纵坐标不变、横坐标互为相反数”，即可写出B1、C1的坐标；
（2）利用将军饮马原理，先找到B点关于x轴的对称点B'，连接AB’后与x轴的交点，即为P点；
（3）利用割补法将四边形放到边长为3×3的正方形中，再减去多余的两个底为3、高为2的三角形面积，列式计算即可求出四边形的面积．
（1）解：如下图四边形即为所求；：；：．
故答案为：．
（2）解：如下图，点P即为所求．
（3）解：．
21．【答案】（1）①；③
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，检验，当时，，
∴为原分式方程的解．
∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．
（3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据题意得：，
解得：；
∵y，为整数，
而，
y为的倍数，
y的最小值为5，
答：至少需要安排5辆小货车．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【解答】（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨；解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次；
故答案为：（1）①；③．
【分析】（1）根据条件“ 大货车每辆运输量比小货车多15吨 ”，而解法一种的分母出现x+15，即x表示小货车每辆运输x吨；而“ 每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同 ”，因此解法二中的表示大货车运输的次数，x就表示一辆大货车运输完50吨需x次；
（2）根据解分式方程步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类型、系数化为一，求解后进行检验，以免产生增根；
（3）设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据“运输的总费用不超过10000元”建立不等式，求解出y的取值范围后取最小整数即可．
（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨；
解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次；
故答案为：①；③．
（2）解法一：
方程两边同乘，
得，
解得，检验，当时，，
所以，为原分式方程的解．
∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．
解法二：
方程两边同乘x，得：，
解得，
检验，当时，，
所以，为原分式方程的解．
∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘吨．
（3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车．
根据题意得：，
解得：；
∵y，为整数，
又，
y为的倍数，
y的最小值为5，
答：至少需要安排5辆小货车．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴E点为的中点；
（3）解：如图3，过点F作，交的延长线于H，
∵，，
∴，
由（1）（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点F作，交的延长线于H，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴E点为的中点；
（3）如图3，过点F作，交的延长线于H，
∵，，
∴，
由（1）（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
23．【答案】（1）解：∵，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，。
（2）结论：；
证明：∵，，，
∴，
，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
，，
，
，
∴。
（3）解：是定值，定值为4．
理由：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
过P作轴于G，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点在线段上运动时，的值都是8，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】点的坐标；偶次方的非负性；绝对值的非负性；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平方和绝对值的非负性，列式求出a，b的值，即可得出A和B的坐标；
（2）求出，，此时可以利用SAS得出，继而得到，，根据直角三角形两个锐角互余得出，最后替换得到，此时得出证明结果；
（3）做辅助线后，利用AAS证明得出，根据全等三角形的性质得到，，再利用AAS证出，得到．
（1）解：∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：结论：；
证明：∵，，，
∴，
，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
，，
，
，
∴；
（3）解：是定值，定值为4．
理由：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
过P作轴于G，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点在线段上运动时，的值都是8，
在与中，
，
∴，
∴．
1 / 1广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年八年级上学期期末练习
1．（2026八上·潮阳期末）代数式，，，中，属于分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义可得： ，属于分式，共有2个.
故答案为：B.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
2．（2026八上·潮阳期末）下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、≠ ，错误；B、≠ ，错误；
C、，故本选项正确；
D、≠ ，错误．
故答案为：C．
【分析】本题根据提公因式法计算并判断A选项，利用平方差公式计算平判断B选项，利用完全平方公式计算并判断CD选项。
3．（2026八上·潮阳期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，能用平方差公式分解因式；
B、，能用平方差公式分解因式；
C、，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
D、，能用平方差公式分解因式；
故答案为：C．
【分析】平方差公式，即a2-b2=（a+b）（a-b）。A选项中，49可以写成72，此时即可利用平方差公式因式分解；B选项中，可以写成，x4可以写成，此时即可利用平方差公式因式分解；C选项中，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；D选项中，可以写成，9可以写成32，此时即可利用平方差公式因式分解。
4．（2026八上·潮阳期末）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：①因为，又，所以，解得，能确定是直角三角形；
②设，因为，所以，即，解得，则，能确定是直角三角形；
③由，可得，那么，能确定是直角三角形；
④因为，所以，则，所以是直角三角形；
⑤设，因为，所以，
由，可得，即，解得，则，不能确定是直角三角形．
综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④，共4个，
故选：C．
【分析】根据三角形内角和定理，结合直角三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．（2026八上·潮阳期末）如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：作，使得，连接，，如图1：
是等边三角形，，，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
当B、N、H共线时，有最小值，
如图2中，当B、N、H共线时，
，且，
，
，
，
，
故选C
【分析】作，使得，连接，，根据等边三角形性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当B、N、H共线时，有最小值，当B、N、H共线时，根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．（2026八上·潮阳期末）有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：原正方形面积，变化后长方形面积，
，
∴，
即面积变小了．
故答案为：C．
【分析】本题利用正方形面积公式，先分别列出原正方形面积和变化后长方形的面积，然后作差比较大小即可得出答案。
7．（2026八上·潮阳期末）世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故：C．
【分析】科学记数法的形式为的形式，其中，为整数.
8．（2026八上·潮阳期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：为中线，
，
，，
，
又，
，
，故①正确；，
又，
，
，
，
由于与不一定相等，故②不正确；
由全等三角形的性质可得：，，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，结论中正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【分析】根据三角形中线性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可判断②；根据全等三角形性质可得，，再根据三角形面积之间的关系可判断③；根据边之间的关系可得，再根据三角形面积可判断④.
9．（2026八上·潮阳期末）如图，平分，在上取一点P，过P做，若，则P点到OA的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P做于点M，
∵，，平分，
∴.
故答案为：D．
【分析】过点P做于点M，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可求解．
10．（2026八上·潮阳期末）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1中，阴影面积为a2-b2，
图2中，阴影面积为(a+b)(a-b)，
∵图1中阴影面积=图2中阴影面积，
∴a2-b2=(a+b)(a-b)，
故选A.
【分析】根据图形，用a、b出阴影部分的面积，即可得答案.
11．（2026八上·潮阳期末）若是一个完全平方式，那么　 　．
【答案】9
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
；
故答案为：
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
12．（2026八上·潮阳期末）如图，在和中，
，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的序号为　 　．
【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，，
由三角形的外角性质得：，
∴，②正确；
作于，于，如图
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，平分，
假设，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【分析】根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形性质可得，，再根据三角形外角性质及角之间的关系可判断②；作于，于，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理可判断④；根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可判断③.
13．（2026八上·潮阳期末）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为　 　．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
设点O到AB，AC的距离为h，
则，解得h=5，
∴△ACO的面积=．
故答案为：15．
【分析】本题现根据角平分线的性质得出点O到AB，AC的距离相等，此时可以结合三角形面积计算公式以及△ABO的面积，计算求出h=5，然后再进行计算即可求出△ACO的面积。
14．（2026八上·潮阳期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】14
【知识点】平方差公式的几何背景；公因式的概念；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
由于大正方形与小正方形的面积之差是28，即，
．
故答案为：14．
【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
15．（2026八上·潮阳期末）在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系：　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，则，
，
当三点共线，且时，此时为最短，
，平分，，
，，
，
，
在中，，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】作点关于的对称点，连接，则，根据边之间的关系可得，当三点共线，且时，此时为最短，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2026八上·潮阳期末）先化简，再求值，，其中．
【答案】解：；
∵，即，
解得或3，
当时，原式中的分母为0，舍去；
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；利用开平方求未知数；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题先根据分式混合运算法则以及完全平方公式的，先进行化简到最简结果x+1；然后再根据平方根定义求出x的两个值-1或3，此时需要注意原始中分式有意义的条件，即分母不为0，分析得出x只能取3，最后代入计算即可。
17．（2026八上·潮阳期末）若a、b、c为三角形的三边长，求证：的值一定为负数．
【答案】证明：
，
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴，，，，
∴，
故的值一定为负数．
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；有理数的乘法法则
【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式可得(a2+b2-c2)2-4a2b2=[(a+b)2-c2]·[(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)，由三角形的三边关系可得a+b+c>0、a+b-c>0、a-b+c>0、a-b-c<0，然后根据乘法法则进行解答.
18．（2026八上·潮阳期末）关于x的方程的解大于，求m的取值范围．
【答案】解：∵，
∴，
则，
∵关于x的方程的解大于，
∴，
解得，
∵
∴
解得
∴m的取值范围为且．
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】去分母转换为整式方程，解方程可得，再根据题意建立不等式，解不等式，结合分式有意义的条件即可求出答案.
19．（2026八上·潮阳期末）为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍．
（1）求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？
【答案】（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
；
∴“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元。
（2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套，由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴a的最小值为28，
即至少购进“乾坤圈”牌的服装28套．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量，即件，用750元购进“混天绫”牌服装数量，即件，而“2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍”，列出方程，求出x=100后进行检验，以免产生增根；最后再代入求出“混天绫”品牌服装每套进价即可；
（2）先分别列出“乾坤圈”牌服装的利润为（130-100）a元，“混天绫”牌服装的利润为（95-75）（2a+4）元，根据条件“ 总的获利不少于2000元 “，列式为，求出a的取值范围后，取最小整数即可得出答案。
（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
∴；
答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元；
（2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套，
由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴a的最小值为28，
答：至少购进“乾坤圈”牌的服装28套．
20．（2026八上·潮阳期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为．
（1）作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____．
（2）在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
（3）求四边形的面积．
【答案】（1），；
（2）解：如下图，点P即为所求．
（3）解：
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：如下图四边形即为所求；：；：．
故答案为：（1）．
【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征，先分别找出A、B、C、D关于y轴对称的点A1、B1、C1、D1，然后连接这四个点即可；然后根据关于y轴对称的点的特征，即“纵坐标不变、横坐标互为相反数”，即可写出B1、C1的坐标；
（2）利用将军饮马原理，先找到B点关于x轴的对称点B'，连接AB’后与x轴的交点，即为P点；
（3）利用割补法将四边形放到边长为3×3的正方形中，再减去多余的两个底为3、高为2的三角形面积，列式计算即可求出四边形的面积．
（1）解：如下图四边形即为所求；：；：．
故答案为：．
（2）解：如下图，点P即为所求．
（3）解：．
21．（2026八上·潮阳期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题．
题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同．
解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量
（1）解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次．
（2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题．
（3）已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？
【答案】（1）①；③
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，检验，当时，，
∴为原分式方程的解．
∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．
（3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据题意得：，
解得：；
∵y，为整数，
而，
y为的倍数，
y的最小值为5，
答：至少需要安排5辆小货车．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【解答】（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨；解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次；
故答案为：（1）①；③．
【分析】（1）根据条件“ 大货车每辆运输量比小货车多15吨 ”，而解法一种的分母出现x+15，即x表示小货车每辆运输x吨；而“ 每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同 ”，因此解法二中的表示大货车运输的次数，x就表示一辆大货车运输完50吨需x次；
（2）根据解分式方程步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类型、系数化为一，求解后进行检验，以免产生增根；
（3）设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据“运输的总费用不超过10000元”建立不等式，求解出y的取值范围后取最小整数即可．
（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨；
解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次；
故答案为：①；③．
（2）解法一：
方程两边同乘，
得，
解得，检验，当时，，
所以，为原分式方程的解．
∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．
解法二：
方程两边同乘x，得：，
解得，
检验，当时，，
所以，为原分式方程的解．
∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘吨．
（3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车．
根据题意得：，
解得：；
∵y，为整数，
又，
y为的倍数，
y的最小值为5，
答：至少需要安排5辆小货车．
22．（2026八上·潮阳期末）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且．
（1）如图1，过F点作交于G点，求证：，；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点；
（3）如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴E点为的中点；
（3）解：如图3，过点F作，交的延长线于H，
∵，，
∴，
由（1）（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点F作，交的延长线于H，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴E点为的中点；
（3）如图3，过点F作，交的延长线于H，
∵，，
∴，
由（1）（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
23．（2026八上·潮阳期末）如图，已知，，且，满足．
（1）求，两点的坐标．
（2）如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论．
（3）如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，线段是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，。
（2）结论：；
证明：∵，，，
∴，
，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
，，
，
，
∴。
（3）解：是定值，定值为4．
理由：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
过P作轴于G，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点在线段上运动时，的值都是8，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】点的坐标；偶次方的非负性；绝对值的非负性；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平方和绝对值的非负性，列式求出a，b的值，即可得出A和B的坐标；
（2）求出，，此时可以利用SAS得出，继而得到，，根据直角三角形两个锐角互余得出，最后替换得到，此时得出证明结果；
（3）做辅助线后，利用AAS证明得出，根据全等三角形的性质得到，，再利用AAS证出，得到．
（1）解：∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：结论：；
证明：∵，，，
∴，
，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
，，
，
，
∴；
（3）解：是定值，定值为4．
理由：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
过P作轴于G，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点在线段上运动时，的值都是8，
在与中，
，
∴，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑