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广东省东莞市大岭山新风中学2025~2026学年第一学期期末教学评估监测九年级数学卷
1．（2026九上·东莞期末）一元二次方程的一次项系数为（　　）
A．0 B．1 C．5 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程中，一次项为，
∴一次项系数为，
故选：C．
【分析】根据二次方程的一般式即可求出答案.
2．（2026九上·东莞期末）下面四幅图是广东省一些场馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A．广东美术馆
B．广东省博物馆
C．广东中医药博物馆
D．广东革命历史博物馆
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有A是中心对称图形；选项B、C、D均不是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。本题根据中心对称图形的概念逐个选项进行图形分析即可．
3．（2026九上·东莞期末）当时，方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．以上结论都不对
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程的判别式，
∵，即，
∴，
∴方程没有实数根．
故答案为：B．
【分析】本题通过一元二次方程根的判别式，列式得出方程，然后根据“△＜0，方程没有实数根”从而得出答案。
4．（2026九上·东莞期末）如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与是位似图形，位似比为，
，
∵OA=2，
∴，
解得OD=6，
故答案为：A
【分析】本题依据位似比等于相似比，然后结合图形列出式子，最后把OA=2代入计算即可得出答案。
5．（2026九上·东莞期末）风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　）
A．120 B．90 C．60 D．45
【答案】A
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫旋转角；观察题目中的风力发电机转子叶片图案，可以看出该图案具有3次旋转对称性，然后计算出该图案每次旋转的角度，接着根据旋转角度的倍数，确定旋转角度的可能值即可.
6．（2026九上·东莞期末）已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵点和点在二次函数的图象上，
∴y1=（0-1）2=1，y2=（6-1）2=25，
∵1＜25，
．
故答案为：C．
【分析】本题利用待定系数法将点和点代入二次函数中，计算得出y1和y2，然后比较大小即可。
7．（2026九上·东莞期末）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：该正十二边形的中心角为．
故选A．
【分析】根据多边形的中心角的定义即可求出答案.
8．（2026九上·东莞期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（　　）平方步．
A．120 B．240 C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：这块田的面积（平方步），
故答案为：A．
【分析】本题利用扇形面积公式S=，其中L为扇形弧长，R为半径，代入计算即可得出答案．
9．（2026九上·东莞期末）反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；列反比例函数关系式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设该反比例函数为，k＞0，
∵点A和点B都在该反比例函数的上方，
∴3＞ ，-3＞ ，
解得。
选项中只有C选项满足。
故答案为：C．
【分析】本题先假设出反比例函数为，k＞0，然后观察发现，点A（3，3）和点B（-2，-3）都在该反比例函数的上方，此时即可代入列出不等式，求出k的取值范围后，结合选项即可得出答案。
10．（2026九上·东莞期末）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，
∴轴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
将与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，如图所示，
当第一次旋转时，，第二次旋转时，，第三次旋转时，，第四次旋转时，
∴经过4次后点回到起始位置，
∴余1，
∴第2025次旋转结束时，点的坐标为位置的坐标，即，
∴点的坐标为。
故答案为：D ．
【分析】本题先依据A、B两点的坐标求出AB=6，然后根据正方形的性质得出，结合图形从而得到，然后画出旋转之后的图形，并分别得出第一次旋转后，第二次旋转后，第三次旋转后，第四次旋转后，此时发现规律，即经过4次后点回到起始位置，然后通过计算得出第2025次旋转结束时，点的坐标为位置的坐标，从而得出答案。
11．（2026九上·东莞期末）古语云“八月十五云遮月”，这是一个　 　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：古语云“八月十五云遮月”，这是一个随机事件。
故答案为：随机．
【分析】必然事件，即一定发生的事件；不可能事件，即一定不发生的事件；随机事件，即可能发生也可能不发生的，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。本题中，天气是随机的，所以“八月十五云遮月”可能发生、也可能不发生，因此是随机事件。
12．（2026九上·东莞期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：当 时，（m/s）．
故答案为 4．
【分析】将代入计算即可求出答案.
13．（2026九上·东莞期末）设，是关于的方程的两个根，则　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是关于的方程的两个根，
∴．
故答案为：3．
【分析】对于方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项．本题结合一元二次方程根与系数的关系，将a=1、b=-3代入计算即可。
14．（2026九上·东莞期末）如图，在中，请添上一个条件：　 　，使得．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：添加，
则．
故答案为：．
【分析】根据弧，弦之间的关系即可求出答案.
15．（2026九上·东莞期末）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图建立坐标系：
∵抛物线最高点到的距离为，，，
∴，，
设，将代入得，，
解得，即，
当时，，
即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】本题结合条件，先建建立平面直角坐标系，然后分析得出抛物线最高点到的距离为，，，从而得出P点和B点的坐标，此时利用待定系数法可以求出该抛物线的解析式，最后代入的横坐标即可得出答案．
16．（2026九上·东莞期末）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
开平方，得，
解得，；
（2）解：，
移项，得，
方程左边分解因式，得，
∴或，
解得：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程，直接开平方法即可解一元二次方程；
（2）先移项，然后因式分解将原式变形得到，此时即可得出答案。
（1）解：，
开平方，得，
即，；
（2），
移项，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
17．（2026九上·东莞期末）如图，与关于点成中心对称，，，，求的长．
【答案】解：与关于点成中心对称，
，
∴，、、三点共线，
∵，，，

【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；中心对称的性质
【解析】【分析】根据中心对称图形可得，则，、、三点共线，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．（2026九上·东莞期末）一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有6种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：甲有①②③④共4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，
∴甲坐在①号座位的概率是；
故答案为：（1）；
【分析】（1）概率计算公式，即概率＝所求情况数÷总情况数．分析题中信息可知，甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，据此列式即可得出答案；
（2）画出树状图后发现，当甲坐在①位置上，此时乙可以坐在②③④三个位置上的任意一个，有3种选择；当甲坐在②位置上，此时乙可以坐在①③④三个位置上的任意一个，有3种选择；当甲坐在③位置上，此时乙可以坐在①②④三个位置上的任意一个，有3种选择；当甲坐在④位置上，此时乙可以坐在①②③三个位置上的任意一个，有3种选择；因此一共有3×4=12种可能的结果；
而甲乙相邻，则甲坐在①位置上，此时乙只能坐在②位置上，有1种选择；甲坐在②位置上，此时乙能坐在①和③任意位置上，有2种选择；甲坐在③位置上，此时乙能坐在②和④任意位置上，有2种选择；甲坐在④位置上，此时乙只能坐在③位置上，有1种选择；因此一共有1+2+2+1=6种结果。最后依据概率计算公式列式计算即可。
（1）甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，
因此，甲坐在①号座位的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有6种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为．
19．（2026九上·东莞期末）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线；
【答案】证明：是的直径，
，
∵
，
，
，
∴，
是的切线。
【知识点】切线的判定；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题由“直径所对的圆周角是直角”得出，然后依据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，由直角三角形的两个锐角互余计算得出，进而计算得出，最后根据切线的判定定理即可得出结论。
20．（2026九上·东莞期末），直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，．
（1）求点B的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．
【答案】（1）解：∵直线与y轴交于点A，
令，解得，
∴，即，
∵，
∴，
∴点B的坐标为．
（2）解：∵轴，B的坐标为，
∴点C的横坐标为，
∵点C在直线上，
将x=-1代入，得，解得，
∴点，
将点代入中，得，
解得
∴反比例函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）因为A点在y轴上且在直线，可以将x=0代入计算得出y=2，从而得出点A的坐标，再由可求解，而B点在x轴的负半轴上，至此可得点B的坐标；
（2）结合图形和条件，得出C点的横坐标为-1，而C点也在直线上，此时代入计算即可得出点C的坐标，再利用待定系数法将点C代入反比例函数中即可求解．
（1）解：∵直线与y轴交于点A，
令，
解得，
∴，即，
∵，
∴，
∴点B的坐标为．
（2）解：∵轴，B的坐标为，
∴点C的横坐标为，
∵点C在直线上，
∴，解得，
∴点，
∴将点代入中，
∴，
解得
∴反比例函数的解析式为．
21．（2026九上·东莞期末）高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费800元
超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元
求该公司参加旅游的员工人数．
【答案】解：设该公司参加旅游的员工人数为人，
∵，
∴，且，
即30＜x≤55，
依题意得：
解得：，（舍去）；
∴；
即该公司参加旅游的员工人数为45人．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题设该公司参加旅游的员工人数为人，结合条件“ 不超过30人，人均收费800元 ”，因此当x=30时，该公司应该支付给旅行社的费用是，而“ 支付给旅行社29250元 ”，因此判断得出参加旅游的员工人数超过30人，即；而“超过30人时，每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550”，此时有，综合得出30＜x≤55；最后列式，求出x的两个值之后，取在30和55之间的数值即可。
22．（2026九上·东莞期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合作点”．
（1）已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；
（2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合作点”，试求出T中y关于x的函数表达式；
（3）把（2）中y关于x的函数图象向上平移3个单位得到新函数图象G，设新函数G的图象与y轴交于点C，直线上总有点D，使得点C，D的“合作点”T落在新函数G的图象上，求出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵点T是点A，B的“合作点”，
∴，，
即点的坐标为；
（2）解：∵点是抛物线上一点，
∴，
∵点是点A，B的“合作点”，
∴，
将①变形得，，
代入②得，，
即y关于x的函数表达式是y=x2-2x。
（3）解：由函数平移的性质，可得函数G的表达式为，
当时，，
∴点C坐标为，
设点D的坐标为，则点C，D的“合作点”T坐标为，
∵点T落在新函数G的图象，
∴，
变形得，，
根据形式判断为二次函数，其开口向上，对称轴为直线，最小值为，
∴，
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）结合条件中“合作点”的定义和计算方法，计算A点和B点的横纵坐标之和即可得出答案；
（2）结合抛物线方程和条件，代入计算即可得出，再根据“合作点”的定义，用a和b来分别表示x和y，最后变形即可得到答案；
（3）根据函数平移的性质得出函数G的表达式，进一步求出点C的坐标．假设出点D的坐标后，根据“合作点”的定义，用含t和m的式子表示出点的坐标．代入函数G的表达式并进行化简，得到m关于t的表达式．根据其形式判断出属于二次函数，利用二次函数的性质求出m的取值范围即可．
（1）解：由题意可知，点满足，，
∴点的坐标为；
（2）∵点是抛物线上一点，
∴，
∵点是点A，B的“合作点”，
∴，
将①变形得，，
代入②得，，
（3）由函数平移的性质可得，函数G的表达式为，
当时，，
∴点C坐标为，
设点D的坐标为，则点C，D的“合作点”T坐标为，
∵点T落在新函数G的图象，
∴，
变形得，，
根据形式判断为二次函数，其开口向上，对称轴为直线，最小值为，
∴，
23．（2026九上·东莞期末）在矩形中，，．点是射线上的一点，以点为中心将顾时针旋转90°得到，连结．
（1）如图①，当点在边上时，求证：；
（2）在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程）
（3）如图③，设线段与射线交于点，
①若，此时线段的长度为______；
②若线段或与射线交于点，过点作交于点，若，直接写出的长度．
【答案】（1）解：由旋转可得
∴，
∵在矩形中，，
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）①；②或．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：①如图，
由旋转可得
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
②如图，当与射线交于点，过点作于点
由（1）可得
∴，
∵，
∴
∴
即
∵
∴
∴
∴，则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
②如图，当线段与射线交于点，
同理可得，，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴
∴，
解得：
∴
综上所述，的长度为或．
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，截取，连接，即可求出答案.
（3）①根据旋转性质可得，则是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②分情况讨论：当与射线交于点，过点作于点，根据全等三角形性质可得，根据三角形面积可得，即，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，则，再根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理及性质，结合边之间的关系即可求出答案；当线段与射线交于点，同理可得，，，再根据相似三角形判定定理及性质，结合边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由旋转可得
∴，
∵在矩形中，，
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：①如图，
由旋转可得
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
②如图，当与射线交于点，过点作于点
由（1）可得
∴，
∵，
∴
∴
即
∵
∴
∴
∴，则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
②如图，当线段与射线交于点，
同理可得，，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴
∴，
解得：
∴
综上所述，的长度为或．
1 / 1广东省东莞市大岭山新风中学2025~2026学年第一学期期末教学评估监测九年级数学卷
1．（2026九上·东莞期末）一元二次方程的一次项系数为（　　）
A．0 B．1 C．5 D．
2．（2026九上·东莞期末）下面四幅图是广东省一些场馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A．广东美术馆
B．广东省博物馆
C．广东中医药博物馆
D．广东革命历史博物馆
3．（2026九上·东莞期末）当时，方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．以上结论都不对
4．（2026九上·东莞期末）如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．18 D．20
5．（2026九上·东莞期末）风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　）
A．120 B．90 C．60 D．45
6．（2026九上·东莞期末）已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．（2026九上·东莞期末）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026九上·东莞期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（　　）平方步．
A．120 B．240 C． D．
9．（2026九上·东莞期末）反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026九上·东莞期末）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2026九上·东莞期末）古语云“八月十五云遮月”，这是一个　 　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）
12．（2026九上·东莞期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度　 　．
13．（2026九上·东莞期末）设，是关于的方程的两个根，则　 　．
14．（2026九上·东莞期末）如图，在中，请添上一个条件：　 　，使得．
15．（2026九上·东莞期末）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为　 　．
16．（2026九上·东莞期末）解下列方程：
（1）
（2）
17．（2026九上·东莞期末）如图，与关于点成中心对称，，，，求的长．
18．（2026九上·东莞期末）一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）．
19．（2026九上·东莞期末）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线；
20．（2026九上·东莞期末），直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，．
（1）求点B的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．
21．（2026九上·东莞期末）高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费800元
超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元
求该公司参加旅游的员工人数．
22．（2026九上·东莞期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合作点”．
（1）已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；
（2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合作点”，试求出T中y关于x的函数表达式；
（3）把（2）中y关于x的函数图象向上平移3个单位得到新函数图象G，设新函数G的图象与y轴交于点C，直线上总有点D，使得点C，D的“合作点”T落在新函数G的图象上，求出m的取值范围．
23．（2026九上·东莞期末）在矩形中，，．点是射线上的一点，以点为中心将顾时针旋转90°得到，连结．
（1）如图①，当点在边上时，求证：；
（2）在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程）
（3）如图③，设线段与射线交于点，
①若，此时线段的长度为______；
②若线段或与射线交于点，过点作交于点，若，直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程中，一次项为，
∴一次项系数为，
故选：C．
【分析】根据二次方程的一般式即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有A是中心对称图形；选项B、C、D均不是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。本题根据中心对称图形的概念逐个选项进行图形分析即可．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程的判别式，
∵，即，
∴，
∴方程没有实数根．
故答案为：B．
【分析】本题通过一元二次方程根的判别式，列式得出方程，然后根据“△＜0，方程没有实数根”从而得出答案。
4．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与是位似图形，位似比为，
，
∵OA=2，
∴，
解得OD=6，
故答案为：A
【分析】本题依据位似比等于相似比，然后结合图形列出式子，最后把OA=2代入计算即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫旋转角；观察题目中的风力发电机转子叶片图案，可以看出该图案具有3次旋转对称性，然后计算出该图案每次旋转的角度，接着根据旋转角度的倍数，确定旋转角度的可能值即可.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵点和点在二次函数的图象上，
∴y1=（0-1）2=1，y2=（6-1）2=25，
∵1＜25，
．
故答案为：C．
【分析】本题利用待定系数法将点和点代入二次函数中，计算得出y1和y2，然后比较大小即可。
7．【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：该正十二边形的中心角为．
故选A．
【分析】根据多边形的中心角的定义即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：这块田的面积（平方步），
故答案为：A．
【分析】本题利用扇形面积公式S=，其中L为扇形弧长，R为半径，代入计算即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；列反比例函数关系式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设该反比例函数为，k＞0，
∵点A和点B都在该反比例函数的上方，
∴3＞ ，-3＞ ，
解得。
选项中只有C选项满足。
故答案为：C．
【分析】本题先假设出反比例函数为，k＞0，然后观察发现，点A（3，3）和点B（-2，-3）都在该反比例函数的上方，此时即可代入列出不等式，求出k的取值范围后，结合选项即可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，
∴轴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
将与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，如图所示，
当第一次旋转时，，第二次旋转时，，第三次旋转时，，第四次旋转时，
∴经过4次后点回到起始位置，
∴余1，
∴第2025次旋转结束时，点的坐标为位置的坐标，即，
∴点的坐标为。
故答案为：D ．
【分析】本题先依据A、B两点的坐标求出AB=6，然后根据正方形的性质得出，结合图形从而得到，然后画出旋转之后的图形，并分别得出第一次旋转后，第二次旋转后，第三次旋转后，第四次旋转后，此时发现规律，即经过4次后点回到起始位置，然后通过计算得出第2025次旋转结束时，点的坐标为位置的坐标，从而得出答案。
11．【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：古语云“八月十五云遮月”，这是一个随机事件。
故答案为：随机．
【分析】必然事件，即一定发生的事件；不可能事件，即一定不发生的事件；随机事件，即可能发生也可能不发生的，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。本题中，天气是随机的，所以“八月十五云遮月”可能发生、也可能不发生，因此是随机事件。
12．【答案】4
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：当 时，（m/s）．
故答案为 4．
【分析】将代入计算即可求出答案.
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是关于的方程的两个根，
∴．
故答案为：3．
【分析】对于方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项．本题结合一元二次方程根与系数的关系，将a=1、b=-3代入计算即可。
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：添加，
则．
故答案为：．
【分析】根据弧，弦之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图建立坐标系：
∵抛物线最高点到的距离为，，，
∴，，
设，将代入得，，
解得，即，
当时，，
即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】本题结合条件，先建建立平面直角坐标系，然后分析得出抛物线最高点到的距离为，，，从而得出P点和B点的坐标，此时利用待定系数法可以求出该抛物线的解析式，最后代入的横坐标即可得出答案．
16．【答案】（1）解：，
开平方，得，
解得，；
（2）解：，
移项，得，
方程左边分解因式，得，
∴或，
解得：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程，直接开平方法即可解一元二次方程；
（2）先移项，然后因式分解将原式变形得到，此时即可得出答案。
（1）解：，
开平方，得，
即，；
（2），
移项，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
17．【答案】解：与关于点成中心对称，
，
∴，、、三点共线，
∵，，，

【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；中心对称的性质
【解析】【分析】根据中心对称图形可得，则，、、三点共线，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有6种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：甲有①②③④共4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，
∴甲坐在①号座位的概率是；
故答案为：（1）；
【分析】（1）概率计算公式，即概率＝所求情况数÷总情况数．分析题中信息可知，甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，据此列式即可得出答案；
（2）画出树状图后发现，当甲坐在①位置上，此时乙可以坐在②③④三个位置上的任意一个，有3种选择；当甲坐在②位置上，此时乙可以坐在①③④三个位置上的任意一个，有3种选择；当甲坐在③位置上，此时乙可以坐在①②④三个位置上的任意一个，有3种选择；当甲坐在④位置上，此时乙可以坐在①②③三个位置上的任意一个，有3种选择；因此一共有3×4=12种可能的结果；
而甲乙相邻，则甲坐在①位置上，此时乙只能坐在②位置上，有1种选择；甲坐在②位置上，此时乙能坐在①和③任意位置上，有2种选择；甲坐在③位置上，此时乙能坐在②和④任意位置上，有2种选择；甲坐在④位置上，此时乙只能坐在③位置上，有1种选择；因此一共有1+2+2+1=6种结果。最后依据概率计算公式列式计算即可。
（1）甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，
因此，甲坐在①号座位的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有6种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为．
19．【答案】证明：是的直径，
，
∵
，
，
，
∴，
是的切线。
【知识点】切线的判定；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题由“直径所对的圆周角是直角”得出，然后依据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，由直角三角形的两个锐角互余计算得出，进而计算得出，最后根据切线的判定定理即可得出结论。
20．【答案】（1）解：∵直线与y轴交于点A，
令，解得，
∴，即，
∵，
∴，
∴点B的坐标为．
（2）解：∵轴，B的坐标为，
∴点C的横坐标为，
∵点C在直线上，
将x=-1代入，得，解得，
∴点，
将点代入中，得，
解得
∴反比例函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）因为A点在y轴上且在直线，可以将x=0代入计算得出y=2，从而得出点A的坐标，再由可求解，而B点在x轴的负半轴上，至此可得点B的坐标；
（2）结合图形和条件，得出C点的横坐标为-1，而C点也在直线上，此时代入计算即可得出点C的坐标，再利用待定系数法将点C代入反比例函数中即可求解．
（1）解：∵直线与y轴交于点A，
令，
解得，
∴，即，
∵，
∴，
∴点B的坐标为．
（2）解：∵轴，B的坐标为，
∴点C的横坐标为，
∵点C在直线上，
∴，解得，
∴点，
∴将点代入中，
∴，
解得
∴反比例函数的解析式为．
21．【答案】解：设该公司参加旅游的员工人数为人，
∵，
∴，且，
即30＜x≤55，
依题意得：
解得：，（舍去）；
∴；
即该公司参加旅游的员工人数为45人．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题设该公司参加旅游的员工人数为人，结合条件“ 不超过30人，人均收费800元 ”，因此当x=30时，该公司应该支付给旅行社的费用是，而“ 支付给旅行社29250元 ”，因此判断得出参加旅游的员工人数超过30人，即；而“超过30人时，每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550”，此时有，综合得出30＜x≤55；最后列式，求出x的两个值之后，取在30和55之间的数值即可。
22．【答案】（1）解：∵点T是点A，B的“合作点”，
∴，，
即点的坐标为；
（2）解：∵点是抛物线上一点，
∴，
∵点是点A，B的“合作点”，
∴，
将①变形得，，
代入②得，，
即y关于x的函数表达式是y=x2-2x。
（3）解：由函数平移的性质，可得函数G的表达式为，
当时，，
∴点C坐标为，
设点D的坐标为，则点C，D的“合作点”T坐标为，
∵点T落在新函数G的图象，
∴，
变形得，，
根据形式判断为二次函数，其开口向上，对称轴为直线，最小值为，
∴，
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）结合条件中“合作点”的定义和计算方法，计算A点和B点的横纵坐标之和即可得出答案；
（2）结合抛物线方程和条件，代入计算即可得出，再根据“合作点”的定义，用a和b来分别表示x和y，最后变形即可得到答案；
（3）根据函数平移的性质得出函数G的表达式，进一步求出点C的坐标．假设出点D的坐标后，根据“合作点”的定义，用含t和m的式子表示出点的坐标．代入函数G的表达式并进行化简，得到m关于t的表达式．根据其形式判断出属于二次函数，利用二次函数的性质求出m的取值范围即可．
（1）解：由题意可知，点满足，，
∴点的坐标为；
（2）∵点是抛物线上一点，
∴，
∵点是点A，B的“合作点”，
∴，
将①变形得，，
代入②得，，
（3）由函数平移的性质可得，函数G的表达式为，
当时，，
∴点C坐标为，
设点D的坐标为，则点C，D的“合作点”T坐标为，
∵点T落在新函数G的图象，
∴，
变形得，，
根据形式判断为二次函数，其开口向上，对称轴为直线，最小值为，
∴，
23．【答案】（1）解：由旋转可得
∴，
∵在矩形中，，
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）①；②或．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：①如图，
由旋转可得
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
②如图，当与射线交于点，过点作于点
由（1）可得
∴，
∵，
∴
∴
即
∵
∴
∴
∴，则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
②如图，当线段与射线交于点，
同理可得，，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴
∴，
解得：
∴
综上所述，的长度为或．
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，截取，连接，即可求出答案.
（3）①根据旋转性质可得，则是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②分情况讨论：当与射线交于点，过点作于点，根据全等三角形性质可得，根据三角形面积可得，即，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，则，再根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理及性质，结合边之间的关系即可求出答案；当线段与射线交于点，同理可得，，，再根据相似三角形判定定理及性质，结合边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由旋转可得
∴，
∵在矩形中，，
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：①如图，
由旋转可得
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
②如图，当与射线交于点，过点作于点
由（1）可得
∴，
∵，
∴
∴
即
∵
∴
∴
∴，则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
②如图，当线段与射线交于点，
同理可得，，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴
∴，
解得：
∴
综上所述，的长度为或．
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